Do đó xác suất để bi trắng có được thuộc hộp 1 trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện PA¡/C.. Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gap sản phẩm xấu trong trường
Trang 1
BAI GIAI XAC SUAT THONG KE
(GV: Trần Ngọc Hội — 2009) CHƯƠNG 1
NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
Bài 1.1: Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu Mỗi
khẩu bắn 1 viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cua ba khẩu I, II và III lan
lượt là 0,7; 0,8 và 0,5 Tính xác suất để
a) có 1 khẩu bắn trúng
b) có 2 khẩu bắn trúng
e) có 3 khẩu bắn trúng
đd) ít nhất 1 khẩu bắn trúng
e) khẩu thứ 2 bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng
Lời giải Tóm tắt:
Xác suất trúng 0,7 | 0,8 0,5
Goi A; G = 1, 2, 3) 1a bién cố khẩu thứ j bắn trúng Khi đó Aj, As, Ag déc lap va gia thiét cho ta: _
P(A, ) = 0,7; P(A,) = 0,3:
P(A,) = 0, 8;P(A,) = 0, 2;
P(A,) = 0,5; P(A,) = 0,5
a) Goi A là biến cố có 1 khẩu trúng Ta có
A=A,A,A,+A,A,A, + A,A,A,
Vì các biến cố A,A,A,,A;A,A.,A;A,A, xung khắc từng đôi, nên
theo công thức Cộng xác suất ta có
P(A) = P(A,A,A, + A,A,A, + A,A,A,)
= P(A,A,A,) + P(A,A,A,) + P(A,A,A,)
Vi cdc bién c6 Aj, As, Ag doc lap nên theo công thức Nhân xác suất ta
P(A,A,A,) = P(A, )P(A,)P(A,) = 0,7.0, 2.0,5 = 0,07;
P(A,A,A,) = P(A, )P(A,)P(A,) = 0,3.0, 8.0,5 = 0,12;
P(A,A,A,) = P(A, )P(A,)P(A,) = 0, 3.0, 2.0,5 = 0,03
Suy ra P(A) = 0,22
b) Goi B là biến cố có 2 khẩu trúng Ta có
B=A,A,A,+A,A,A,+A,A,A,
Tính toán tương tự câu a) ta được P(B) = 0,47
e) Gọi C là biến cố có 3 khẩu trúng Ta có
C=A,A,A,
Tính toán tương tự câu a) ta được P(C) = 0,28
đ) Gọi D là biến cố có ít nhất 1 khẩu trúng Ta có
D=A+B+C
Chú ý rằng do A, B, C xung khắc từng đôi, nên theo công thức Cộng xác
suất, ta có:
P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97
e) Gia sử có 2 khẩu trúng Khi đó biến cố B đã xảy ra Do đó xác suất
để khẩu thứ 2 trúng trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện
P(AzÐ)
Theo công thức Nhân xác suất ta có:
P(AgB) = P(B)P(Ad/B) Suy ra
P(A,B)
P(B) ©
P(A,/B) =
Ma A,B=A,A,A,+A,A,A, nén ly luan tuong ty nhu trén ta duge
P(A;B)=0,4
uy ra P(Az⁄B) =0,851
Bài 1.2: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi
đỏ, 1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp
2 bi
a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ
b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng
©_ Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng
d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng
có được của hộp Ï
Trang 2
Lời giải
Goi A,, B; Gi = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi dé và (2 - i) bi trắng có trong 2 bị được chọn ra từ hộp I, hộp II
khi đó
- Ao, Ai, As xung khắc từng đôi và ta có:
P(A,) = 0;
P(A,) — C.C, _ 3,
Cc, 45
2 0 P(A,) = CC, 36
Cc, 4
- Bọ, Bị, B; xung khắc từng đôi và ta có:
Pø,) - CÓ: - 6
C 45
10
1 1
pø,) - CÓ: - 24
Ca 45 pcp) = CC: _ 18
- A; va B; độc lập
- Tổng số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố A; và
Bo | Bi | Be Ao|O |1 12 Aill [2 13 AzlL2 |3 |4
a) Goi A là biến cố chọn được 4 bi đỏ Ta có:
A= Ao Bao
Từ đây, do tính độc lập, Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
36 15 P(A) (A) = P(A,)P(B,) (A;)P@,) = —.— =0, 2667 15 AB
b) Gọi B là biến cố chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng Ta có:
B= AjpBo+ À¡B¡ + AsBọ
Do tính xung khắc từng đôi của các biến cố AsB;, A:B¡, A;Bo, công thức Cộng xác suất cho ta:
P(B) = P(AsBs+ A¡Bị + A;Bạ) = P(AsB;) + P(A;¡B¡) + P(A;Bạ)
Từ đây, do tính độc lập, Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
P(B)= P(As)P(B;) + P(A¡)P(B)) + P(A;)P(Bạ) = 0,2158
e) Gọi C là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng Ta có:
