BÀI tập PHẦN tử hữu hạn

L ỜI GIỚI THIỆU Giáo trình Bài tập Phương pháp Phần tử hữu hạn được biên soạn dựa trên nội dung chính của giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn PTHH– Nhà xuất bản ĐHBK-2000 và Nhà xuấ

HÀ N ỘI

L ỜI GIỚI THIỆU

Giáo trình Bài tập Phương pháp Phần tử hữu hạn được biên soạn dựa trên

nội dung chính của giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH)– Nhà xuất

bản ĐHBK-2000 và Nhà xuất bản KHKT-2007

Giáo trình giới thiệu 6 bước cơ bản nhất để giải một bài toán bằng phương pháp PTHH thông qua các bài tập cụ thể trong 11 chương

Trong mỗi chương đều có phần tóm tắt lý thuyết, bài tập chọn lọc kèm theo lời

giải và bài tập tự giải

Chương 1 giới thiệu phương pháp PTHH Chương 2 trình bày một số bài tập về thanh chịu kéo (nén) Chương 3 tính toán hệ thanh phẳng Chương 4 giải các bài tập về

dầm và khung bằng phần tử Hermite Tiếp theo, giáo trình tập trung vào các bài tập ứng

dụng phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số để giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 5) Chương 6 gồm một số bài tập về phần tử tứ giác kèm theo bài tập

về tích phân số Chương 7 giới thiệu một số bài tập về tính toán kết cấu đối xứng trục Chương 8 mô tả cách giải một số bài tập về mạch điện và chất lỏng Chương 9 ứng

dụng phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều Chương 10 giới thiệu thuật toán PTHH trong tính tấm chịu uốn Cuối cùng, Chương 11 trình bày lời giải một

số bài tập trong tính toán động lực học kết cấu

Đây là một tài liệu bổ ích cho sinh viên và học viên cao học, nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ điện tử, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ, Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu hàn, Nhiệt lạnh, Luyện kim v.v của các trường Đại

M ỤC LỤC

Chương 1 GI ỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

VII Sơ đồ tính toán bằng phương pháp Phần tử hữu hạn 13

Chương 2 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU

Chương 3 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG

Chương 4 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG

III.1 Bài tập giải mẫu 57

Chương 5 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU

Chương 6 PH ẦN TỬ TỨ GIÁC

Chương 7 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC

Chương 8 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN VÀ

I.2.3 Bài toán chất lỏng hai chiều 121

Chương 9 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

Chương 10 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN UỐN TẤM

Chương 11 PH ẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU

Chương 1

I GI ỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau

Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, ABAQUS, IDEAS, SAP 2000, CAST3000, SAMCEF v.v

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp

II X ẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó Ta chia V ra nhiều

miền con v e có kích thước và bậc tự do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ của đại lượng cần

khảo sát sẽ được tính trong tập hợp các miền v e

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v eđược gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần

tử hữu hạn Các miền con v e được gọi là các phần tử hữu hạn

Ph ần tử ba chiều

Ph ần tử tứ diện

Ph ần tử lăng trụ

Hình 1.1 M ột số dạng phần tử hữu hạn

IV M ỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU

Ph ần tử qui chiếu một chiều

Ph ần tử qui chiếu hai chiều

Ph ần tử qui chiếu ba chiều

1

ξ

vr

10,0

1

ξ

vr

10,0

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Phần tử sáu mặt

Hình 1.2 M ột số dạng phần tử qui chiếu

V L ỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT

Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:

ε = [ε x , εy , εz , γyz , γxz , γxy ] T (1.2) Trường hợp biến dạng bé:

T

x

v y

u x

w z

u y

w z

v z

w y

v x

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

ηη

1,0,0

ζ

1,0,0

ξηζ

0,1,01,0,0

0,0,1

Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:

σ = [σ x , σ y , σz , σ yz , σ xz , σ xy ] T (1.4)

Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến

dạng:

σ = D ε (1.5) Trong đó:

=

νν

ν

νν

ν

ννν

ννν

νν

5000

000

05

000

00

00

50000

00

01

00

01

00

01

211

, ,

,

E D

E là môđun đàn hồi, ν là hệ số Poisson của vật liệu

VI NGUYÊN LÝ C ỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng toàn phần Π của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

