-Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi; - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;... - Giám thị không giải thích gì thêm..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Thời gian làm bài: 90 phút
Mã đề 01
I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm số a, b trong sơ đồ sau:
b
Câu 2: Trong hộp có 45 viên bi màu, gồm 20 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng Cần
lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên:
a Màu đỏ
b Cùng màu
Câu 3: Giá trị của biểu thức:
1616 161616 16161616 16
:
6161 616161 61616161 61
Câu 4 Gọi a là nghiệm âm của phương trình x2 x1 0. Giá trị của biểu thức
3
A a a là bao nhiêu?
Câu 5 Tìm số nguyên n biết n2 4n7 là số chính phương
Câu 6 Tìm nghiệm của phương trình 4x26x 1 4 6x4
Câu 7 Tìm nghiệm của hệ phương trình:
2
2
Câu 8 Cho a 1 1 và 1
1
n n
n
a a
na
với mọi n1,n Tìm a64?
Câu 9 Giá trị nhỏ nhất của 2
1 ( 1)
a
P a
với a 0 là bao nhiêu?
Câu 10 Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7 Đường phân giác
trong của góc A và B cắt nhau tại O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N Tìm chu vi tam giác MNC
II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và góc BAC bằng 600 Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
a Chứng minh tam giác INP đều.
b Giả sử IA là phân giác của góc NIP Tính số đo của góc BCP.
Câu 12 Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước, nếu có 2 số a b, nào đó thỏa mãn a b 2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số
1, 1
a b Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?
HẾT Lưu ý: -Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Trang 2- Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề thi có 01 trang gồm 12 câu)
Mã đề 02
I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Trong hộp có 55 viên bi màu gồm 30 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng Cần
lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên:
a Màu đỏ
b Cùng màu
Câu 2: Tìm số a, b trong sơ đồ sau:
a
Câu 3: Giá trị của biểu thức:
1616 161616 16161616 16
:
6161 616161 61616161 61
Câu 4 Tìm nghiệm của phương trình 4x26x 1 4 6x4
Câu 5 Tìm nghiệm của hệ phương trình:
2
2
Câu 6 Gọi a là nghiệm âm của phương trình x2 x1 0. Giá trị của biểu thức
3
A a a là bao nhiêu?
Câu 7 Cho a 1 1 và 1
1
n n
n
a a
na
với mọi n1,n Tìm a64?
Câu 8 Giá trị nhỏ nhất của 2
1 ( 1)
a
P a
với a 0 là bao nhiêu?
Câu 9 Tìm số nguyên n biết n2 4n7 là số chính phương
Câu 10 Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7 Đường phân giác
trong của góc A và B cắt nhau tại O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N Tìm chu vi tam giác MNC
II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và góc BAC bằng 600 Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
a Chứng minh tam giác INP đều.
b Giả sử IA là phân giác của góc NIP Tính số đo của góc BCP.
Câu 12 Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước, nếu có 2 số a b, nào đó thỏa mãn a b 2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số
1, 1
a b Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?
Lưu ý: -Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Trang 3- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh……….Số báo danh………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Hướng dẫn chấm
HƯỚNG DẪN CHẤM
Mã 01
Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu 1
Đáp số: a=11; b=13.
Quy luật: Số nằm hằng trên bằng trung bình cộng của hai số nằm hàng kề
dưới
Câu 2 a Đáp số: 28 vì tổng số vàng và xanh là 25 b Đáp số: 7 (theo nguyên lý Dirichle)
Câu 3 Đáp số: 3 vì 4 phân số đó bằng nhau.
Câu 4
Đáp số: 2
Ta có
1 5 2
nên
3 3
9 4 5
(1 5) (3 5) 1 5 3 5
2
Câu 5 Đáp số: n=1; n=3
Câu 6
Đáp số:
1 13 4
PT (2x+3)2 =( 6x 4 +2)2 Với x
2 3
ta có 2x+3 > 0 nên
Pt 2x+1= 6x 4
Câu 7
Đáp số: (x;y) =(1;1); (
1 2
;-2); (
1 21 4
;
5 21 2
);(
1 21 4
;
5 21 2
);
Cộng hai phương trình ta được: (2x-y)2 +(2x-y)-2=0
x y
x y
+) Với: 2x-y=1 y=2x-1 thế vào ta được: x=1, x=
1 2
+) với 2x-y=-2 y=2x+2 thế vào ta được: x=
1 21 4
Câu 8
Đáp số
1 2017
Trang 4Ta có 1
; 1
n n
2
n n
Suy ra 64
2 63.64 2017
Câu 9
Đáp số: 9/4.
Ta có
P
2 .4 2
, có ‘’=’’ khi a=1
Câu 10
Đáp số: 13
Ta có:
13 20
Suy ra
13 (7 7 6) 13 20
MN NC MC
Câu
11a
Do IP=IN =BC/2 tam giác IPN cân tại I
BIP1800 – 2 ABC
NIC= 1800 – 2 ACB
PIN=1800 – (3600 –
- 2(ABC+ACB) )
=1800-1200=600
Vậy tam giác IPN đều
Câu
11b
IA là một phân giác góc PIN , do tam giác IPN đều dẫn đến IA vuông góc với PN và IA cắt PN tại trung điểm K.
Suy ra AK là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác APN, dẫn đến tam giác APN là tam giác cân tại A Suy ra AK là phân giác góc BAC
Từ đó tam giác ABC cân tại A, kết hợp với góc BAC = 600 nên tam giác
ABC đều Vậy BCP =300
Câu 12 Đáp số: 5.
Nhận thấy tổng các số sau mỗi bước là không đổi và bằng 15 và Sn là tổng
bình phương các số sau khi thực hiện ở bước n giảm xuống (do
n n
S S a b a b n)
Do vậy quá trình quá trình sẽ dừng lại ở bước thứ k , với k là số bước tối đa
có thể thực hiện được Ở bước cuối cùng, còn lại x số bằng p và 5 x số bằng p 1 với 0 x 5. Ta có xp (5 x p )( 1) 15 nên 5 | x, suy ra
ở bước sau cùng các số hạng bằng nhau và bằng 3
B
A
M
N
C
P
I K
Trang 5Do đó S k 45. Ta có S0 Sk 2 k nên
1 5 45
5 2
Với k 5, ta có cách biến đổi như sau:
(12345)->(22245)->(22335)->(22344)->(23334)->(33333)
HẾT