On luyen thi vao THPT mon toan

Dạng 7: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.. a Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.[r]

ÔN LUYỆN THI VÀO THPT

Chủ đề 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN.Phần I: Các kiến thức cần nhớ.

Các hằng đẳng thức:

1) (a+b)2 = a2+2a.b+b2

 a b2  a 2 ab b

a b , 0 2) (a – b)2=a2 – 2a.b+b2

 a b2  a 2 ab b

a b , 03) a2– b2 = (a – b).(a +b)

a b  a b a b

a b , 04) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

3 3

a a b b  a  b  a b a ab b

a b , 08) (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

9) ( a b c)2    a b c 2 ab2 bc2 ca a b c , , 010) a2 a

Phần II: Phân dạng bài tập:

Dạng1: Rút gọn biểu thức không có điều kiện.

49 81



 Bài2 Rút gọn:

2 2 22

x

 (với x  2)c) 9x2  2x (với x<0) d) x 4 16 8 x x 2 (với x>4)

Bài3 Cho biểu thức: (2 x y)(2 x  y)

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định

b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên

Bài4 Cho biểu thức:

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.

Bài 1 Cho biểu thức:

2

A x x  x Tính giá trị của A khi x=-5

Bài 2 Cho biểu thức:

Tính giá trị của biểu thức tại x=3 2 2

Bài 5 Cho biểu thức:

Tính giá trị của biểu thức tại x=3 2 2

Bài 6 Cho biểu thức A= 15a2 8 15 16a 

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A khi a=

3 5

5  3

Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.

Bài1 Cho biểu thức: A4x 4x2 12x9

Tính giá trị của x, biết A=-15

Bài 2 Cho biểu thức:

c) Tìm điều kiện của a,b để A=0

Dạng5:Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Tìm giá trị của m để A nhận giá trị nguyên

Bài2 Cho biểu thức:

Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên

Bài 4 Cho biểu thức:

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Dạng 6 Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức.

Bài1 Cho biểu thức:

c) Tính giá trị của x biết A=

13d) Chứng minh rằng A >0

e) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.f) Tìm giá trị của x để A <

14

Bài2 Cho biểu thức:

Bài4 Rút gọn các biểu thức sau:

c) Tìm giá trị của x để A=

1 3

2 Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm

b b

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trướ khi áp dụng các phương pháp giải hệ

Phần II Phân dạng bài tập

Dạng1: Giải hệ phương trình không chứa tham số.

Bài1 Giải các hệ phương trình sau.

(2)(1)

(1)(2)

a)

1

42

Dạng2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số.

Bài1 Cho hệ phương trình.

2 2

a) Giải hệ phương trình với m=2;n=1

b) Giải hệ phương trình với m=1;n=-3

Dạng3: Giải biện luận phương trình có chứa tham số.

m y

Dạng5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình.

D.5.1: Tìm 1 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình

Thay x=x0; y=y0 lần lượt vào (1) giải

Thay x=x0; y=y0 lần lượt vào (2) giải

(2)(1)

Giải:

Thay (x;y)=(1;-2) vào(1) ta có: 3.1-2.(-2)=7 thoả mãn

Vậy (x;y)= (1;-2) là nghiệm của pt(1)

Thay (x;y)=(1;-2) vào(2) ta có:(5n 1) 2(n 2)n2 4n 3

VD2 Cho hệ phương trình

2 2

Giải

ĐK để hệ có nghiệm duy nhất là

12.5 ( 1) 4

3

m m  m m

Thay x=1;y=3 vào(1) ta có:5m2 5m m  1 4m4m2  m2  1 m (I)1

Thay x=1;y=3 vào(2) ta có:

D.5.2: Tìm 2 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình.

Vậy với m=2;n=5 thì hệ có nghiệm x=3;y=-1

Dạng6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.