C= A;¡Bs+ AsBi
Lý luận tương tự như trên ta được
P(C) = P(A¡)P(B;) + P(A;)P(BR)) = 0,4988
d) Giả sử đã chọn được 3 bi đồ và 1 bi trắng Khi đó biến cố C đã
xảy ra Do đó xác suất để bi trắng có được thuộc hộp 1 trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A¡/C) Theo Công thức nhân xác suất., ta có
P(A,C) = P(C)P(A,/C)
Suy ra
P(A,C) P(C)
P(A/C) =
Ma AIC = A, Bo nén
9 15 P(A,C) (A,C) = P(A,B,) = P(A,B,) = P(A, )P(B,) (A, )P(B,) = Fe ae = —.— = 0, 0667
Do đó xác suất cần tìm là: P(A,/C) = 0,1352
Bài 1.3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
b) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Tính xác suất để
ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu
Lời giải
Gọi T;¡, X; lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt, xấu ở lần kiểm
tra thi i
a) Goi A là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3 Ta có:
Trang 3
A =T,ToTs
Suy ra P(A) = P(T:TzTa) = P(T:) P(T/T:) P(Pz/ T¡T¿)
= (6/10X5/9X4/8) = 0,1667
b) Gọi B là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Ta có:
B= X,TeT3T4 + T¡X:TsT¿ + TT:zXaTa
Suy ra
P(B) = P(K{TeT3T,) + PCT XeTsT4) + P(TiT2XsTy )
= P(K)) P(T2/X1) P(T3/XiT 2) P(T/XiT2T 3)
+ P(T)) P(K)/T1) P(T3/T;X2) P(T4/T XT 3) + P(T)) P(T2/T 1) P(K3/ TT 2) P(T4/ T1T2 Xs)
= (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8 (4/7)
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857
e) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Khi đó biến
cố B đã xảy ra Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng
gap sản phẩm xấu trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện PŒ%X./B)
Theo Công thức nhân xác suất, ta có
PŒ%X,B) = P(B)P(%,/B)
Suy ra
PŒ%.B)
P(B)
P(X,/B) =
Ma X3B = Ty TeX3T4 nén
P(X;B) = P(TiT2XsTy) = PCT) P(To/T1) P(Ks/ T1T2) P(Ty/ TiT2 Xs)
= (6/10)(5/9)(4/8 (4/7) = 0,0952
Suy ra P(X;/B) = 0,3338
Bài 1.4: Một hộp bi gém 5 bi dé, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ Từ
hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại Tính xác suất để
a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ
Lời giải Gọi Dị, Tị, X;ị lần lượt là các biến cố chọn được bi đỏ, bi trắng, bi xanh ở
lần rút thứ i
a) Gọi A là biến cố rút được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ Ta có:
xX PC
T-T-X-
A xảy ra © Rút được |T—-X_-T-—
X-T-T-
Suy ra
A = T:T;X;D¿ + T;X;zT¿D„ + X/T¿TsD,
Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có:
P(A) = P(T/T;XzD¿)+ P(T:XzTsDạ) + P(X:T;T;D¿ )
Theo Công thức Nhân xác suất, ta có
P(T,T2X3D4) = P(T1)P(T2/T ))P(X3/T 1T2)P(D4/T1T 2X3)
= (4/12)(8/11)(38/10)(5/9) = 1/66;
P(T)XeT3D4) = P(ŒT¡)PŒX/T¡)P(T/T¡Xz)P(D//T¡X:T:)
= (4/12X3/11X3/10X5/9)= 1/66;
P(X.JT;zT;Da) = P(XJ)P(Tz/X¡)P(ŒT/XIT¿)P(DJ/XIT:Ta)
= (8/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66
Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455
b) Gọi B là biến cố không có bi trắng nào được rút ra Ta có:
D X-
B xảy ra © Rút được X
X- x
D X=D Suy ra
B= Dị + X,De + X,X2D3+ XIX¿Xa Dạ
Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có:
P(B) = P(D¡)+ P(X¡D›) + P(X, X2Dz3 ) + P(X¡X¿X; Dạ)
Theo Công thức Nhân xác suất, ta có
6
Trang 4
P@) = P(D;) + P(X,)P(Dz/X.) + PCK1)P(K2/X1)P(D3/K1 Xa)
+ P(K))P(Xo/X)P(X3/X1 X2)P(D4/X1 XoX3)
= 6/12+ (8/12)(5/11) + (8/12)(2/11)(5/10) + (8/12)(2/11)(1/10)(5/9)
= 5/9 Bài 1.5: Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phan
xưởng I, II và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân
xưởng II chiếm 45% và phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại
A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là 70%, 50% và 90%
a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân
xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất?
