Phuong trinh sai phãn tuyén tính càp mot Ph C0tig trính sai phán tuyé“n tính cap mot lá phuong trinh sai phán dang trong dó o, h, et là cãc hang so, ri, 0 và /q là bieu thúc cúa ri cho t
Trang 1Chuong 2
PHHONG TRÍNH YÀ HÇ PHCONG TRÍNH TRONG DÃY SÉÍ
M.J PliUong fririfi soi pfiôn f izyeri fíiih uói fim sô’hong
2.2 He phHong t r i s h vai p h â o tuyen tinh vâi he nô“hong
2.8 Phu:org t r i s h sai p h â n tuyéú tirem uôi me sô“bién tliiên
S.4 Pli u:ang trính sai pliân dqng pliân f izyéri fírih dói h só“fil
mg
5 Tuyên tinh lioá mot sô“ pIsUO trlrsh sai phârs
6 Php:ang trlrsli sai p h â n chú:a tham biêrs
£ 7 Mot sô“dpmg phHorsg t r i s h sai phârs pitt tuyêh d ri biet
8 DÕy sô“ri EuyêÉ dôi cán phép tioh sô“Doc
9 Dôy sô’c hityéri dôi cán d i i lUctng trursg bí rsh
2 10 fim bang tririh trorig dãy sô“uâi ri p bién f do
2 11 Mot sô‘ bài toán liên quan dêri dqreg truy hot dfe biet
1 Phuong trinh sai phãn tuyén tính vói he so hàng
Duói day ta trinh bay mot so phuong trinh, he phuong trinh sai phan co ban va phuong phap giai chung (khong neu cźch chńng minh)
1 Phuong trinh sai phãn tuyén tính càp mot
Ph C0tig trính sai phán tuyé“n tính cap mot lá phuong trinh sai phán dang
trong dó o, h, et là cãc hang so,
ri,
0 và /q là bieu thúc cúa ri cho truóc
Ding 1
fim uq thoà mãn diéu
kien
Trang 2www.VNMATH com
Càc phép toòn tréii dày só“
Giài phuong trình dac trimg c à + b = 0 de tìm à Khi dó u, = q à ‘ (
là
hang sér), trong dó q duoc xàc dinh khi
-Bài toàn 1 Xàc dinh so hang tong quàt cùa crip so nhàn, biet rang so hang dau tièn bing 1 và cóng bói bang 2
Còcli giài. Ta có
2 Vày uq c2‘ Tip u, 1 suy ri Phuong trình dac trung có nghiem à C
= 2 Do do uq = 2 “ '
Dang 2
kim uq thoà màn dieu
kien
trong dó /q là da thúc theo
ri,
Giài phuong trình dac trimg a,5 b — — 0 ta tìm ducic À Ta có uq = ù,
u trong dó ùq là nghiem tong quàt cùa phuong trình thuan nhàt ri u,+, + ò.u, — và u, là nghiem rieng tùy y cùa phuong trình khong thuàn nhat nuq+, +buq — Vày ù, = q à“, q là hang so se ducic xàc dinh sau
Ta xàc dinh u, nhu sau :
a) Neu à 1 thì uq là da thùc cùng bàc
b) Neu à = 1 thì u, = ri Sq Vól pq là da thùc cùng bac vói Jq
Thay u., vào phuong trình, dong nhat càc he sér, ta tinh duoc càc he so c
Bài toàn 2 kim uq thoà man diéu kien
122
Trang 3Cóc phćp toón tren daty só“
Cócłs giń i Phuong trinh da)c trimg z — 1 = 0 có nghi6m z — 1 Ta có uq =
ńq + uj, trong dó ńq = c 1‘ = c, u j = rr(on + ó) Thay u j vao phuong trinh,
ta dupc
(» + i)(•(rr + i) + tJ = =(«» + r) + 2•.
Vói rr = 1, ta dupc 3s + h — 2 Vói rr, = 2, ta du9c So + ó = 4 Suy
ra
O = 1, = —1
Do dó uq = rr(rr, — 1)
Ta có uq = ńq + u \ = c + rr.(rr, — 1) Ci u, = 2 nen 2 = c + 1(1 — 1)
V y uq = 2 + rr,(rr, — 1), hay u_ = rr,' +
2 Dang 3
jim uq thoż man dieu kien
Ph u:ang p hóp gińi.
