de thi toan 9

Hướng dẫn chấm này có 03 trang Yêu cầu chung: Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điể[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 2/11/2015

Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)

Bài 1: (4,0 điểm) Cho

2 x 9 2 x 1 x 3

x 5 x 6 x 3 2 x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để A =

1 2



Bài 2: (4,5 điểm)

a) Tính 8 2 15  8 2 15

b) Cho x2 – x – 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức:

x 3x 3x x 2015 P

x x 3x 3x 2015

   



c) Giải phương trình: 2

3x

x 9

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2

không thể là số chính phương

Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng:

a) SABC =

1

2 AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.

b) tanB.tanC =

AD

HD

c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF

d)

1 AB.AC  BC.BA  CA.CB  .

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2y2  y2z2  z2x2 2015

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T

y z z x x y

  

Hết

Họ tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị không giải thích gì thêm

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016

MÔN : TOÁN

Hướng dẫn chấm này có 03 trang

1 Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng

2 Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm

II Yêu c u c th : ầ ụ ể

1

a(2,0đ)

2 x 9 2 x 1 x 3 A

( x 3)( x 2) x 3 x 2

2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)

( x 3)( x 2)

2 x 9 2x 4 x x 2 x 9 x x 2

( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 2)( x 1) x 1

( x 3)( x 2) x 3



Vậy

x 1 A

x 3





 với (x 0, x 4, x 9)   

0,5 0,5 0,5 0,5

b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9)   Ta có:

1

3 x 1 x (t / m)

9





Vậy A =

1 2



 x =

1

9

0,5 1,0 0,5

2

a(1,5đ) Ta có 8 2 15  8 2 15

5 2 15 3 5 2 15 3 ( 5 3) ( 5 3)

5 3 5 3 2 3

1,0 0,5

b(1,5đ) Ta có: x2 – x – 1 = 0  x2 – x = 1  (x2 – x)3 = 1

 x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1

Mặt khác: x2 – x – 1 = 0  x2 = x + 1

 x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.

1 2015 2016

1

1 2015 2016

0,5 0,5 0,5

c(1,5đ) ĐK: x2 – 9 > 0 

3 3

x x







 



+ Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x    72   6  72 0 

0,25 0,25

Đặt

2 2

x

t (t 0)

x 9

 , được phương trình: t2 6t 72 0    t 6  Khi đó:

2 2

x

6

x  9   x4 – 36x2 + 324 = 0  x2 = 18

Trong trường hợp này tìm được: x 3 2

+ Nếu x < –3: Khi đó: 2

3

0 6 2 9

x x

x

 : PT vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x 3 2

0,25 0,25

0,25 0,25

3

a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6)

Thử với n = 1; 2; 3 thì F đều không chia hết cho 125.

Thử với n = 4 thì F = 0 chia hết cho 125.

Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n = 4.

1,0 0,5 0,25 0,25 b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2

= n4(n2-1) + 2n2(n+1)

= n2(n+1)(n3-n2 +2)

= n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)]

= n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1]

Ta có: (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1)

 (n-1)2 +1 không thể là số chính phương

Vậy A không thể là số chính phương

0,5

0,5 0,5 0,5

* Ta có: SABC =

1

2 .BC.AD.

ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC =

1

2 BC.AB.sinA.

ABE vuông ở E có AE = AB.cosA

BFC vuông ở F có BF = BC.cosB

ACD vuông ở D có CD = AC.cosC

Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

1,0

1,0

b(1,5đ) Xét ABD có tanB =

AD

BD ; ACD có tanC =

AD CD

0,5

A

H

D

E F

suy ra tanB.tanC =

2 AD BD.CD (1)

Do HBD CAD  (cùng phụ với ACB) nên BDH  ADC (g.g)

 BD.DC = DH.DA Kết hợp với (1) được tanB.tanC =

2

DH.AD DH.

0,5 0,5

c(1,5đ) Chứng minh được AEF  ABC (g.g)  AEF ABC 

Tương tự được CED CBA  nên AEF CED  mà BE  AC

AEB CEB

  = 900 Từ đó suy ra FEB DEB   EH là phân trong

của DEF

Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DEF nên H là giao ba

đường phân giác trong của DEF

0,5

0,5 0,5 d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC

Dễ thấy CHE  CAF(g.g)

BHC BHC ABC ABC

Tương tự có

CHA CBA

BC.BA S ;

HAB CAB

HA.HB S CA.CB S

Do đó:

BHC CHA AHB BAC CBA ACB

1

0,25

0,25 0,25

0,25

5

Đặt a  x2y ; b2  y2z ;c2  z2x2  a;b;c 0 và a b c 2015   

Ta có: a2b2c2 2(x2y2z )2 

Do đó: (y z) 2 2(y2z ) 2b2  2  y z  2b 

y z 2b 2

 



Tương tự:

,

z x 2c 2 x y 2a 2



T

(a b c )

a b c

 

2

(a b c)

a b c

       

(a b c)(a b c)

a b c

         

0,25 0,25 0,25

0,5

1 2015 2015 2015.9

Dấu đẳng thức xảy ra khi

2015

a b c

3

  

Vậy

2015 min T

2 2



khi

2015

x y z

3 2

  

0,25

Người làm đáp án: Người thẩm định:

1

2 Người duyệt: