Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.[r]
Trang 1Họ và tên:
………
Lớp: …………
Trường THCS An Hòa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016 -2017 Môn: Toán – Khối: 9 (NV1) Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Mã phách Điểm Chữ ký GT 1 ………
Chữ ký GT 2 ………
… Mã phách Bài 1:(4 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết: A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 Bài 2 : (5 điểm) Cho biểu thức : 2 2 2 2 3 2 4 2 3 ( ) : ( ) 2 4 2 2 x x x x x A x x x x x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A Rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4 Bài 3: (5 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 b) Cho 1 x y z a b c và 0 a b c x y z Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c . Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB = HD BC AH + HC Bài làm phần tự luận ……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
Trang 2……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
Trang 3……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
Trang 4……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
……… ………
Trang 5……… ………
……… ………
Hướng dẫn chấm Đề 1 (NV1)
điểm
Bài 1(4 điểm) :
a) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2
0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ
b) Xét
2
Với x Z thì A B khi
7
2 x 3 Z 7 ( 2x – 3)
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7
x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Bài 2(5 điểm):
a) *Điều kiện xác định của A:
2
2
3
3 0
x
x
.
:
4 8 (2 ) 4 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 ) 3 (2 )(2 )( 3) 3
* Rút gon A
A
Vậy với
0, 2, 3
x x x thì
2 4x 3
A x
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) Với
2 4
3
x
x
x 3 0 x 3( TMDKXD )
Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
7 4 c) 7 4
x x
x
x TMDKXD
x KTMDKXD
Trang 6Với x = 11 thì A =
121 2
0,5 đ
Bài 3 (5 điểm):
a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 đ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 đ
Do : ( x 1)2 0;( y 3)2 0;( z 1)2 0 0,5 đ
b) Từ :
ayz+bxz+cxy
a b c
x y z xyz
0,5 đ
Ta có :
2
a b c a b c
0,5 đ
x y z cxy bxz ayz
x y z
a b c
Bài 4(6 điểm):
0,25 đ
a) Hai tam giác ADC và BEC có:
.Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó ADC BEC (c.g.c)
Suy ra: BEC ADC 1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả
thiết).
Nên AEB 450
1đ
1đ
Trang 7Do đó: tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BE AB 2 m 2
b)Ta có:
BC BC AC (do BEC ADC )
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H)
nên
BC AC AC AB BE (do ABH CBA )
Do đó BHM BEC (c.g.c)
Suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
c)Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC , mà AC AB DC ED ABC DEC AH HC ED AH / / HD HC
1đ
Do đó:
GC HC GB GC HD HC BC AH HC 0,75đ
Mọi cách giải đúng khác đều đạt điểm tối đa.
….oOo….
Trang 8PHÒNG GD- ĐT AN LÃO
TRƯỜNG THCS AN HÒA
ĐỀ (ĐỀ XUẤT) THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN- KHỐI 9-THỜi GIAN 90 PHÚT.
Đề 2:
Bài 1: (5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 6x + 5
b) x4 + 2017x2 + 2016x + 2017
c) (x + 1).(x + 2) (x + 3).(x + 4) + 1.
Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b)
2018 2017 2016 2015 2014 2013
x x x x x x
Bài 3: (5 điểm): Cho
P
a) Rút gọn P
b) Tìm a Z để P Z
c) Tìm a để P+ P = 0
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
Trang 9
Hướng dẫn chấm Đề 2:
điểm
Bài 1 (5 điểm):
a) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5
= x(x+1) + 5(x+1)
= x 1 x 5
0,5đ 0,5đ b) x4 + 2017x2 + 2016x + 2017
= x4 – x + 2017x2 + 2017x + 2017
= x(x3 – 1) + 2017(x2 + x + 1)
= x(x – 1) (x2 + x + 1) + 2017(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 2017)
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
c) (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1 = x2 5 x 4 x2 5 x 6 1
Đặt y = x2 5 x , ta được: 5
(x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1= (y – 1)(y + 1) + 1
= y + 1 = 2 1 2
y = ( x2 5 x ) 5 2
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Bài 2 (4 điểm ):
a) Đặt y = x2 + x, ta được:
y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0
⇔(y + 6)(y - 2) = 0
⇔y = - 6; y = 2
* Với y = -6, ta có x2 + x = - 6 vô nghiệm, vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x.
* Với y = 2, ta có x2 + x = 2 ⇔ x2 + x - 2 = 0 ⇔ x2 + 2x - x - 2 = 0
⇔x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔(x + 2)(x - 1) = 0 ⇔x = - 2; x = 1.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = - 2 và x =1
0,25đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
b)
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2018 2017 2016 2015 2014 2013 ⇔
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2018 2017 2016 2015 2014 2013 0,25đ
Trang 10⇔ 2019 2019 2019 2019 2019 2019
2018 2017 2016 2015 2014 2013
⇔x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 0
2018 2017 2016 2015 2014 2013
⇔( 2019)( 1 1 1 1 1 1 ) 0 (1)
2018 2017 2016 2015 2014 2013
Mà
2018 2015 ; 2017 2014 1 1 ; 2016 20131 1
Nên
0
201820172016 2015 2014 2013
Do đó: (1) x + 2019 = 0 ⇔ x = -2019
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = - 2019
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,5đ 0,25đ
Bài 3 ( 5 điểm):
a)
P
a
3
( a 2)
(ĐK : a0 ; a4 )
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) P Z
3 ( a 2) Z
a 2 Ư(3)
2 1
9
1
a
a a
a
a
(TMĐK : a0 ; a4 ) Vậy nếu a = 9 hoặc a = 1 hoặc a = 25 thì P Z
0,5 đ
1 đ 0,5 đ
c) P P 0 P P P 0
a
Kết hợp ĐKXĐ, ta có P<0 0 a 4
0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ
Trang 11O F
E
K
H
C
A
D B
CH CK CH CD CK CB
CB CD
AF AK AD AK . A F AC
AD AC
CF AH
CD AC
CF AH AB AH CF AC
AB AC
Mọi cách giải đúng khác đều đạt điểm tối đa.
….oOo….