Hình vẽ: aDựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a tại và đi qua A: -Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AT.. -Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a tại T.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP KỲ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN CẤP THCS
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
77n +2 − 77 n chia hết cho 76 và 78 (với mọi số nguyên n)
Bài 2: (2,5điểm)
Tìm các giá trị nguyên của x,để phân thức sau có giá trị là số nguyên:
A ¿ 2 x3− 6 x2
+x −8
x −3
Bài 3: (3,5điểm)
Cho biểu thức :
P ¿[1 − x −3√x
x − 9 ]:[√x − 3
2 −√x+
√x −2
3+√x −
9− x x+√x − 6] a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P = 1
Bài 4: (3điểm)
Hãy xét tính biến thiên(đồng biến và nghịch biến) của hàm số bậc nhất:
y¿ m
m+1 x −2 (m−1 ;m≠ 0)
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,và K là trung điểm của GC
a) Chứng minh: ADDK
b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 6: (5điểm)
Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b tại H Trên đường thẳng a lấy điểm T,trên đường thẳng b lấy điểm A
a) Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a tại T và đi qua A
b)Vẽ đường kính AC.Tia CT cắt đường thẳng b tại B.Chứng minh tam giác ABC cân
c) Cho AH = h, HT = x Tính bán kính R của đường tròn theo h và x
HẾT
Trang 2PHÒNG GD & ĐT TÂN HIỆP KÌ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG HUYỆN
Đề chính thức Năm học: 2013-2014
Đáp án Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kề thời gian giao đề)
1 Chứng minh:
77n +2 − 77 n chia hết cho 76 và 78 (với mọi số nguyên n)
77n +2 − 77 n ¿ 77n.772− 77 n=77n(772−1) 1
¿ 77n(77 −1) (77+1)¿ 77n.76.78 chia hết cho 76 và 78
Vậy77n +2 − 77 n chia hết cho 76 và 78 (với mọi số nguyên n) 1
2 A ¿ 2 x3− 6 x2
+x −8
x −3 ¿2 x
2 +1 − 5
x −3
Để A có giá trị là số nguyên thìx −35 phải có giá trị là số nguyên
⇒x-3 là các ước của 5
1
0,5 hay: x − 3=− 1 ⇔ x=2
x − 3=1⇔ x=4
x − 3=5⇔ x =8
x − 3=− 5⇔ x=−2
Vậy: x=− 2;2 ;4 ;8 thì A có giá trị là số nguyên 1
3 a) Rút gọn biểu thức P:
ĐK: x ≥ 0 , x ≠ 9 , x ≠ 4 (*)
P ¿[1 − x −3√x
x − 9 ]:[√x − 3
2 −√x+
√x −2
3+√x −
9− x x+√x − 6]
¿[3√x −9
x − 9 ]: ¿
¿[ 3(√x −3)
(√x − 3)(√x +3)]: ¿
√x+3].[ √x+3
√x − 2]= 3
√x −2
0,5
1 0,5
0,5 b) Tìm các giá trị của x để P = 1
P¿ 3
√x −2=1⇔√x − 2=3 ⇔√x=5 ⇔ x=25 (Thỏa mãn đk (*)) 1
4 Xét tính biến thiên(đồng biến và nghịch biến) của hàm số bậc
Trang 3nhất: y¿ m
m+1 x −2 (m−1 ;m≠ 0)
Hàm số xác định với mọi x¿∈
Xét dấu của m+1 m : Có thể lập bảng:
m - -1 - 0 +
m+1 - 0 + 1 +
m
m+1 + | - 0 +
0,5
0,5
y¿ m
m+1 x −2 có dạng y¿ax − 2.Ta có: y1=ax1−2, y2=ax2−2
Cho
x2
¿x1
¿
¿
⇒x2- x1
0 -Nếu a0 thì y2− y1=a (x2− x1)
0 hàm số đồng biến
-Nếu a < 0 thì
0
¿y2− y1=a (x2− x1)
¿
¿
hàm số nghịch biến
Vậy hàm số đồng biến khi m < -1 và m > 0 và hàm số nghịch
biến khi -1< m < 0
0,5 0,5 0,5 0,5
5 Hình vẽ:
F
K E
D
G
C B
A
a)Chứng minh ADDK:
Ta có DG=1
3AD=
1
3× 36=12(cm);BG=
2
3BE=
2
3× 15=10(cm);
GC=2
3CF=
2
3×39=26(cm)
0,5
0,5
Trang 4DK là đường trung bình tam giác BGC nên:
DK=1
2BG=
1
2× 10=5(cm) và GK=1
2GC=
1
2×26=13(cm) Tam giác DGK có DK 2 +DG 2 =5 2 +12 2 =13 2 =GK 2
⇒Δ DGK vuông tại D, hay ADDK
0,5
0,5 0,5
b) Tính diện tích tam giác ABC:
BG // DK, ADDK ⇒ ADBG
SABC=SABD+SADC; SABD= 1
2BG × AD=
10 ×36
2 =180(cm
2 )
SABD=SADC⇒ SABC =2 SABD=2 ×180=360(cm 2
)
0,5 0,5 0,5
6
Hình vẽ:
h
T
O A
B H b a
a)Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a tại và đi qua A:
-Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AT
-Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a tại T
-Giao điểm O của hai đường thẳng trên là tâm đường tròn
(O;OA) hay đường tròn (O;R) là đường tròn cần dựng
0,5
0,5 0,5 0,5
b) Chứng minh tam giác ABC cân:
ΔATC có trung tuyến TO bằng nửa AC nên ΔATC vuông tại T
hay ATBC
OTa, AB a ⇒ OT// AB Mặt khác OA=OC ⇒TB=TC
ΔABC có AT vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên
ΔABC cân tại A
0,5 0,5 0,5
c) Tính bán kính R của đường tròn theo h và x:
ΔAHT vuông tại H nên: AT2=HT2+ AH2=x2+h2
ΔATB vuông tại T và TH AB nên AT 2 =AB× AH
Ta có AB=AC=2R ⇒x2
+h2= 2 R.h ⇒R= x
2 +h2
2 h
0,5 0,5 0,5
Trang 5*Lưu ý: Học sinh có thể giải theo cách khác,thang điểm được tính tương ứng
theo từng phần