Giái phuong trinh dãc trung nÀ + õ = 0 de tim A Ta có uq = úq + uj, trong dó
úq = cÃ", c là hãng so chua dunn xác dinh, uj duoc xác dinh nhu sau : a) Neu À Ji thi uj = A;i ‘
b) Neu à = ¿i thi uj = Aug".
Thay uj vào phuong trinh, dong nhát các he so tính dupc các he só cúa uj Biet
u „ Iii h thúc up = úq + uj, tính duoc c
Bńi toón 3 jim uq thor man dieu kien
Cóclì gi‹ii Phuong trình drac trifng À — 3 = 0 có nghiem
uq = ùq -i- u , trong dó ùq = c.3‘ và u =
e.2‘
Thay u = e.2" vào phuong trình, ta thu dimc
rr.2‘+'
12
Trang 4Tim ng thổ män dieu
kien
trong dư / ladathuctheo n vara -
rp’
Ta cĩ uq = ùq + u j + uj‘, trong dĩ ùq là nghiem tong quàt cùa phuoi trình thuàn nhiit onde, + ịuq = 0 , uj là mot nghiem rièng cùa phuong trìi khĩng thuàn nhlit nude, + ịuq = J q , u\‘ là nghiem riéng bàt ky cùa phuoi trình khịng thuàn nhàt euro, + 6uq = /,q
Bäi tộn 4 jim ng, biet
«, = 1, u,„ = 2«,+n?+2.2’, » c k’. C‹icf i gi‹ii Phuong trinh da) c trimg — 2 = 0 cư
nghiem
= 2 Ta
2 +
ng = Og -I- uj + uj’, trong dư Og = c 2‘, uj u, + c, u j ‘ = An 2".
Thay uj väo phiiong trlnh uq+, = 2uq + n,', ta diicic
o(n + 1)' + ư(n + 1) + c = 2n + 2 2hn -I- 2c + u,'
Cho ii = 1, ta duoc 2o — c = 1 Cho n = 2, ta dupc o — ư — c =
o = 3, ta duoc 2o + 2h + c —9 Suy ra n —1, 6 —2,
c
= — ,' — 2 , — 3
Thay uj’ vio phuong trinh uq+, = 2uq + 2.2‘, ta duoc
www.VNMATH com
Cåc phep tổn tren däy sư“
Dang 4
A(n, + 1)2“+' — 2A .2‘ +
2.2‘
Do dư ng = c.2‘+(—r.‘ —W, =3) + 3s.2“ 1 Ta cư u, = 1 nen 1 = 2c — 2 +
3 •
124 2A( -1- 1) = 2A + 3 A — — 3
2
Trang 5C!òc phép toón trén dày só“
2.1.2 Phuong trình sai phàn tuyén tinh càp hai
Phitong trinh sai phän tuye!n ttnh cÖp hai lä phuong trinh sai phän dang
u = ci, u3 = ¿i, euro -1- ò -I- cupa = pq , ri C N‘,
trong dó c, b, c, v, p là càc hang so, e 0 và gg là bieu thùc chùa ri cho truóc
Dang 1
kim uq thoà màn dièu kien
R p Op t
Ot
dó A va B duoc xic dyih khi biet • •a •
Giài phuong trình dàc trimg oÀ' -I- óÀ -1- c — 0, tìm à
a) Neu và À là hai nghiem thuc khàc nhau thì uq
— — A
B 5 , trong
b) Neu A
và 2 là nghiem thtrc kép, à, = à = à thì uq = (A + B n.) 5",
trong dó A và B duoc xàc dinh khi biet u và u
c) Neu à là nghiem ph ùc, à = z + ip, thì ta
dàt
Lùc dó A = r(cos ‹,ri -I- i sin ‹,ri) và uq = r ‘( A cos n‹p + B sin n‹p), trong dó A
vàB duoc xàc dinh khi biet
Bài toàn 1 kim uq , biet
Cóch giòi Phuong trình drac trimg 2 à + 1 = 0 có càc nghiem
phùc
Trang 6Suy ra
Tacó
3
Ket hpp (1) và (2) ta duoc he phuong trình có
nghiem
Dang 2
72 >
2
Tìm uq , biet rang
If j = O, uQ = , O1Iq+} + òIIq + ctlq j =
Jq , trong dó e, 0, fg là da thtic theo ri cho truóc.
www.VNMATH.com
Cóc phép toàn trén dóy só“
Ta có
B sin
à = cos + i
sin
2r
3 "
sin —
2 +
Giài phuong trình drac trimg + c = 0 dé tìm à Ta có uq = ùq + u)
trong dó n là nghiem tong quàt cùa phuong trinh thuàn nhàt nude, + òuq
c q-, = 0 và uj là met nghiem riéng tùy ) cùa phuong trình khóng thuàn nh
°° + + ò° + += — = f• (f •
0).
