3 điểm Đường tròn tâm 2 có dây cung AB cô định và I la điểm chính giữa cung lớn 48.. Lấy điểm M bat kì trên cung lớn 4, dựng tia Ax vuong góc với đường thang M/tai H va cat BM tai C.. 2
Trang 1DE THI TUYEN SINH VAO LOP 10 TRUONG THPT CHU VAN AN VA THPT HA NOI - AMSTERDAM
NAM HOC 2005 - 2006 NGAY THU NHAT (Dành cho mọi thí sinh Thời gian làm bai : 150 phat) Bài 1 (2 điểm)
Cho biểu thức
p= xv/x-—l _ xwx +Ï xt!
1) Rút gon ?:
2) Tim x dé P =
Bai 2 (2 diém)
Cho bắt phương trình
3Œm — ])x + Ì > 2m + x (0m là tham số)
1) Giải bất phương trình với m = 1—2x/2
2) Tim m để bắt phương trình nhận mọi giá trị
x> 1 la nghiém
Bai 3 (2 diém)
Trong mat phang toa d6 Oxy cho dudng thăng
(d) : 2x — y — a” = 0 va parabol (P): y = ax”
(a la tham sé đương)
1) Tim a dé (d) cat (P) tai hai diém phan biét
A, 8 Chứng minh rằng khi đó A, B nam vé bén
phải trục tung
2) Gọi w, vy theo thứ tự là hoành độ của 41, 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
fe +—., :
: + WĐ t9
Bài 4 (3 điểm) Đường tròn tâm (2 có dây cung AB cô định và
I la điểm chính giữa cung lớn 48 Lấy điểm M bat kì trên cung lớn 4, dựng tia Ax vuong góc với đường thang M/tai H va cat BM tai C 1) Chung mình các tam giác AJB va AMC Ila tam giác cân
2) Khi điểm AZ di động trên cung lớn 4Ø chứng minh rằng điểm C đi chuyển trên một cung tròn cố định
3) Xác định vị trí của điềm M dé chu vi tam giac AMC dat gia trị lớn nhất
Bai 5 (1 diém) Cho tam giac ABC vuông 6 A c6 AB < AC va trung tuyén AM ACB = a, AMB = Ø Chừng
minh rang:
(sing + cosa)’ =| + sinf
NGAY THU HAI (Danh cho thi sinh thi vao chuyén Todn — Tin Thoi gian lam bai : 150 phút)
Bai 6 (2 diém)
Cho P = (atb)(b+cXe+a) — độc với a b, c là
các số nguyên Chứng mình rang néu at+b+c
chia hết cho 4 thi P chia hét cho 4
Bai 7 (2 diém)
Cho hệ phương trình
(x+y)? +13 =6x? y? +m
xy(x* + y?)=m
1) Giai hé phuong trinh voi m = —10
2) Chứng minh rang không tỒn tại giá trị của
m đề hệ có nghiệm duy nhất
Bài 8.(2 điểm)
Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức :
bộc SEN ee
Xét biểu thức P = x + yŸ + zŸ
1) Chứng minh rằng P > x + 2y + 3z - 3
2) Tim giá trị nhỏ nhất của ?
Bai 9 (3 diém) Cho tam gidc ABC, lay ba diém D E F theo
thứ tự trên các cạnh BC, CA AB sao cho AEDF
là tứ giác nội tiếp Trên tia 4Ð lấy điểm P
(Ð nằm giữa 44 và Ð) sao cho DA.DP = DB_DC
1) Chứng minh rằng tử giác 4BPC nội tiếp
va hai tam giaec DEF, PCB đồng dạng với nhau
2) Gọi S và S' lần lượt là điện tích hai tam
giác ABC và DEF Chứng minh: + < &) s' (242p
Bài 10 (1 điểm) Cho hình vuông ABCD va 2005 đường thăng
đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông
2) Mỗi đường thang đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ số điện tích là 0,5
Chứng minh rằng trong 2005 đường thăng đó
có ít nhất 502 đường đồng quy.
Trang 2LOI GIAI DE THI VAO LOP 10
TRUONG THPT CHU VAN AN VA THPT HA NOI- AMSTERDAM
NAM HOC 2005 - 2006
(Dé thi da dang trén THTT số 344, tháng 2 năm 2006)
NGAY THU NHAT
Bai 1 1) DK dé Pcé nghia lax #1 vax>0
Ta có
_ (x-IXx+eVx+l) (Vx+lXx-Vx+l) x+l
-Ö *# x+l—x+Vx-l+x+l _ (vx +1?
3]P= 2 te SVx + 2=0 PT nay co hai
P
nghiệm x = 4 va x = 7
Bai 2 1) Voi m = 1 — 2V2 BPT đã cho có
4/2 -1
dan -(6V2 +1)x > 1-42 ox< — \
2) BPT đã cho được viết dưới dạng
(3m ~ 4)x + (1 - 2m) > 0 (1)
Xét hàm số Kx) = (3m — 4)x + (1 — 2m) Đỏ
thị hảm số này là một đường thăng nên đê BPT
(1) đúng với mọi x > l thì
pated
c^
(#(=m-3>0
Bài 3 1) PT hoành độ giao điểm của đường
thăng (đ) và parabol (P) có dạng
Đường thẳng (ở) cắt (P) tại hai điểm phan
biệt 44, Ø khi và chỉ khi
a>0
A'=l—-a3 >0
Lúc đó nêu gọi u, v lần lượt là hoành độ của 4
va Ö thì theo định lí Việte cho PT (1) ta có
m> 3
>0 <az< \
2
tr+ =— >0
a uve=a>0
suy ra 4, 8 nằm về bên phải trục tung (đpem)
có nghiệm trong [-< : 3)
2) Từ kết quả l) ta có
(
T= 2a+1>2 (2a) +) hay 7> 242 :
Do đó giá trị nhỏ nhất của 7 là 22 đạt được
khi và chỉ khi ø =
Bài 4
1) (h.1) Do / 1a diém chính giữa cũng lớn AB nên /4 = /B hay
AAJB can tai /
e Nếu M thudc
cung /4 (khéng chứa B) thi
CMH =IMB (đối đinh) (1) Mặt khác
sd AMH
Hink |
5 (sd AM + sd MI ) =
-_
sđ /
Ì 471 = Ìs4JB=sá [MB (2)
Từ (1), (2) suy ra tam giác 4A/C cân tại Ai
e Nếu Ä/ thuộc cung 78 (không chứa 4) thì lập
luận tương tự cũng có AAA4C cân tại Aí
2) Từ kết quả câu |) suy ra JA = IC, ma JA
không đôi nên C nằm trên đường tròn tâm / ban
kính /4 Khi Ä/ « A thi C s 4, còn khi Ä/ = 8 thì
C = C; (trong do C; là giao diem của đường thăng qua 4 vuông góc với /B8 với đường tròn tâm / bán kính /4) Do đó khi AZ chuyên động
trên cung lớn 4# thì điểm € chuyên động trên
cung AC; (dpcm)
3) Giả sử C, là giao điểm của 4/ với đườn
tròn tâm /, ban kinh /A, cOn Mo 1a diém đôi xứng của 4 qua (2 Nhận xét răng, khi tia Ax tring voi tia A/ thi M tring Mo, lic d6 B, Mo, Co
thang hàng Từ mối liên hệ giữa độ dài dây
cung và độ dài đường kính ta có 4A < AMy,
Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x = _
Trang 3AC < AC Kí hiệu (29) là chu vi hình 2 thị
PAAMC) © p(AMoC)
Kết luận: Giá trị lớn nhất của puAMC) là
AMX) dat được khi A/ là điểm xuyên tâm
đổi của 44 đối với đường tròn (Ó)
Bài § (Bạn đọc tự vẽ hình)
Dung AH 1 BC, do AB < AC nên /j thuộc
doan BM
Ta có 4/1 = AMsinj) = >BCsinf (1)
Mat khac A#/ = AC sina = BCsina.cosa (2)
Tir (1), (2) suy ra sin = 2sina.cosa, dan dén
| + sinB = (sina + cosa)” (đpcm)
NGÀY THỨ HAI Bài 6 Đặt 7 = œ+b+c, lúc đó
P=(T-aXT-b)(T-c) - abe
= (ab+bc+ca)T - 2ubc (1)
Vi 7 chia hết cho 4 nên trong ba số a, b, e có
ít nhất một số chăn Từ (I) suy ra P chia hết cho
4 (đpem)
Bai 7 1) Dat u = (x+y)’, v = xy, voi m =-—10
hệ có đạng
Ju? -6v? +23 = 0 (2)
Ti (3) cov = thay vao (2) dugec
2v" + I7v” - 100 = 0, suy ra yedoy 2
(từ (3) ta thấy w < 0) Với v = -2 thì = 1, dẫn
đến r+y = l hoặc x#y = -l
„ ta đi
—
<
Giải các hệ eg cr
xy =-2 ì đến kết luận hệ đã cho ứng với m = -10 có
nghiệm (x, y) là (1 2), (2, =1), (1, =2), (=2, 1)
2) Nếu (x, y) là nghiệm của hệ thi (-x, -y)
cũng là nghiệm của hệ đó Do đó hệ có nghiệm
duy nhất thi x = y = 0 Thay x = y = 0 vào hệ ta
gặp điều mâu thuẫn, Vậy không có giá trị nào
của z để hệ bcó nghiệm duy —
Bài 8 1) Ta có P+3 = xt(y" +1) + (2 +141) 2
x + 2y+3z (theo bat dang thire Cauchy)
suy ra >x + 2p + 3z — 3 (đpcm)
2) Áp dụng kết quả trên vả bất đăng thức
Bunhiacovski ta có
có nghiệm trong & : a}
Lae
6(P+3) = (ray 4 +—+ |
x +
> Vio Va 2 ,/3) =
hay ? > 3 Tóm lại, Min? = 3, đạt được khi
x=y=z =Ị,
Bai 9 |) (h 2)
Tu DA DP = DB.DC
DC SUY fa ——=—— ,
DB DA
kết ét hợp với BDP = ADC
ta CÓ ABDP «= AADC,
dan dén
DPB=DCA
Suy ra tứ giác 48PC nội tiếp
Vì các tứ giác 4EDF và 4BPC nội tiếp nên
DEF =DAF=BCP: DFE= DAE=CBP
Tir day suy ra ADEF ~ APCB (dpem)
2) Do ADEF «> APCB
EF?
nén S'= lận } PCR Spc (1) |
Hinh 2
DP
Mat khac Sry 7 > ˆ
Vậy từ (1) ta có
2
ga SRD (2)
BC? DA
_(BD+ÐC}
|
Ta lại có me BO
< : =
4BD.DC 4DA.DP
Từ (2), (3) ta nhận được
EF* DP = (=) S (dpem) 4DA.DPˆ DA 2D
Bai 10 Xem bai bao "Mot lop bai toán vẻ các
đường thăng đồng quy” THTYT số 341, tháng
1} nim 2005
(3)
QUACH VAN GIANG (GV THPT Chu Van An, Ha Noi Sưu tâm và giới thiệu)
Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x =
Trang 4Mùi chuyén AMSTERDAM va THPT CHU vi AN, Ha Not
‘
a a Nr a
MÔN : TOÁN - TIN
(Thoi gian lam bai : 150 phit)
Bài 1 (2 diém)
Cho phương trình ân x
yo 1 | x?
2a+ l)^ a ae ~3 =0 (*)
x
|) Giải phương trình (*) khi a = |
2) Tim a dé phuong trình có nhiều hơn hai
nghiệm dương phân biệt
Bài 2 (2 điềm)
Cho dãy các số tự nhién 2, 6, 30, 210, - được
xác định như sau; Số hạng thứ # bằng tích k số
nguyên tô đầu tiên (k = l, 2, ¬ „ } Biết rằng
tôn tại hai số hạng của đây số có hiệu bảng
10000, tìm hai số hạng đó
Bài 3 (2 điểm)
Tim các số nguyên +, y, z thoả man
{2x y? -z!>7
j-x\yẺ Lẩyy +9 - ye ~42 {: + -|
x
Bài 4 (3 diém)
Cho nửa đường tròn đường kính 45 = 2Â Gọi
(` là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn, Ð là hình
chiều vuông góc của € trên AB, Tia phân giác goc ACD cat dudng tron dudng kinh AC tai điểm thứ hai là £, cit tia phan gidc gde ABC tai 7
1) Ching minh AF // BH
2) Tia phan giac goc CAB cat đường tròn đường kính ÁC tại điểm thứ hai là F, cit CE
tại / Tính điện tích tam giác F/Ð trong trường
hợp tam giác đó là đẻu
3) Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho
HK = HD, gọi J là giao điệm của AF và BH
Xác định vị tri cua C đề tông các khoảng cách
từ các điểm /, /, K đến đường thăng 47 đạt
giá trị lớn nhát
Bài § (I điểm)
Chứng minh rang trong 2007 sO khac nhau tuỷ
ý được lấy ra từ tập hợp
4= {I,2.3, , 2006297} , có ít nhất hai số x, y
thoả mãn; 0 < Pos - 2007 | <l,
VŨ QUỐC LƯƠNG (GV THCS Chu Van An, Ha Nội)
Giói fhiệu