T V

T

P u TdS u FdV u W

1

T V

T V

T

P u TdS u dV f u dV

12

Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P i là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là u i

Nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả

d ĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định

VII S Ơ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:

Kh ối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và

phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số

dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết

cấu (điều kiện biên);

Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần

Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q;

Kh ối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ; Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng

theo yêu cầu

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3) :

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán véctơ lực nút phần tử f

Giải hệ phương trình KQ = F (Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)

Đọc dữ liệu đầu vào

- Các thông số cơ học của vật liệu

- Các thông số hình học của kết cấu

- Các thông số điều khiển lưới

- Tải trọng tác dụng

- Thông tin ghép nối các phần tử

- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F

Áp đặt điều kiện biên (Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)

Tính toán các đại lượng khác (Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)

2 1

ξξ

ξ

N

(2.1) Trường chuyển vị tại điểm bất kỳ trong phần tử được biểu diễn bởi

B là ma tr ận biến dạng-chuyển vị của phần tử

Biểu thức tính ứng suất: σ = EBq (2.3)

1 1

e

e e e

l

E A

e e

e A f l

f (2.5) Véctơ lực nút quy đổi từ lực diện tích:

e

e T l

T (2.6)

Với lực tập trung, lấy nút trùng với điểm đặt lực

H ệ phương trình PTHH dưới dạng cô đọng:

KQ = F (2.7)

Giải hệ phương trình (2.7), ta sẽ tìm được chuyển vị Q; nhờ bảng ghép nối phần tử ta sẽ

xác định được chuyển vị nút q của các phần tử Ứng suất được tính theo công thức (2.3)

II BÀI T ẬP

II.1 Bài t ập giải mẫu

Bài t ập 2.1

Khảo sát một hệ gồm ba lò xo thẳng đứng nối với ba trọng lượng P như Hình 2.3a Độ

cứng của 3 lò xo từ trên xuống lần lượt là 3k, 2k và k Hãy sử dụng phần tử hữu hạn

một chiều để xác định chuyển vị của các trọng lượng và phản lực liên kết tại đầu lò xo

thứ nhất

Hình 2.3a H ệ lò xo Hình 2.3b Mô hình PTHH

L ỜI GIẢI Bước 1 Mô hình PTHH

Sử dụng phần tử một chiều, hệ lò xo và khối lượng được mô hình với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 2.3b

3 3

3 3

k k

k

3 2 3 2 2

2 2

2 2

k k

k

4 3 4 3 3

k k k

Bước 4 Thiết lập ma trận độ cứng chung K

Sau khi đánh số các ma trận độ cứng các phần tử và tiến hành lắp ghép, ta thu được ma

−

− +

−

−

=

1 1 0 0

1 3 2 0

0 2 5 3

0 0 3 3

0 0

2 2 0

0 2 2 3 3

0 0 3

3

k k k

k k k k

k k k k

k k

Bước 5 Thiết lập véctơ lực nút chung F

{ } {F T = R1 P P P}T với R1 : phản lực liên kết tại nút 1

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}

Hệ phương trình PTHH thu được :

Q Q Q

Q k

1

4 3 2 1

1 1 0 0

1 3 2 0

0 2 5 3

0 0 3 3

Q k

4 3 2

1 1 0

1 3 2

0 2 5

(2.10)

k

P k

P k

P Q

Q Q

Cuối cùng, phản lực liên kết tại nút 1 được rút ra từ (2.9): R1 = - 3 P

Bài t ập 2.2

Hình 2.4a H ệ 3 lò xo với chuyển vị ban đầu tại điểm 3

Khảo sát hệ 3 lò xo nối với nhau như Hình 2.4a Độ cứng của các lò xo lần lượt là k, 3k

và 2k Điểm 1 được cố định vào tường, điểm 3 chịu một chuyển vị ban đầu δ Tại các điểm 2 và 4 có các lực tác động tương ứng F2 = -F và F4 = 2 F Hãy xác định chuyển vị

tại các điểm và lực tại điểm 3

Hình 2.4b Mô hình PTHH

L ỜI GIẢI Bước 1 Mô hình PTHH

Hệ lò xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 2.4b

2 1 2 1 1

k k

3 2 3 2 2

3 3

3 3

k k

4 3 4 3 3

2 2

2 2

k k k

Bước 4 Thiết lập ma trận độ cứng chung K

Sau khi đánh số các ma trận độ cứng các phần tử và tiến hành lắp ghép, ta thu được ma

2 5 3 0

0 3 4 1

0 0 1 1

2 2 0 0

2 5 3 0

0 3 4

0 0

k k k

k k k

k k k

k k K

Bước 5 Thiết lập véctơ lực nút chung F

{ } {F T = R1 −F R3 2F}T với R1 : phản lực liên kết tại nút 1, R3 : lực tại nút 3

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}

Q Q Q

Q k

2 2

2 0 0

2 5 3 0

0 3 4 1

0 0 1 1

3 1

4 3 2 1

Q k k

k k

k

k k

22

20

25

3

034

3 4

2

(2.12)

Hệ (2.12) được biến đổi như sau: giá trị của từng hàng của số hạng thuộc vế phải bị trừ

đi một lượng bằng δ nhân với giá trị số hạng của ma trận vế trái nằm ở cột 2 và hàng

tương ứng Sau đó, ta loại bỏ hàng 2 và cột 2 (hàng và cột có chuyển vị cho trước) :

δ+

k F Q

Q k

22

32

0

04

4 2

k

F k

F Q

4 2

Các phản lực liên kết và lực tại 3 được tính từ (2.11):

5 4

3 4

3 1

Bài t ập 2.3

Cho hệ lò xo như Hình 2 5a Biết: k1 = 4 N/mm, k2 = 6 N/mm, k3 = 3 N/mm,

F2 = −30 N, F3 = 0, F4 = 50 N Xác định chuyển vị của các điểm và phản lực liên kết tại

LỜI GIẢI Bước 1 Mô hình PTHH

Hệ lò xo được mô hình hóa với 4 nút và 4 phần tử được đánh số như Hình 2.5b

3 2 2

2 2

k k

3 2 2 2

3 2 2

2 3

k k

4 3 3 3

4 3 3 3 4

k k k

Bước 4 Thiết lập ma trận độ cứng chung K

Sau khi đánh số các ma trận độ cứng các phần tử và tiến hành lắp ghép, ta thu được ma

−

− +

−

−

=

3 3

3 3 2 2

2 2

1 1

1 1

0 0

2 2 0

0 2

2

0 0

k k

k k k k

k k

k k

k k

K

Bước 5 Thiết lập véctơ lực nút chung F

{ } {F T = R1 − 30 0 50}T với R1 : phản lực liên kết tại nút 1

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}

−

− +

−

−

50 0 30

0 0

2 2 0

0 2

2

0

4 3 2 1

3 3

3 3 2 2

2 2

1 1

1

Q Q Q Q

k k

k k k k

k k

k k

k k

3 3 0

3 15 12

0 12 16

4 3 2

Q Q

1679

0005

4 3 2

Q Q Q

Phản lực liên kết tại nút 1 được rút ra từ (2.13): R1 = - 20 (N)

Trục bậc được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 2.6b

(N/m) 10 875 25 4

10 5 07

10 4

6.5 4

10 ,5 2

2 1 2 1

1

1

1 1

1 1

3 2 3 2

2

2

1 1

1 1

4

3 4 3

3

3

1 1

1 1

0

5 6 4 13 9 6 0

0 9 6 775 32 875 25

0 0 875 25 875 25

108

.

.

.

.

.

.

4 3 2 1 8

02

56560

0

56413960

0967753287525

0087525875

2510

F

F R

Q Q Q Q

6560

5641396

0967753210

4 3

2 8

Q Q Q

=σσσ

Cuối cùng, ta có nội lực trong các trục: F i = σi A i

b a

s F F F

Bài t ập 2.5

Hai ống trụ rỗng bằng thép và bằng nhôm được gắn cố định tại các đầu A, B và gắn với

một tấm cứng không biến dạng C tại chỗ nối hai ống như Hình 2.7a Xác định chuyển vị

của điểm C và ứng suất trong các ống thép và ống nhôm

Hình 2.7a H ệ hai ống trụ nhôm và thép Hình 2.7b Mô hình PTHH

L ỜI GIẢI Bước 1 Mô hình PTHH

Hệ hai ống được mô hình hóa với 3 nút và 2 phần tử được đánh số như Hình 2.7b Tính toán các thừa số của ma trận độ cứng: Es As = 12 x 106 (N)

