ôn hình học 10 nâng cao

ôn hình học 10 nâng cao

Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Góc và cung lượng giác:

* Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 3600

* Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ

dài bằng 180πR và có số đo 10

* Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng π180aR

* Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.

* Cung có số đo bằng a0 ứng với α radian công thức đổi đơn vị là:

π

α

= 0 0

180

a

* Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α y

* Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này

là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z

Ox đến Oy

*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x

Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một

chiều làm chiều dương (+)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ

* Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là

cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C

* Số đo của góc và cung lượng giác:

sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = α + k2π

y

B S

M

P T

A’ O Q A x

B’

* Hệ thức Sa-lơ:

+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:

sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz)

+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn

lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK

2 Các công thức lượng giác cơ bản:

Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z)

Ta có: cos α =OQ=x, sin α =OP=y, tan α =AT, cot α =BS.

Nhận xét: - 1 ≤ cosα≤ 1, - 1 ≤ cosα≤ 1

cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α

tanα = cossinαα xác định khi α≠ ,

2 π

π +k

cotα = cossinαα xác định khi α≠α≠ kπ

sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin2α + cos2α + 1

sin

1 cot

1 , cos

1 tan

2

2

α

α α

+

* Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:

6

π

4

π

2

π

3

2 π

4

3 π

6

5 π

π

2

1

2

2

2

2

3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

−

2

3

3

3

3

3

3

3

3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:

* Cung đối nhau: - α và α:

cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα

* Cung bù nhau: π - α và α:

sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα

* Cung hơn kém π: π + α và α:

sin(π + α) = - sinα, cos(π α) = - cosα, tan(π + α) = tanα, cotπ + α) = cotα

* Cung phụ nhau: π2 - α và α:









 −π α

2 = cosα, cos 









 −π α

2 = sinα, tan 









 −π α

2 = cotα, cot 









 −π α

2 = tanα

* Cung hơn kém π2 :

2

π + α và α:









 +π α

2 = cosα, cos 









 +π α

2 = - sinα, tan 









 +π α

2 = - cotα, cot 









 +π α

2 = - tanα

4 Các công thứ lượng giác khác:

* Công thức cộng:

cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ

tan(α + β) = 1tan−tanα+αtantanββ , tan(α– β) = 1tan+tanα−αtantanββ

* Công thức nhân đôi:

cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 – 2sin2α;

sin2α = 2sinαcosα; tan2α = .

tan 1

tan 2

2 α

α

−

* Công thức hạ bậc:

2

2 cos 1 sin

; 2

2 cos 1 cos

; 2 sin 2

1 α 2α= + α 2α= − α

* Công thức biến đổi tích thành tổng:

2

1 cos sin

; ) cos(

) cos(

2

1

β α β

α β

α β

α β

sinαsinβ = - [cos( ) cos( )].

2

1 α + β − α − β

* Công thức biến đổi tổng thành tích:

2

cos 2 cos

2 α + β α − β

2

sin 2 sin

2 α + β α − β

−

2

cos 2 sin

2 α + β α − β

2

sin 2 cos

2 α + β α − β

B BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

1 a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các

số do sau: - 450, 12000, - 8300

b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho

4 6

; 2 3

0 π π

π π

π +k − +k +k

c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b)

2 Xác định điểm cuối M của cung lượng giác α biết cosα ≥ 0,5 Tìm miền giá trị của sinα, tanα và cotα

3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x; b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;

x;

tan tanx) -2x tanx)(sin

-(tan2x d)

; cosx 1

sinx sinx

cosx

-1

+

=

; cos4x -1

2cos4x 6

x cot

x tan g) x;

tan x sin

x sin

-x cos

x cos

x cos x sin

4 2

2

4 2

+

+

−

h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x;

3

2 cos 3 2x cos -6

x cos 3 2x









 −











 +











 −











4 Rút gọn các biểu thức sau:

; 1 -cosx

x 2cos

1 cosx cos2x

cos3x C

; tanx) x(1

cos cotx) x(1

sin B

; sinx

1

-x 2cos

+

+ +

+

= +

+ +

=

=

; cosx -1 cosx 1

cosx -1 cosx 1

E

; x sin

cosx) -(1 1 sinx

cosx 1

2

− +

+ +

=











 +

+

=

; cos4a cos3a

cos2a

a

cos

sin4a sin3a

sin2a

sina

F

+ +

+

+ +

+

cosb cosa

) -)sin(a sin(a

G

+

+

=

; cos98 2cos638

) cos(-188 2520

sin 2 tan368

1

0 0

2

x tan cosx -1

cosx 1

5 Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + + sinna;

