Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.. Tìm tất cả các giá trị thực.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 48
Ngày 18 tháng 01 Năm 2014
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=1
3x
3
− mx2+6 (m −1) x+2
3 (1) có đồ thị (C m)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b Tìm m để trên (C m) có hai điểm phân biệt M(x1; y1) và N(x2; y2) sao cho tiếp tuyến tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng x+3 y −6=0 và √x1+√x2≤ 2√3
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin 3 x
sin x +
cos 3 x cos x =1+cot x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: { x2
+xy + y −5 x 0
x4− x2y + y2− 3 x2 0 (x , y ∈ R)
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân: I=∫
0
π
4
cos 2 x
(cos x+sin x +2)2dx
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác
ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 900 , góc ABC bằng 600 .Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450 , hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thuộc đoạn [1;2] Tìm tất cả các giá trị thực
của z để biểu thức P= ( x+ yz )( x − y )+ xyz
x2− xy + y2 có giá trị lớn nhất là M thỏa mãn M ≥ 2 .
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) ( Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(1;-2) Tìm tọa độ điểm C trên
đường thẳng d 1 : x - y -1 = 0 sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường thẳng d 2 : x+y -3 = 0
Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0), B nằm trên
mặt phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz Tìm tọa độ điểm B và C sao cho H(2;1;1) là trực tâm tam giác ABC.
Câu 9a (1,0 điểm) Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người
nhận được ít nhất một đồ vật
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y + 1= 0 và tam giác
đều ABC nội tiếp đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB Biết đường thẳng AB tạo với đường thẳng d góc 45 0
Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(0;1;2), B(-1;1;0) và mặt phẳng (P): x
- y + z = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại B.
Câu 9b (1,0 điểm) Giải bất phương trình: log√3x
(2 − x )− log3
√x (2− x )2+2 ≤ 0 , ( x ∈ R )
Mời các bạn dự thi vào tối thứ 4 và thứ 7 hàng tuần( 19 giờ đến 22 giờ)
184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ 47
Trang 2(Biểu điểm gồm 05 trang)
Câ
* TXĐ: R \ 1
3
( 1)
y x
Hàm số đồng biến trên TXĐ
0.25
1
lim
x
; lim1
x
2 1
limx x x
Tiệm cận đứng x = - 1; Tiệm cận ngang y = 2
0.25
Giao Ox:
1 0
2
y x
; Giao Oy: x 0 y1
Đồ thị:
0.25
2 (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng …
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )d và ( C) là: m
2
2 1
1
x
x m x m x m x
( )d m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (1) cĩ hai nghiệm phân biệt 1
m
0.25
Gọi x x là các nghiệm của (1), ta cĩ 1; 2
1 2
3
Giả sử A x( ;1 x1m B x); ( ;2 x2m) 0.25
2
AB x x
; PA (x1 2)2 ( x1m 5)2 (x1 2)2(x2 2)2
Do đĩ PABđều PA2 AB2
(x 2) (x 2) 2(x x ) (x x ) 4(x x ) 6x x 8 0
0,25
II
1 Giải phương trình: 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2 3 cosx) (1)
(1) 2 cos2x 3 sin2x 3(sin x 3 cosx)
2 2 cos2x sin 2x 6 sin x cosx
0.25
2 2cos 2x 6 cos x
25
.
2
2 cos x 3cos x
3 cos x 0 v cos x (loại)
25
x −π
6=
π
2+kπ ⇔ x= 2 π
2 Giải hệ:
( x xy) x y 1 ( x xy) x y 1 Đặt u = x2 + xy, v = x3y
(I) thành
2
2
0.25 0.25
Trang 32 2
0.25 0.25
III.
Tính tích phân I=∫
0
1
x ( x −1 )
x2− 4 dx
Ta có I=∫
0
1
x ( x −1 )
x2− 4 dx=∫
0
1
x2− x
x2− 4dx
2
d x 4
1 1
2 0
0
0.25
0.25 0.5
IV Tính thể tích…
A
B
C
A'
B'
C'
E G D
Diện tích đáy là
4
ABC
a
S
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có
3 2
a
AE
a a
AG AE
0.25
BC
BC A G
Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên AA’ Suy ra
; AA' DE
BC DE Vậy DE là khoảng cách giữa 2 đt
AA’ và BC
3 4
a DE
0.25
Tam giác ADE vuông tại D suy ra
0
1
30 2
DE SinDAE DAE
AE
Xét tam giác A’AG vuông tại G ta có
0
' tan 30
3
a
A GAG
0.25
' ' '
'
ABC A B C ABC
a a a
V A G S
0.25
V. Tìm m để phương trình: √x −3 − 2√x − 4+√x −6√x − 4+5=m có đúng 2 nghiệm
P/trình cho ⇔√( x − 4 )− 2√x − 4 +1+√(x − 4) −6√x − 4 +9=m (1)
0.25
. ⇔√ ( √x − 4 − 1)2+√ ( √x − 4 − 3)2=m ⇔| √x − 4 − 1|+| √x − 4 − 3|=m (1)
đặt: t=√x − 4 ≥ 0 Ta có: (1) ⇔|t −1|+|t −3|=m ()
0.25
Xét hàm số f (t )=|t −1|+|t −3|, t ≥ 0 Ta có
¿
4 − 2 t neáu 0 ≤t ≤1
2 neáu 1≤ t ≤ 3
2 t − 4 neáu t ≥ 3
¿f (t )={ {
¿
0.25
Đồ thị : Từ đồ thị ta có: 2m4
y
x
O 1 3 4 2
4
0,25
VI. Tìm B, C sao cho diện tích ABC lớn nhất.
Trang 4a Ta có A(2, 1); B(b, 0); C(0,c) với b, c 0 ; ABC vuông tại A ⇔⃗AB ⃗AC=0
Ta có ⃗AB=(b −2, −1) ; ⃗ AC=(−2 , c −1)
0,25
Do ABC vuông tại A ⇒⃗AB.⃗AC=− 2(b − 2)− (c − 1)=0
⇔c −1=−2 (b −2) ⇒c=− 2b +5 ≥0 ⇒ 0≤ b ≤5
ABC
S AB AC b c
SABC=1
2√(b −2 )2+1√4+4 (b − 2)2=(b −2 )2+1
0,25
vì 0 ≤ b ≤5
2 nên SABC = (b – 2)2 + 1 lớn nhất b = 0 Khi đó c = 5 Vậy, ycbt B(0, 0) và C(0, 5) 0,25
VII
.a
Giải bất phương trình:
2
2
log 2x 3x 1 log x 1
.(1)
ĐK x 1 Khi đó (1) ⇔−12log2(2 x2− 3 x +1)+1
2log2( x − 1)2≥1
2
0.25
⇔−1
2log2(2 x2− 3 x +1)+1
2log2( x − 1)2≥1
2
0.25
2
2 x 1 x
2
0.25
(x 1)
2 (2x 1)
0.25
VII
I a
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8
5 3
2
x
1
4 3 7( 3) ( 4)( 3)( 2) ( 3)( 2)( 1) 42( 3)
3( ) 12( )
n loai
Với n=12 ta có nhị thức:
5 12 3
2
x
0,25
Ta có:
3
2
x
60 11
2
k
Hê số của x là 8 c 2124 4 7920
0,25
VI.
b Viết pt đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB=√3
Ta có (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) ; R=√3
(C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB IM tại trung điểm H của đoạn AB Ta có
2 =
√3
2 Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
0,25
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B'
Ta có:
2
Lại có: MI 5 1 2 1 2 2 5
0,25
Trang 5
3 13
MH ' MI H'I 5
2 2
;
3 13 MH' MI H'I 5
2 2
Ta có: R12=MA2=AH2+MH2=3
4+
49
4 =
52
4 =13
R22=MA '2=A ' H '2+MH '2=3
4+
169
4 =
172
4 =43
0,25
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13
hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
0,25
VII
.b
Giải phương trình: log 9 (x 2 – 5x + 6) 2 = 3 3
1log x 1 log (3 x)
Pt (1)
2
x 1
2
2
(x 1)(3 x) log x 5x 6 log
2
(x 1)(3 x) (x 2)(x 3)
2
2 x 2 (3 x) (x 1)(3 x) 0
2 x 2 x 1 0 0,25
hay
x 3
5
3.
0,25
VII
Ib
Tính xác suất
a.Gọi A là biến cố có ít nhất 1 lần bắn trúng bia
P A P A A A 1 1 1 0,8.0,8.0,8 0,512 P A 1 P A 0, 488
0,5
b Gọi A i là biến cố người đó bắn trúng bia ở lần thứ i, i=1,2,3
A là biến cố trong 3 lần bắn người bắn trúng bia 1 lần
A A A A 1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3 P A 3.0,128 0,384
0,5