Tài liệu Bài giải thống kê pdf

BÀI GIẢI THỐNG KÊ Bài 1: Để khảo sát trọng luợng X của một loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau: a Ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nu

Trang 1

BÀI GIẢI THỐNG KÊ

Bài 1: Để khảo sát trọng luợng X của một loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau:

a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nuôi trên với độ tin cậy 96%

b) Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa của loại vật nuôi

trên là bao nhiêu? Tối thiểu là bao nhiêu?

c) Những con vật có trọng lượng từ 60kg trở lên được gọi là những con

“đạt tiêu chuẩn” Hãy ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy

95%

d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ con dat tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 10% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu con vật nữa?

e) Với độ tin cậy 90%, tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn tối đa của loại vật nuôi

Lời giải

Ta có:

n =100; 5 Xm, =ð196; 5° X,’n,; =282096

e Kỳ vọng mẫu của X là

X= => X,n, = 51, 96(kg)

e Phương sai mẫu của X là:

§ = ~S Xin, ~ X? =(11, 0054)*(ke’)

e Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:

S=—_Ê” = (11,0608)°(kg?)

n-l

e Tỉ lệ mẫu con đạt tiêu chuẩn là

F -™m_ 20 -os

n 100

vi trong n = 100 con có m = 10 + 10 + 10 = 80 con có trọng lượng từ

60kg trở lên, nghĩa là có 30 con đạt tiêu chuẩn

a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nuôi trên với độ tin cậy

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng = MŒX) với độ tín cậy y= 1-œ = 96% = 0,96

Vi n> 30, o” = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng:

Sos S

Tn sX+Z, Tn ;

trong đó o(z,) = y/2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bang gia tri ham Laplace ta được z„ = 2,06 Vậy ước lượng khoảng là:

(51, 96 — 2,06 ———; 51, 96 + 2, 06 ———

Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, trọng lượng trung bình của một con nằm trong khoảng từ 49,68kg đến 54,24kg

(X—z,

) = (49, 68; 54, 24)

b) Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa của loại vật nuôi

Ta có độ tin cậy y = 1 - œ = 95% = 0,95 (œ = 0,05)

- Để biết trọng lượng trung bình tối đa của loại vật nuôi trên là bao

nhiêu ta cần ước lượng khoảng bên trái cho kỳ vọng = MŒX)

Vi n > 30, o” = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng bên trái cho kỳ vọng:

(—œ;X +Z2„ — ;

n

trong đó (ze) = (1- 2a)/2 = (1- 2.0,05)/2 = 0,90/2 = 0,45 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được za, = 1,65 Suy ra trọng lượng trung bình tối da là:

11,0608

100

Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa của loại vật nuôi trên là 53,7850kg

- Để biết trọng lượng trung bình tối thiểu của loại vật nuôi trên là bao

nhiêu ta cần ước lượng khoảng bên phải cho kỳ vọng h = MŒ)

Vi n> 30, ø = DŒX) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng bên trái cho kỳ vọng:

X + Zo, = = 51,96 +1,65 = 53,7850(ke)

n

(X ~ Bag Feit)

trong d6 zs, = 1,65 Suy ra trọng lượng trung bình tối thiểu là:

K 2, 2% = 51,96 1,66 Lb0698 _ z0 1250(kg),

Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối thiểu của loại vật nuôi trên là 50,1850kg

Trang 2

c) Những con vật có trọng lượng từ 60kg trở lên được gọi là những con

“đạt tiêu chuẩn” Hãy ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy

95%

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy y= 1- œ= 95% = 0,95 Ta có công thức ước lượng khoảng :

Œ sa, JBŒ=EỤ)p „ [PRH-E,),,

trong dé 9 (z,) = y/2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bang gid tri ham Laplace ta được z„= 1,96 Vậy ước lượng khoảng là:

(0,3- 1,06, (0:50 —0.°), 0,3+1,96, 9:24 = 9:9) — (21,02%: 38,98%),

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn nằm trong

khoảng từ 21,02% đến 38,98%

d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 10% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu con vật nữa?

Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ con đạt tiêu

chuẩn với độ chính xác e = 10% = 0,1 và độ tin cậy y = 1- a = 99% = 0,99

Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

[F,a—F,)

= Zy —;

1

trong đó 0(z„) = y/2 = 0,99/2 = 0,495 Tra bang gid tri ham Laplace ta được z„ = 2,58 Suy ra

z°F (1—-F,)

n=-=———ˆ

€

Thực tế yêu cầu:

¬> Z2, — E,) _ 2,ð8°0,81— 0,8)

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thoả bất đẳng thức trên là nị = 140 Vì nị =

140 > 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là

140 -100 = 40 con vật nữa

= 139,7844

e) Với độ tin cậy 90%, tỉ lệ con đạt tiêu chuẩn tối đa của loại vật nuôi

Ta có độ tin cậy y = 1 - œ = 90% = 0,90 (a = 0,1)

- Để biết tỉ lệ tối đa con đạt tiêu chuẩn của loại vật nuôi trên là bao

nhiêu ta cần ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p con đạt tiêu chuẩn

Ta có công thức ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p :

(-0;F, + 25, (PoP)

n

trong đó (Z2,) = (1- 20)/2 = 0,80/2 = 0,40 Tra bang gia tri ham Laplace

ta dude za, = 1,28 Suy ra tỉ lệ tối đa con đạt tiêu chuẩn là:

By + 2yqqf 2 —Th) s0yg+1,28|956 9/3 — 0 3587,

Vậy với độ tin cậy 90%, tỉ lệ tối đa con đạt tiêu chuẩn của loại vật nuôi trên là 35,87%

- Để biết tỉ lệ tối thiểu con đạt tiêu chuẩn của loại vật nuôi trên là bao

nhiêu ta cần ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p con đạt tiêu chuẩn

Ta có công thức ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p:

(F, - 7 (= Fu) 400) ;

n trong d6 za, = 1,28 Suy ra tỉ lệ tối thiểu con đạt tiêu chuẩn là:

F, — 20, [Bo Fy) = 0,3-1,28 0,3 - 0,8) = 0,2413

Vậy với độ tin cậy 90%, tỉ lệ tối thiểu con đạt tiêu chuẩn của loại vật nuôi

trên là 24,13%

Bài 2: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm của xí nghiệp I,

người ta quan sát một mẫu trong kho và có kết qủa sau:

X(em) 11-15 | 15-19 | 19-238 | 28-27 | 27-31 | 31-85 | 35-39

a) Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên với độ tin cậy 96%

b) Nếu ước lượng GTTB của X với độ chính xác 1,8em thì sẽ đạt được

độ tin cậy là bao nhiêu?

Nếu ước lượng ŒGTTB của X với độ chính xác 1,5em và độ tin cậy 99% thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa?

d) Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19em trở xuống được gọi là những sản phẩm loại B Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của

những sản phẩm loại B với độ tin cậy 98% (G8 X có phân phối chuẩn) e) Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 92% Bảng số liệu

trên được chọn ngẫu nhiên từ một kho trong đó có 1000 sản phẩm loại B Hãy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy 92%

0_Nếu ước lượng tỉ lệ những sp loại B với độ chính xác 6% thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?

ø) Nếu ước lượng tỉ lệ những sản phẩm loại B với độ tin cậy 96% và độ

chính xác 8% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

Trang 3

h) Giả sử trong kho để lẫn 1000 sản phẩm của xí nghiệp II và trong 100 sản phẩm lấy từ kho có 9 sản phẩm của xí nghiệp II Hãy ước lượng số

sản phẩm của xí nghiệp Ï có trong kho với độ tin cậy 82%

Lời giải

Lập bảng

Ta có:

n=100; Š`X,n, =2636; Y`X?n, =75028

e Kỳ vọng mẫu của X là

XK = => Xn, = 26, 36(em)

e© Phương sai mẫu của X là:

§ ` = _ X¿n, - X? =(7,4452)°(em?)

e Phuong sai mau đã hiệu chỉnh của X là:

S?= 8 = (7,4827)2(cm?)

n —

a) Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên với độ tin cậy 96%

Vì n>30, o” = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng:

(XS, ¡X1 ,

trong đó o(z,) = y/2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được z„ = 2,06 Vậy ước lượng khoảng là:

(26, 36 - 2,06 D4527 ; 26, 36 + 2,06 14827

Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, giá trị trung bình của chỉ tiêu X nằm trong khoảng từ 24,82em đến 27,93 em

b) Nếu ước lượng GTTB của X với độ chính xác 1,8em thì sẽ đạt được độ

Đây là bài toán xác định độ tin cậy y = 1- œ khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác e = 1,8em

Vì n>30, ø” = DŒX) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

s=zy-T—

n

trong đó (z,) = y/2 Suy ra

_evn _ 1,8.V100

“eS 7,4827

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là

=9,41

y = 20(z,)= 20, 41) = 2.0, 4920 = 98, 40%

Vậy độ tin cậy đạt được là 98,40%

e) Nếu ước lượng GTTB của X với độ chính xác 1,Bem và độ tin cậy 99%

thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa?

Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác e = 1,5em và độ tin cậy y = 1- œ = 99% = 0,99 Vì n>30, o” = D(X) chua biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

1

a Vn’

trong dé (z,) = y/2 = 0,99/2 = 0,495 Tra bang gia tri ham Laplace ta duge z, = 2,58 Suy ra

2

Â=

n=|—o

ể

n> Z9 _ 2,58.7,4827 ~ 165,64

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thỏa bất đẳng thức trên là nị = 166 Vì nị =

166 — 100 = 66 sản phẩm nữa

£=

d) Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19em trở xuống được gọi là những sản phẩm loại B Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những

sản phẩm loại B với độ tin cậy 98% (G8 X có phân phối chuẩn)

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng upg= MŒX§) của chỉ tiêu

X = X¡; của những sản phẩm loại B với độ tin cậy y = 1- œ = 98% = 0,98

Ta lập bảng số liệu của Xp:

Xn

Trang 4

mị j8 |9 |

Từ bảng trên ta tính được:

n, =17; 5 X pp, =297; VY Xing, =8, 958

e Ky vong mau cia Xp la

X,= m> X„„ng, = 15.1176 (cm)

e Phương sai mẫu của Xa là:

Sp = ¬ — Xe? =(1,9965)?(em”)

n

e Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh của Xa là:

Np

Sp? = 85 = (2,0580)2 (em?)

np -1l

Vi np < 30, Xp c6 phan phéi chudn, o73= D(Xp) chua biét, nén ta có công thức ước lượng khoảng cho ky vọng:

sa 2),

trong đó 1 được xác định từ bảng phân phối Student với k = ng-1=16

và œ = l1 -y= l1 - 0,98 = 0,02 Tra bang phân phối Student ta được

th = 2,583 Vậy ước lượng khoảng là:

Nói cách khác, với độ tin cậy 98%, giá trị trung bình của chỉ tiêu X của

những sản phẩm loại B nằm trong khoảng từ 13,83em đến 16,41em

(15,1176 - 2,583 ; 15, 1176 + 2,583 ) = (18, 83; 16, 41)

e) Hãy ước lượng tỉ lệ những sản phẩm loại B với độ tin cậy 92% Bảng

số liệu trên được chọn ngẫu nhiên từ một kho trong đó có 1000 sản phẩm

loại B Hãy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy 92%

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các sản phẩm loại B với

độ tin cậy y = l- œ = 92% = 0,92 Ta có công thức ước lượng khoảng :

trong đó o(z,) = y/2 = 0,92/2 = 0,46 Tra bang gia tri ham Laplace ta

được z„= 1,75 Mặt khác, trong n =100 sản phẩm có m = 17 sản phẩm

loại B nên tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B là F„= 0,17 Vậy ước lượng khoảng

là:

(0,17 —1,75, oA — 0.10), 0,174.1,75 TH) = (10,43%; 23, 57%)

Nói cách khác, với độ tin cậy 92%, tỉ lệ sản phẩm loại B nằm trong

khoảng từ 10,43% đến 23,B7%

Khi trong kho có 1000 sản phẩm loại B, gọi N là số sản phẩm có trong

kho, ta có tỉ lệ sản phẩm loại B là 1000/N Theo kết quả trên, với độ tin cậy 92%, tỉ lệ các sản phẩm lọai B từ 10,43% đến 23,57%, do đó:

10,43% <1000 _ 93,51% c 10,43 <1000 _ 33,57

100.1000 <N< 100.1000 23,57 10,430

& 4242,68 <N < 9587,73

<& 4248 <N < 9587

Vậy với độ tin cậy 92%, ta ước lượng trong kho có từ 4243 đến 9587 sản

phẩm

0 Nếu ước lượng tỉ lệ những sp loại B với độ chính xác 6% thi sé dat

được độ tin cậy là bao nhiêu?