126
3
1 A + B O = 2, (1
2 2 = 0 — A + B -
2
Trang 7www.VNMATH com
Cóc phép toón trén dày só“
Theo Dang 1 ta tìm dupc fiq , trong dó he s6 A và B chua duoc xàc dinh,
uj
drac xàc dinh nhu sau :
a) Neu à1 thì uj là da thùc cung bàc vói fg.
b) Neu à = 1 là nghiem don thì uj = agg, pq là da thùc cùng bàc vói J» c) Neu à — 1 là nghiem kép thì uj = ri'.pq , pq là da thùc cùng bàc vói
fg.
Thay uj vào phcong trình, dong nhàt càc he so, tinh duoc càc he so cùa uq
Biet by *z tÌÌ he thlÌC Itp = ùq + u j tinh duoc A, B
Bài toàn 2 Xàc dinh u „ biet rang
U{ = 1, tti = 0, Uq+ — 2Un + Itn= i — II + 1, ?2 2
Cóch giòi Phtrong trình drac trimg à ' — 2à + 1 = 0 có nghiem kép À —
có uq = ùq + uj , trong dó ùq = ( A + Bn) 1" = A + Bn và uj
Thay uj vào phuong trình, ta duoc
(n 1)' o(• + i) + °) — 2•'(n• + ö)
(n, — i)' °(*— i) + ö] = •
i.
Oho u, = 1, ta duoc
4(2n + b) — 2(o + h) = 2 m 3o + h = 1.2h =
3
Cho n = 2, ta duoc
9(3o + h) — 8(2o + 6) + (n
h) — 3 w 12n
Ket hpp (3) vä (4), ta duoc he phuong trinh cö
nghiem
=i = 1 A +
B
6'
Vày
Do dó
Ta có
= 1 A + B =
(3 ) (4 )
Trang 8www.VNMATH com
Càc pliép toàn trén d òy só“
Giài he (5) và (6), ta dupc
Dang 3
A — —
4,
2 Giài phunng trình dac trung À c = 0, tìm
à
Ta có ri, = ùq + uj, trong dó ùq duoc tìm nhu dang 1, he so A và & chua duo ‘“
xàc dinh, u,q duoc xàc dinh nhu sau :
Thay uj vào phuong trình, dùng phuong phàp dong nhat càc he so se tinh duc he
so k
Biet u › •2 tit he thuc uq = ùq -1- uq tinh duoc A, B
Bài toàn 3 kim uq , biet rang
B — — —
Cóch giòi Phaong trình dàc trimg À' — 2à + 1 = 0 có nghiem kép À = 1
Ta có uq = fiq + uq trong dó ùq = ( A + Bn) I — — A + Bn và uq = t-
2“
Thay u, vào phuong trình, ta duoc
t 2“" — 2t-.2“ + t-.2“' = 2.2‘ t-
= 6
128
Trang 9www.VNMATH com
Càc phép toòn trén dày só“
trong dé ri 0 , /p là da thùc theo ri, và pq =
vp,‘
Ta có nq =
ùq
u, + uq" trong dó ùq là nghiem tong quàt cùa phuong trình
thuan nhat o,uq+, + boy cuq = 0, uq là nghiem riéng tuy y cùa phuong
cùa
khòng thuàn nhat o,uq+ + òuq +
cuq phUnng trình khong thuan nhat
Bài toàn 4 kim up, biet rang
Cócfi gińi Giai phuong trinh dac
trimg
2 22 — 3 = 0, ta duoc
2
—1, 3 Ta co
trong dó
ùq = A (— I)‘ + B 3‘, ug — ne, + ò, u” = k 2‘.