Ea Aa = 42 x 106 (N)

Theo công thức (2.4), ta thu được các ma trận độ cứng k1

, k2 cho các phần tử như sau :

2 1 2 1

1

1

1 1

1 1

3 2 3 2

2

2

1 1

1 1

−

−

=

2 2

2 2

1 1

1 1

0

0

l

A E l

A

A E l

A E l

A E l

A

A E l

A E K

a a a

a

a a a a s s s s

s s s

Bước 5 Thiết lập véctơ lực nút chung F

3 1

T

RP2R

F = với R1 , R3: phản lực liên kết tại nút 1 và 3

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}

−

−

3 1

3 2 1

2 2

2 2

1 1

1 1

2

0

0

R P R Q

Q Q

l

A E l

A

A E l

A E l

A E l

A

A E l

A E

a a a

a

a a a a s s s s

s s s

2

1 s 1

Q q 1 1 1

Q q 1 1 1

Q l

B

Q l

Cho hệ lò xo với các độ cứng như Hình 2.8 Hãy:

1 Thiết lập ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút F

1 Thiết lập ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung F

2 Tính chuyển vị của các con trượt và lực tác dụng vào các lò xo

Hình 2.9 H ệ lò xo và hai con trượt

Cho hệ thanh liên kết như Hình 2.11 Tại điểm 4 hệ chịu một chuyển vị δ = 25 mm Cho

E = 210 GPa, A = 4 x 10-4 m2 Hãy xác định chuyển vị tại các điểm, ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết

Hình 2.11 H ệ 3 thanh chịu chuyển vị ban đầu

Bài t ập 2.10

Khảo sát trục bậc với đầu phải được nối với lò xo như Hình 2.12 Biết k = 2000 kN/m,

mô đun đàn hồi của thép Es = 200 GPa và nhôm Ea = 70 GPa Hãy xác định chuyển vị

của các đầu trục, ứng suất trong các trục và các phản lực liên kết

Hình 2.12 H ệ trục bậc và lò xo

l 1 =0.3m l 2 =0.2m l 3 =0.1m Nhôm

m l L

00

00

2 2

2 2

2 2

m lm m lm

lm l

lm l

m lm m

lm

lm l

lm l

l

A E k

Hình 3.1 Ph ần tử thanh trong hệ toạ độ địa phương (a)

và trong h ệ toạ độ chung (b)

Hệ thanh được mô hình hóa với 3 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 3.2b

Tính toán các thông số cho ma trận độ cứng:

2i-Q2j

Q2j-1Nút j

4 3 2 1 4 3 2 1

1

0 0 0 0

0 375 0 375

0 0 0 0

0 375 0

4 3

2

553535535355

35355

353

5535355

35355

35355353

5535355

35355

35355353

553535535355

35355

k

6 5 2 1 6 5

2 1

3

55 353 55

353 55 353 55

353

55 353 55

353 55 353 55

353

55 353 55

353 55

353 55

353

55 353 55

353 55

353 55

.

.

.

.

.

.

.

Bước 4 Ma trận độ cứng chung K

17070

5535355

3535535355

353

01

70755

3535535355

35355

353

5535355

35355

353553530

0

553535535375

35355

7280

375

5535355

3530

055

35355

353

5535355

3530

37555

35355

Bước 5 Véctơ lực nút chung F

{ } {F T = R1 R2 0 R4 0 −150}T với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1,2,4)

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}

1 707 0

55 353 55

353 55 353 55 353

0 1

707 55

353 55 353 55 353 55 353

55 353 55

353 55 353 55 353 0

0

55 353 55 353 75 353 55

728 0

375

55 353 55 353 0

0 55

353 55

353

55 353 55 353 0

375 55

353 55

728

4

2 1

6 5 4 3 2 1

R

-R R

Q Q Q Q Q Q

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

7070

55353

01

70755

353

553535535355

728

6 5 3

Q Q Q

(3.10)

Giải hệ (3.10) ta thu được: {Q3 Q5 Q6} {T = 0.2 0.1 −0.312}T (mm)

Ứng suất trong các thanh được tính theo công thức (3.6):

{σ1 σ2 σ3} {T = −0.05 0.053 0.053}T (kN/mm2)