c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X)
ở thị trường
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A
Lời giải
Phân xưởng I II | Il
Tỉ lệ sản lượng | 30% | 45% | 25%
Tỉ lệ loại A 70% | 50% | 90%
a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất ta
chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm ở thị trường Khi đó tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất để sản phẩm đó thuộc loại A
Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A
Ay, Az, Ag lan lượt là các biến cố sản phẩm do phân xưởng I, II, III] sản xuất Khi đó A¡, As, As là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi va
P(A,) = 80% = 0,3; P(Ag) = 45% = 0,45; P(Aa) = 25% = 0,25
Theo công thức xác suất đây đủ, ta có:
P(B) = P(A¡)P(B/A¡) + P(A;)P(B/A¿) + P(A;)P(B/Aa)
Theo giả thiết,
P(B/A)) = 70% = 0,7; P(B/Ag) = 50% = 0,5; P(B/Aa) = 90% = 0,9
Suy ra P(B) = 0,66 = 66% Vay tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất là 66%
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân
xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất?
Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Khi đó biến cố B đã xảy ra Do đó,
để biết sản phẩm loại A đó có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra
nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A¡/B), P(A/B) và P(Az⁄Ð) Nếu P(A,/B) 1a lớn nhất thì sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng thứ ¡ sản xuất ra là nhiều nhất Theo công thức Bayos ta có:
P(A, )P(B/A,) _ 0,3.0,7 21,
P(A,/B) = P(A,)P(B/A,) _ 0,45.0,5 _ 22,5
P(A,/B) = PlAsP(B/As) _ 0,25.0,9 _ 22,5
Vi P(A/B) = P(AzB) > P(A/B) nên sản phẩm loại A ấy có khả năng
do phân xưởng II hoặc IIT sản xuất ra là nhiều nhất
c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X)
ở thị trường
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A
Ap dung cong thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có:
1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A là P,,., (80) = C¥} pq" = Ce, (0,66) (0, 34)" = 0, 076
2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A la
85 85 85
3: P„(Œ)= 3 Cj¡p*g””* = 3; C¡(0,66)*(0,34)””* = 0,3925
k=80 k=80 k=80
Trang 5
Bài 1.6: Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm YŸ Tỉ lệ sản phẩm loại A trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một
sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A
b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?
Lời giải
Cửa hàng I II | II
Tỉ lệ loại A_ | 70% | 75% | 50%
Chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm
a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A
Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A
Ay, Ag, Ag lan lượt là các biến cố chọn cửa hàng I, II, II] Khi do Ay, Ag, A¿s là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và
P(A,) = P(Ag) = P(As) = 1/8
Theo công thức xác suất đây đủ, ta có:
P(B) = P(A¡)P(B/A¡) + P(A;)P(B/ A;}+ P(A;s)P(B/Aa)
Theo giả thiết,
P(B/A)) = 70% = 0,7;
P(B/Ag) = 75% = 0,75;
P(B/Aa = 50% = 0,5
Suy ra P(B) = 0,65 = 65% Vậy xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là 65%
b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, khả năng người
khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?
Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Khi đó biến cố B đã xảy ra Do đó,
để biết sản phẩm loại A đó có khả năng khách hàng ấy đã chọn cửa
hàng nào là nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A/B),
P(A⁄B) và P(AzB) Nếu P(A/B) là lớn nhất thì cửa hàng thứ ¡ có nhiều
khả năng được chọn nhất
Theo công thức Bayes ta có:
P(A,)P(Œ/A,) _ (1/3).0,7 _ 70,
P(A/B) - P(A;PŒ⁄A;)_ Œ/3.0/75 _ Tố,
P(A,/B) - P(À2PŒ/A;)_Œ/8.0,5 _ 50
Vì P(AzB) > P(A/B) > P(AzB) nên cửa hàng II có nhiều khả năng được
chọn nhất
Bài 1.7: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 12 bi, trong đó hộp I gồm 8 bi
đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bị trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I
ba bi rồi bỏ sang hộp II; sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi
a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II
b) Gia si da lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II Tìm xác suất
để trong ba bi lấy được từ hộp L có hai bi đỏ và một bi trắng
Lời giải
Goi A là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II
A, Gi = 0, 1, 2, 3) 1a biến cố có ¡ bi đồ và (3-i) bi trắng có trong 3 bi chọn
ra ttt hop I Khi d6 Ao, Ay, As, Ag lA mot hé day du, xung khắc từng đôi và
ta có:
0 3
C, ?29
1 2 P(A,) — CC, - 48 |
C 220
2ưmMxI
P(A,) = CC, = 112,
C 220
3m0 P(A,) — CC, _ ĐỒ
C 220
a) Tính xác suất để lấy được 3 bi dé va 1 bi trắng từ hộp II
10
Trang 6
Theo công thức xác suất đây đủ, ta có:
P(A)=P(Ao)P(A/Ao)+P(A1)P(A/A1)+P(Az)P(A/Az)+P(A3)P(A/A3) Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có
3 1
P(A/A,) — CC — 100
Cc 1365’
3 1
P(A/A,) = CC, _ 180
Ci 1365
3 1
P(A/A,) = CC, _ 280
Ci 1365
3 1
P(A/A,) - CC: - 392
Cj, 1365
Suy ra xác suất cần tìm là P(A) = 0,2076
b) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để
trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng
Giả sử đã lấy được 3 bi đổ và 1 bi trắng từ hộp II Khi đó biến cố A đã
xảy ra Do đó xác suất để trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi dé va 1 bi
trắng trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(AzA) Ấp dụng công thức Bayes, ta có:
112 280 P(A,/A) = P(À¿}EGM¿)_ 220 "1365 _ 9.5030
P(A) 0, 2076
Vậy xác suất cần tìm là P(AzA) = 0,5030
Bài 1.8: Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi đen; hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi den
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi
1) Tính xác suất để được cả 3 bi trang
2) Tính xác suất được 2 bi đen, 1 bi trắng
3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng.Tính xác suất để bi
trắng đó là của hộp thứ nhất
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi
Lời giải
a) Gọi A; 0 = 1, 2, 3) là biến cố lấy được bi trắng từ hộp thứ j Khi đó A¡,
Ao, Ags độc lập và
,
P(A,) ==; P(A,) =
,
P(A,) = =;P(A,) =
P(A,) = =;P(A,) =
4
5
3
5
2
5
1) Goi A 1a bién cố lấy được cả 3 bi trắng Ta có
A=A,A,A,
Suy ra P(A) = P(A¡) P(Ag) P(A3) = 0,048
2) Gọi B là biến cố lấy 2 bi den, 1 bi trang Ta có
B=A,A,A,+A,A,A, + A,A,A,
Suy ra P(B) =0,464 3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng Khi đó biến cố B
đã xảy ra Do đó xác suất để bi trắng đó là của hộp thứ nhất trong trường
hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A//B) Theo công thức Nhân xác suất, ta có:
P(A,B) = P(B)P(A)/B) Suy ra
P(A,B) P(B) ~
Mà A,B = A,A,A, nên lý luận tương tự như trên ta được P(A¡B) = 0,048
Suy ra
P(A,/B) =
P(A,/B) =0,1034
b) Chon ngau nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi
Tính xác suất được cả 3 bi đen
Gọi A là biến cố lấy được cả 3 bi đen
Ai, À¿, A¿ lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, II, III Khi đó Ai, A¿, A¿ là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và
P(A,) = P(Ag) = P(As) = 1/8
Theo công thức xác suất đây đủ, ta có:
P(A) = P(AI)P(AAI) + P(A¿)P(A/ À¿)+ P(A;)P(A/A¿)
Theo công thức xác suất lựa chọn, ta có:
12
Trang 7
CC _ 4
Cj - 10
CC; 1
P(A/A,) (A/A,) = ;P(A/A2) = cộ = —;P(A/A,) 107 3) =0
Suy ra P(A) = 0,1667
Bài 1.9: Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có 10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và
4 hộp của xí nghiệp III Tỉ lệ sản phẩm tốt của các xí nghiệp lân
lượt là 50%, 65% và 75% Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm
tốt
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt Tính xác suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí nghiệp I
Lời giải Gọi A là biến cố trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt
A¡0 =1, 2, 3) là biến cố chọn được hộp của xí nghiệp thứ j
Khi đó A¡, As, As là một đầy đủ, xung khắc từng đôi va ta có:
1
P(A,) = Ci _ 10,
C„ 7°
1
P(A,) = C -2
C 20
20
1
P(A,) = C, _4
Cx 20
Mặt khác, từ giả thiết, theo công thức Bernoulli, ta có
P(A/A,) = Œ(0,5)°(1 ~ 0,5) = 0,375 P(A/A,) = C3(0,65)"(1 - 0,65) = 0,443625 P(A/A,) = C2(0,75)/ - 0,25) = 0,421875
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
P(A) = P(Ai)P(A/A) + P(A¿)P(AA¿) + P(A;)P(AMA¿)
= (10/20).0,375 + (6/20) 0,443625 + (4/20) 0,421875 = 0,4050
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt Khi đó, biến cố A đã xảy ra Do đó, xác suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí nghiệp I chính là xác suất có điều kiện P(A¿/A)
Ap dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta
CÓ
P(A, )P(A/A,) _ (10/20).0,375
P(A,/A) =
P(A) 0,4050 = 0,4630
Bài 1.10: Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 thuộc loại giỏi, 4 khá và 3 trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời
được tất cả, sinh viên khá trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu Gọi ngẫu nhiên một sinh viên và phát một phiếu thi gồm
4 câu hỏi thì anh ta trả lời được cả 4 câu hỏi Tính xác suất để sinh viên
đó thuộc loại khá
Lời giải
Tóm tắt:
Xếp loại sinh viên Giỏi | Khá | Trung bình
Số câu trả lời được/20 20 | 16 10
Goi A là biến cố sinh viên trả lời được cả 3 câu hỏi
Ai, A¿, A; lần lượt là các biến cố sinh viên thuộc loại Giỏi, Khá; Trung bình
Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(AzA)
Các biến cố A¡, As, A¿ là một hệ đây đủ, xung khắc từng đôi, va ta có:
P(A,) = 3/10; P(A;) = 4/10; P(As) = 3/10
Theo công thức Bayes, ta có
P(A,/A) = PAPAS)
P(A) Mặt khác, theo công thức xác suất đây đủ, ta có
P(A) = P(A))P(A/A)) + P(Ag)P(A/Ag) + P(A3)P(A/As)
Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có:
Coo
P(A/A,) —nNNgH — 1;
l
4 œ0
P(A/A,) = CóÊ: - 1520,
Ci 4845
4 0
P(A/A,)= CC — 210,
C1 - 4845
14
Trang 8
uy ra P(AzA) = 0,3243
Bài 1.11: Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi den;
hộp II chứa 8 bi trang va 6 bi đen Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ di, sau đó bỏ tất cả các bi còn lại của hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp III Tính xác suất để trong 2 bi lấy từ hộp III có 1 trắng, 1 đen
Lời giải Gọi A là biến cốbi lấy được 1 trắng, 1 đen
A¡0= 0,1, 2, 3, 4) là biến cố có j bi trắng và (4-j) bi đen có trong 4
bí bỏ đi (từ cả hai hộp I va II) Khi đó Ao, Ai, Ag , As, Ayla mét hệ đầy đủ,
xung khắc từng đôi
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
P(A) = P(Au)P(A/A2) + P(Ai)P(AAA) + P(A2)P(AA¿}+ P(A;)P(A/A;) +
P(Ay)P(A/A4)
trong đó
P(A/Ay) = — = 5 (Vì khi Ao đã xảy ra thì trong hộp III có 28 bi gồm
28
18 trắng , 10 đen)
Tương tự,
PIWA,) = Sun - BT praya,) = Saha c 2, C2, 378 C2, 63
P(AlA,) = CHẾ = CC ,P(AJAj) = Sus C2, 126 C2, 27
Bay gid ta tinh P(Ao); P(A1); P(Ag); P(As); P(A4)
Goi B,, C; G@ = 0, 1, 2) lan luot 1A cde bién cé c6 i bi trắng va (2 - i) bi đen có trong 2 bị được chọn ra từ hộp ÏI, hộp II Khi đó
- Bọ, Bị, B¿ xung khắc và ta có:
P(B,) = Cus _ 28 :P()= Cus 80 -P(B,) = Cus 5
18
- Co, Ơi, Cạ xung khắc và ta có:
P(G„) = CC - l5 p(G ) - cửa - =3PC,) = C.C, 28
14
C„ 91
-B¡ và C¡ độc lập
- Tổng số bi trắng có trong 4 bi chon ra phụ thuộc vào các biến cố B, và
C; theo bang sau:
2
3
4
Ao = BoCo => P(Ao) = P(Bo)P(Co) = 20/668
A, = BoC, + ByCo => P(A¡) = P(Bo)P(C, ) + P(By)P(Co) = 848/4641
Ag = BoC2 + BC, + BeCo > P(Ag) = P(Bo)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B2)P(Co)
=757/1989
Aa= ByCo + BoC, = P(A;) = P(B¡)P(C:)+P(B;)P(Cn) = 4400/13923
Ag = BoCe = P(A¿) = P(B;)P(C:) = 20/221
Từ đó suy ra P(A)= 0,5080
Bài 1.12: Có hai hộp cùng cỡ Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 bi xanh, hộp thứ hai chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi
từ hộp đó lấy ra 2 bi thì được 2 bi trắng Tính xác suất để viên bi tiếp
theo cũng lấy từ hộp trên ra lại là bi trắng
Lời giải Gọi A¡ là biến cố 2 bi lấy đầu tiên 1a bi trang
Ag 1a biến cố bi lấy lần sau là bi trang
Bài tóan yêu cầu tính P(AzA¡)
Theo công thức nhân xác suất, ta có P(A¡As) = P(A¡) P(AzA¡) Suy ra
P(A,A,) P(A,) ˆ
Bay giờ ta tính các xác suat P(A;) và P(A¡A;)
Gọi Bị, Ba lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, hộp II Khi đó Bị, B;
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: P(B¡) = P(P;) = 0,5
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
P(AJ) = PŒ,) P(A// B¡) + P(B;) P(A/ B;) P(A, /A,) =
16
Trang 9
2 0
P(A, /B,) = EsGe _ 6
10
2 0 P(A, /B,) — CC, — 10
C;, 66
nên Đ(Aj)= 47/330
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
P(AiA2) = P(Bì) P(A¡AzZ/ Bị.) + PŒ;¿) P(A¡Az/ By)
Mà
P(A.A,/B,)=P(A,/B,)P(A,/AB)=-E2=-L, 1“”"2 1 1 1 2 11 458 30’
103 1 P(A.A, /B,) = P(A, /B,)P(A,/A.B,) = = —
(Ava, (By) = PIAL /BPCALT AB) = sa 1g — se
nên P(A¡A;) = 13/330 Suy ra xác suất cần tìm là P(AzA¡) =13/47= 0,2766
Bài 1.13: Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I và b sản phẩm loại II được đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc 1 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm loại
I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc cũng thuộc loại I
Lời giải Goi A là biến cố sản phẩm được chọn ra thuộc lọai I
Ai, A¿ lần lượt là các biến cố sản phẩm thất lạc thuộc loại I, loai II
Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(A¡/A)
Ta thấy A¡, A; là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi va
P(A,)=—2-* = a ; P(A, ===
Theo công thức Bayes, ta có
P(A, )P(A/A,) P(A, )P(A/A,) P(A, / A) = =
P(A) P(A, P(A/A,) + P(A,)P(A/A,)
Ma
P(A/A,) = Cra0y = a-l P(A/A,) = Đ,Đ, ¡ 5
Cu a+b-l Coy a+b-l nên
17
a a-l
_ a+b at+b-1 _ a-l PCA, / A) = a a-l + b a ` a+b-1
atba+b-1 a+ba+b-1'
Bài 1.14: Có 3 hộp phấn, trong đó hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt và 4 viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt và 10 viên xấu Ta gieo một con xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất hiện mặt 1 chấm thì
ta chọn hộp lI; nếu xuất hiện mặt 2 hoặc 3 chấm thì chọn hộp II, còn xuất hiện các mặt còn lai thi chon hép III Từ hộp được chọn lấy ngẫu nhiên
ra 4 viên phấn Tìm xác suất để lấy được ít nhất 2 viên tốt
Lời giải Gọi A là biến cố chọn được ít nhất 2 viên phấn tốt
A¡ G =1,3, 3) là biến cố chọn được hộp thứ J Khi đó A¡, A›, A; là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
- “Ai xảy ra khi và chỉ khi thảy con xúc xắc, xuất hiện mặt 1 chấm, do
đó P(A,) = 1/6
_ Tuong tu, P(Ay) = 2/6; ~~ P(A) = 3/6
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
Từ giả thiết ta có:
C202 „ C¿C¡ , Ơ¿Ơ; _ 4690,
P(A/A,) = SaCia 4 CzoCio , CauCin _ 24795
Các Cá Ci, 27405
Suy ra P(A) =0,9334
Bài 1.15: Có hai kiện hàng I và II Kiện thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó
có 4 sản phẩm loại A Lấy từ mỗi kiện 2 sản phẩm Sau đó, trong 4 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loại A
Lời giải
18
Trang 10
Gọi C là biến cố trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loại A
A;0= 0,1, 2, 3, 4 ) là biến cố có j sản phẩm lọai A và (4-j) sản phẩm lọai B có trong 4 sản phẩm lấy từ hai kiện I và II Khi đó Ao, Ai,
As, Aa, A¿ là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
P(C) = P(Ao)P(Œ/Aa) + P(A¡)P(C/A4) + P(As)P(C/A¿) + P(A;)P(C/A¿)
+ P(Au)P(C/A¿)
Ta có:
P(C/A,) = 0;
Int P(G/A,) = “C3 =Š C
4 1ml P(C/A,) = 222 = 4 c? 6
Tal P(C/Ag) = 201 = 3 C 6
Bay giờ ta tính P(A¡); P(As); P(Aa)
Gọi Bị, C¡ Œ = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có ¡ sp A va (2 - i) sp B
có trong 2 sp được chọn ra từ kiện ÏI, kiện II Khi đó
- Bọ, Bị, B; xung khắc từng đôi và ta có:
0 2
P(B,) — CC, — 1,
— ?
45
10
1 1 P(B,) — C.C, — 16,
— ?
C đố
2x0
P(B,) — CC, - Z8
Cụ 45
- Co, C1, Co xung kh&c tting déi va ta cé:
p(G,)- CC» - 120
9 ?
Cx 190
1 1
pc, = CÔ» - oA
Cx
2x0 P(C,) = CC› - 6
Cx 190
-B¡ và C; độc lập
- Tổng số sp A có trong 4 sp chọn ra phụ thuộc vào các biến cố B, và
C; theo bang sau:
Co C, Ca
Bo|0 |1 12 B,}1 |2 |3 Bo|2 [3 |4
Ta có:
A; = BoC; + ByCo
Ag = BoCe + BiC1 + BeCo
Ag = By,Co + BoC,
Từ đây, nhờ các công thưé cộng và nhân xác suất ta tính được:
P(A)= 0,2320 ; P(A;) = 0,5135 ; P(Aa)= 0,2208
Suy ra xác suất cần tìm là P(C) = 0,5687
Bài 1.16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu Xác suất để 1 viên đạn bắn ra trúng mục tiêu là 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng
thì mục tiêu chắc chắn bị diệt Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu
bị diệt vơi xác suất 80% Nếu có 1 viên trúng thì mục tiêu bị diệt với xác suất 20%
a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt
b) Giả sử mục tiêu đã bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng
Lời giải Tóm tắt:
- _ Bố viên bắn ra: 10 viên
- Xác suất trúng của mỗi viên: 0,8
20