Đây là bài toán xác định độ tin cậy y = 1- œ khi lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác s = 6% = 0,06 Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

[F,d -F))

= Ly ———— ;

n

trong đó (z,) = y/2 Suy ra:

z,, = ¢,,—2 — = 0,06, 109 = 1, 60

F(d-F,) 0,170 - 0,17) Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là

y = 2e(z,) = 20, 60) = 2.0, 4452 = 89, 04%

ø) Nếu ước lượng tỉ lệ những sản phẩm loại B với độ tin cậy 96% và độ chính xác 8% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại

B với độ chính xác e = 8% = 0,08 và độ tin cậy y = 1- œ = 96% = 0,96 Ta

có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

[F,a—F,)

= Zy —;

1

Trang 5

trong đó o(z,) = y/2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bang gia tri ham Laplace ta được z„ = 2,06 Suy ra

z°F (1—-F,) n=-~*~———

€

n> ZF (1-F,) _ 2, 067.0,17(1 — 0,17)

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thoả bất đẳng thức trên là nị¡ = 94 Vì nị =

94 < 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều tra thêm sản

phẩm nữa

+ 93,56

h) Giả sử trong kho để lẫn 1000 sản phẩm của xí nghiệp II và trong 100 sản phẩm lấy từ kho có 9 sản phẩm của xí nghiệp II Hãy ước lượng số

sản phẩm của xí nghiệp Ï có trong kho với độ tin cậy 82%

Trước hết ta ước lượng tỉ lệ sản phẩm của xí nghiệp I có trong kho với

độ tin cậy 82% Ta có công thức ước lượng khoảng :

Fn, [E,d=E,) ap tá lE,d -E,),

trong đó o(z,) = y/2 = 0,82/2 = 0,41 Tra bang gia tri ham Laplace ta duge z, = 1,34 Mặt khác, theo giả thiết, trong n =100 sản phẩm có 9 sản phẩm của xí nghiệp II tức là có 91 sản phẩm của xí nghiệp I, nên tỉ

lệ mẫu sản phẩm của xí nghiệp I là F„ = 91/100 = 0,91 Vậy ước lượng khoảng là:

(0,91-— 134/22 800 0,91 +1, 34 TS”) = (87,17%; 94, 83%)

Nói cách khác, với độ tin cậy 92%, tỉ lệ sản phẩm của xí nghiệp Ï nằm

trong khoảng từ 87,17% đến 94,83%

Bây giờ gọi N là số sản phẩm của xí nghiệp Ï có trong kho Khi đó:

- Tổng số sản phẩm có trong kho là NÑ + 1000

- _ Tỉ lệ sản phẩm của xí nghiệp I có trong kho là N/(Ñ+1000)

Theo kết quả trên, với độ tin cậy 82%, tỉ lệ sản phẩm của xí nghiệp I

có trong kho nằm trong khoảng từ 87,17% đến 94,83%, do đó:

_—N _ 94,83% <= 87,17% <_N_.<

©5,17% <_< 19,88% N+1000

= 0 000 <N<- S9 12, 83% 5,17%

& 6795 <N <18342

94,83%

Vậy với độ tin cậy 82%, ta ước lượng số sản phẩm của xí nghiệp I có

trong kho nằm trong khoảng từ 6795 đến 18342

Bài 3: Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau:

(em) 95-105 | 105-115 | 115-125 | 125-135 | 155-145 | 145-155 | 155-165

Đố cây | 10 10 15 30 10 10 15

a) Ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin

cậy 96%

b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với

độ tin cậy 99% và độ chính xác 4 em thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa?

e) Nếu ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ chính xác 4,58em thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?

d) Những cây trồng có chiều cao từ 135em trở lên được gọi là những cây

“cao” Hãy ước lượng tỉ lệ những cây “cao”với độ tin cậy 95%

e) Nếu ước lượng tỉ lệ những những cây “cao” với độ chính xác 10% thì

sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?

0 Nếu ước lượng tỉ lệ những những cây “cao” với độ tin cậy 95% va độ

chính xác 11% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa?