Thay uq và uq‘ vào phuong trình uq+ — 2uq — 3u — = ri, ta dupc e(ri + 1) + ò — 2(e.ri, + ò) — 3 o(ri — 1) -I- ò] = ri m (4n -1- 1)a, — 4(e — ò) = 0
c = 0
0 = A + 2B + 24
Tu dó, ta duoc A — — 2 , B —— —13 Vày
= 2 — 13 , + 2 2“+'
Dang 4
4 12
Trang 10Thay uq‘ vào phuong trình uq+ — 2uq —
3uq
= 2“, ta duoc
Do dó
Ta có
Giài he phiinng trình (7) và (8), ta
duoc
Vày
www.VNMATH com
Càc pliép toàn trèn dóy só“
Do dó
k,.2“+ — 2 k 2“ — 2 k, 2 “ ' = 2“ w
k, —
-2.2’ =
—
n+
l
Dang 5
kim u,, biet rang
Pltifcriig pha“p giòi.
48 '
_25
3-+ 48
1 4 2
B — —
Giài phuong trình dac trong 2
+ À + c = 0 tìm à.
9B
—
2 3
12’
— A + 3B =
17
Trang 11Cóc phép toán trén dáy só“
Ta có uq = ùq + uq , trong dó ùq là nghiem tong quàt cùa phuong trình thuan nhat,
xàc dinh nhu ò dang 1, càc he so 4 và B chua duoc xàc dinh,
Thay uq vào phuong trình, dong nhat càc he so, tinh duoc k 1.
Tù he thùc uq = ùq + u j và =2 ta tinh duoc A và B
B á i toán ii j i m uq, biet rang
Cách giái Ci’u’i phuong trính dac trimg 2 — 22 1 = 0, ta duoc nghiem kép
Ta có uq = úq + ug, trong
dó
Thay u våo phuong trinh uq+ — 2uq -I- uq— = sin n., ta thu duoc
k, con(n.+ I) I, sin(n -l— I) — 2(k, con n,+I, sin n.) +k cos(n, — 1) -I- / sin(n — 1)
= sin ii,
wk,(con(n 1) + cos(ii — 1)) + / sin(n + 1) -1- sin(n, — 1)] — 2k, cos n, — 2/ sin n,
m2k cos n cos 1 — 2k cos n + 2/ sin n cos 1 — 2/ sin n =
sin n W 2 / cos u.(cos 1 1) + 2f sin n,(cos 1
1) = sin n,
m 2 k (cos 1 — 1) cos n + 2/(cos 1 — 1) — I) sin n = 0
S i cos 1 — 1 0 nen k — — 0
vá /
2(cos 1 —
i i
Do dó up = úq + uq = A + Bn.
+ 2(cos 1 — 1)
Ta có
= 0
0 — A + 2B
Giái he phuong trinh (9) vá (10), ta dtioc= 2 sin 1 — 4 cos 1 — sin 2
— 4 2(1 — cos
1)
13
sin 2
+ 2(cos 1 — 1)
sin n Vay uq =
2(cos 1 — 1)
(10 )
Trang 12" 2(1 — cos
1)
2.1.3 Phiiong trình sai phàn tuyén tinh càp ba
Phitong trtnh sai phán tuyé “n tính cap ba lá phuong trính sai phin
dang
là càc hang so, ri
0 và Jq là bieu thuc cùa u c
trong dó a, b, c, d, a,
Q,
trrróc
Phuong trình sai phàn tuyen tinh càp ba luón giài duoc vì phuong trình b ba luón giài duoc Nghiem tong quàt cùa phuong trình sai phàn tuyen tinh c ba có dang uq = ùq -t- uj, trong dó uq là nghiem rieng cùa phuong trình tuy tinh khóng thuan nhatpùq là nghiem tong quàt cùa phiiong trình tuyen tinh thu nhat
www.VNMATH.com
a) Xét phrrong trình dac trung
Càc phép toón trèn dày só“
B — — — sin 1 -F 2cosl-F s n Z — 2
2(1 - cosi) Vày nen
2 sin 1 — 4 cos 1 — sin 2 — 4 (— sin 1 + 2 cos 1 + sin 2 — 2) ii, — sin n,
(i) Neu (2) có ba nghiem thuc à À9 , à3 phàn biet
thì
(ii) Neu (2) có mót nghiem thuc bòi 2 và mót nghiem don (
thì
*• — ( i +
z *)*? + Qh * ' (iii) Neu (2) có mót nghiem thuc bai 3 (à, — À3 =
À3) thì
;• = ( fi + dc n + po 2) ?
