BDT 2 BIEN DE VA DAP AN 40 THCS

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P... Tìm giá trị nhỏ nhất của P Lời giải.. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P... Suy ra đpcm... Chứng minh rằng P Lời giải.

BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ PHẦN I – ĐỀ BÀI

Bài 1 Với mọi a b, ta có: a2 b2  2ab hoặc a2 b2   2ab

Bài 2 Cho a b,  0 Chứng minh rằng

a b a b

1   1 4



Bài 3 Cho các số thực dương a b, thỏa mãn ab  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b  a b 

a b

1



Bài 4 Cho x y 0,xy  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của x y

A

x y

2 2



Bài 5 Cho x y,  0 và x3 y3  6xy  8 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 6 Cho a b,  0 thỏa mãn a b 1 Chứng minh rằng a b a2 2 2 b2 1

32

Bài 7 Cho biểu thức P a4b4ab Với a b, thỏa mãn a2b2 ab3

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P

Bài 8 Cho x y,  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P x y

Bài 9 Cho a   Chứng minh rằng a  a 

2

Bài 10 Cho a b,  0,a  b 1

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S  7a  9 7b 9

Bài 11 Cho a2b 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P a 1 2  b 12

Bài 12 Cho x y,  0,x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A xy

xy

x2 y2

4

Bài 13 Cho x y,  0 thỏa mãn x

y

8 2

2  Tìm giá trị nhỏ nhất của x y

K

2

Bài 14 Cho a b,  0, a  1 b  1 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của a b

M

b a

Bài 15 Cho a b, 0,a2b2 2 Chứng minh rằng a 3b  1 b 3a  1 3a 2 3b  2 9

Bài 16 Cho x y,  0 và x2 y2  2

Tìm giá trị lớn nhất của P  x14x 10y y14y 10x

Bài 17 Cho x y, thỏa mãn 0   y x 4,x  y 7 Tìm giá trị lớn nhất của M x2 y2

Bài 18 Cho x y, thỏa mãn x2 y2 xy  4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P x2 y2

Bài 19 Cho a b,  0 thỏa mãn

2

Tìm giá trị lớn nhất của P

a2 b b a b2 a a b

Bài 20 Cho a b,  0 Chứng minh rằng

2 2

2



Bài 21 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 2ab

Tìm giá trị lớn nhất của P   a b ab

Bài 22 Cho a b,  0 Chứng minh rằng a b

a3 b2 b3 a2 a2 b2

Bài 23 Cho 0 a b,  3 Chứng minh rằng a1 3  a b1 b 4

Bài 24 Cho a b,  0 Chứng minh a b 2 b a b 2 2 ab2 8b2

Bài 25 Cho a b,  0,a  b 1 Chứng minh rằng 5a  4 5b  4 5

Bài 26 Cho a b,  0,a b ab Chứng minh rằng  a  b 

4

Bài 27 Cho a b,  0,ab  2 Chứng minh rằng P

1

Bài 28 Cho a b,  0 thỏa mãn ab3 4ab 12

2020 2021

Bài 29 Cho a b, là các số dương thỏa mãn ab  4

Tìm giá trị nhỏ nhất của a b  a b 

P

a b

2 2 2



Bài 30 Cho x y, là các số tự nhiên thỏa mãn x  y 99

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  x   1 y 1

Bài 31 Cho x y, là các số thực thỏa mãn x2  2y2  2xy  24  5x 5y

Tìm giá trị lớn nhất của P x2 y2   x y 2xy 2

Bài 32 Cho a b,  0,ab  1 Chứng minh rằng

 a 2 b2

2

Bài 33 Cho a b,  0,ab  1 Chứng minh rằng 2a2  1 2b2  1 2ab

Bài 34 Cho a b,  0 và ab  1 Tìm giá trị lớn nhất của a b

P

a4 3 b4 3

Bài 35 Cho a b, là các số thực thỏa mãn a2abb2  a b

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  2020ab

Bài 36 Cho x y,  1 thỏa mãn x  y xy Tìm giá trị nhỏ nhất của y x

P

x2 y2

Bài 37 Cho a b,  0 thỏa mãn a 2 b2 b 2 a2  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của P a b

a b

1 1

   

Bài 38 Cho x2y2  1 xy x y; ,  

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P x4 y4 x y2 2

Bài 39 Cho x y,   thỏa mãn x2 y23 4x2 y2  6x  1 0

Tìm giá trị lớn nhất của x2 y2

Bài 40 Cho x y,   thỏa mãn x2 xyy2  3

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Ax2 xyy2

PHẦN THỨ HAI – HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 Với mọi a b, ta có: a2b2 2ab hoặc a2 b2  2ab

Lời giải a2 b2  2aba2 b2  2ab  0 ab2  0 Đúng  đpcm

a2 b2   2ab a2 b2  2ab   0 ab 2  0 Đúng  đpcm

Bài 2 Cho a b,  0 Chứng minh rằng

a b a b

 



a b

2

Bài 3 Cho các số thực dương a b, thỏa mãn ab  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b  a b 

a b

1



Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si: a2b2 2ab 2;a b 2 ab 2

a b

1



a b

a b P

a b

7 1

2



Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

Vậy minP 13 a b 1

2

Bài 4 Cho x y 0,xy  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x y

x y

2 2



Lời giải A x y xy x y

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x y x y

A 2 2

Vậy minA 2 2 khi

x xy

x y

y

1

2

2





Bài 5 Cho x y,  0 và x3 y3  6xy  8 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x3y3 1 33x y3 3.1 3xy9xy 9 xy 1

P

x y xy

1

      Vậy minP    2 x y 1

Bài 6 Cho a b,  0 thỏa mãn a b 1 Chứng minh rằng a b a2 2 2 b2 1

32

Lời giải Ta có: 4abab2

ab a2 b2 ab a2 b2 a2 b2 ab a b 4

Từ đó suy ra: a b a2 2 2 b2 1  ab ab a 2 b2 1 a b2 a2 b2 ab2

a b a2 2 2 b2 1 a b 6 1

Bài 7 Cho biểu thức P a4b4ab Với a b, thỏa mãn a2b2 ab3

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải Ta có: a2b2  3 ab

P  a2 b2 2 2a b2 2 ab

P  3 ab 2 2a b2 2 ab a b2 2  7ab 9

Đặt t ab Từ ab2   0 a2 b2  2ab  2t 3t a2 b2 ab 3  t 1

Từ ab2   0 a2 b2   2ab  2t  3 a2 b2 ab     2t t t  t 3

t

   

 

 

2

 

      

               

P t P 1  1 t t  8  0 với    3 t 1

   

P t P 1 1

Xét hiệu P t  P  t

3

   

       

   

P t P     3 t 3 t 4  0 với    3 t 1

P t P 3 21

Vậy ab a b

a b

a2 b2

1 2



a2 b2 a b





Bài 8 Cho x y,  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P x y

Lời giải Phân tích dự đoán điểm rơi: x  y 1

Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: x2   1 2x x2  2x  1 3

y2   1 2y y2  2 y 1  3

2  1  2  1  2 2  1  1 x2 y2  4 x  1y  1 6

4

Áp dụng đẳng thức Cô si, ta có:

P 4.4 6 10

Vậy minP 10  x y 1

Bài 9 Cho a   Chứng minh rằng a  a 

2

Lời giải Phân tích dự đoán điểm rơi là a  0

Bất đẳng thức cần chứng minh tương tự với: a  a 

2

2

0

0

a a

2 2

4

0



Bài 10 Cho a b,  0,a b 1

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S  7a   9 7b 9

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức 2ABA2 B2 AB2  2A2 B2

S2 2 7a 9 7b 9 2.25 S 5 2

Vậy maxS 5 2 a b 1

2

Ta có 0   a 1 a a  1  0 a2 a, tương tự b2 b

S a 3 b 3 7

Vậy a

S

b

1

0.

 



   



Bài 11 Cho a2b 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P a 1 2  b 12

Lời giải Có a + 2b = 3(gt)

P = ( a – 1)2 + ( b – 1)2 khi

Vậy GTNN của P = 0 khi a = b = 1

Bài 12 Cho x y,  0,x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A xy

xy

x2 y2

4

Lời giải Với x, y > 0 (gt) ta có : (thỏa mãn bđt AM – GM)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Svac xơ có:

Bài 13 Cho x y,  0 thỏa mãn x

y

8 2

2  Tìm giá trị nhỏ nhất của x y

K

2

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có x x x

Vậy minK 33

4

 khi và chỉ khi x  2 và y 4

Bài 14 Cho a b,  0, a  1 b  1 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của a b

M

b a

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có    a b

2

a b

2

a  1 2 a b;   1 2 b   a b 2 a  b   2 2.2   2 2

Do đó M   a b 2 Vậy minM  2 khi và chỉ khi a  b 1

Bài 15 Cho a b, 0,a2b2 2 Chứng minh rằng a 3b  1 b 3a   1 3a  2 3b  2 9

3 2

1 0

a

 









4

x y xy xy

xy

2 2

4xy

x y xy

4

xy



4

x y  xy x  xyy  xy  

5 5

4xy

2

x y

Lời giải

Đặt P a 3b  1 b 3a  1 3a 2 3b 2

2  2 3   1 2 3   1 2 3  2 3  2

P a2 b2 9 a b 9 a b

Lại có 1a2 2 ,1a b2 2b 2 a2 b2 2ab 4 2ab  a b 2

Suy ra 2P 9 9.2 18 P 9

2

     Vậy maxP    9 a b 1

Bài 16 Cho x y,  0 và x2 y2  2

Tìm giá trị lớn nhất của P  x14x 10y y14y 10x

Lời giải Ta có x2 1 2x; y2  1 2y x2y2  2 2xy

Theo giả thiết, ta có 2 x2 y2   4 2x y   2 x y

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Bài 17 Cho x y, thỏa mãn 0   y x 4,x  y 7 Tìm giá trị lớn nhất của M x2 y2

Lời giải Từ giả thiết suy ra y  7 x

M x2 y2 x2  7 x 2  2x2  14x 49

+ TH1 3  x 4

M  2x2  14x  49  2 x 3 x 4  25

Với 3  x 4 thì x 3x 4  0 M  25 Đẳng thức xảy ra

x x

y x

7

4 3

3 4

   

 



+ TH2 x  3

Từ giả thiết x   y y 3 thì M 3232 1825

M

y

4

3.

 



   



Bài 18 Cho x y, thỏa mãn x2 y2 xy  4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P x2 y2

Lời giải Từ x y2   0 2xy x2 y2;xy2 x2 y2 x y xy x y

Vậy

x

x y P

x2 y2 xy y

2 0

min

2 4

3

  



x y

x2 y2 xy

4

 



         

Bài 19 Cho a b,  0 thỏa mãn

2

Tìm giá trị lớn nhất của P

a2 b b a b2 a a b

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2xy   x y 2 xy  xy   1 xy 1 Viết lại biểu thức P

x4 y2 xy2 y4 x2 x y2

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x4 y2 2x y y2 ; 4 x2 2xy2

Suy ra

P

x y2 xy2 xy2 x y2 xy x y xy x y x y2 2

Vì xy1 nên P

x y2 2

2 2

max

2

 khi và chỉ khi x     y 1 a b 1

Bài 20 Cho a b,  0 Chứng minh rằng

2 2

2



Lời giải Ta có

2 2

2



P

Theo bất đẳng thức Svac-xơ, ta có: P

2 4



Ta sẽ chứng minh 2a 3b  6 8b2  2 2 ab2  6 (2)

Thật vậy, ta có (2)  2a 3b 8b2  2 2 ab2 2a 3b2  8b2  8a2  8ab 2b2

a2 b2 ab a2 b2 ab a2 b2 ab a b 2

Từ (1) và (2) suy ra

P

2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a

a b

a b

b

1

2

 

Bài 21 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 2ab

Tìm giá trị lớn nhất của P   a b ab

            

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a a

b a b

2

a ab a b P P

2

2

4

Vậy maxP  3 khi và chỉ khi a  2,b 1

Bài 22 Cho a b,  0 Chứng minh rằng a b

a3 b2 b3 a2 a2 b2

Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a 1 2 a  a 12 4 a

Sử dụng bất đẳng thức X Y X Y

2

 với A B, 0, ta có:

2

1

  b b  b

2

1

a2 b2 a3 b2 a2 b3

2     



  suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra   a b 1

Bài 23 Cho 0 a b,  3 Chứng minh rằng a1 3  a b1 b 4

Lời giải Ta có a13 a b1b 4 a1 3 3b a ab b b24

a 4 2b a ab b2 4 ab2 a 2 a b a 4 a 4

ab2 a a 2 b a 22 0 (1)

Ta có  b a a 224a a 22 a a 2 2 a4 0 VT(1)0

Bài 24 Cho a b,  0 Chứng minh a b 2 b a b 2 2 ab2 8b2

Lời giải Ta có 2 b a b b ab  a b 2 b a b 2a 3b

Ta sẽ chứng minh 2a 3b 2 2 a 3b2  8b2

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

a2 b2 ab a2 ab b2 a2 b2 ab a2 a b 2

4  9  12  8  8  10  4   2   0 3    0, đúng Suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 0

Bài 25 Cho a b,  0,a b 1 Chứng minh rằng 5a   4 5b  4 5

Lời giải Từ a b, 0,a   b 1 0 a b,  1 a2 a b, 2 b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1,b 0 hoặc a 0,b1

Bài 26 Cho a b,  0,a b ab Chứng minh rằng  a  b 

4

Lời giải ab  a b 2 ab  ab  2 ab   4 a b 4

1 a21 b2  1 a b2 2 a2 b2   1 a b2 2  2ab 1 ab2

1 a21 b2 1 ab 1 a b

Theo bất đẳng thức Svac-xơ, ta có:

a2 a b2 b a2 b2 a b a2 b2 ab a b 2

a b

Q

7



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b 2

Bài 27 Cho a b,  0,ab  2 Chứng minh rằng P

Lời giải Ta có AB2   0 A2 B2  2AB  2A2 B2AB2.

ab

P 1

  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2

Bài 28 Cho a b,  0 thỏa mãn ab3 4ab 12

2020 2021

Lời giải Từ giả thiết ta có 124abab3 4ab8 ab 3

Đặt x  ab  12  4x2  8x3  2x3 x2   3 x 1 x2  2x 3 0

x 1 x 12 2 0 x 1

Với 0  x ab  1 ta đi chứng minh

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 2  a b1  ab 2 1   a b ab

a b 1 ab 2 ab1 ab 0 a b 2 ab1 ab 0

 a b 2 1 ab 0

x

2 2

2020 ( ) 1

 với 0 x 1 Ta có f (1)2021

x

2



2

x x

1 0 1





x2 x

2020  2  2019  0 Suy ra f x( )f(1)2021P2021 suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b 1

Bài 29 Cho a b, là các số dương thỏa mãn ab  4

Tìm giá trị nhỏ nhất của a b  a b 

P

a b

2 2 2





Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a  b 2 ab  4

a2 b2 ab a2 b2 a b 2 a2 b2 1 a b 2

2

a b

a b

2

4 2

 Vậy minP   4 a b 2

Bài 30 Cho x y, là các số tự nhiên thỏa mãn x  y 99

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  x   1 y 1

Lời giải

Ta có P2     2 x y 2 1 x1 y 101  2 1   x y xy  101  2 100 xy

Từ giả thiết x  y 99, ta có xy x99 x 99xx2  f x( ) với 0  x 99,x  

x

f x f x

x

0 ( ) 0, ( ) 0

99

 



Suy ra P2  121 P 11

Ta có f(49)f(50)49.502450, ta sẽ chứng minh f x( )49.50

f x( )  49.50  50xx2  49x 49.50 x 50 x  49 x 50  50 x x 49 Q + Nếu 0  x 49 thì Q0 do x 49  0 và 50  x 0

+ Nếu 50 x thì Q0 do 50 x 0 và x490

Suy ra P2  101  2 100  49.50  101  2 50.51 P  50  51

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  49,y  50 hoặc x  50,y  49

Vậy minP  11, maxP  50  51

Bài 31 Cho x y, là các số thực thỏa mãn x2  2y2  2xy  24  5x 5y

Tìm giá trị lớn nhất của P x2 y2   x y 2xy 2

Lời giải Ta có P xy 2 x y 2

Từ giả thiết ta có xy2 y2  5x y 24 Đặt a x y; từ y2   0 a2   0 5a 24

a2 5a 24 0 a 3 a 8 0 8 a 3

2

2

 

       

   

                   

P

y

571





Bài 32 Cho a b,  0,ab  1 Chứng minh rằng

 a 2 b2

2

Lời giải Ta có ab b

a

1 1

  

Do đó

a

a

2





a

a

2

2

2 1



 suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  1

Bài 33 Cho a b,  0,ab  1 Chứng minh rằng 2a2  1 2b2  1 2ab

Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

a2  a2 ab a b a a a b 2a a b 3a b

 

Tương tự, ta có b2  a 3b

Do đó 2a2  1 2b2  1 2a 2b 2ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1

Bài 34 Cho a b,  0 và ab  1 Tìm giá trị lớn nhất của a b

P

a4 3 b4 3

Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a4   3 a4    1 2 2a2   2 a 1 2 a 12

a4 3 a 1 2

    Tương tự, ta có b4   3 b 12

P

1 1

Vậy maxP  1 khi và chỉ khi a b 1

Bài 35 Cho a b, là các số thực thỏa mãn a2abb2  a b

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  2020ab

Lời giải Từ giả thiết a2 abb2   a b ab2 3ab   a b ab 2  ab 3ab

Ta có a b a b ab a b ab ab a b

2

4



Suy ra a b 2 a b 3ab a b 3a b2 1a b2 a b

a b a  b 4 0 0 a b 4

         

Do đó 0 P  4.2020  8080 Vậy minP   0 a  b 0, maxP  8080   a b 2

Bài 36 Cho x y,  1 thỏa mãn x  y xy Tìm giá trị nhỏ nhất của y x

P

x2 y2

Lời giải Từ giả thiết suy ra

1

  Vì x y, 1 nên đặt a   x 1 0,b  y 1 0

a

1

P

a

1

 

2

0

Bài 37 Cho a b,  0 thỏa mãn a 2 b2 b 2 a2  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của P a b

a b

1 1

   

Lời giải Ta có: A B AB A B

2 0

2



    với A B,  

2 2

   



 

Lại có: ab2   0 ab2  2a2 b2 4

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta có: P a b a b

Từ a b 2 P 4 2 0

2

    Vậy minP   0 a b 1

Bài 38 Cho x2y2  1 xy x y; ,  

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P x4 y4 x y2 2

Lời giải Ta có P x2 y22 3x y2 2 1 xy2 3x y2 2   2x y2 2  2xy 1

Ta có xy2   0 x2 y2  2xy   1 xy  2xy xy  1

3

Đặt a xy 1 a 1

3

2

 

          

       

                     

1





Bài 39 Cho x y,   thỏa mãn x2 y23 4x2 y2  6x  1 0

Tìm giá trị lớn nhất của x2 y2

Lời giải Đặt M x2 y2 Từ giả thiết, ta có 2 x2 y2 3  x2 y2  3 x2  2x 1

2

M

y

x2 y2

0.

1





Bài 40 Cho x y,   thỏa mãn x2 xyy2  3

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Ax2 xyy2

Lời giải

Từ giả thiết:

3

   





A

x y

A xy

3



 

   



x y,

 ta có: xy2   0 2xy  x2 y2

A

     

A A A

3 3

A 9

 

A

x2 xy y2 y



hoặc x

y

3 3

  



 

x y,

 ta có: xy2   0 x2 y2  2xy

A

A

3

3