Lời giải

Ta có:

ñn=100; Ð'Xm, =13100; Ð X”n, =1749000

« Kỳ vọng mẫu của X là X= +y Xn, =131(cm)

n e© Phương sai mẫu của X là:

Trang 6

§ = +S x?n, _ X? =(18,1384)2(em”)

n

e Phuong sai mau hiéu chinh cua X là:

^2

S?= —T8 = (18, 2297)?(em?)

a) Ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy 96%

Vì n>30, o” = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng:

Sos S

Ta sX+Z, Nrủ ;

trong đó 0(z„) = y/2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bang giá trị hàm Laplace ta được z„ = 2,06 Vậy ước lượng khoảng là:

(X—z,

18,2297

V100 ”

18,2297

V100

(151- 2,06 131+ 2,06 ) = (127, 2447; 134, 75538)

Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, chiều cao trung bình của một cây nằm trong khoảng từ 127,2447em đến 134,7553em

b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với

độ tin cậy 99% và độ chính xác 4em thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa?

Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác e = 4em và độ tin cậy y = 99% = 0,99

Vì n>30, ø” = DŒX) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

ean, & a vn >

trong đó (z,) = y/2 = 0,99/2 = 0, 495 Tra bang gia tri ham Laplace ta được z„ = 2,58 Suy ra

n= (28)

ể

n3(2SÏ- -(25318PÏ „gan,

€

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thỏa bất đẳng thức trên là nị = 139 Vì nị =

189 — 100 = 39 cây nữa

e) Nếu ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ chính xác 4,58em thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?

Đây là bài toán xác định độ tin cậy y = 1- œ khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác e = 4,B8em

Vì n>30, ø” = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

E= Za 5,

n

trong đó (z,) = y/2.Suy ra

„ _#⁄n _ 4,58 /100

* 5 18,2297 Tra bang gia tri ham Laplace ta được độ tin cậy là

y = 20(z,)= 20(2,5128)= 20(,52) = 2.0, 4941 = 98, 82%

= 2,5123

d) Những cây trồng có chiều cao từ 135em trở lên được gọi là những cây

“cao” Hãy ước lượng tỉ lệ những cây “cao”với độ tin cậy 95%

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các cây cao với độ tin cậy y= l-œ= 95% = 0,95 Ta có công thức ước lượng khoảng :

Œ sa JPàq=Ej)p ,„ [Ạd-E,)),

trong dé 9 (z,) = y/2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bang gia tri ham Laplace ta

duge z, = 1,96 Trong n = 100 cây có m = 10 + 10 + lỗ = 835 cay cé

chiều cao từ 135em trở lên nên tỉ lệ mẫu các cây cao là F¿ = 35/100 = 0,35 Vậy ước lượng khoảng là:

(0,35 — 1L ¬ 0,35 + 1,96, ee 08) = (25, 65%; 44, 35%)

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ cây cao nằm trong khoảng từ 25,65% đến 44,35%

e) Nếu ước lượng tỉ lệ những những cây “cao” với độ chính xác 10% thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?

Đây là bài toán xác định độ tin cậy khi lượng tỉ lệ cây cao với độ chính xác e = 10% = 0,1

Trang 7

lE,d =F,)

= Za —;

1

trong đó 9 (z,) =y/2 Ta có tỉ lệ mẫu cây cao 1a: F, = 0,35 Suy ra

F(1-F,) 0,35 — 0, 35)

Tra bang gia tri ham Laplace ta được độ tin cậy là

y = 29(z,,) = 29(2, 0966) = 2p(2, 1) = 2.0, 4821 = 96, 42%

0 Nếu ước lượng tỉ lệ những những cây “cao” với độ tin cậy 95% và độ

chính xác 11% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa?

Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ cây cao với độ

chính xác e = 11% = 0,11 và độ tin cậy y = l- œ = 95% = 0,95

lE,d =F,)

= Za —;

1

trong đó o(z„) = y/2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được z„ = 1,96 Suy ra

z7F.-—F,)

n= 2

¬ > 2, —E,) _ 1,96°.0,35( - 0,35)

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thoả bất đẳng thức trên là nị¡ = 73 Vì nị=

73 < 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều tra thêm cây

nào nữa

x 72,28

Bài 4: Để nghiên cứu nhu cầu của một loại hàng ở một khu vực, người ta

khảo sát 400 hộ gia đình Kết quả như sau:

Nhu cầu (kg/tháng/hộ) | 0-1 1-2 |2-3 |3-4 |4-5 |5-6|6-7 | 7-8

Bố hộ 10 35 86 132 | 78 31 | 18 10 Cho biết trong khu vực có 4000 hộ

a) Ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm với độ tin cậy 95%

b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm, nếu ta muốn đạt được độ tin cậy 99% và độ chính xác là

4,8tan thi cần khảo sát ở ít nhất bao nhiêu hộ gia đình?