Phản lực liên kết tại nút 1, 2, 4 được rút ra từ (3.9) :

{R1 R2 R4} {T = 0 75 75}T (kN)

Bài t ập 3.2

Nếu con lăn B của hệ thanh ở Hình 3.2a phải chịu một chuyển vị xuống dưới 0.1 mm

theo phương đứng, hãy xác định nội lực trong các thanh

LỜI GIẢI

Lặp lại các bước tính từ 1 đến 5 trong Bài tập 3.1

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}

Hệ phương trình (3.9) không thay đổi

Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q1 = Q2 = 0, Q4 = -0.1 Bỏ đi hàng 1 và cột 1,

0 1

0

1 707 0

55 353 55

353

0 1

707 55

353 55 353

55 353 55

353 55

353 55 353

55 353 55 353 55 353 55

728

4

6 5

3

R Q

Q

Q

.

.

.

.

.

.

.

.

1 0 55 353 0

1 0 55 353 0

1 707 0

55 353

0 1

707 55 353

55 353 55 353 55

728

6 5 3

.

.

.

.

.

.

.

Q Q

Hình 3.3a Hệ thanh với gối tựa nghiêng 45° Hình 3.3b Mô hình PTHH

LỜI GIẢI

Bước 1 Mô hình PTHH

Hệ thanh được mô hình hóa với 3 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 3.3b

Tính toán các thông số cho ma trận độ cứng:

1 θ1 = 90° l 1 = 0 m 1 = 1

2 θ2 = 0° l 2 = 1 m 2 = 0

3 θ3 = 45° l 3 = 2 / 2 m 3 = 2 / 2

Để áp dụng các điều kiện biên trên mặt nghiêng, các chuyển vị Q5 và Q6trong hệ tọa độ

xy được biểu diễn qua các chuyển vị Q’5 và Q’6 trong hệ tọa độ x’y’ như sau:

cos sin

sin cos

6 5 6 5 6 5

6

5

45 45

45 45

Q

Q Q

Bước 2 Bảng ghép nối các phần tử

Bậc tự do Phần tử

4 3 2 1 4 3 2 1 5 1

1010

0000

1010

00001

10

x 6

x 210

Q2j

Q2j-1Nút j

6 5 4 3 6 5 4 3 5 2

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1 1

10

x 6

x 210

50505050

50505050

50505050

505050501

10

x 6

x 210

k

Bước 4 Ma trận độ cứng chung K

(N/m)

5 0 5 0 0 0 5 0 5 0

5 0 5 1 0 1 5 0 5 0

0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

5 0 5 0 1 0 5 1 5 0

5 0 5 0 0 0 5 0 5 0

.

.

.

.

.

.

2 0 0 0 0

2

2 2

2 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

T (3.16)

Ma trận độ cứng tổng biến đổi : K* = T K TT

(N/m)

5 0 5 0 0 707 0 0

0

5 0 5

1 0 707 0 707 0 707 0

0 0

1 0 1

0

707 0 707 0 0 1 0

0

0 707 0 1 0

5 1 5

0

0 707 0 0 0 5

0 5

0

6 5

4 3 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

*

' '

Bước 5 Véctơ lực nút chung F

{ } {F T = R1 R2 P R4 R5 R6}T với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1,2,4) Véc-tơ lực nút chung biến đổi F* = TF

R R

P R R

F* = 1 2 4 0 6' (3.18)

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH

6 2 1

6 5 4 3 2 1 6

5 4 3 2

1

0

10

5 0 5 0 0 707 0 0 0

5 0 5 1 0 707 0 707 0 707 0

0 0

1 0 1

0

707 0 707 0 0 1 0

0

0 707 0 1 0

5 1 5 0

0 707 0 0 0 5

0 5 0

R' R

R R

Q' Q' Q Q Q Q

.

.

.

.

.

.

.

.

