ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VLCR

Hãy giải thích sự khác nhau về tính chất dẫn nhiệt của kim loại và điện môi bằng các mô hình chất rắn đã học.. Hãy dùng lý thuyết vùng năng lượng giải thích tính chất của các chất: Kim l

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP

// Đây là tài liệu cá nhân tự làm, chưa được kiểm định chắc chắn Mọi thông tin

chỉ mang tính tham khảo

Câu 1 Hãy giải thích sự khác nhau về tính chất dẫn nhiệt của kim loại và điện môi bằng các mô hình chất rắn đã học 3 Câu 2 Hãy dùng lý thuyết vùng năng lượng giải thích tính chất của các chất: Kim loại, điện môi, bán dẫn 3 Câu 3: Hãy nêu lên tính tuần hoàn của tinh thể thể hiện qua các mô hình chất rắn như thế nào? 4 Câu 4: Hãy giải thích tính chất vật lý (tính dẫn nhiệt, điện) của Cu tại nhiệt độ thấp bằng các mô hình chất rắn đã học 4 Câu 5: Kết quả gần đúng của phương trình trung tâm gần biên vùng Brillouin cho ta những kết luận gì?(chg.6) 4 Câu 6: Hãy giải thích tính chất vật lý (tính chất cơ, dẫn nhiệt, điện) của Si tinh thể bằng các mô hình chất rắn đã học 5 Câu 7: Cho tinh thể một chiều kích thước Na (chu kỳ a, N nguyên tử) Tính các giá trị các vécto sóng cho phép với điều kiện biên tuần hoàn Hãy trình bày về khoảng xác định không gian của chúng 5 Câu 8: Dựa trên các lý thuyết khí điện tử tự do và khí phonon hãy giải thích sự khác nhau về tính chất nhiệt của kim loại và điện môi 6 Câu 9: Khe năng lượng là gì? Giải thích sự hình thành khe năng lượng bằng một trong các mô hình đã học 6 Câu 10: Cho tinh thể mạng lập phương tâm mặt Hãy: 7 Câu 11: Nội dung lý thuyết Debye Khi nào coi khí phonon là lượng tử và trong trường hợp nào là khí lý tưởng (cổ điển)?(Chg.4) 8 Câu 12: Cho một tinh thể lập phương cạnh a, nồng độ điện tử là 1/a 3 hãy dựng mặt Fermi trong không gian hai chiều bằng phương pháp điện tử gần như tự do.(chg.7) 8 Câu 13: Mật độ trạng thái là gì? Hãy tính mật độ trạng thái trong trường hợp khí điện tử tự do ba chiều(chg.5) 9 Câu 14: Cho tinh thể mạng sáu phương xếp khít Hãy 9

*Câu 15: Bằng kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của điện môi ở nhiệt độ thấp, giải thích bằng cách cổ điển hóa khí phonon, tính tuần hoàn của tinh thể thể hiện qua mô hình đó như thế nào? 10 Câu 16: Tính độ xếp chặt của mạng lập phương tâm khối 10 Câu 17: Chứng minh rằng động năng của khí điện tử ở trạng thái cơ bản là 3Nɛ F /5 Trong đó N là số điện tử, ɛ F là năng lượng Fermi 11 Câu 18: Mô tả sự chuyển động của lệch mạng, ý nghĩa của nó trong việc giải thích tính chất cơ học của tinh thể (chg.2) 11 Câu 19: Các cơ chế hóa bền của tinh thể 11 Câu 20: Cho một chuỗi các nguyên tử khối lượng m cách nhau a, thiết lập phương trình tán sắc Sóng có bước sóng cỡ a sẽ lan truyền như thế nào trong tinh thể?(chg.4) 12 Câu 21: Cho một chuỗi gồm 2 loại nguyên tử khối lượng M1 và M2 cách đều nhau a/2 Thiết lập phương trình tán sắc Sóng có bước sóng cỡ a sẽ lan truyền như thế nào trong tinh thế? (dao động mạng một chiều phức tạp) 13 Câu 22: Từ phương trình tán sắc hãy trình bày về lan truyền sóng trong tinh thể khi bước sóng cỡ khoảng cách giữa các nguyên tử và khi bước sóng rất lớn hơn khoảng cách giữa các nguyên tử 14 Câu 23: Thiết lập phương trình dao động mạng gồm hai loại nguyên tử, kết quả và ý nghĩa của nó (chg.3) 14 Câu 24: Kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của kim loại ở nhiệt độ thấp, giải thích bằng mô hình khí điện tử tự do, tính tuần hoàn của tinh thể thể hiện qua mô hình đó ntn? 14

Câu 25: Cho tinh thể một chiều gồm N nguyên tử cách nhau a Dao động mạng bị dập tắt tại hai đầu tinh thể Tính

các vecto sóng cho phép và mật độ trạng thái dao động trong tinh thể đó 15

Câu 26: Thiết lập công thức tính mật độ trạng thái phonon cho tinh thể ba chiều với điều kiện biên tuần hoàn (chg.4) 15

Câu 28: Thiết lập công thức tính vận tốc Fermi cho khí điện tử một chiều trong tinh thể kích thước L, số điện tử N với điều kiện biên cố định 16

Câu 29: Thiết lập công thức tính vận tốc Fermi cho khí điện tử ba chiều trong tinh thể kích thước L, số điện tử N với điều kiên biên tuần hoàn (chương 5) 16

Câu 30: Mô hình Einstein: tính nhiệt dung của chất điện môi, ý nghĩa (c.2) 16

Câu 31: Tính nhiệt dung của chất điện môi theo mô hình Debye với mô hình khí lượng tử 16

Câu 32: Tính nhiệt dung của khí điện tử tự do Fermi (chg.5) 17

Câu 33: Nguồn gốc khe năng lượng là gì? Dựa trên mô hình vùng năng lượng hãy giải thích tính chất của các chất Na, Si ở nhiệt độ thấp và nhiệt độ cao 17

Câu 34: Hãy giải phương trình sóng trung tâm của điện tử trong tinh thể tại biên miền Brillouin thứ nhất Kết quả và ý nghĩa (chương 6.4) 17

Câu 35: Hãy giải phương trình sóng trung tâm của điện tử trong tinh thể gần biên vùng Brillouin thứ nhất: Kết quả và ý nghĩa(chg6.4) 18

Câu 36: Cho khí điện tử tự do nồng độ n, hãy thiết lập công thức tính độ dẫn điện của nó ở nhiệt độ thấp Quan hệ của đại lượng này với độ dẫn nhiệt 19

Câu 37: Nhiệt dung của kim loại ở nhiệt độ thấp theo các mô hình chất rắn đã học Sai lệch giữa lý thuyết và thực nghiệm, giải thích điều đó 20

Câu 38: Hàm Bloch và tính chất của nó.(chương 6) 20

Câu 39: Thiết lập hệ phương trình dao động mạng một chiều gồm 3 loại nguyên tử Dự báo kết quả thu được, lý giải dự báo đó 21

Câu 40: Khi đặt khí điện tử tự do trong điện trường và từ trường vuông góc với nhau, có những hiệu ứng gì xảy ra Mô tả bằng hình vẽ và công thức (cg.5) 21

Câu 41: Cho phương trình sóng trung tâm 𝝀𝒌 − 𝜺𝑪𝒌 + 𝑮𝑼𝑮 𝑪𝒌 − 𝑮 = 𝟎 Chứng minh rằng: 22

a-Mặt Fermi luôn cắt vuông góc với biên giới miền Brillouin I 22

b-Tồn tại các giá trị năng lượng không phù hợp với hàm Block 22

Câu 42: Chứng minh rằng hàm Bloch 𝝍𝒌𝒙 = 𝑮𝑪𝒌 − 𝑮𝒆𝒊𝒌 − 𝑮𝒙 có nhiều giá trị năng lượng khác nhau 23

*Câu 43: Hãy nêu ra các loại va đập đối với điện tử dẫn trong tinh thể và hệ quả của nó Có những yếu tố nào ảnh hưởng đến độ dẫn của điện tử 23

*Câu 44: Cho mạng tinh thể một chiều kích thước L=20A, có 8 điện tử dẫn, tìm hàm sóng của điện tử với điều kiện biên cố định và tính mức Fermi của điện tử 23

Câu 45: Từ hàm Block: 𝝍𝒌(𝒙) = 𝒌𝑪(𝒌)𝒆𝒊𝒌𝒙 Hãy tìm điều kiện nhiễu xạ Bragg 24

Câu 46: Thiết lập phương trình sóng điện tử trong trường thế tuần hoàn với nghiệm là hàm Bloch Hãy chuyển phương trình về dạng phương trình đại số tuyến tính 24

Câu 47: Cho ví dụ về việc mặt Fermi cắt biên giới miền Brillouin Suy ra các hệ quả của trường hợp này 25

Câu 1 Hãy giải thích sự khác nhau về tính chất dẫn nhiệt của kim loại và điện môi bằng các mô hình chất rắn đã học

• Nếu xét trong một qui mô nhỏ, dẫn nhiệt xảy ra khi các phân tử, nguyên tử hoặc các hạt nhỏ hơn (như electron) ở vùng nóng (dao động nhanh) tương tác với các hạt lân cận ở vùng lạnh (dao động chậm)

• Trong kim loại có nhiều electron tự do trong khi điện môi không có Các eletron này có khả năng truyền dao động nhiệt từ nơi này sang nơi khác trong mạng tinh thể Do vậy, trong chất điện môi, nhiệt được mang hoàn toàn bởi các phonon nhưng trong kim loại nhiệt được vận chuyển bởi điện tử và phonon, tương ứng với Ke và Kph

• Độ dẫn nhiệt K= Ke+Kph

=> Kim loại dẫn nhiệt tốt, điện môi dẫn nhiệt kém

+ Hệ số dẫn nhiệt: 𝐾 =1

3𝐶 𝑣 𝑙 Với v – vận tốc hạt, C – nhiệt dung riêng của đơn vị thể tích khí, l – quãng đường tự do trung bình

Câu 2 Hãy dùng lý thuyết vùng năng lượng giải thích tính chất của các chất: Kim loại, điện môi, bán dẫn

Lý thuyết vùng năng lượng cho rằng điện tử trong tinh thể phân bố theo các vùng năng lượng Ba vùng năng lượng đó là: vùng hóa trị, vùng dẫn và vùng cấm

• Kim loại: Kim loại là chất dẫn điện trong đó không có khoảng cách năng lượng bị

cấm giữa vùng dẫn và vùng hóa trị Không cần thêm năng lượng để chuyển electron từ vùng hóa trị sang vùng dẫn

• Điện môi: Các vùng năng lượng hoặc là điền đầy toàn bộ bởi các điện tử hoặc

trống hoàn toàn Điều này dẫn đến vùng cấm lớn Vì khoảng năng lượng giữa vùng dẫn và vùng hóa trị lớn nên không có sự chuyển động của các electron từ vùng hóa trị sang vùng dẫn

• Bán dẫn: Trong chất bán dẫn, vùng hóa trị được lấp đầy bởi các điện tử trong khi

vùng dẫn trống Độ rộng vùng cấm nhỏ (nhỏ hơn 2eV) Để các electron nhảy từ vùng hóa trị sang vùng dẫn, nhiệt độ phòng cần được duy trì Nếu nhiệt độ là 0K thì không có sự chuyển electron từ vùng hóa trị sang vùng dẫn

Câu 3: Hãy nêu lên tính tuần hoàn của tinh thể thể hiện qua các mô hình chất rắn như thế nào?

Tính tuần hoàn trong không gian của tinh thể được biểu diễn bằng mạng tinh thể Mạng tinh thể có cấu tạo lặp đi lặp lại, lấy một phần tử gọi là ô cơ sở, rồi tịnh tiến ô đó sẽ thu được mạng Tập hợp các điểm trong mạng tinh thể được xác định bằng biểu thức:

𝑇⃗ = 𝑛1 𝑎 + 𝑛2 𝑏⃗ + 𝑛3 𝑐 Trong đó, 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 là các số nguyên bất kỳ 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 là các vecto tịnh tiến cơ sở

Câu 4: Hãy giải thích tính chất vật lý (tính dẫn nhiệt, điện) của Cu tại nhiệt độ thấp bằng các mô hình chất rắn đã học

+ Theo mô hình khí điện tử tự do, ở nhiệt độ thấp (T<<TF), điện trở suất của Cu tỉ lệ với

T5, nhiệt dung riêng tiến tới 0 dẫn tới hệ số dẫn nhiệt tiến tới 0 theo công thức 𝐾 =1

Nghiệm gần đúng ở gần biên vùng Brillouin I (𝐺1/2):

𝜀𝑘(±) = 𝜀1(±) +ℏ

2𝛿22𝑚 (1 ±

2𝜆1

𝑈1) Với 𝜀1(±) = ℏ2

2𝑚 (𝐺1

2)2± 𝑈1Nhận xét:

• Nếu 𝑈1 < 0 thì nghiệm 𝜀𝑘(−) ứng với rìa trên của 2 vùng năng lượng

• 𝜀𝑘(+) ứng với rìa dưới của hai vùng năng lượng với điều kiện 𝜆1 >> |𝑈1|

➔ Ở gần biên vùng Brillouin, trong phổ năng lượng của electron gần tự do có chỗ gián đoạn Vì vậy hình thành các vùng được phép và vùng cấm

Câu 6: Hãy giải thích tính chất vật lý (tính chất cơ, dẫn nhiệt, điện) của Si tinh thể bằng các mô hình chất rắn đã học

+ Silic tinh thể: màu xám, có ánh kim, có tính bán dẫn, có độ rắn lớn

+ Tinh thể Silic thuộc loại tinh thể kim cương, do cấu trúc không gian như vậy nên Si có nhiệt độ nóng chảy cao

+ Silic tinh thể có tính bán dẫn: Theo mô hình vùng năng lượng, các vùng năng lượng của Si không phủ nhau nên Si tinh khiết là điện môi ở 0K Khi tăng nhiệt độ T>0K, dưới tác dụng của nhiệt, một số electron từ vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn thành electron tự

do Mối liên kết bị phá vỡ trở thành lỗ trống Do trong tinh thể xuất hiện điện tích tự do nên khi có điện trường tác dụng sẽ xuất hiện dòng điện Nhiệt độ tăng, mật độ hạt mang điện trong bán dẫn cũng tăng nhanh Do đó, điện trở suất của Si giảm nhanh khi nhiệt độ tăng

Câu 7: Cho tinh thể một chiều kích thước Na (chu kỳ a, N nguyên tử) Tính các giá trị các vécto sóng cho phép với điều kiện biên tuần hoàn Hãy trình bày về khoảng xác định không gian của chúng

Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể, ta đưa ra Điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman: dao động của nguyên tử ở cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như dao động của nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1) => Mạng một chiều có đầu và cuối nối với nhau thành một vòng kín

𝐿 có một giá trị k, vì vậy trong trường hợp biên tuần hoàn, số dao động tử trên một đơn vị vecto sóng k là 𝑙

• Mặt khác, sự dẫn nhiệt trong điện môi chủ yếu do dao động mạng tinh thể (phonon) Ở nhiệt độ thấp (T<<𝜃D), độ dẫn nhiệt giảm, cũng như nhiệt dung giảm

(lượng nhiệt vật hoặc một khối chất thu vào hay tỏa ra để tăng hoặc giảm 1 K hoặc

1 o C) do sự tán xạ hạt tải điện từ các khuyết tật ở nhiệt độ rất thấp

• Nhiệt dung của kim loại thấp hơn nhiệt dung của điện môi

Câu 9: Khe năng lượng là gì? Giải thích sự hình thành khe năng lượng bằng một trong các mô hình đã học

Khe năng lượng (hay vùng cấm) là khoảng cách giữa các vùng cho phép mà không thể

có giá trị năng lượng

Theo mô hình khí điện tử tự do, các giá trị năng lượng phân bố liên tục từ không đến vô cùng, được tính theo công thức:

𝐸𝑘 = ℏ

2𝑘22𝑚Với điều kiện biên tuần hòan tinh thể một chiều có chiều dài L: 𝑘 = 𝑛.2𝜋

Câu 10: Cho tinh thể mạng lập phương tâm mặt Hãy:

• Vẽ một ô mạng thuận với nguyên tử là hình tròn tại các nút mạng

• Hãy viết nhóm điểm của loại mang này, minh họa trên hình vẽ

• Viết và chỉ ra trên hình vẽ một mạng xếp khít nhất và phương xếp khít

• Chỉ ra các hệ trượt của loại tinh thể này Hãy giải thích tại sao

-

- Các nhóm điểm: là tập hợp các phép đối xứng quay 2𝜋

𝑛 𝑣à 𝑝ℎé𝑝 đổ𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑔ươ𝑛𝑔 𝑚: 4

𝐶𝑉 = 9𝑁𝑘𝐵(𝑇

𝜃𝐷)

3∫ 𝑥

4 𝑒𝑥(𝑒𝑥− 1)2

𝑥𝐷0Khi nhiệt độ cao (T>>TD), khí phonon hoạt động giống như khí lý tưởng cổ điển

Khi nhiệt độ thấp (T<<TD) (gần nhiệt độ không tuyệt đối), phonon được coi là lượng tử

Câu 12: Cho một tinh thể lập phương cạnh a, nồng độ điện tử là 1/a 3 hãy dựng mặt Fermi trong không gian hai chiều bằng phương pháp điện tử gần như tự do.(chg.7)

Mặt Fermi trong mạng hai chiều: 𝑘𝐹 = (3.𝜋2𝑁

𝑉 )13 = (3.𝜋2.1

𝑎 3 )13

Câu 13: Mật độ trạng thái là gì? Hãy tính mật độ trạng thái trong trường hợp khí điện tử tự do ba chiều(chg.5)

• Mật độ trạng thái D(ɛ) là hàm biểu diễn số trạng thái có trong một khoảng đơn vị năng lượng ɛ

• Mật độ trạng thái tại mức năng lượng Fermi trong không gian 3 chiều:

𝐷(𝜀𝐹) = 𝑑𝑁

𝑑𝜀𝐹 =

𝑉2𝜋2(2𝑚

ℏ2)3/2𝜀𝐹1/2

Câu 14: Cho tinh thể mạng sáu phương xếp khít Hãy

• Vẽ một ô mạng thuận với nguyên tử là hình tròn tại các nút mạng

• Viết và chỉ ra trên hình vẽ một mặt xếp khít nhất và phương xếp khít nhất

• Chỉ ra các hệ trượt của loại tinh thể này; giải thích tại sao

• Hãy viết nhóm điểm của mạng này, minh họa trên hình vẽ

Bằng thực nghiệm người ta nhận thấy, nhiệt dung giảm theo T3 ở nhiệt độ thấp

• Cổ điển hóa khí phonon: Tinh thể chất rắn có thể coi như là một hộp chứa khí phonon có số phonon thay đổi theo nhiệt độ của chất rắn Ở nhiệt độ thấp, chỉ kích thích một lượng đáng kể các dao động có năng lượng ℏ𝜔 << 𝑘𝐵𝑇

• Thể tích không gian k chưa các điểm ứng với trạng thái được kích thích chiếm phần thể tích ~(𝑘𝑇

Câu 16: Tính độ xếp chặt của mạng lập phương tâm khối

- Mật độ xếp chặt của mặt (Ms): là tỷ số diện tích của tất cả các nguyên tử trên vùng chọn trước, chia cho diện tích của vùng đó

nS: là số lượng nguyên tử tính trên diện tích S của mặt tinh thể đã cho

𝑀𝑆 =𝑛𝑆𝜋𝑟2

𝑆 100%

Với mạng lập phương tâm khối thì mặt chứa hai đường chéo của khối là mặt chặt nhất, nên ta xét mặt này:

𝑀𝑆 =𝑛𝑆 𝜋𝑟2

𝑆 100% =(

1

4 4+1)𝜋(𝑎√34 )2𝑎.𝑎√2 100% = 83.4%

- Mật độ xếp chặt toàn mạng (Mv): là tỷ số thể tích của tất cả các nguyên tử trong

ô cơ sở trên thể tích của ô cơ sở V

Động năng được cho bởi 𝑈 = ∫ 𝐷(𝜀) 𝑓(𝜀) 𝜀 𝑑𝜀

Tại T=0 thì 𝑓(𝜀) = 1, ta có tích phân theo công thức: 𝑈0 = ∫ 𝐷(𝜀) 𝜀 𝑑𝜀0𝜀𝐹 (1)

Công thức mật độ trạng thái: 𝐷(𝜀) =𝑑𝑁

𝑑𝜀 = 𝑉2𝜋 2 (2𝑚

Câu 19: Các cơ chế hóa bền của tinh thể

Cơ chế hóa bền: Hạn chế hoặc cản trở chuyển động của lệch mạng, giúp tinh thể cứng hơn, bền hơn

Các yếu tố ngăn cản lệch mạng:

1 Lực Peiers-Nabarro

- Đây là hệ quả của cấu tạo tuần hoàn trong tinh thể, xung quanh lệch mạng có 1 trường ứng suất Khi lệch mạng chuyển động, các nguyên tử cũng phải xê dịch

đi, tức là phải thắng sức cản của mạng tinh thể, đó là ứng suất Peiers-Nabarro

2 Tương tác giữa các lệch mạng với nhau

- Quanh lệch mạng có một trường ứng suất, khi 2 lệch mạng đủ gần nhau thì 2 trường này tương tác với nhau, tạo ra lực đẩy/ hút giữa các lệch mạng

3 Tương tác của lệch mạng với các sai hỏng khác

- Xung quang lệch mạng biên tạo ra đám mây tạp gọi là đám mây Cottrell, khi lệch mạng chuyển động phải kéo theo đám mây này hoặc phải tách khỏi đám mây

đó, trong cả hai trường hợp đều cần ứng suát bên ngoài hoặc nhiệt độ

4 Tương tác của sai hỏng xếp và song tinh

- Trong sai hỏng xếp tồn tại một năng lượng bề mặt, các lệch mạng không nguyên đều là biên giới của các sai hỏng xếp khoảng cách giữa các lệch mạng không nguyên đó là bề rộng của sai hỏng xếp: khi chuyển động cả hệ phải chuyển động cùng nhau gây ra sức cản lệch mạng

dạng) do tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài như tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, v.v.

Câu 20: Cho một chuỗi các nguyên tử khối lượng m cách nhau a, thiết lập phương trình tán sắc Sóng có bước sóng cỡ a sẽ lan truyền như thế nào trong tinh thể?(chg.4)

𝜆 là số sóng Thay nghiệm vào phương trình chuyển động, ta có:

𝑚𝜔2 = 2𝑏(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑞𝑎)) = 4 sin2(𝑞𝑎/2)