De va dap an Toan huyen 1112

Tìm giá trị của x để biểu thức Câu 6: 4 điểm Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và M là một điểm tùy ý trên AC.. Qua M kẻ ME, MF vuông góc với AB và BC.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

MÔN: Toán THỜI GIAN: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )

Câu 1: (2 điểm)

a/ Chứng minh rằng: 61< 1

52+

1

62+

1

72+ +

1

1002<

1 4

Câu 2: ( 2 điểm)

Tìm ba chữ số a, b, c sao cho abc < ab + bc + ac

Câu 3 : ( 4 điểm)

a/ Chứng minh :

(x y z  ) 3(x y z ) x y z R, ,  b/ Cho

1 ; , ,

x y z   x y z

Chứng minh : 4x 1 4y 1 4z 1 21 Dấu “=” xảy ra khi x , y , z bằng bao nhiêu ?

Câu 4: (4 điểm)

a/ Chứng minh rằng : Nếu b là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 1 + 2009b2 là hợp

số với mọi nN

b/ Tìm các số tự nhiên n sao cho n +18n + 20202 là số chính phương

Câu 5: (2 điểm )

Cho x 0 Tìm giá trị của x để biểu thức  2

N

2010

x x



 đạt giá trị lớn nhất

Câu 6: ( 4 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và M là một điểm tùy ý trên AC Qua M kẻ

ME, MF vuông góc với AB và BC Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 7: ( 2 điểm)

Từ M là một điểm bên ngoài đường tròn (O) kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó

a/ Chứng minh rằng khi cát tuyến MAB quay quanh M ta luôn có MT2= MA MB b/ Cho MT = 20 cm và cát tuyến dài nhất cùng xuất phát từ M bằng 50 cm Tính bán kính của đường tròn

-

Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO KỲ CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

Hướng dẫn chấm: Toán Câu 1: (2 điểm)

Đặt A= 1

52+ 1

62+ 1

72+ + 1

1002

A < 1

4 5+

1

5 6+

1

6 7+ +

1

99 100

¿

1 4

¿=1

4−

1

5+

1

5−

1

6+

1

6−

1

7+ +

1

99 −

1

100=

1

4−

1 100

¿

Ta có

A > 1

5 6+

1

6 7+

1

7 8+ +

1

100 101

¿1

5−

1

6+

1

6−

1

7+

1

7−

1

8+ +

1

100−

1

101=

1

5−

1

101>

1 6

Câu 2: ( 2 điểm)

Chia 2 vế của bất đẳng thức abc < ab + bc + ac cho số dương abc ta được

1<1

c+

1

a+

1

b (1) Giả sử a>b>c ≥ 2 Trong ba phân số 1c ,1

a ,

1

bthì

1

c lớn nhất nên 1c>1

3

Do đó c<3 Vậy c= 2

Thay c vào (1) được 1a+1

b>

1

2 (2) Trong hai phân số 1a ,1

b , phân số 1b lớn hơn nên 1b>1

2 ; 2=1

4 , do đó b<4,

mà b > c = 2 , vậy b = 3

Thay b = 3 vào (2) ta được : 1a>1

6 , do đó a < 6 , mà a > b = 3 và a là số nguyên tố , vậy a = 5

Vậy các số a, b, c phải tìm là 2, 3, 5 và các hoán vị của chúng

Câu 3

a/ ( 2 điểm)

Xét hiệu :

ĐỀ CHÍNH THỨC

2 2 2 2

x y z x y z

x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx

x y y z z x x y z R

Vây 3(x2y2z2) ( x y z  ) 2 x y z R, , 

Hay (x y z  )2 3(x2y2z2) x y z R, , 

Dấu “= “ xảy ra khi (x - y)2 +(y – z)2 + (z- x)2 = 0

 (x - y)2 = (y – z)2 = (z- x)2 =0

 x = y = z = 0

Câu 3:

b/ ( 2 điểm)

Lập luận tương tự ta có :

 4x 1 4y 1 4z12 3 4 x4y4z3

 4x 1 4y 1 4z12 3 4 x y z  3 3.(4 3) 21 

 4x 1 4y 1 4z1  21

Dấu “= “ xảy ra khi

1

x y z





  

1 3

x  y z

Câu 4:

a/ (1,5 điểm)

Vì b là số nguyên tố khác 3 nên b2 - 1  3

Ta có A = 3n + 1 + 2009b2 = 3( n + 1 + 669b2 ) + 2b2 - 2

= 3( n + 1 + 669b2 ) + 2(b2 - 1)  3

Do A > 3 nên A là hợp số với mọi nN

b/ (2,5 điểm)

Để n +18n + 20202 là số chính phương thì n +18n + 2020 = m2 2 (1) với m nguyên, dương,

(1)  m -18n - n = 20202 2

2 2

m - n +18n = 2020

m - n + 9 = 2020 -81 = 1939

m - n -9 m + n + 9 = 1939







Mà 1939 = 1939 1 = 277 7

Nên

m + n + 9 = 1939

m - n -9 = 1





m + n + 9 = 277

m - n -9 = 7







* Với

m + n + 9 = 1939 m + n = 1930

2n = 1920 n = 960

m - n -9 = 1 m - n = 10

* Với

m + n + 9 = 277 m + n = 268

2n = 252 n =126

m - n -9 = 7 m - n =16

Thử lại các giá trị của n vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài

Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm

Câu 5: (2 điểm)

Do x > 0 nên N > 0  N lớn nhất

1 N

 nhỏ nhất

Ta có :

x N

dấu “ = “ xảy ra khi x2010

Suy ra giá trị nhỏ nhất của

1

N là 4.2010 = 8040 đạt được khi x = 2010

Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn nhất Giá trị lớn nhất là

1 8040

Câu 6: (4 điểm)

M

F

B E

A

Ta có: S(DEF) = S(EMF) + S(MED) + S(MFD) Mà: S(MED) = S(MEA) (Cùng đáy ME và đường cao bằng nhau)

S(MFD) = S(MFC) (Cùng đáy MF và đường cao bằng nhau)

Do đó: S(DEF) = S(MEA) + S(MFC) + S(MEF) = S(ABC) – S(BEF) = 12−1

2BE BF=

1

2(1− BE BF) Suy ra: S(DEF) min  BE.BF max

Ta lại có: BE + BF = BE + AE = AB = 1 : Không đổi

Do đó: BE.BF max  BE = BF

Lúc đó: M là trung điểm của AC

Câu 7: (2 điểm)

a/ ta có góc MTA= góc MBT (cùng chắn cung TA)

góc TMB chung

Suy ra : MTA  MBT (g.g)

 MT

MA=

MB MT  MT2 = MA.MB (1)

b/ Cát tuyến dài nhất xuất phát từ M là cát tuyến MCD qua tâm O CBD vuông ở B nên CD > CB

mà MD = MC + CD > MC + CB > MB

Theo (1) ta có: MT2 = MC.MD

 202 = (50 - 2R).50

 R = 21