17070

70701

10

x 126

6

5

3 5

'

Giải hệ (3.20) ta thu được: {Q3 Q'5}T ={11 91 x 10-3 5.613 x 10-3}T (m)

Các phản lực liên kết được rút ra từ phương trình (3.19) :

Bước 2 Bảng ghép nối các phần tử

Bậc tự do Phần tử

1111

1111

1111

111110

x 051

4 3 2 1 4 3 2 1

5 1

0101

0000

010110

x 051

6 5 2 1 6 5 2 1

5 2

21

421

4-

21

421

410

x 051

7 2

7 2

5 3

40

0000000

0010001

0001111

000111

4001121

411

00111111

10

x 05

−

−

−

−+

=

Bước 5 Véctơ lực nút chung F

{ } {F T = 0 − 25 R3 R4 R5 R6 R7}Tvới Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1÷7)

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH

7 6 5 4 3 2 1

5

250

21

4000021

40

0000000

0010001

0001111

0001111

21

4001121

251

0011112

10

x 051

R R R R R -

Q Q Q Q Q Q Q

105

105210

10

2

1 5

00

10

x 3.448

10

x 1.724707

07070707070705

00

10

x 3.448

10

x 1.7240

10110

Đế 3 chân trong Hình 3.5a chịu một lực tác động 10 kN thẳng đứng từ trên xuống tại điểm nối 4 Mô đun đàn hồi của các chân đế là E = 200 kN/mm2 và diện tích mặt cắt ngang của các chân là 2000 mm2

Xác định nội lực trong các chân đế

LỜI GIẢI

Bước 1 Mô hình PTHH

Hệ thanh và lò xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 3.5b Tính toán các thông số cho ma trận độ cứng:

1 Tọa độ của các điểm nối: 1(-3,0,0); 2(2,0,2); 3(2,0,-2); 4(0,5,0)

2 Chiều dài của từng phần tử: ( ) ( ) ( )2

1 2 2 1 2 2 1

z z n l

y y m l

x x

0.857 0.870 0.870

0 -0.348 -0.348

2

2 2

2 2

2 2

n

mn m

x Đ

nl lm

l

n mn nl

n

mn m

lm mn m

nl lm

l nl lm l

000

0350501843003505018430

01843011180184301118

000

000

0350501843003505018430

01843011180184301118

12 11 10 3 2 1 12 11 10

3 2 1

425809721425

84258097214258

09721707

5209721037

2170752097

21

425809721425

84258097214258

4258097214258425

809721425

8

0972170752097

2109721707

5209721

4258097214258425

809721425

8

12 11 10 6 5 4 12 11

10 6

5 4

4258097214258425809721425

8

0972170752097210372170752097

21

425809721425

84258097214258

425809721425

84258097214258

0972170752097

21097217075209721

4258097214258425809721425

8

12 11 10 9 8 7 12 11

10 9

8 7

Bước 4 Ma trận độ cứng chung K

Phần này coi như bài tập thực hành dành cho độc giả

Bước 5 Véctơ lực nút chung F

với Ri: phản lực liên kết tại nút i (i=1÷9)

Bước 6 Giải hệ phương trình PTHH

Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q1 = Q2 = Q3 = Q4 =Q5 = Q6 = Q7 = Q8 =

Q9 = 0, bỏ đi các hàng từ 1 đến 9 và các cột từ 1 đến 9 của ma trận K, ta thu được hệ rút gọn sau:

950160

0

076415504612

00461296

34

12 11 10

Q Q Q

(3.26)

Giải hệ này ta được: {Q10 Q11 Q12} (T = −0.02273 −0.06597 0)T (mm)

Và nội lực trong cácchân đế :

[ ] kN

0

065970

022730000

0857051400857051405831

Khảo sát hệ 3 thanh thép nối bản lề với tường và nối với nhau tại điểm 1 như Hình 3.7

Mô đun đàn hồi của thép: E = 200 GPa Diện tích các mặt cắt ngang: A1 = A3 = 8 cm2,

A2 = 10 cm2 Xác định chuyển vị của điểm 1, ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết

Xét hệ hai thanh phẳng được đỡ bởi một lò xo như Hình 3.9 Biết E = 210 GPa,

A = 5 x 10–4 m2 Hãy xác định chuyển vị tại 1 và ứng suất trong các thanh

Bài t ập 3.10

Hình 3.10 Hệ thanh không gian

Khảo sát hệ thanh không gian trong Hình 3.10 Cho mô đun đàn hồi E = 210 GPa, diện tích mặt cắt ngang các thanh: A = 10-3

m2 Một lực 20 kN tác động vào nút 1 theo hướng tọa độ x Các thanh được gắn bản lề vào tường Xác định chuyển vị của điểm 1, ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết