tổng hợp kiến thức toán thpt full

Tên gọi và các thành phần: đỉnh, cạnh, mặt bên, … được đặt tương ứng với hình đa diện tương ứng... Định nghĩa : Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt song song

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC

NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT A.x = B

• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất x = B A

• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm

• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm

• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm

• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

NHỚ 2 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN

21

∆+

−

a

b x

22

x

22

/ /

1

∆+

−

a

b x

/ /

x

/ 2

Đt : 0914449230 (zalo)

f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 4 : DẤU TAM THỨC f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0)

(Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)

f(x) Cùng dấu a 0 trái dấu a 0 Cùng dấu a

NHỚ 5 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực

1/ Muốn có x1 < α < x2 ta phải có a.f(x) < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > α ta phải có

0)(0α

α

S af

Nh ận luyện thi THPTQG

tại BIÊN HỊA – ĐỒNG NAI

Đt : 0914449230 (zalo)

3/ Muốn có x1 < x2 < α ta phải có

0)(0α

α

S af

4/ Muốn có x1< α < β < x2 ta phải có    ( ( β ) ) < < 0 0

α

af af

5/ Muốn có x1< α < x2 <β ta phải có    ( ( β ) ) < > 0 0

α

af af

2 1

x x

x x

β α

β α

2

0)(

0)(0

S af af

1/ Muốn có x1 < 0 < x2 ta phải có P < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > 0 ta phải có 

S P

3/ Muốn có x1 < x2 < α ta phải có 

B B

0 hayB A

B A B

A

NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

A B

B

B A

000

NHỚ 8 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

B

B A

B A B

)()()

()(

x

x g x f x

x g x f

x g x f

NHỚ 9 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

B B

B A

b a

0 ,

c bc ac

c bc ac

b a

d c

b a

b a

3/ BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an

n

n

a a

a

a n

a a

a a

3 2 1 3

2

hay

n n n

n

a a

a a

a a

2 1

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = = an

NHỚ 11 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

Sinx

Cosx

x Cos x

• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1

• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1

2 2 2 2

2

2 tan tan 2

1 tan

u u

2 Cos a a

⇒ 1 − Cos 2 a = 2 Sin2a

2

21

2 Cos a a

2 1 sin sin [cos( ) cos( )]

2 1 sin cos [sin( ) sin( )]

2 1 cos sin [sin( ) sin( )]

G CUNG LIÊN KẾT :

Cos đối Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – SinαSin bù Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – CosαPhụ chéo Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα

Khác π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα

Sai kém π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα

NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π

2

2

k v u

k v u

k ∈ Z Cosu = Cosv ⇔ u = ± v + k 2 π

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos

Dạng a.sinx + b.cosx = c ( a2 + b2 ≠ 0 )

b Cos

b a

a

= +

=

Ta có ( ) 2 2

b a

c x

⇔(*) Vô nghiệm khi 2 2 2

c b

⇔

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Đối với một hàm số lượng giác:

aCot ( đặt t = Cotx , x ≠ k π )

2/ Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx

Dạng: aSin2x+bSinxCosx +cCos2x = 0 (1)

aSin3x + bSin2xCosx + cSinxCos2x + dCos3x = 0 (2)

Phương pháp :

∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?

∗ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa

phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx

3/ Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

4 (

= +

0 2

1 (*)

2

= +

− +

0 2

1 (*)

2

= +

− +

K A

(*)

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG

Tam giác thường ( các định lý)

Hàm số Cosin • a b c 2 bcCosA

2 2

2 = + −

•

bc

a c

b CosA

2

2 2

2 + −

=

Hàm số Sin •

R SinC

c SinB

b SinA

a

2,

12

1 2

4

=

• S = p ( p − a )( p − b )( p − c )

Chú ý:

2 )

( 2 )

( p a Tan A p b Tan B p c Tan C p

b SinA

a S

abc R

2 2

2

=

• a, b, c : cạnh tam giác

• A, B, C: góc tam giác

• ha: Đường cao tương ứng với cạnh a

• ma: Đường trung tuyến vẽ từ A

• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác

•

2

c b a

= Nữa chu vi tam giác

NHỚ 15: HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC VUƠNG

•

AC AB BC

AH

CH BH AH

.

.2

Hàm số y = f (x ) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :

1/ f (x ) xác định tại điểm x = a

2

1 1

1

AC AB

AH = +

H

A

Nếu f (x)liên tục trên [a, b] và f (a).f (b) <0thì tồn tại ít nhất một

điểm c∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ

1/ Định nghĩa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố định) Hàm số mũ là hàm số xác

Ký hiệu : log a N = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log a x ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1)

2/ Tính chất và định lý cơ bản về logarit : Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn TC1 : loga N = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , aloga M =M TC3 : loga 1 = 0, log a a = 1 TC4 : loga (MN) = loga M + loga N TC5 : M N N M a a a log log log = − TC6 : Đổi cơ số b a a N N b a c c a log 1 log ; log log log = = 3/ Đồ thị : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

0 x 0 x

4/ Phương trình Logarit : ) ( ) ( ) ( log ) ( loga f x = a g x ⇔ f x = g x

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 )

5/ Bất phương trình Logarit : loga f (x) < loga g(x) (*)

   < >  → ← > ) ( ) ( 0 ) ( (*) 1 x g x f x f a

   > >   → ← < < ) ( ) ( 0 ) ( (*) 0 1 x g x f x g a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM

I/ Định nghĩa đạo hàm :

Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x 0 ∈ ( a, b) Ta nói f(x)

có đạo hàm tại x 0 nếu giới hạn ∆ → 0

∆

∆

x khi x y

tồn tại

x f x x

f x

y x

lim lim

)

0 0

0 '

∗ Đạo hàm bên trái :

x

y x

'

lim)

∗ Đạo hàm bên phải :

x

y x

'

lim)

 Cho y = f(x) xác định trên (a, b)

y = f(x) có đạo hàm tại x 0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘ (x 0 + ) = f ’ (x 0 – )

II/ Qui tắc tính đạo hàm :

III/ Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :

Cơng thức hàm cơ bản Cơng thức hàm mở rộng ( u)

Đt : 0914449230 (zalo)

1 (cot ) ' (1 cot )

(sin ) ' '.cos(cos ) ' '.sin

1(tan ) ' '.(1 tan ) '

cos1(cot ) ' '.(1 cot ) '

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c ∈ (a, b)

u udv [ ]

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]

3/ Đổi cơ số :

[ ]

∫

β α

ϕ

ϕ t t dt f

dx x f

b

a

) ( ) ( )

x f dx

x f dx

x g x

x f K dx x

c

x dx x

a dx b

+

+

=+

1

α

α α

11

1(

1)

b ax a

b ax dx

5 ∫ = Ln x +c

x dx

+b a Ln ax b c ax

a dx

e ax b 1 ax b

Lna

a dx a

x x

11 ∫Sinxdx = −Cosx+c

12 ∫ + = − Cos ax + b + c

a dx

b ax

13 ∫ Cosxdx = Sinx + c

14 ∫ + = Sin ax+b +c

a dx b ax

15 ∫ =Tanx+c

x Cos

dx

2

16 ∫ = −Cotx +c

x Sin

x arcTan a

a x

2 2

a

dx

2

12 2

a dx

h x

dx

+++

=+

2

23 ∫ − = − + + ( > 0)

22

2 2

2 2

2

a c

a

x arcSin

a x

a

x dx x a

24 ∫ x2 +h dx = x x2 +h + h Ln x + x2 +h +c

22

NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HỢP _ CHỈNH HỢP

n

K n

∗ z = r.(Cosα + i.Sinα)

z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ 0 z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)]

)]

( )

(

[ ' ' = Cos α − β + iSin α − β

r

r z

z

2/ MoaVrơ :

)(

)]

(

[r Cosα +iSinα n = r n Cosnα +iSinnα

3/ Căn bậc n của số phức z = r.( Cosα + i.Sinα) :

)

2

2(

n

K Sin

i n

K Cos

r

với K = 0, 1, 2, , n – 1

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

• M(x, y) ⇔ OM→ = xe→1+ ye→2

• Cho A( x A , y A )

B( x B , y B ) 1) AB→ = ( xB − xA , yB − yA)

) ,

B A

y y

y

x x x

4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

k

x k x x

B A

B A

1.1

• Phép toán : Cho →a = ( a1, a2); b→ =(b1,b2)

1 1

b a

b a b

2 2

2 1

2 2 1 1

,

b b a

a

b a b a b

a Cos

++

1/ Phương trình tham số :  

y

t a x

x

2 0

1 0

2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0)

• Pháp vectơ →n =(A,B)

• Vectơ chỉ phương a→ =(−B, A) ( hay →a = (B,−A) )

• Hệ số góc = − (B ≠ 0)

B

A

K 3/ Phương trình pháp dạng :

02

2 2

2 2

+

+ +

+

C y

B A

B x

B A

A A

B

A

y y

y y x

x

x x

7/ Phương trình chính tắc : x a x0 y − b y0

=

−



y y x

y a

x x

8/ Khoảng cách từ một điểm M(x 0 , y 0 ) đến Ax + By + C = 0 :

d(A;d) = 0 2 0 2

B A

C By

Ax

+

+ +

9/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0

2

1 2

1

B

B A

A

2

1 2

1

B

B C

1

C

C A

1

x

D

D d

0

y

D D

1 2

1 2

1 //

C

C B

B A

A d

2

1 2

1 2

1 2

1

C

C B

B A

A d

11/ Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2 :

2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

B A

B A

B B A A Cos

++

2 2

2 2

2 2

1

2 1

1 1

1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

+

++

±

=+

+

+

* Chú ý :

Dấu của n→1 n→2 Phương trình đường

phân giác góc nhọn tạo bởi d1, d2

Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2

C ĐƯỜNG TRÒN :

1/ Định nghĩa : M ∈ (c) ⇔ OM = R

2/ Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :

3/ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0)

(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Dạng 1)

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2)

Đt : 0914449230 (zalo)

Pt tiếp tuyến tại M(x0 , y0) 0 0

NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

k

y ky y

k

z kz z

B PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :

1/ Phương trình tham số : 00 1 12 1 1 22 2 1 2

→

= Vectơ pháp tuyến (VPT)

Đặc biệt :

• By + Cz + D = 0 song song trục Ox

• Cz + d = 0 song song mặt phẳng Oxy

• Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ

• By + Cz = 0 chứa trục Ox

• z = 0 mặt phẳng Oxy

3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x 0 , y 0 , z 0 ) ,có VPT n ( , , )A B C

Với m2 + n2 ≠ 0 và α cắt β

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1/ Phương trình tham số :

1/ Hai đường thẳng :

d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phươnga ( , a a a1 2, 3)

→

= d’ qua ' ' '

2/ Đường thẳng và mặt phẳng :

• d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương a ( ,a a a1 2, 3)

* Góc của đường và mặt phẳng : được tính bởi công thức

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

a A a B a C Sin

2/ Khoảng cách từ một điểm N(x’0, y’0, z’0) đến một đường thẳng d qua

M(x 0 , y 0 , z 0) và có VCP là a ( ,a a a1 2, 3)

1

/ / / / / /

d

d

d d

d a d

d b d

α β

α β β

2

d'

d β

α

// '

//( ) ' ( )

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

'

/ / ' / /

α

7

C' B' A'

C B A

R

Q P

b

chắn tr6n hai cát tuyến bất kỳ a,

b những đoạn thẳng tỉ lệ

' ' ' '

b d

( ) ( )

α

Nếu a//b và a ⊥ α thì b ⊥ α

Nếu a ⊥ α thì b ⊥ α thì a//b

12

a

β α

Nếu α β // và a ⊥ α thì

Nếu a ⊥ α và a ⊥ β thì //

α β

13

b

α a b

a β

* Có hai mặt phẳng song song và mỗi mặt chứa một đường

14

H O

A'

B A α

ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

* Đoạn vuông góc chung OH là đoạn ngắn nhất

* Hai đoạn xiên dài bằng nhau có hình chiếu dài bằng nhau và ngược lại

OA = OA’⇔HA = HA’

*Hai đoạn xiên có độ dài khác nhau thì đoạn xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT

∆

( ) ( )

( ) ( ),

( )

P

17 – Hình đa diện:

– Không là hình đa diện:

Hình đa diện là hình được tạo

bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể: hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai

đa giác

Khối đa diện là phần không gian

được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

Tên gọi và các thành phần: đỉnh, cạnh, mặt bên, … được đặt tương ứng với hình đa diện tương ứng

18

C'

B' A'

C

B

1/ Định nghĩa : Hình lăng trụ

là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt song song gọi là hai đáy và các cạnh không thuộc hai đáy đều song song nhau

2/ Các loại :

* Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy

* Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mỗi đáy là đa giác đều

Ngoài ra còn có lăng trụ xiên

Hình lăng trụ tam giác

Hình lăng trụ tứ giác

Hình lăng trụ lục giác

Hình lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp

CB

A

HÌNH CHÓP 1/ Định nghĩa : Hình chóp là

một hình đa diện có một mặt là một đa giác, các mặt còn lại đều là những tam giác có chung một đỉnh

* Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau

* Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy

2/ S xq , S TP , V :

• Sxq của hình chóp và hình chóp cụt là tổng diện tích tất cả các mặt bên của mỗi

D

C B

xq

S = chu vi đáy x trung đoạn

• Thể tích hình chóp :

1 3

thì mỗi điểm M trên (C) vạch ra một đường trịn cĩ tâm O thuộc ∆ và nằm trên mp vuơng gĩc với ∆ Khi

đĩ (C) sẽ tạo nên một hình đgl mặt

trịn xoay

(C) đgl đường sinh của mặt trịn xoay đĩ ∆ đgl trục của mặt trịn xoay.

HÌNH TRỤ TRÒN XOAY 1/ Định nghĩa :

* Hình chữ nhật OO’A’A khi quay quanh cạnh OO’ tạo nên một hình gọi là hình trụ tròn xoay( hay hình trụ)

_ Hai cạnh OA và O’A’ vạch

thành hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy

_ Cạnh AA’ vạch thành một mặt tròn xoay gọi là mặt xung quanh của hình trụ _ OO’ gọi là trục hay đường cao của hình trụ