132
Trang 13Vày nén
_ 2 sin 1 — 4 cos 1 — sin 2 — 4 + (— sin 1 + 2 cos 1 + sin 2 — 2)a,
— sin n,
1)
2.1.3 Phuong trình sai phàn tuyen tinh càp ba
Phu:Orig trinh sai phàn tuyè“n tinh cap ba là phuong trình sai phln
dang
là càc hang so, e 0 và /q là bieu thùc cùa n
c
trong dó ri, ò, c, d, a,
Q,
truóc
Phuong trình sai phàn tuyen tfnh cap ba luòn giài duoc vì phuong trình f
ba luÒn giài duoc Nghiem tong quàt cùa phuong trình sai phàn tuyen tinh c
ba có dang uq = fiq + uq, trong dó uq là nghiém rièng cùa phuong trình tuy tinh khóng thuan nhat ùq là nghiem tong quàt cùa phuong trình tuyen tình thu nhàt
www.VNMATH.com
Còc phép toón trén dày só“
a) Xét phuong trình dac trung
B — — — sin 1 -F 2cosl Ts n 2 —
(i) Neu (2) có ba nghiem thpc
(ii) Neu (2) có mót nghiem thuc bói 2 và mòt nghiem
don ( À
thì
(iii) Neu (2) có mot nghiem thuc boi 3 (À,
Trang 14b) Gpi u j là mót nghiem riéng cùa (1).
*Xét f z là da thùc cùa n Ta có
Neu 2 1 thì u j là da thiic cùng bbc vói ff,
Neu à — 1 (nghiem don) thì uj = ri.pq , pq là da thiic cùng bàc vói
f p ,
Néu à = 1 (boi 2) thì Uj = •'-s• 9• là da thùc cùng bbc vói ff, Neu à = 1 (boi 3) thì u j = ri,'.pq , pq là da thùc cùng bac vói f p
*Xét fp — — vg‘ (hàm mu) Ta có
- Neu à thì u j = k n.y‘.
Neu nghiem don à = thì uj = k q ‘
- Neu nghiem boi À = ¿i (bói s) thì uj = k n’.p“.
Bài toàn 6 Tìm zq biet rang
Cócfi g iòi Xét phuong trinh dac trimg 3 + 2 11a — 5 = 0, hay
(à — 1)'(à — 5)
— 0
Phuong trình này có ba nghiem thuc
ly »• = •i + ci-• +
••-5‘-Cho n, = 1, n = 2, n = 3 vä giåi he phuong trinh tao thånh, ta
dupc
www.VNMATH.com
Cóc phép toón trén dóy só“
(iv) Néu (2) có mót nghiem thuc A và hai nghiem phùc lien hpp
>„ 3 = r(così iisin p ) thì
C
1
1
1 3(n — 1) +
16
133
Trang 15Suy ra
2.2 He phirong trình sai phàn tuyén tinh vói he so hàng
Trong muc này ta chù yeu xét he phuong trình sai phàn dang
Ph 'orgpháp gi ài.
Trong (l), thay n bõi ri + 1, ta nhàn
duoc
www.VNMATH.com
Các phép toân trên dãy sô!
hay
3
’ 4 flài toán 7 Cho dãy so nguyên {ap) thoá
mán diéu kien
Chúng minh rãng tón tai các hang so nguyên
M sao cho các só
M + 4oq+,uq déu là nhíing só chính phuong.
Cócfi giái Dãt
Trang 16Suy ra
Tii (2), ta có z3 = 4.z , — 2p = 4 1 — 2 1
= 2
Ta thu duoc phuong trình bàc hai thuan nhàt
Thay zq våo phuong trinh
Giåi phiiong trinh nåy, ta dupc nghiem zq
2" thii nhät ciia (2), ta cö
V y nghiem ciia he phuong
trinh
135
Cåc phep toån tren döy sö“
Suy ra
zq+s — (p -1- s)zq+, —I- (ps — qr):cq — — 0, trong dö =i = n.
Tii (1), ta 1ai cö z = pz, + qp, = po + 96 Nhu vay ta dvpc phuong trinh sai phän tuyån tinh cäp hai thuän nhät
Uj = O, .T9 = pt2 -{- qb, fl?q+ j — (p -)- S)Xp + (pS — qr)Xg ) = 0, 71 > 2.
Giåi phuong trinh nå y ta tim dupc zq Thay zq våo (i), ta tim ditcic pq Bäi toån 1 jim rg, pq, biet
(2)
C‹icf i jimi Trong (2), thay n böi n + 1, ta cö