Gọi X(kg) là nhu câu của một hộ về loại hàng trên trong một tháng Ta có:

Xi 0,5 {1,5 [2,5 [38,5 14,5 |5,5 16,5 | 7,5

ni 10 35 86 132 | 78 31 {18 10

n = 400; >) X,n, =1448; 5) X,’n, =6076

e Ky vọng mẫu của X là X = —, Xm, = 3,62

n

e Phuong sai mau của X là:

§ = +9 X?n, — R? =, 4442)"

n

e Phuong sai mau hiéu chinh cua X 1a:

S? = =8” =(,4460

a) Ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm với độ tin cậy 95%

Trước hết ta ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của một

hộ trong khu vực trong một tháng với độ tin cậy 95%

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng = MŒX) với độ tín cậy y=1-œ = 95% = 0,95

Vi n > 30, o” = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng:

Sos S

ở dã :Ä + Tn ;

trong đó 0(z„) = y/2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bang gia tri ham Laplace ta được z„ = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là:

(3, 62 —- 1,96 14460 :ð,62 +1, 96 14460

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, nhu cầu trung bình về mặt hàng này của một hộ trong khu vực trong một tháng nằm trong khoảng từ 3,4783kg đến 3,7617kg Xét 4000 hộ trong một năm 12 tháng, ta có các nhu cầu tương ứng là:

3,4783x4000x12 = 166958,4kg = 166,9584tấn;

3,7617x4000x12 = 180561,6kg = 180,B616tấn

Kết luận: Với độ tin cậy 95%, nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm nằm trong khoảng từ 166,9584tấn đến

180,5616tan

(X-z

)=(,4788; 3, 7617)

Trang 8

b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm, nếu ta muốn đạt được độ tin cậy 99% và độ chính xác là

4,8tan thi cần khảo sát ở ít nhất bao nhiêu hộ gia đình?

Khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực

trong một năm với độ tin cậy 99% và độ chính xác là 4,8 tấn= 4800kg, nghĩa là ta ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của một hộ trong một tháng với độ tin cậy y = 1- a = 0,99 và độ chính xác e = 4800/(4000x12) = 0,1kg Như vậy, ta đưa về bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác e = 0,1 và độ tin

cay y = 1- a = 99% = 0,99

Vi n> 30, o” = D(X) chua biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

a vn’

trong đó (z,) = y/2 = 0,99/2 = 0, 495 Tra bang gid tri ham Laplace ta được z„ = 2,58 Suy ra

f2)

n=|-—}|

ể

n>[Z8) _|^58*x1,44601 _ 1391 ¢

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thỏa bất đẳng thức trên là nị = 1392 Vậy cần khảo sát ít nhất là 1392 hộ gia đình

Bài 5: Để biết số lượng cá trong hồ lớn người ta bắt lên 2000 con đánh dấu xong rồi thả chúng xuống hồ Sau đó người ta bắt lên 400 con và thấy

có 80 con được đánh dấu

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số cá có trong hồ

b) Ước lượng số cá tối đa có trong hồ với độ tin cậy 96%

e) Ước lượng số cá tối thiểu có trong hồ với độ tin cậy 94%

Lời giải

Gọi N là số cá có trong hồ Khi đó tỉ lệ cá được đánh dấu có trong hồ

lA p = 2000N

Với mẫu thu được, ta có:

e Cỡ mẫu n = 400

e Số con được đánh dấu trong mẫu là: m = 80

F, = m/n = 80/400 = 0,2

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số cá có trong hồ

Trước hết ta ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các con được đánh dấu với

dé tin cay y= 1- a = 95% = 0,95

Ta có công thức ước lượng khoảng:

(Ta, [E,0-E,) " lE,q-E.)

trong dé (z,) = (1- a)/2 = y/2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bang gia tri ham Laplace ta duge z, = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là:

(0,2-1,96, 224-2) 0 2 2, 96,270 — 9), ~ (16, 08%; 23,92%)

Như vậy, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ con được đánh dấu nằm trong khoảng

từ 16,08% đến 23,92%, do đó:

