a Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng d luôn cắt đồ thị P tại hai điểm phân biệt.. Cho góc nhọn Oxy và một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc đó tại A và B.[r]
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 10 Năm học: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu I: ( 2 điểm )
Cho biểu thức: M= 2 x − 9
x2−5 x+6+
2 x+1
x −3 +
x +3
2− x (Với điều kiện: x≠ 2; x≠ 3) a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm những giá trị của x để M=− x
Câu II: ( 2 điểm ) Cho parabol (P) có phương trình: y= - x2 và đường thẳng d có phương trình y = (4-m)x+1-m
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng d luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt
b) Gọi x1,x2 là hoành độ giao điểm của d và (P), tìm tất cả các giá trị của m sao cho:
|x1− x2| nhỏ nhất
Câu III: ( 2 điểm )
1 Giải hệ phương trình:
¿
x2+y2− x −2 y − 19=0
xy ( x −1 ) ( y − 2)+20=0
¿{
¿
2 Giải phương trình: 2014 x2− 2013 x√35 x −196=35 x −196
Câu IV: ( 3 điểm )
1 Cho góc nhọn Oxy và một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc đó tại A và B qua
điểm A kẻ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn tại điểm C Gọi K là trung điểm
OB Đường thẳng AK cắt đường tròn tại điểm E (E khác A).
a) Chứng minh rằng: KB2 = KE.KA, các tam giác ∆KOE và ∆ KAO đồng dạng từ đó suy ra ba điểm O, E, C thẳng hàng.
b) Đường thẳng AB cắt OC tại điểm D Chứng minh OEOC=DE
DC .
2 Trong mặt phẳng cho 2014 điểm tạo thành đa giác lồi có chu vi bằng 4 Chứng minh rằng tồn tại đường tròn có bán kính bằng 1 chứa đa giác đó.
Câu V: ( 1 điểm )
Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn : x+y+z = 0; x+1 > 0, y+1 > 0, z + 4 > 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x
x+1+
y y+1+
z z+4 .
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: …………
Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 10
Năm học: 2013 – 2014
1 1.a M= 2 x − 9
x2−5 x+6+
2 x+1
x −3 +
x +3
2− x (Với điều kiện: x ≠ 2; x≠ 3)
(x −2) ( x −3 )+
2 x +1
x − 3 −
x+3
x −2=
x +1
x −3
x −3
0,75đ
0,25đ 1.b
Để M=− x thì x +1
x −3=− x ⇔ x2−2 x+1=0 ⇔ x=1 ( Thỏa mãn) Vậy x = 1
0,75đ 0,25đ
Δ=(4 −m)2− 4 (1− m)=m2− 4 m+12
+ ∆ = (m− 2)2+8>0,∀ m∈ R phương trình có 2 nghiệm phân biệt Vậy : Đường thẳng d luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
0,25đ 0,5đ 0,25đ
2.b + Do phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 nên theo định lý Viét ta có:
¿
x1+x2=m− 4
x1 x2=1 −m
¿{
¿ + Đặt A= |x1− x2|⇒ A2=(x1+x2)2− 4 x1 x2=m2−4 m+12=(m− 2)2+8 ≥8
0,25đ
0,5đ 0,25đ
Giải hệ phương trình:
¿
x2
+y2− x −2 y − 19=0
xy ( x −1 ) ( y − 2)+20=0
¿{
¿ + Hệ phương trình tương đương:
¿
x (x −1)+ y ( y − 2)=19
x ( x − 1) y ( y − 2)=− 20
¿{
¿
+Đặt
x ( x − 1)=a
y −2=b
¿
¿
¿{
y¿
Thì
¿
a+b=19
ab=−20
⇔
¿{
¿ a,b là nghiệm phương trình: t2-19t-20 =0 Khi
đó
t=−1
¿
t=20
¿
¿
¿
¿
0,25đ
0,5đ 0,25đ
Trang 3¿
a=−1 b=20
¿{
¿ thay vào đặt:
¿
x2− x +1=0
y2− 2 y −20=0
¿{
¿
hệ vô nghiệm
+
¿
a=20 b=−1
¿{
¿ Thay vào đặt:
x2− x − 20=0
y2− 2 y +1=0
⇔ x=− 4
¿
x=5
¿
¿y =1
¿
¿
¿{
¿
¿ ¿ + Kết luận: Nghiệm của hệ là: (-4;1), (5;1)
35
Đặt √35 x −196 = t ( t ≥ 0) thì phương trình là: 2014x2 – 2013xt - t2 = 0 ( do x > 0 )
suy ra nghiệm phương trình là x = t
+ x = t thì: √35 x −196 = x do đ/k ta có phương trình tương đương: x2– 35x+196 = 0
∆= 441 suy ra x = 28; x =7
+ Vậy phương trình có nghiệm: x =28; x =7;
0,25
0,5đ 0,25đ
KB
KE=
KA
KB ⇒KB2=KE KA⇒ OK2
=KE KA⇒OK
KE =
KA OK
và góc xen giữa bằng nhau)
∠EOK =∠ ACE ∠EKO =∠EAC
0,5đ 0,25đ
B O
A
C E
K
D I
H
Trang 4K thẳng hàng nên O,E,C cũng thẳng hàng.
4.1b + Qua E kẻ đường thẳng song song với OB cắt AO tại I và AB tại H ta có EI = EH (3)
+ Mặt khác: OEOC=IE
DE
DC=
EH
+ Từ (3), (4), (5) ta có: OE
OC=
DE
0,25đ 0,5đ 0,25đ 4.2
+ Giả sử có 2 điểm A,B nằm trên cạnh của đa giác ( Kể cả trùng với các đỉnh) sao cho
A,B chia chu vi của đa giác thành 2 phần, mỗi phần có độ dài là nửa chu vi bằng 2
Với mỗi điểm M nắm trên đa giác thì ta luôn có: MA+MB ≤ 2 (1)
+ Gọi I là trung điểm AB, vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng R = 1 Giả sử M là một
điểm nằm trên cạnh đa giác, M nằm ngoài đường tròn Gọi N là điểm đối xứng với M
qua I.Ta có: MA+MB = AM+AN ≥ MN > 2R =2 (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra điểm M phải nằm trong đường tròn (I) Vậy ta luôn có đường
tròn bán kính bằng 1 chứa đa giác
0,25đ
0,5đ 0,25đ
5 Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn : x+y+z = 0, x+1 > 0; y+1 > 0; z+4 > 0
x+1+
y y+1+
z z+4
+ P=3 −(x+11 +
1
y+1+
4
z+4)
a+
1
b ≥
4
a+b ⇔( a− b)2
≥0
x +1+
1
y +1+
4
Q= 1 x+1+
1
y+1+
4
z+4 ≥
4
x + y +2+
4
z +4 ≥
16
x + y +z+6=
8 3
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
M
N
Trang 5⇒ P ≤3 −8
3=
1
3 Vậy P Lớn nhất= 13 khi
¿
x= y x+ y+2=z +4 x+ y +z =0
⇔
¿x=1
2
y=1
2
z=− 1
¿{ {
¿
GHI CHÚ:
Đáp án này gồm 3 trang
Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa
Bài hình vẽ hình sai cơ bản hoặc không vẽ hình, không chấm điểm