Giới thiệu về bó (sheaf) toán học hiện đại

Khái niệm bó (sheaf) thể hiện một ý tưởng cơ bản: để hiểu một không gian hình học, ta có thể nghiên cứu các hàm trên không gian đó. Bó vốn có nguồn gốc từ Tô pô đại số và hình học vi phân (Leray đã xây dựng nó để chứng minh các định lý điểm bất động trong PDE). Sau này, người ta sử dụng bó một cách có hệ thống trong hình học đại số hiện đại

Trang 1

9/6/2021 Giới thiệu về bó - Toán học hiện đại - Diễn đàn Toán học

Diễn đà n Toá n h ọc → Ng h iên cứu Toá n h ọc → Toá n h ọc h iện đại

Giới thiệu về bó

Bắt đầu bởi nm linh1 6, 24-05-2021 - 20:3 2

bó,

nmlinh16

Khái niệm bó (sheaf) thể hiện một ý tưởng cơ bản: để hiểu một không gian hình học, ta có thể nghiên cứu các hàm trên

không gian đó Bó vốn có nguồn gốc từ Tô pô đại số và hình học vi phân (Leray đã xây dựng nó để chứng minh các định lý điểm bất động trong PDE) Sau này, người ta sử dụng bó một cách có hệ thống trong hình học đại số hiện đại

1 "Hàm" và "điểm"

Trước khi đến với nội dung chính, ta bắt đầu một phiên bản baby của định lý biểu diễn Gelfand-Naimark.

Nếu là một vành (giao hoán và có đơn vị), ta ký hiệu là phổ cực đại của , tức là tập hợp tất cả các ideal cực đại của Trên tập hợp này có một tô-pô được gọi là tô-pô Zariski, trong đó các tập đóng là các tập hợp

Tô-pô này sinh bởi các tập mở có dạng

với , được gọi là các tập mở chính Như vậy, ta có thể coi các phần tử của như các hàm trên không gian

tô-pô Các ideal cực đại của chính là các điểm Việc tính giá trị của một hàm tại một điểm chính là việc tính , đó là một phần tử của trường thặng dư Như vậy, hàm nhận giá trị trong một trường biến thiên theo từng điểm

Quote Slogan: Trong hình học, điểm là một cái gì đó mà tại đó ta có thể tính giá trị của các hàm, các giá trị này nằm trong một trường

nào đó.

Cho là một không gian tô-pô Ký hiệu là vành các hàm liên tục (phép cộng và phép nhân được định nghĩa một cách hiển nhiên) Nhóm các phần tử khả nghịch của vành này là

toàn cấu

Nó là một ideal cực đại vì là một trường Ta có một ánh xạ

Mệnh đề. Nếu là Hausdorff và compact thì ánh xạ trên là một phép đồng phôi (trong đó tô-pô trên

là tô-pô Zariski)

Chứng minh

Đã g ửi 2 4 -0 5 -2 0 2 1 - 2 0 :3 2

A

V (I) := {m ∈ Spm(A) : I ⊆ m},

⋂

i V (Ii) = V (∑

i Ii)

D(f) := {m ∈ Spm(A) : f ∉ m},

C(X)∗= {f ∈ C(X) : ∀x ∈ X, f(x) ≠ 0}.

C(X)/mx ≃ R

X Spm(C(X))

Trang 2

Tính toàn ánh Cho là một ideal cực đại của Ta chứng minh rằng tồn tại sao cho (và vì thế vì chúng là các ideal cực đại) Thật vậy, nếu ngược lại thì với mọi , tồn tại sao cho

Lấy là một lân cận mở của sao cho nhận giá trị khác trên toàn Vì là compact nên

do đó khả nghịch trong , suy ra , mâu thuẫn

Tính đơn ánh Cho là hai điểm của Vì là Hausdorff và compact nên chuẩn tắc Theo định lý Urysohn,

Tính liên tục Xét một tập mở chính của , với liên tục Ảnh ngược của nó bởi ánh xạ

là , hiển nhiên đây là một tập mở Các tập mở chính là một cơ sở cho tô-pô Zariski trên

nên ánh xạ trên liên tục

Tính đóng Cho là một tập con đóng của Ta sẽ chứng minh rằng

tắc, nói riêng là chính quy) Khi đó, và Nhưng nên Tóm lại, và do đó ta

x∈S

{x ∈ X : f(x) ≠ 0}

Spm(C(X))

{mx : x ∈ Y } = V (I),

I = ⋂

nmlinh16

2 Tiền bó

Cho là một không gian tô-pô Như ở bài trước, ta đã thấy rằng nếu là Hausdorff và compact thì ta có thể nghiên cứu thông qua vành các hàm liên tục (mà không bị mất thông tin) Tuy nhiên, việc chỉ xét các hàm trên toàn bộ nói chung là không đủ (chẳng hạn, trong hình học đại số, các không gian tô-pô mà chúng ta xét là các lược đồ (scheme), chúng hầu như không bao giờ là Hausdorff) Từ đó người ta nghĩ đến việc xét các

hàm xác định trên một tập mở của , đó là cơ sở của khái niệm bó

Để gọn gàng, mình sẽ trình bày các định nghĩa bằng ngôn ngữ phạm trù và hàm tử, nhưng mình cũng sẽ giải thích các định nghĩa sao cho người đọc chưa biết đến ngôn ngữ này cũng có thể hiểu

Ký hiệu bởi phạm trù các tập mở của , trong đó các cấu xạ là các phép bao hàm (như vậy, nếu

là các tập mở thì có duy nhất một cấu xạ nếu , và không có cấu xạ nào nếu ngược lại)

Một tiền bó (presheaf) nhóm abel trên là một hàm tử phản biến từ vào phạm trù các nhóm abel Một cách cụ thể, một tiền bó trên được cho bởi các dữ liệu sau đây

1 với mỗi tập mở của , một nhóm abel ;

2 với là các tập mở của , một đồng cấu nhóm , thường được gọi là phép hạn

chế từ vào

sao cho các tính chất sau đây được thỏa mãn

Tương tự, ta có thể nói về tiền bó tập hợp, tiền bó vành, tiền bó module

Ví dụ

1 Ta có (tiền) bó các hàm liên tục trên cho bởi , trong đó là vành các hàm liên tục Các phép hạn chế được hiểu theo nghĩa thông thường

2 Tương tự, cho là một đa tạp trơn Ta có (tiền) bó các hàm khả vi trên cho bởi

3 Tương tự, cho là một đa tạp giải tích phức (chẳng hạn, một diện Riemann) Ta có (tiền) bó các hàm chỉnh

Đã g ửi 2 4 -0 5 -2 0 2 1 - 2 1 :2 7

X

U → R

U ↦ O(U, C)

Trang 3

4 Cho là một nhóm abel Tiền bó hằng trên được cho bởi Các phép hạn chế là các cấu xạ

5 Cho và là một nhóm abel (Tiền) bó chọc trời trên được cho bởi Các phép hạn chế đều hiển nhiên (cấu xạ đồng nhất , hoặc , hoặc )

6 Cho là một vành (giao hoán, có đơn vị) Không gian tô-pô được định nghĩa là tập hợp các ideal nguyên tố của cùng với tô-pô Zariski (tương tự như ), đó là phổ (nguyên tố) của Có duy nhất

một bó (sẽ định nghĩa bó ở bài sau) vành trên sao cho trên mỗi tập mở chính

, , ta có , địa phương hóa của tại tập con nhân tính Các phép hạn chế giữa các tập mở chính là các cấu xạ địa phương hóa Bó được gọi là bó

cấu trúc của Đây là viên gạch cơ bản trong hình học đại số: cặp được gọi là một lược đồ

affine Một lược đồ được xây dựng bằng cách "dán" các lược đồ affine.

Cho là một tiền bó (nhóm abel) trên Với mỗi tập mở , ta cũng dùng các ký hiệu và để chỉ nhóm Các phần tử của nhóm này được gọi là các lớp cắt (section) của trên Nếu là một tập mở và là một lớp cắt, ta cũng dùng ký hiệu để chỉ hạn chế Một lớp cắt trên đưuọc gọi là một lớp cắt toàn cục (global section).

Cho và là các tiền bó trên Theo định nghĩa, chúng là các hàm tử phản biến từ phạm trù các tập mở của vào phạm trù các nhóm abel Một cấu xạ là một biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử này Một cách

cụ thể, nó được cho bởi một họ các đồng cấu nhóm các đồng cấu nhóm, được đánh số bởi các tập mở của , sao cho nếu là các tập mở của thì ta có biểu đồ giao hoán

(https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-69131500-1621865564.png)

Nếu là một tập mở của và là một lớp cắt của trên , ta ký hiệu thay cho Đó là một lớp cắt của trên Tính giao hoán của biểu đồ trên có thể viết lại thành với mọi Các tiền bó trên cùng các cấu xạ giữa chúng tạo thành một phạm trù mà ta ký hiệu bởi Đây là một phạm trù tiền cộng tính: nếu là các cấu xạ giữa hai tiền bó trên , cấu xạ được định nghĩa một cách hiển nhiên,

Một cách thủ tục, ta kiểm tra được rằng là một phạm trù abel Tổng trực tiếp của hai tiền bó và là tiền bó

Nếu là một đồng cấu giữa hai tiền bó thì hạch (tương ứng, đối hạch; tương ứng, ảnh) của là tiền bó

là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu; tương ứng, đẳng cấu) trong phạm trù khi và chỉ khi là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu; tương ứng, đẳng cấu) với mọi tập mở Nói riêng, nếu với mọi tập mở thì ta gọi là một tiền bó con của và tiền bó thương được cho bởi

Hình gửi kèm

A → A

ϕ(U) : F(U) → G (U)

(ϕ + ψ)(U) := ϕ(U) + ψ(U).

F ⊕ G : U ↦ F(U) ⊕ G (U).

U ↦ G (U)/F(U)

Trang 4

nmlinh16

3 Thớ và bó

Ta vẫn cho là một không gian tô-pô

Cho là một tiền bó trên Cho Thớ (stalk) của tại là giới hạn xuôi

Cụ thể, ta có các đồng cấu chính tắc với mỗi lân cận mở của Ảnh của mỗi lớp cắt bởi đồng cấu này được ký hiệu bởi , và được gọi là mầm (germ) của tại Mỗi phần tử của đều

là mầm của một lớp cắt nào đó xác định trong lân cận của Nếu là các lân cận mở của và ,

Ví dụ.

1 Xét tiền bó các hàm chỉnh hình trên (Đây là một tiền bó -đại số) Với mỗi , thớ đẳng cấu với vành các chuỗi lũy thừa với tâm tại và bán kính hội tụ dương

2 Cho là một nhóm abel Tiền bó hằng trên có thớ bằng tại mọi điểm

3 Cho là một nhóm abel và Tiền bó chọc trời có thớ tại mọi điểm (các điểm đặc biệt

hóa của ) và tại các điểm khác.

4 Cho là một vành (giao hoán, có đơn vị) và , với mỗi ideal nguyên tố , thớ của bó cấu trúc là địa phương hóa của tại

Một tiền bó trên được gọi là một bó nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây với mọi tập mở của và mọi

sao cho với mọi (lớp cắt này là duy nhất do tính địa phương)

Nhận xét.

1 Từ tính địa phương, ta suy ra rằng với mọi tập mở thì là một đơn cấu (nói riêng, nếu

cận mở của sao cho Vì các tập mở phủ nên ta có

2 Áp dụng tính dán được duy nhất cho , ta thấy Phạm trù các bó trên được định nghĩa là phạm trù con đầy của phạm trù con đầy của phạm trù các tiền bó Nói cách khác, một đồng cấu giữa hai bó đơn giản là một đồng cấu giữa hai tiền bó tương ứng

Đã g ửi 2 4 -0 5 -2 0 2 1 - 2 2 :2 9

X

Fx := lim −→

U∋x F(U).

U = ⋃ i∈IUi

si ∈ F(Ui) i ∈ I si|Ui∩Uj= sj|Ui∩Uj i, j ∈ I

x∈UFx

Trang 5

Ví dụ.

1 Tiền bó các hàm liên tục, tiền bó các hàm khả vi và tiền bó các hàm chỉnh hình đều là các bó

2 Tiền bó chọc trời là một bó

3 Nếu là một vành giao hoán có đơn vị và thì tiền bó cấu trúc là một bó

4 Cho với tô-pô rời rạc và là một abel khác Tiền bó trên không phải là một bó

Việc lấy thớ có tính hàm tử Cho là một cấu xạ giữa hai tiền bó trên Cho Lấy giới hạn, ta

có một cấu xạ được mô tả như sau Nếu là một lân cận mở của và thì

Sau đây là các tính chất của bó có thể kiểm tra trên thớ

Mệnh đề Cho là một cấu xạ giữa hai bó trên

2 là một đơn cấu (theo nghĩa tiền bó) khi và chỉ khi là một đơn cấu với mọi

3 là một đẳng cấu (theo nghĩa tiền bó) khi và chỉ khi là một đẳng cấu với mọi Chú ý rằng tính toàn cấu (theo nghĩa tiền bó) nói chung không kiểm tra được trên thớ

Chứng minh

1 Giả sử với mọi Cho là một tập mở của , ta cần chứng minh rằng

2 Giả sử là một đơn cấu Cố định Lấy sao cho Ta có thể viết với

Ngược lại, giả sử là một đơn cấu với mọi Cho là một tập mở tùy ý của , ta chứng minh rằng

là một đơn cấu Thật vậy, xét sao cho Thế thì với mọi , suy ra vì là một đơn cấu Vì là một bó nên

3 Giả sử là một đẳng cấu Ta chỉ cần chứng minh là một toàn cấu với mọi Thật vậy, xét Ta

có thể viết với nào đó và là một lân cận mở của Vì là một toàn cấu nên tồn tại

Ngược lại, giả sử là một đẳng cấu với mọi Ta chỉ cần chứng minh là một toàn cấu Cho là một tập

mở tùy ý của và Ta cần tìm sao cho Ta sẽ thấy rằng chỉ tính toàn cấu của

là chưa đủ.

Tương tự,

Vì là một đơn cấu (theo phần 2.) nên Vì là một bó nên ta có thể dán các lớp

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 24-05-2021 - 22:3 0

ϕx (sx ) = ϕ(s)x

G (U) → ∏

ϕx

ϕ(sy|Ux∩Uy) = t|Ux∩Uy.

sx s ∈ F(U) x ∈ U t|Ux= ϕ(rx)|Ux= ϕ(sx) = ϕ(s|Ux) = ϕ(s)|Ux G

t = ϕ(s) □

nmlinh16

4 Bó hóa

Đã g ửi 2 5 -0 5 -2 0 2 1 - 0 5 :3 7

Trang 6

Cho là một không gian tô-pô

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu và là các bó trên thì tiền bó tổng trực tiếp

là một bó Tương tự, nếu là một cấu xạ thì tiền bó hạch

cũng là một bó Nếu là một đơn cấu thì nó cảm sinh một đẳng cấu giữa và tiền bó ảnh

vì thế cũng là một bó Tuy nhiên, nói chung thì không phải là một bó Điều tương tự xảy ra với các tiền

bó đối hạch và thương (khi là một bó con của

Để khắc phục điều này, ta xây dựng hàm tử bó hóa (sheafification) như sau Cho là một tiền bó trên Cho

là một tập mở Một bộ được gọi là một mầm tương thích (compatible germ) của

trên nếu với mỗi , tồn tại lân cận mở của và lớp cắt sao cho với mọi Các mầm tương thích của trên lập thành một nhóm con của tích trực tiếp Ta ký hiệu nhóm này bởi Nếu là các tập mở, phép chiếu cảm sinh một đồng cấu hiển nhiên

Dễ thấy ta có một tiền bó

như sau: với mỗi , lấy một chỉ số tùy ý sao cho và đặt Hiển nhiên đây

là một mầm tương thích (do tính "địa phương" của định nghĩa mầm tương thích), vậy thỏa mãn

với mọi Hiển nhiên đây là lớp cắt duy nhất thỏa mãn tính chất này

Định nghĩa Bó được gọi là bó liên kết với tiền bó

Bó hóa có tính hàm tử theo nghĩa hiển nhiên: Mỗi đồng cấu cảm sinh một đồng cấu bó

Cụ thể, nếu là một tập mở của và là một mầm tương thích thì

Mệnh đề Cấu xạ cảm sinh đẳng cấu trên từng thớ Nói riêng, nếu là một bó thì là một đẳng cấu

Chứng minh

Cố định Với mỗi lân cận mở của , ký hiệu là phép chiếu lên tọa độ Khi thay đổi, các cấu xạ tương thích với các đồng cấu hạn chế của , vì thế chúng cảm sinh một đầu cấu

tính chất phổ dụng của đối giới hạn Từ đó suy ra là một đơn cấu

Tiếp theo, xét tùy ý Thế thì là mầm tại của một lớp cắt nào đó, với là một lân cận mở của Vì là một mầm tương thích nên tồn tại lân cận mở của và lớp cắt sao

Nếu là một bó thì là một đẳng cấu, vì tính chất "là một đẳng cấu" kiểm tra được trên thớ

Tính chất phổ dụng của bó liên kết Với mỗi cấu xạ , trong đó là một bó trên ,

Chứng minh

Cấu xạ bó hóa là một đẳng cấu (theo mệnh đề trước) Tính toán trực tiếp, ta có Vì

là liên hợp bên trái của hàm tử quên Vì thế, bó hóa là một hàm

X

F ⊕ G : U ↦ F(U) ⊕ G (U)

ϕ : F → G

Kerϕ : U ↦ Ker(ϕ(U))

Imϕ : U ↦ Im(ϕ(U)),

x∈UFx

x∈VFx

F#(U) → F#(V )

F#: U ↦ F#(U).

U = ⋃

x)x∈Ui∈ F#(Ui)

x

α ∈ F#(U) α|Ui= αi i ∈ I

ϕ : F → G

ϕ#(α) = (ϕx (αx ))x∈U ∈ G#(U)

ix

ϕ′: F#→ G ϕ = ϕ′∘ i

HomSh(X)(F#, G ) ≃ HomPsh(X)(F, G )

Trang 7

tử khớp phải và bảo toàn đối giới hạn Nếu là một đơn cấu giữa hai tiền bó thì với mỗi ,

là một đơn cấu (xem chứng minh ở Bài 3; bước này không cần dùng đến tiên đề bó của ) Các

Tuy nhiên, hàm tử quên nói chung chỉ khớp trái

Sử dụng tính chất phổ dụng của bó hóa, ta chứng minh được rằng là một phạm trù abel Hơn nữa, nếu

là một đồng cấu giữa hai bó thì chính là đối hạch của theo nghĩa bó (i.e trong phạm

trù ) Tương tự, chính là ảnh của theo nghĩa bó Nếu là một bó con của (nghĩa là

với mọi tập mở ) thì chính là thương của bởi theo nghĩa bó

Kể từ nay, ta sẽ dùng các ký hiệu , và để chỉ đối hạch, ảnh và thương theo nghĩa bó Các đối

Mệnh đề Cho là một cấu xạ giữa hai bó Các khẳng định sau đây là tương đương

1 là một toàn cấu (theo nghĩa bó)

3 Với mỗi tập mở , mỗi lớp cắt và mỗi , tồn tại lân cận mở của và lớp cắt

sao cho ("một cách địa phương, mỗi lớp cắt của đều là ảnh của một lớp cắt của ")

Chứng minh

Cố định và đặt Ta xây dựng một cấu xạ từ vào bó chọc trời như sau

Trong trường hợp này, ta có biểu đồ giao hoán

, suy ra vì là một toàn cấu Từ đó Mà chính là phép chiếu , nên , suy ra là một toàn cấu

Cho là một tập mở, và Vì là một toàn cấu nên tồn tại sao cho Ta có thể viết với nào đó, và là một lân cận mở của , từ đó

Giả sử là một cấu xạ (trong đó là một bó) sao cho Cho là một tập mở của

Vậy , suy ra là một toàn cấu

Từ kết quả trên, ta có mô tả khá dễ chịu sau đây cho ảnh (theo nghĩa bó) của một đồng cấu bó Cho là một đồng cấu bó Ký hiệu bởi tiền bó con của được xây dựng như sau Với mỗi tập mở , là nhóm các lớp cắt sao cho với mỗi , tồn tại lân cận mở của và lớp cắt sao cho

với mọi thì ta có thể dán các lớp cắt thành một lớp cắt Một cách địa phương, mỗi lớp cắt đều là ảnh bởi của một lớp cắt của , nên cũng vậy, nghĩa là Hiển nhiên, cấu

một đơn cấu (đơn cấu theo nghĩa bó và tiền bó là như nhau!) Theo định nghĩa, đẳng cấu với bó ảnh Sau đây là một kết quả quan trọng

Mệnh đề. Tính khớp của một dãy các đồng cấu bó có thể kiểm tra trên thớ

Sh(X) → Psh(X)

Sh(X)

(Cokerϕ)pre (Imϕ)pre (G /F)pre

ϕ : F → G ϕ

G (U) → Gx → Cokerϕx = A

tx = ϕx (s′

t|V = ϕ(s)

ϕ : F → G

Trang 8

Chứng minh

với mọi Từ đó, ta có một đơn cấu giữa hai tiền bó Theo chính chất phổ dụng, nó cảm sinh một cấu xạ giữa hai bó Đây là một đẳng cấu vì nó cảm sinh đẳng cấu trên thớ (bó hóa bảo

Ví dụ Xét Xét là bó hàm chỉnh hình trên Phép đạo hàm chỉnh hình cho ta một cấu xạ

Ta có một dãy khớp các bó -không gian véc-tơ

(một hàm chỉnh hình có đạo hàm bằng khắp nơi khi và chỉ khi nó là hàm hằng địa phương; mọi hàm chỉnh hình đều có nguyên hàm địa phương) Ta cũng có thể chứng minh điều này bằng cách kiểm tra trên thớ (nhắc lại rằng với thì , vành cái chuỗi lũy thừa với tâm tại và bán kính hội tụ dương)

Nếu ta xét vành lớp cắt trên thì ta chỉ có một dãy khớp

Cấu xạ cuối cùng không là một toàn cấu vì hàm chỉnh hình trên nhưng không có nguyên hàm (toàn cục)

Tương tự, xét là bó hàm chỉnh hình không triệt tiêu Hàm mũ cho ta một cấu xạ Ta có một dãy khớp các bó nhóm abel

Nếu ta xét vành lớp cắt trên thì ta chỉ có một dãy khớp

Cấu xạ cuối cùng không là một toàn cấu vì hàm chỉnh hình và không triệt tiêu trên nhưng không có lô-ga-rít (toàn cục)

Hình gửi kèm

F → G → Hϕ ψ

Imϕx = (Imϕ)prex = (Kerψ)x = Kerψx Fx −→ Gxϕx −→ Hxψx

Imϕ → Kerψ

0 → C –– → O −−−→ O → 0∂/∂z 0

U = C×

0 → C → O(C×) −−−→ O(C∂/∂z ×).

0 → 2πiZ ––––– → O −−→ Oexp ×→ 1.

U = C×

0 → 2πiZ → O(C×) −−→ Oexp ×(C×).

nmlinh16

5 Ảnh ngược

Đã g ửi 2 5 -0 5 -2 0 2 1 - 1 5 :5 8

Trang 9

Ở bài này, ta cố định một ánh xạ liên tục giữa hai không gian tô-pô

Cho là một bó trên Ta muốn dùng để kéo lùi nó thành một bó trên Xây dựng này rất giống với bó hóa

Với mỗi tập mở của , một bộ được gọi là một mầm -tương thích của trên nếu

với mọi Các mầm -tương tích của trên lập thành một nhóm con của , ta ký

Hiển nhiên ta có một tiền bó trên ,

Ta khẳng định rằng đây là một bó Thật vậy, cho là một phủ mở (gồm các tập mở của ) Cho

phép ta định nghĩa bộ như sau Với mỗi , lấy chỉ số tùy ý sao cho và đặt

Đây là một mầm -tương thích (vì tính địa phương của định nghĩa mầm -tương thích), vậy thỏa mãn với mọi Hiển nhiên là lớp cắt duy nhất của trên thỏa mãn tính chất này

Định nghĩa. Bó được gọi là ả nh ngược (hay kéo lùi) của bó bởi Ảnh ngược có tính hàm tử theo nghĩa hiển nhiên Mỗi đồng cấu các bó trên cảm sinh một đồng

Bước đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng phép kéo lùi bó bảo toàn thớ

Cho là một tập mở của Ta có một đồng cấu liên hợp (adjunction map)

Cố định và lấy đối giới hạn khi thay đổi, ta thu được cấu xạ

Mệnh đề là một đẳng cấu với mỗi

Chứng minh

Với mỗi lân cận mở của , ký hiệu là phép chiếu lên tọa độ Khi thay đổi, các cấu xạ tương thích với các đồng cấu hạn chế của , vì thế chúng cảm sinh một đồng cấu

chính tắc Do đó theo tính chất phổ dụng của đối giới hạn Nói riêng, là một đơn cấu

cận mở của Vì là một mầm -tương thích nên tồn tại các tập mở và với và

khác, biểu đồ

f : Y → X

y∈VFf(y)

f−1F(V )

y∈V Ff(y) → ∏

y∈WFf(y)

f−1F : V ↦ f−1F(V ).

V = ⋃

αi= (αi y)y∈V i ∈ f−1F(Vi) i ∈ I αi

αy := αi

aU : F(U) → f−1F(f−1(U)), s ↦ (sf(y))y∈f−1 (U).

ay : Ff(y) → (f−1F)y

Trang 10

Hệ quả Hàm từ ảnh ngược là một hàm tử khớp

Chứng minh

Cho là một dãy khớp các bó trên Với mỗi , ta có biểu đồ giao hoán

trong đó các mũi tên dọc là các đẳng cấu cảm sinh từ các đồng cấu liên hợp Vì tính khớp có thể kiểm tra trên thớ

Ta có một mô tả khác cho bó như sau Xét là tiền bó trên cho bởi (các đồng cấu hạn chế được định nghĩa một cách hiển nhiên) Với là một tập mở của vào là một tập mở của , ta

Khi thay đổi, ta thu được một cấu xạ giữa hai tiền bó

Với là lân cận mở của và là một tập mở trong , ta có biểu đồ giao hoán

Theo mệnh đề trên thì là một đẳng cấu Theo chính chất phổ dụng của bó liên kết, cảm sinh một cấu

xạ Đây là một đẳng cấu, vì nó cảm sinh đẳng cấu trên từng thớ (bó hóa bảo toàn thớ) Như vậy,

bó ảnh ngược chính là bó liên kết với tiền bó

Ví dụ.

1 Cho là một tập mở là phép bao hàm Thế thì là bó hạn chế của trên cho

3 Cho là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô Với mỗi bó trên , ta có đẳng cấu tự nhiên

Hình gửi kèm

f−1: Sh(X) → Sh(Y )

f−1F′→ f−1F → f−1F′′ □

−→

U⊇f(V ) F(U)

F(U) −→ faU −1F(f−1U)) −−−−−→ frf −1(U )→V −1F(V )

U⊇f(V ),V ∋y

U∋f(y) F(U) = Ff(y)

ϕ′: P#→ f−1F

f−1F

V ↦ lim

−→

U⊇f(V ) F(U).

U′↦ F(U′)

g−1(f−1F) ≃ (f ∘ g)−1F

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	2,01 MB