2000 < 93 92% <> 2000 CNG<- 200

23, 92% 16, 08%

Vậy với độ tin cậy 95%, ta ước lượng số cá có trong hồ khoảng từ 8362 đến 12437 con

b) Ước lượng số cá tối đa có trong hồ với độ tin cậy 96%

Số cá tối đa có trong hồ tươg ứng với giá trị tối thiểu của tỉ lệ con được đánh dấu Do đó trước hết ta ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p các con được đánh dấu với dé tin cay y = 1- œ = 96% = 0,96 (œ = 0,04)

Ta có công thức ước lượng khoảng bên phải:

(Fi, ~ tayo — đu) sao)

1

trong đó (zg) = (1- 20)/2 = y/2 = 0,92/2 = 0,46 Tra bang giá trị hàm Laplace ta được zs„= 1,75 Suy ra giá trị tối thiểu của tỉ lệ con được đánh

dấu là:

F, - 204 I ad =E,) =0,2-1,75 ¡0.24 0,2) = 0,165

Như vậy, với độ tin cậy 96%, ta có

2000 2 0,165QN< 2000

Vậy với độ tin cậy 96%, số cá tối đa có trong hồ là 12121

e) Ước lượng số cá tối thiểu có trong hồ với độ tin cậy 94%

16,08% <

=12121,2

Trang 9

Số cá tối thiểu có trong hồ tươg ứng với giá trị tối đa của tỉ lệ con được đánh dấu Do đó trước hết ta ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p các con được đánh dấu với độ tin cậy y = 1- œ = 94% = 0,94 (œ = 0,06)

Ta có công thức ước lượng khoảng bên trái:

(-o;F, + 25, [dt EU),

n

trong dé (za) = (1- 20/2 = y/2 = 0,88/2 = 0,44 Tra bang giá trị hàm Laplace ta duge za, = 1,56 Suy ra giá trị tối da của tỉ lệ con được đánh

dấu là:

F, + 25,,/ 2 = 0,2 + 1,56,/2——_— = 0, 2312

Như vậy, với độ tin cậy 94%, ta có

Vậy với độ tin cậy 94%, số cá tối thiểu có trong hồ là 8651

Bài 6: Trọng lượng của một sản phẩm theo qui định là 6kg Sau một thời

gian sản xuất, người ta tiến hành kiểm tra 121 sản phẩm và tính được

trung bình mẫu là 5,975kg và phương sai mẫu hiệu chỉnh 5,7596kg” Sản

xuất được xem là bình thường nếu các sản phẩm có trọng lượng trung bình bằng trọng lượng qui định Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về tình hình sản xuất

Lời giải

Gọi X là trọng lượng của một sản phẩm Giả thiết cho ta:

e Cỡ mẫu n = 121

e Kỳ vọng mẫu của X là X = 5,975 (kg)

e Phương sai mẫu hiệu chỉnh của Xlà SỬ = 5,7596(kg”)

e_ Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là §= 2,3999(kg)

Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng = MŒX) với mức ý

nghĩa o = 5% = 0,05:

Ho: = 6 với giả thiết đối Hy: u # 6

Vì n>30; ơ? = DŒ) chưa biết, nên ta kiếm định như sau:

Bước 1: Ta có

„_(š-H,Nh _ (6,975 —6NH21 _ 0 nu

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace dé tim z„ thoả

0(z„) = (1- a)/2 = 0,95/2 = 0,475

Bước 3: Kiểm định Vì lzl= 0,1146 < 1,96 = z„ nên ta chấp nhận gia thiét Ho: p = 6

Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, tình hình sản xuất được xem là bình thường

Bài 7: Trọng lượng của một sản phẩm có phân phối chuẩn với trọng

lượng trung bình là 500g Sau một thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ trọng lượng trung bình của loại sản phẩm này có xu hướng giảm nên tiến

hành kiểm tra 25 sản phẩm và thu được kết quả sau:

Trọng lượng )_ | 480 | 485 | 490 | 495 | 500 | 510

Số sản phẩm 2 3 8 5 3 4 Với mức ý nghĩa 3%, hãy kết luận điều nghi ngờ trên có đúng hay không

Lời giải

Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng h = MŒX) với mức ý

nghĩa œ = 3% = 0,08:

Ho: = 500 với giả thiết đối Hị:h < 500

Xi 480 | 485 | 490 | 495 | 500 | 510

ni 2 3 8 5 3 4

n= 25; Ð» X,n, =12350; Ð» Xj”n, =6102800

se Kỳ vọng mẫu của X là

X= +y Xn, = 494(g)

n

S = +y X,’n, — X? =(8,7178)"(g”)

n

e Phuong sai mau hiéu chinh cua X là:

g=_—" ; Ñ = (8,8976)(g°)

Vì n<30; øˆ= D(ŒX) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:

Bước 1: Ta có

„_(&- Hy )Vn _ (494 - 500)V25

Bước 2: Đặt k = n - I = 24 Tra bảng phân phối Student ứng với k =

94 và 2œ = 0,06 ta được ty, = 1,974

Bước 3: Kiểm định Vì -z = 3,3717 > 1,974 = tạ„ nên ta bác bỏ giả

thiết Hạ: u= 500, nghĩa là chấp nhận H;: ¡< 500

= -3,3717

Trang 10

Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, điều nghi ngờ trọng lượng trung bình

của loại sản phẩm này có xu hướng giảm là đúng

Bài 8: Năng suất lúa trung bình của những vụ trước là 5,Btấn/ha Vụ lúa

năm nay người ta áp dụng một phương pháp kỹ thuật mới cho toàn bộ điện tích trồng lúa trong vùng Điều tra năng suất 100ha lúa, ta có bảng

số liệu sau:

Nangsuat (ta/ha) | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 | 75-80

Với mức ý nghĩa 1%, hãy kết luận xem phương pháp kỹ thuật mới có làm tăng năng suất lúa trung bình của vùng này hay không?

Lời giải

Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng = MŒX) với mức ý

nghĩa œ = 1% = 0,01:

Ho: = Bố với giả thiết đối Hị:h > 55

(5,5tan = 55ta)

X | 42,5 | 47,5 | 52,5 | 57,5 | 62,5 | 67,5 | 72,5 | 77,5

ni | 7 12 18 27 | 20 8 5 3

n=100; 5) X,n, =5750; 5) X,’n, =337475

e Ky vong mau cia X 1a

X = => X.n, =57,5(ta)

g° - => Xn, - X° =(8, 2765)*(ta?)

e Phuong sai mau hiệu chỉnh của X là:

g>=—P : Ñ” = (8,3189)?(ta°)

n —

Vi n2>30; 0” = DŒ) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:

Bước 1: Ta có

„_ Ä -Hun _ G7,5- 5)100

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zz„ thoả

(z2„) = (1- 2œ}⁄2 = 0,98/2 = 0,49

= 38,0055

ta được Zo, = 2,38

Buéc 3: Kiém dinh Vi z = 3,0055 > 2,33 = zo, nén ta bac bo gia thiét

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, phương pháp kỹ thuật mới làm tăng

năng suất lúa trung bình của vùng này

Bài 11: Một máy sản xuất tự động, lúc đầu tỉ lệ sản phẩm loại A là 45%

Sau khi áp dụng một phương pháp sản xuất mới, người ta lấy ra 400 sản

phẩm để kiểm tra thì thấy có 215 sản phẩm loại A Với mức ý nghĩa 5%,

hãy kết luận xem phương pháp mới có thực sự làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A hay không?

Lời giải

Từ giả thiết ta suy ra:

e Co mau n = 400

e_ Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A 1a F, = m/n = 215/400 = 0,5375

Ta đưa bài toán về bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với mức ý nghĩa œ = 5% = 0,05:

Ho: p = 45% = 0,45 với giả thiết đối H;:p> 0,45

Ta kiểm định như sau:

Bước 1: Ta có

_(F, -p,)Vn _ (0,5375 - 0,45)/400

VPo( — Po) 40,45 - 0,45)

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zz„ thoả

0(22„) = (1 - 20)/2 = 0,90/2 = 0,45

= 3,5176

ta được zz„ = 1,65

Bước 3: Kiểm định Vì z = 3,B176 > 1,65= zz„nên ta bác bỏ giả thiết Ho: p = 0,45, nghĩa là chấp nhận H;:p > 0,45

Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, phương pháp mới thực sự làm tăng tỉ lệ

sản phẩm loại A

Bài 13: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát

một mẫu và có kết qủa sau:

X(em) 11-15 |15-19 | 19-23 | 23-27 | 27-31 | 81-385 | 35-39

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được gọi là những sản

phẩm loại B

a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn của chỉ tiêu X là 29em Hãy cho nhận xét về tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 2%

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	257,19 KB

Tiêu đề	Bài giải thống kê
Thể loại	Bài giải thống kê