S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + + cosna

6 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:

A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);

B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;

3

3

x cos 6

x cos 4

x cos 3

-x cos









 +











 + +











 +













cos sin 2 1 x cos

-x sin

x cos

-x sin E

; x -3

2 cos 3

2

x cos

x cos

8 8

2 2

2

x x

−

=











 +











 + +

F = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x;

y xcot cot -y xsin

sin

y sin

-x

cos

2 2

2 2

=

7 CMR: sinxcosxcos2xcos4x = sin 8

8

1

x Áp dụng: Tính giá trị các biểu

thức:

A = sin60.sin420.sin660.sin780;

7

5 cos 7

3 cos 7 cos

8 a) Cho cosx = - và 108 x 270

5

<

< Tính sinx, tanx và cotx

b) Biết tan .

2

a

m

= Tính tanatana+-sinasina c) Biết tana + cota = m, ,

2 a

0< <π tính sin2a, sin4a Tìm điều kiện của m.

d) Cho sina + cosa = m với - 2 ≤ m ≤ 2 Tính sin2a, sina, cosa

9 Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:

24

11 sin 24

7 sin 24

5 sin 24 sin B

; 12

5 cos 12

11 sin

C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800

E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400

F = sin100.sin500.sin700; .

12

5 tan 12 tan

G = 2 π + 2 π H = tan50tan550tan650.

H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300 cos800

; 7

3 cos 7

2 cos -7 cos

24

sin 24

5 sin 12

7 sin 12

5 cos

10 Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:

2

A C tan 2

A -C tan a c

a -c

; 2

C B tan 2

C -B tan c b

c -b

; 2

B

A tan 2

B

-A tan b a

b -a

+

= + +

= + +

= +

11 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ;

cosc cosa.cosb.

c) b

a 2a.tan tan

-1

a tan -2a tan

2 2

2 2

b acos cos

b) -b)sin(a sin(a

b tan -a tan

cos4x 4

1 4

3

x cos

x sin f)

; sina cosa

sina -cosa sin2a

1

cos2a e)

0;

2

3 -cos4x 2

1 -2cos2x

-x 4cos

+

= +

=

8

3 sin80 sin40

sin20 h) 0;

9

7 cos 9

5 cos 9 cos

12) Chứng minh rằng:

a) Nếu cos(x cos(x +-y)y)=21 thì tanxtany = .

3

1 b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì

2 2y

x + =π

13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;

b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana

14 CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:

2

C cos 2

B cos 2

A 4cos

2

C sin 2

B sin 2

A 4sin 1 cosC cosB

cosA

c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;

d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;

e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;

f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)

2

C cot 2

B cot 2

A cot 2

C cot 2

B cot 2

A

i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;

0;

2

B cot a) -(c 2

A cot c) -(b 2

C cot b)

-(a

; 2

C sin 2

B sin 2

A 4Rsin

r

m) =

1;

2

A tan 2

C tan 2

C tan 2

B tan 2

B tan

2

A

tan

; 2

C cos 2

B cos

2

A p.sin a

sinC

B) -sin(A c

b -a

2 2

=

; 2

C tan 2

B tan 2

A p.tan

r

q) =

; 2

A sin

2

C sin 2

B asin

r

2

C cos 2

B cos 2

A 4cos

p R

s) =

; 2

C sin 2

B sin 2

A

sin

4R

r

)

cosC;

cosB cosA

R

r 1

R

2pr

2

C tan 2

B tan 2

A tan p

r 4R

0;

)cotC b

-(a )cotB a

-(c )cotA

c

-(b

x) 2 2 + 2 2 + 2 2 =

; B) -2sin(A

)sinAsinB b

-(a S

y) = 2 2 (a sin2B b sin 2 A)

4

1 S

15 CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:

abc

R c b a cotC cotB

cotA

a)

2 2 2

≤ +

+

<

+ +

= +

+

; c

1 b

1 a

1 2 c -p

1 b -p

1 a

-p

1









 + +

≥ +

+ d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC

16 Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

.

c - b - a

c - b a a

4

3 sinBsinC c) ;

1 3cosB C) A cos(

a

a - c b

a - c b b) 2;

sinBcosC

sinA

a) 3 33

2

2

33 3

;

c - b a

c - b - a a

4

1

cosBcosC e)

;

a

a - c b

a - c b

a

2bcosC

d) 3 33

2 2

33

3

R (sin A sin B sin C)

3

2 S f) = 2 3 + 3 + 3

; 8

1 sC cosAcosBco

i)

; 2

C 2cot tanB

tanA h)

; cosC cosB

sinC sinB

sinA

+ +

=

k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; 3

cosC cosB

cosA

sinC sinB

sinA

+ +

+ +

17 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:

a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;

c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC

18 Chứng minh ∆ABC vuông khi:

tanA.

cosA sinB

cosB sinA

c)

; b

c a 2

B cot b)

; sinBsinC

a cosC

c cosB

b

+

+ +

=

= +

2

C sin 2

B sin 2 2p h f) sin2B;

a 4

1 S e)

; a

2bc C) -cos(B

=

19 Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi:

a

c -b C) -sin(B b)

; 2

B -C tan b c

b -c

2 2

=













= +

20 Chứng minh rằng ∆ABC là cân khi và chỉ khi:

BtanC;

tan tanC 2tanB

b)

; 2

B

A b)tan (a

b.tanB a.tanA

B);

cot

A cot ( 2

1 B sin

A sin

B cos

A cos d) B);

tan(A 2

1 cosB cosA

sinB sinA

2 2

2 2

+

= +

+ +

= +

+

; sinC

2sinAsinB 2

C cot f)

; 2

C sinB)cot (sinA

cos

B sin cosA

A sin

e)

2 2

= +

=

; 2

B ptan 2

C cot b) -(p h)

; 2

A cos 2

B sin 2

B cos 2

A sin

0 A) -bsin(C C)

-asin(B l) btanB);

(atanA 2

C tan b a k)

; c -4a

c 2a sinB

cosB 1

i)

2

= +

21 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:

a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); ;

tanC

tanB C

sin

B sin

2

=

cos2B

-1

C) -cos(B -1 2.

b

c) -(b d)

; sinA

sinB cosC

2cosB

cosC 2cosA

2

= +

+

+

22 CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;

b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;

c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); h 3

2

a c b d) + = + a

23 Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;

c) a3 = 3 + c3; d) sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B

2;

cotB) cotA)(1

(1

f) + + = g) sin2A + sin2B = 5sin2C;

3

3 2 2

x tan -tanx =

24 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinx cosx + cosx sinx

(ĐH An ninh 1998)

25 CMR: nếu ba góc A, B, C của ∆ABC thỏa điều kiện:

sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn (ĐH An ninh 1998)

2

B tan 2

A

2

C tan 4

3

<

≤

(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)

2

C cot 2

A cot + = (ĐH Cần thơ

1998)

29 CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác

đều có diện tích lớn nhất (ĐH Công đoàn 1998)

30 Cho ∆ABC CMR:

4S

c b a cotC cotB

cotA

2 2

2 + +

= +

31 Cho ∆ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật Hà nội 1998)

c

b -a sinC

B) -sin(A

2

2 2

33 CMR: trong mọi ∆AC ta đều có:

2

C cot 2

B cot 2

A cot 2

C tan 2

B tan 2

A tan 2

1 sinC

1 sinB

1 sinA

1











= +

+

(ĐH Ngoại thương 1998)

2 sinC sinB sinA

a

c









+=

+ +

≤

+

Tính các góc của ∆ABC

(ĐH Ngoại thương 1998)

35 CMR: trong mọi ∆ABC ta luôn có:

3

C cos 3

B cos 3

A cos 4

3 8

3 3

C cos 3

B cos 3

A









+

≤ +

+

(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)

36 a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:

2

C sin

1 2

B sin

1 2

A sin

1 cosC

1 cosB

1 cosA

CMR: ∆ABC đều

b) ∆ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: 2cosA

sinC

sinB =

(ĐH An ninh 1999)

37 CMR: điều kiện cần và đủ để ∆ABC đều là có hệ thức:

(cotA cotB cotC) 3

-sinC

1 sinB

1 sinA

38 CMR: Điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:

1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0 (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).

39 ∆ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC)

CMR: ∆ABC là tam giác đều (ĐH Dược Hà nội 1999).

40 CMR: nếu ∆ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b)tanA 2+B

thì ∆ABC cân

(ĐH Hàng hải 1999).

41 Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + 2

(ĐH Giao thông vận tải 1999).