(2)(1)

(2)(1)

 (I) có nghiệm thoã mãn px+qy=d (3)

+ Do (x;y) là nghiệm của hệ (I) và thoã mãn (3)

Suy ra (x;y) là nghiệm của (1),(2),(3)

+Kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất

+Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại.Giải pt chứa ẩn là tham số

vào y=5 –mx ta có: y=5 – 9 = -4

Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm

9

x m

m m

(2)(1)

Vậy với m=1 hoặc

9 5

m 

thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoã mãn pt(3)

Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên.

m 

)Thay vào y = mx – 1

Kết luận: m  để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1.

m y

(2)(1)

(2)(1)

+) 6 – m = 1  m5 thay vào (3) ta có y = -6 (thoã mãn)

+) 6 – m = -1  m7 thay vào (3) ta có y = 18 (thoã mãn)

+) 6 – m = 2  m4 thay vào (3) ta có y = 0 (thoã mãn)

+) 6 – m = -2 m8 thay vào (3) ta có y = 17 (thoã mãn)

+) 6 – m = 4  m2 thay vào(3) ta có y = 3 (thoã mãn)

+) 6 – m = -4  m10 thay vào (3) ta có y = 9 (thoã mãn)

Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m  2; 4;5;7;8;10

Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

VD1: Cho hệ phương trình

2 2

b) Tìm m để biểu thức x2 +3y + 4 nhận giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

Giải

a) Do m  với mọi m nên m2 0 2 + 2>0 với mọi m Hay m   với mọi m.2 2 0

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

m 

VD2: Cho hệ phương trình

2 2

Thay x =2m; y = m+2 vào A ta được: A2(m2)2 (2 )m 2 2(m2  4m 4)

2( 4 4 8) 2( 4 4) 16 2( 2) 16 16

A m  m   m  m   m   Do 2(m 2)2  với mọi 0

m Vậy MaxA = 16 khi m = 2

Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào tham số.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

y m

x





thay vào (2) ta có: 2x28x15y9y2 0.Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

VD3: Cho hệ phương trình

2 2

Bài2 Giải hệ phương trình:

2 1 1

21

11

Bài5 Cho hệ phương trình:

Bài 6 Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình với m = -1.

Bài8 Cho hệ phương trình:

Bài10 Cho hệ phương trình:

2 2

Phần II Phân dạng bài tập.

Dạng 1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số.

Bài 1 Giải phương trình: x2 5x6 0

Bài 2 Giải phương trình: 3x2 12x 6 3 0

Bài 3 Giải phương trình: x2 2( 3 1) x2 3 0

Dạng 2: Tìm giá trị tham số khi biết số nghiệm của phương trình.

- Đặt điều kiện ax2 bx c 0(a 0)

- Tính ( ') 

- Để phương trình vô nghiệm thì  0( ' 0) 

- Để phương trình có nghiệm kép thì  0( ' 0) 

- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì  0( ' 0) 

Tổng quát: Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Cách 1: Chứng minh a.c <0 Cách 2: Chứng minh

0 0

Bài 1 Cho phương trình: x2 (2m3)x m 22m  1 0

a) Tìm m để phương trình vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 2 Cho phương trình: (m3)x22(m5)x m  1 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 4 Cho phương trình: (2m 10)x2 (3m 15)x m   (1)1 0

Vậy phương trìng có nghiệm kép khi m = 53

Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 1 Cho phương trình: 7x2  (3m1)x m 2 1 0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Giải

Ta có: a.c = 5.(-m2 – 1) = - 5(m2 +1) < 0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bài 2 Cho phương trình: x2 2(m3)x2m 4 0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Giải

Ta có:  ' (m3)2 (2m 4)m2 4m  4 9 (m2)2 9 0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 3 Cho phương trình: (m2  m3)x2 2(m3)x 5 0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 bx c 0.

Tổng quát:

+) Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx+c = 0

- Nếu b 0 thì phương trình có nghiệm

c x b



- Nếu b = 0 và c 0thì phương trình vô nghiệm

- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

+) Với a 0thì phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số:

- Nếu  0( ' 0)  thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2

Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?

Bài 1 Cho hai phương trình: x2 x m0 và x2 mx 1 0

a) Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung

b) Xác định m để hai phương trình trên tương đương

Bài 3 Xác định m để phương trình sau vô nghiệm (m2 1)x2 mx 5 0

Bài 4 Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR phương trình sau vô nghiệm

Bài 6 Cho phương trình: (5m21)x2(31m 13)x 6 0

CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 7 Cho phương trình: x2 2(m 4)x 6m 1 0

CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 8 Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.

- Chú ý: Vxuôi = Vthực + Vnước ; Vngược = Vthực + Vnước.

Bài 1 Hai người đi trên hai con đường vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc

từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km Tìm vận tốc và quãng đường biết rằng nếu hai người đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngược chiều nhau thì mỗi giờ họ cách nhau 7km

Bài 2 Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định Nếu

người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1giờNếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2giờ sovới dự định Hỏi người đó đi với vận tốc và thời gian dự định bao nhiêu?

Giải

Gọi vận tốc mà người đó dự định đi là x (km/h) (x >0)

Gọi thời gian mà người đó dự định đi là y (h) (y >0)

Vậy vận tốc người đó dự định đi là 30km/h, thời gian dự định đi là 4giờ

Bài3 Hai bến sông A và B cách nhau 240km Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến địa

điểm C nằm chính giữa hai bến A và B, cùng lúc đó một ca nô ngược dòng từ B đến C

Ca nô từ A đến C trước ca nô từ B đến C 1giờ Tìm vận tốc của dòng nước, biết vận tốc thực của hai ca nô bằng nhau và bằng 27km/h

Dạng 2: Lập số.

10

ab a b Điều kiện: 0 a 9;0 b 9,a b  ,

100 10

abc  a b c Điều kiện: 0 a 9;0b c, 9,a b c  , ,

Bài 1 Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai chữ số

ta được số mới có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 280 Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta được số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị

Giải

Gọi số cần tìm là: ab10a b Điều kiện: 0 a 9;0 b 9, a b ,

Do khi thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 280 đơn vị nên ta có: a b ab1  280 100a10 b 10a b 280 a3 (1)

Do khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên ta có:

ba ab   b a  a b   b a  (2)

Từ (1) và (2) ta có a = 3; b = 5

Vậy số cần tìm là 35

Bài2 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng

chục 4 đơn vị Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 3 và

dư 7

Giải

Gọi số cần tìm là: ab10a b Điều kiện 0 a 9;0 b 9,a b  ,

Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có: b – a = 4 (1)

Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thươnglà 3 và dư 7 nên ta có:

Dạng 3: Toán làm chung làm riêng.

+) Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị

+) Tìm trong một đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao nhiêuphần công việc

Phần công việc bằng 1/thời gian

Bài 1 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8giờ thì xong Nếu người thứ nhất

làm trong 6giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong việc?

Giải.

C1:

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình thì xong việc là: x (giờ) (x >0)

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình thì xong công việc là y (giờ) (y >0)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được:

1

x (công việc)Trong 1 giờ người thứ hai làm được:

1

y (công việc)Trong 1 giờ cả hai người làm được

6

x (công việc)Trong 9 giờ người thứ hai làm được:

9

y (công việc)Theo bài ra ta có phương trình:

2424

Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là 24 giờ

người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là 12 giờ

C2:

Gọi số phần công việc người thứ nhất làm trong một giờ là: x (x >0)

Và số phần công việc người thứ hai làm trong một giờ là y (y >0)

Do hai người làm chung trong 8 giờ thì xong việc nên ta có:

người thứ hai hoàn thành công việc là 12 giờ

Bài 2.

Trong một bể nước có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào Nếu mở cùng hai vòi thì sau 6 giờ sẽ đầy bể Hỏi vòi chảy vào chảy trong bao lâu thì đầy bể Biết rằng thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn vòi chảy ra hết bể nước đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vòi không đổi

Dạng 4 Toán diện tích.

Bài 1

Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích sẽ tăng thêm 88m2 Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích sẽ tăng thêm 18m2 Tìm kích thước hình chữ nhật

Giải.

Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là x (m) (x >0)

Và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là y (m) (y >0)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x.y (m2)

Do khi tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng 88m2 nên ta có pt:

Bài 2

Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm được 900 sản phẩm Sang tháng 2 do sự thay đổi nhân

sự nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I, số sản phẩm của

tổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II Vì tổng số sản phẩm trong tháng 2 của

cả hai tổ là 960 sản phẩm Hỏi trong tháng 1 mổi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?Giải

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng 1 là x (sản phẩm) (x0,x )

số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng 1 là y (sản phẩm) (y0,y )

Do cả hai tổ sản xuất trong tháng 1 được 900 sản phẩm nên ta có:

900

x y  (1)

Trong tháng 2 tổ I sản xuất được: 0,90.x (sản phẩm)

Trong tháng 2 tổ II sản xuất được: 1, 20.y (sản phẩm)

Do tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm nên ta có:

Vậy trong tháng 1 tổ I sản xuất được 400 sản phẩm, tổ II sản xuất được 500 sản phẩm

Dạng 5: Toán mang yếu tố Vật lí.

Vậy độ lớn của điện trở thứ nhất là 12Ω, độ lớn của điện trở thứ 2 là 6Ω

Dạng 6: Toán năng suất kế hoạch.

+) Gồm 3 đại lượng: Tsp; Ns, t

+) Quan hệ: Tsp = Ns.t;

Tsp t

Ns



,

Tsp Ns

(loại)

đó trước thời hạn là 6 giờ Hỏi mỗi giờ tổ công nhân dự định làm được bao nhiêu sản phẩm?

Dạng 7: Toán có quan hệ hình học.

Bài1.

Cho tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ 4:3 Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết một cạnh góc vuông của tam giác có độ dài là 14cm

Bài2.

Cho biết một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 24cm và cạnh huyền

là 50cm Tìm độ dài hai cạnh góc vuông?

Dạng 8: Toán phần trăm.

Bài1.

Trong một kho giấy có 1500 tấn giấy loại I và loại II Sau đó người ta bổ sung vào kho thêm 255 tấn giấy cả hai loại, trong đó giấy loại I bằng 15% lượng giấy loại I trong kho,giấy loại II bằng 20% lượng giấy loại II trong kho Hỏi ban đầu lượng giấy loại I và loại

II trong kho là bao nhiêu?

Dạng 9: Toán quan hệ giữa hai số.

Bài tập tổng hợp.

Bài1

Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh Anh Quang góp vốn 15triệu đồng, anh Hùng góp 13triệu đồng Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp Hãy tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng?

HD: Gọi số lãi anh Quang là x (triệu đồng, x >0)

Gọi số lãi anh Hùng là y (triệu đồng, y >0)

Trong phòng học có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không

có chỗ Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế Hỏi lớp học có bao nhiêu ghế và baonhiêu học sinh?

HD:Gọi số ghế là x (x  *) Gọi số học sinh là y (y  *)

Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định Nếu giảm 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?

HD:Gọi số thợ cần thiết là x (người, x  *) Gọi thời gian cần thiết là y(ngày,y  *)Lập được hệ:

Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ Thu hoạch được tất

cả 460 tấn thóc Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3ha lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4ha lúa giống cũ 1tấn

HD: Gọi năng suất trên 1ha của giống lúa mới là x (tấn, x >0)

Gọi năng suất trên 1ha của lúa giống cũ là y (tấn, y >0)

Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600 km Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng

đi Hà Nội Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội đi Đà Nẵng với vận tốc lớnhơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h, nó đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc của mỗi máy bay?

HD: Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là x (km/h, x >0)

Khi đó vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h)

HD: Gọi vận tốc của xuồng máy khi đi trong hồ yên lặng là x (km/h, x >3)

Khi đó vận tốc của xuồng máy khi xuôi dòng là : x+3 (km/h)

Vận tốc của xuồng máy khi ngược dòng là: x – 3 (km/h)

1) Khái niệm về hàm số(khái niệm chung)

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho ứng với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số

Ví dụ: y = 2x; y = -3x+5; y = x2; ……

Chú ý: