Tìm tất cả giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng.. Chứng minh rằng 1 Cho số thực dương x, chứng minh.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2019-2020
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thơi gian phát đề Môn thi: TOÁN – CHUYÊN
Câu 1 (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y=(m-2)x+2 với m là tham số và m 2 Tìm tất cả giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng 2
3
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình x4−(m 1 x− ) 2+m2 − − =m 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: x 2 7 x 2 x 1 + − = − + − + x2 8x 7 1 − +
2) Tìm tất cả các số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn hệ phương trình:
4x y x 4y 0 10x 7xy 2y 9
− + + =
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn 42019+3n có chữ số tận cùng là 7
2) Tìm bộ số tự nhiên (a1,a2, ,an) thỏa mãn:
2
a a a 2019
a a a 2019 1
+ + +
Câu 4 (1,0 điểm)
1) Cho số thực dương x, chứng minh
3
2
x 1 7 x 5
x 2 18 18
+
2) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2 =3 Chứng minh rằng
a b b c c a 2
a 2b b 2c c 2a
+ + + + +
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD với M là trung điểm cạnh AB Các điểm N,P theo thứ tự thuộc các cạnh BC,CD sao cho MN || AP Chứng minh rằng
a) Tam giác ADP đồng dạng với tam giác NBM b) BN.DP=OB2
c) DO là tiếp tuyến (OPN) d)Ba đường thẳng BD,AN,PM đồng quy
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2Bài 1: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y=(m-2)x+2 với m là tham số và
m 2 Tìm tất cả giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng 2
3
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình x4 −(m 1 x− ) 2+m2 − − =m 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt
Lời giải:
1) Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox,Oy Từ đây dễ dàng suy ra được
( )
2
m 2
Gọi H là hình chiếu của O lên AB Áp dụng HTL:
4
3
( )
2
2
2
m 2
−
−
m 2 2 2 m 2 2 2
m 2 2 2 m 2 2 2
− = − = − +
Vậy: m 2 2 2 = + hoặc m = − 2 2 2 +
2) Đặt t x = 2 Khi đó, pt đã cho trở thành t2−(m 1 t m− ) + 2− − =m 1 0 (*)
Phương trình có đúng 3 nghiệm(*) có 2 nghiệm phân biệt t1,t2 sao cho 0=t1<t2
2
− − = = Thử lại ta thấy giá trị m 1 5
2
+
=
thỏa mãn
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: x 2 7 x 2 x 1 + − = − + − + x 8x 7 12 − +
2) Tìm tất cả các số hữu tỉ (x;y) thỏa mãn hệ phương trình
4x y x 4y 0 10x 7xy 2y 9
− + + =
Lời giải:
Trang 31) Đkxđ: 1 x 7 Phương trình đã cho tương đương
( x 1 2 )( x 1 7 x ) 0 x 1 2 x 5 ( ) TM
x 4
x 1 7 x
− − − − − = − = − =
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình S= 4;5
10x 9 10x 9
=
Xét y 0 Đặt x=yt, do x,y Q nên t Q Hệ phương trình suy ra
( ) ( ) ( )
2
yt 4y y 4t y y t 4 10t 7t 2 9y 1 4t
10y t 7y t 2y 9
1 t 2
46t 33t 26t 1 0
23t 28t 1 0 Loại vì t Q
+ = −
=
Với t=1
2 ta được y=2x Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được
2
3
x
2
= =
=
−
= = −
KL: (x;y)=
3; 3 ; 3;3
Câu 3 (2,0 điểm)
3) Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn 42019 +3n cĩ chữ số tận cùng là 7
4) Tìm bộ số tự nhiên (a 1 ,a 2 , ,a n ) thỏa mãn:
2
a a a 2019
a a a 2019 1
+ + +
Lời giải:
1) Từ giả thiết suy ra 42019 +3n 7 mod 10( ) Lại cĩ:
Suy ra 3n 3 mod 10( ) hay 3 3 ( n 1 − − 1 10 ) 3n 1 − − 1 10(Vì ( )3,10 =1)
Gọi r là số dư của n cho 4, khi đĩ tồn tại số tự nhiên q sao cho n=4q+r
Trang 4( )q ( )
3 − − 1 3 3− − 1 3− −1 mod 10 Lần lượt thay các giá trị r=0;1;2;3 ta thấy r=1 thỏa mãn 3n 1− −1 10 Từ đó n có dạng 4q+1 với q là 1 số tự nhiên nào đó
2) Áp dụng Bunyakovski:
a a + + 1 1 + + a a a + + + 2019 a a + + 2019
Kết hợp với giả thiết ban đâu ta suy ra a12 + + a22019 =20193hoặc a12+ + a22019 =2019 13+
Với a12+ + a22019 =20193, theo đk dấu đẳng thức của bđt ta tìm được a1=a2= =a2019=2019
Với a21 + + a22019 =2019 13+ , giả sử a a1+ 2 + + a2019 2019 12+ thế thì
2019 1 2019+ 2019 1+ (Vô lý)
Do đó, a a1+ 2 + + a2019 =20192 Mà a a1+ 2+ + a2019 a12+a22 + + a22019 (mod 2)
2019 1 2019 mod 2
Vậy: (a1;a2; ;a2019)=(2019;2019; 2019)
Câu 4: (1,0 điểm)
1) Cho số thực dương x, chứng minh
3
2
x 1 7 x 5
x 2 18 18
+
2) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a2 +b2+c2 =3 Chứng minh rằng
a b b c c a 2
a 2b b 2c c 2a
+ + + + +
Lời giải:
1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
( ) ( ) ( ( 2 ) ) ( )( )
3
2 x 1 3x 3x 1
+
( ) ( 2 ) ( )( ) ( ) ( x 1 8x 11 (2 ) )
Trang 5(Luôn đúng x 0)
2) Áp dụng bđt ở câu (1) với x=a 0
b ta được:
( )
3
a 1
a 2 18 b 18 b a 2b 18 b 18 a 2b 18 18
b
+
+
Tương tự rồi cộng vế tương ứng ta thu được
2
a b 2 a 2
a 2b 3
+
Đẳng thức xảy ra = = = a b c 1
Câu 5: Cho hình vuông ABCD với M là trung điểm cạnh AB Các điểm N,P theo thứ tự thuộc các cạnh BC,CD sao cho MN || AP Chứng minh rằng
a) Tam giác ADP đồng dạng với tam giác NBM
b) BN.DP=OB2
c) DO là tiếp tuyến (OPN)
d) Ba đường thẳng BD,AN,PM đồng quy
Lời giải:
DPA ~ BMN
b)
2
c) HD: Chứng minh DOP ~ BNO để suy ra DOP ~ ONP
Từ đó: DOP ONP= Gọi Ox là tia tiếp tuyến của (ONP) tại O sao cho Ox nằm trên nửa mặt phẳng
bờ AC có chứa D
1 xOP sñOP ONP DOP
2
Trang 6d) Gọi X và X’ lần lượt là giao điểm của BD và AN, BD và MP
XD AD X'D DP = =
AD
MB DP
XD X'D = hay X X' (Đpcm)
x
J
O X,X'
P
D
C
M
N
