Kỹ thuật giải Toán - Phần Tích phân

Nguyên hàm – Tích phân hàm phân thức hữu tỷ

CH INH PH Ụ C OL YM PIC T O ÁN

• Nếu   0 Phân tích và dùng công thức

Chú ý Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn  − a;a 

CÁC CÔNG THỨC NÊN NHỚ

• ( mx nax b) 2 ax b A (ax bB ) 2

• (ax bmx n ) ( 2 cx d) (ax bA ) 2 cx d ax b B C

CÔNG THỨC TÁCH NHANH PHÂN THỨC HỮU TỶ

T Ạ P CH Í VÀ TƯ LI Ệ U T O ÁN H Ọ C

P x A ax bx c x m ax bx c x m ax bx c

Sau đây ta sẽ cùng đi vào các ví dụ minh họa cụ thể cho dạng toán này!

Tính các tích phân sau : a)

L ờ i gi ả i Cách 1 Phương pháp đồng nhất thức

Thay x= −2 vào hai tử số: 3 A= và thay x= −3 vào hai tử số: − = −1 B suy ra B 1Do đó: f x( ) 3 1 x 2 x 3

4x 11 dx 3 1 dx 3ln x 2 ln x 3 2 ln 3 ln 2 x 5x 6 x 2 x 3

Tính các tích phân sau a)

Cách 1 Thực hiện cách chia đa thức x 3 cho đa thức x 2 +2x 1+ đã học ở chương trình lớp 8

  Đặt t x 1= + dx dt; x t 1= = − Đổi cận x 0 t 1 x 3 t 4

0 1 1 1 x t 1 3 1 1 1 9 dx dt t 3 dt t 3t 3ln t 6 ln 2 t t t 2 t 4 x 1

− + − Đặt t 2x 1= − 1 dt 2dx dx dt

4x dx 4x dx 2 1dt 1 1 dt ln t 1 2

  Đặt x 2 tan t+ = , suy ra dx 1 2 dt cos t

0 t t x tan t 2 dt sin t dx 2 dt ln cos t 2t 1

2 2 1 1 2 1 t 1 cos t ln cos t 2t ln cos t 2t ln cos t 2t ln 2 t t cos t

2 arctan 4 arctan 2 ln 5 2 arctan 4 arctan 2 ln

= + Đặtx 2 tan t= suy ra: dx 2 2 dt. cos t

J dx dt dt t x 4 4 1 tan t cos t 2 2 8

L ờ i gi ả i a) Cách 1 Đặt x 1 t+ = , suy ra x t 1= − Đổi cận x 0 t 1 x 1 t 2

  b) Đặt x 1 t− = , suy ra x t 1= + Đổi cận x 1 t 2 x 0 t 1

 + Với a , b , c là các số nguyên

Khi đó biểu thức a b+ 2 +c 4 có giá trị bằng ?

=  + Đặt t= 2 tan udt= 2 1 tan u du( + 2 ) Đổi cận t 0 u 0 t 2 u

L ờ i gi ả i a) Cách 1 Phương pháp đồng nhất thức

Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số

Cách 2 Phương pháp đổi biến Đặt t x 1= + , suy ra x t 1= − Đổi cận x 2 t 3 x 3 t 4

I dt dt ln ln t ln 2

 =   − −  − = −  = b) Đặt t x 1= − , suy ra x t 1= + , dx dt= Đổi cận x 2 t 1 x 3 t 2

Cách 1 Phương pháp đồng nhất thức

CH INH PH Ụ C OL YM PIC T O ÁN Đồng nhất hệ số hai tử số

Tính các tích phân sau a) ( )

L ờ i gi ả i a) Cách 1 Phương pháp đồng nhất thức

− Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: x 0; x 1= = và x= −1 vào hai tử ta có

1 dx 1 1 1 1 dx 1 ln x 1 x 1 ln x 5ln 2 3ln 3

Cách 2 Phương pháp nhảy lầu

1 dx 1 2xdx 1dx 1ln x 1 ln x 5ln 2 3ln 3

   b) Cách 1 Phương pháp đồng nhất thức

Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số:

1ln x 1ln x 2 3ln x 2 5ln 3 3ln 5 1ln 2

Cách 2 Phương pháp nhảy lầu

  c) Cách 1 Phương pháp đồng nhất thức

Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số:

Thay x 1= ta có1 2A= , suy ra A 1

Thay x= −1 ta có 1= −2B, suy ra B 1

Thay x= −2 ta có 4= −5C, suy ra C 5

I dx dx ln ln x 2 ln

Từ đó suy ra kết quả

Tìm các nguyên hàm, tính các tích phân sau:

− + − + x 2 − =2 (A B C x+ + ) 2 +(B C x A− ) − Đồng nhất hệ số thì được A 2,B 1,C 1

1 16 tan t 1 tan t 16 tan t 2 tan t 1 dt 2

Từ đó tính được K 16 17 ln 2

Lần lượt đặt x tan t, x= 3 =tan u thì L 5

8 Ta có J 2 1 4 1 2 dx C arctan x 4 dx 2 x 1 x x 1 x x 1

Như vậy ta chỉ cần tính K 4 dx 2 x x 1

= − +Với trường hợp x 0= làm dễ dàng, xét trường hợp x 0 ta có

Phần còn lại xin nhường lại cho bạn đọc!

9 Biến đổi tích phân cần tính ta được

=  −   − + −  − +  Đến đây xin nhường lại cho bạn đọc!

KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU

Khi giải quyết các bài toán nguyên hàm phân thức hữu tỷ, bạn có thể sử dụng nhiều phương pháp như biến đổi về dạng cơ bản, đặt ẩn hay lượng giác hóa Trong bài viết này, mình sẽ giới thiệu kỹ thuật nhảy tầng lầu, một phương pháp hiệu quả để tách tích phân hữu tỷ thành nhiều tích phân con với khoảng cách giữa bậc tử và mẫu không lớn Kỹ thuật này giúp hạ bậc mẫu của tích phân xuống mức tối giản nhất, từ đó làm cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn Kỹ thuật này được trích từ cuốn "TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH".

TÍCH PHÂN” của thầy Trần Phương và các phương pháp xử lý khác trên mạng

Sau đây là các ví dụ minh họa trích từ cuốn tích phân của thầy Trần Phương

Tính các tích phân sau

Tính các nguyên hàm sau

( ) n n n k k k 1 k n n n n ax b ax d ax b dx 1 1 dx 1

I dx b b nb x ax b x ax b x ax b − ax b

1 dx 1 1 b x ax b nb ax b nb ax b

1 1 1 1 1 ln x ln ax b C b n b k 1 ax b b ax b b

1 ln x 1 1 1 C nb ax b n b k 1 ax b b ax b

I d ax b ax b ax b na ax b

1 1 1 b b C na ax b − ax b na k 2 ax b − k 1 ax b −

Sau đó đưa tích phân trên về tích phân cơ bản

Sau đây chúng ta sẽ đi vào các ví dụ cụ thể!

Tính các tích phân sau:

I dt dt 1 dt t ln t 1 ln

Từ ( )* các em có thể dùng phương pháp đồng nhất hệ số

I dt 2 ln t 1 ln t 2 3ln 3 4ln 2 t 1 t 2

Ví dụ 2 Tính các tích phân sau:

Để giải quyết biểu thức dưới dấu tích phân có chứa phần đa thức qua phép cộng, chúng ta có thể tách nó thành hai tích phân riêng biệt nhằm đơn giản hóa quá trình tính toán.

 + Đặt t 1 2e = + x  dt 2e dx = x  e dx x = dt 2

Các bạn có thể tính I theo kĩ thuật vi phân

= + + Đặt t = ( 1 e + x ) 3  dt 3 1 e = ( + x ) 2 e dx x  e 1 e x ( + x ) 2 dx = dt 3

Nếu bài toán này ta đặt t = 2e 2x + 2e x +  1 t 2 = 2e 2x + 2e x +  1 tdt = ( 2e 2x + e dx x ) khi đó chúng ta phải chỉnh lại tích phân (để rút được theo tdt) bằng cách biến đổi

Mặc dù không thể rút gọn biểu thức (2e^(2x) + e^x) dưới mẫu số theo t, nhưng ta có thể thử một phương pháp khác bằng cách đặt t e = x.

  nếu làm tiếp thì sẽ khá dài và phức tạp Nhưng chúng ta hãy quan sát kĩ lại biểu thức: 2e 2x + 2e x + = 1 ( 1 e + x ) 2 + e x giá như nó có dạng

2 2 u +a Điều giá như này gợi ý chúng ta nhận thêm

Và khi đó ta có lời giải của bài toán như sau: Đặt t = ( 1 e + − x )  dt = − e dx − x

Khi giải các bài toán nguyên hàm tích phân của hàm phân thức hữu tỷ, có nhiều phương pháp khác nhau như đặt ẩn phụ, đặt ẩn lượng giác, phân tích nhân tử, và hệ số bất định Bài viết này sẽ giới thiệu một phương pháp thú vị để xử lý nguyên hàm phân thức hữu tỷ, được gọi là OXTROGRATXKY.

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP OXTROGRATXKY

Trước hết ta xét các bài toán có dạng ( )

Để biểu diễn nguyên hàm của đa thức Q(x) có nghiệm bội trong tập số phức, ta cần xem xét hai đa thức P(x) và Q(x) với điều kiện deg P < deg Q Việc này giúp chúng ta xác định cách biểu diễn nguyên hàm một cách chính xác và hiệu quả.

• F x ,K x( ) ( ) là các đa thức với hệ số chưa xác định thỏa mãn

Bước tiếp theo để giải quyết bài toán là lấy đạo hàm hai vế của biểu thức và đồng nhất hệ số để tìm các đa thức Quy trình này có thể khá phức tạp trong việc giải hệ phương trình Hãy cùng nhau khám phá các bài toán để hiểu rõ hơn về phương pháp này!

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Tìm nguyên hàm của hàm số sau

Bài toán này khá phức tạp với hàm Q(x) = (x^2 + 2x^2 + )² có nghiệm bội là nghiệm phức, cho phép áp dụng phương pháp giải thích hợp Đầu tiên, ta tính Q'(x) = 4x(1 + )(2 + 2x + 2), sau đó tìm Q(x1) Cả hai hàm Q(x) và Q'(x) đều chứa đại lượng (x^2 + 2x^2 + ), cho thấy đa thức này là ước chung lớn nhất của hai đa thức Q(x) và Q'(x) Do đó, ta có Q(x2) = Q(x1) = x^2 + 2x^2 + và áp dụng công thức tổng quát vào bài toán.

Lấy đạo hàm 2 vế ta được

− + + =   − + =    Đến đây tích phân ban đầu trở thành dạng vô cùng đơn giản

Phương pháp giải bài toán hàm phân thức hữu tỷ có sức mạnh đáng kể, nhưng cũng tồn tại những khó khăn, đặc biệt là trong việc giải hệ phương trình Mặc dù ví dụ đầu tiên cho thấy khả năng giải nhanh, nhưng không phải tất cả các bài toán đều đơn giản như vậy Hãy cùng tìm hiểu một ví dụ khác để nhận thấy nhược điểm của phương pháp này.

Tìm nguyên hàm của hàm số sau

Như bài trước, đầu tiên ta sẽ đi tìm các đa thức Q x ,Q x1 ( ) 2 ( )

4 2 x 1 Ax Bx Cx D Ex Fx Gx H

Lấy đạo hàm 2 vế ta có

3Ax 2Bx C x x 1 4x 2x Ax Bx Cx D x 1 x x 1 x x 1 x x 1

Quá khủng phải không nào? Đến đây nguyên hàm ban đầu trở thành

Từ đó nguyên hàm ban đầu ta tính được bằng

Lời giải tự luận của bài này thực sự ấn tượng, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng Phương pháp nhảy tầng lầu cũng vậy, nhưng trong kỳ thi THPT Quốc Gia, đề thi sẽ không yêu cầu phức tạp đến mức này Nếu gặp phải, các bạn có thể áp dụng phương pháp này hoặc lựa chọn cách nào khác mà mình thấy nhanh hơn Bài viết này chỉ nhằm giới thiệu thêm cho các bạn một phương pháp khác để giải nguyên hàm.

BÀI TẬP TỔNG HỢP ĐỀ BÀI

 − với a, b, c,d là các số nguyên dương và a c, b d là các phân số tối giản Biết a c 2 b d + − ( + ) = m ,m 0 2  m là số nào sau đây

Bài 2 Tính nguyên hàm của hàm số ( )

 Biết a, b là các số nguyên dương Tính giá trị của biểu thức ab

 , với a b là phân số tối giản Giá trị của a b+ là

 với a là số nguyên tố Tính a b 2

 + Giá trị của F 2001 và F 2019 lần lượt là

 , với a, b là cá số nguyên dương

Bài 11 Cho f x( ) liên tục trên / 0; 2  thỏa mãn f x( ) f 4 x

A 3 ln 5 2 ln 3− + B 9 3ln 5 6 ln 3− + C 6 2 ln 5 4 ln 3− + D 12 4 ln 5 8ln 3− +

Bài 12 Đâu là một họ nguyên hàm của hàm số f x( ) 5x 4 2 1 x 1

Bài 13 Cho f x( ) liên tục trên / 1;1

Bài 14 Cho đa thức P x( ) hệ số thực thỏa mãn (x 1 P x 1− ) ( + −) (x 2 P x+ ) ( )=  0 x và

Bài 15 Cho f x( ) thỏa mãn ( x y f x y − ) ( + ) ( − x y f x y + ) ( − ) = 4xy x ( 2 − y 2 ) Biết f 2 ( ) = 16 , tính 1 ( )

Bài 16 Cho f x( ) và g x( ) xác định x thỏa mãn

Tính giá trị của tích phân ( )

Bài 17 Cho f x ( ) và g x ( ) thỏa mãn

Bài 18 Cho f x ( ) thỏa mãn f x( ) f y( ) 2 xy 2 x y 1

Bài 19 Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn bất phương trình

 Số phần tử của tập hợp S bằng

 + ( a,b 0  ) tìm các giá trị thực của tham số k để ab ( 2 )

Bài 22 Biết luôn có hai số a và b để F x( ) ax b x 4

+ (4a b 0−  ) là nguyên hàm của hàm số

( ) f x và thỏa mãn điều kiện 2f x 2 ( )=F x( )−1 f ' x ( ) Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

 − với a, b, c,d là các số nguyên dương và a c, b d là các phân số tối giản Biết a c 2 b d+ − ( + )=m ,m 0 2  m là số nào sau đây

L ờ i gi ả i Phân tích Bài này là một dạng rất cơ bản của hàm phân thức hữu tỉ Ta sẽ dùng phép chia đa thức ( x 3 + 1 : 3x 5 ) ( − ) được kết quả x 3 1 (3x 5) x 2 5x 25 152

Tính nguyên hàm của hàm số ( )

L ờ i gi ả i Đặt ( ) 3 ( ) 2 u ln x du dx

J là một hàm phân thức hưu tỉ cơ bản quen thộc

 Biết a, b là các số nguyên dương Tính giá trị của biểu thức ab

 , với a b là phân số tối giản Giá trị của a b+ là

I dt ln ln ln 17 ln 9 t 5 2t 9 2t 9 t 5 t 5 9

 với a là số nguyên tố Tính a b 2

 Đặt x 2 + = 1 2 2 3 tan u, u  −  2 2   ;  xdx = 4 cos u 3 2 du

Nhận thấy ( x 2 −4x 4 ' 2x 4; x+ ) = − ( 2 +1 ' 2x) = nên ta sẽ tách

 Đặt x tan t =  dx = cos t dt 2

1 4 4 dx 1 dt dt x 1 tan t 1 cos t 2

2 ln 2 ln 2 1 2 1 lim lim ln 2 n 1

+ = + = (Quy tắc l'Hôpital) n nlim F ln 2

= + Đặt x tan t =  dx = cos t dt 2

K sin tdt 1 cos 2t dt cos t 2 tan t 1

 + Giá trị của F 2001 và F 2019 lần lượt là

L ờ i gi ả i Đặt x tan t dx dt 2 cos t

=  CH INH PH Ụ C OL YM PIC T O ÁN

 , với a, b là cá số nguyên dương Tính a b2 3

Xét thấy cả tử và mẫu đều chứa đa thức bậc 4 đối xứng nên chia cả tử và mẫu cho x 2 được

  Đến đây, ta đã nhìn ra ẩn phụ Đặt 2 x 1

I du du ln u 1 ln u 10 ln 3 ln 5 u 11u 10 3 u 1 3 u 10 3 3 3

Cho f x ( ) liên tục trên / 0; 2   thỏa mãn f x( ) f 4 x

A 3 ln 5 2 ln 3− + B 9 3ln 5 6 ln 3− + C 6 2 ln 5 4 ln 3− + D 12 4 ln 5 8ln 3− +

Lấy ( )1 cộng ( )3 rồi trừ đi ( )2 , được

Câu 12 Đâu là một họ nguyên hàm của hàm số f x ( ) 5x 4 2 1 x 1

L ờ i gi ả i Đặt F x ( ) f x dx ( ) 5x 4 2 1 dx 2 x 2 4 1 dx 3 x 2 4 1 dx 2G x ( ) 3H x ( ) x 1 x 1 x 1

   Đặt x 1 2 tan u 1 1 2 dx 2 du 2 x x cos u

Cho đa thức P x( ) hệ số thực thỏa mãn (x 1 P x 1− ) ( + −) (x 2 P x+ ) ( )=  0 x và

3 3 3 3 du dx dx 3 x x 1 x 12 34 4 tan u 1 2 cos u

Cho f x( ) thỏa mãn ( x y f x y − ) ( + ) ( − x y f x y + ) ( − ) = 4xy x ( 2 − y 2 ) Biết f 2 ( ) = 16 , tính

Đẳng thức đề bài  vf u ( ) − uf v ( ) = ( u 2 − v uv 2 )

Cho f x( ) và g x( ) xác định x thỏa mãn

Tính giá trị của tích phân ( )

6 6 6 x 1 2dx x 2 4dx x 3 f g dx x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 2dx x 2 4dx x 3 f g dx x 1 x 1 x 2 x 2 x 3

7 2 x 3 x 3 f x dx g x dx dx 1 dx x 3 x 3 x 3 x 3 f x dx g x dx dx 2 dx x 3 x 3

1 x 1 2x 1 1 1 1 f x dx dx dx dx dx J

Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn bất phương trình

 Số phần tử của tập hợp S bằng

Do k nguyên dương nên ta chọn được k S (với S=1; 2; 3; 4; 5;6;7)

Suy ra số phần tử của S là 7

 + Đặt t xe= x +1 dt=(1 x e dx+ ) x Đổi cận x 0=  =t 1; x 1=  = +t e 1

=   −  = − ( t ln t ) e 1 + 1 = − e ln e 1 ( + ) Suy ra: a 1= , b= −1, c 1= Vậy P a 2b c= + − = −2

 + ( a,b 0  ) tìm các giá trị thực của tham số k để

Biến đổi giả thiết ta có:

Mặt khác ta lại có ab ( 2 )

Biết luôn có hai số a và b để F x( ) ax b x 4

= + + (4a b 0−  ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) và thỏa mãn điều kiện 2f x 2 ( ) =   F x ( ) − 1 f ' x   ( ) Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

+ là nguyên hàm của f x ( ) nên ( ) ( )

Kỹ thuật tính tích phân từng phần là một phương pháp cơ bản nhưng hiệu quả trong giải quyết các bài toán tích phân Trong phần này, chúng ta sẽ không đề cập đến các bài toán cơ bản mà chỉ tập trung vào những bài toán nâng cao Đầu tiên, chúng ta sẽ nhắc lại và chứng minh công thức tính nguyên hàm theo phương pháp tích phân từng phần.

Giả sử u x , v x ( ) ( ) là các hàm liên tục trên miền D khi đó ta có:

    d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu udv uv vdu

Chú ý Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và nguyên hàm

vdu dễ tính hơn udv Ngoài ra ta còn chú ý tới thứ tự đặt của u Nhất – Log, Nhì – Đa,

Tam – Lượng, Tứ - Mũ Nghĩa là nếu có ln hay log x a thì chọn u ln= hay u log x a ln x

Khi giải tích phân, nếu không có ln hoặc log, ta chọn u là đa thức và dv là phần còn lại Trong trường hợp không có log hay đa thức, lựa chọn u sẽ là hàm lượng giác, và cuối cùng, nếu không còn lựa chọn nào khác, ta sẽ chọn u là hàm mũ.

Ta thườ ng g ặ p các d ạ ng sau ,v ớ i P x( ) là đa thứ c

Dạng đặt I P x( ) sin x dx cos x

 I =  P x e ( ) ax b + dx I=P x ln mx n dx ( ) ( + ) I =     sin x cos x    e dx x u P x( ) P x( ) ln mx n( + ) sin x cos x

• Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm

• Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi

Nguyên hàm – Tích phân từng phần

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

au 2 chương nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỷ và phương pháp từng phần thì chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu dạng toán nguyên hàm tích phân cơ bản tiếp theo đó là nguyên hàm – tích phân lượng giác Để làm tốt được các bài toán nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác ta cần nắm chắc các biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t tanx

1 1 sin x a sin x b sin a b sin x a sin x b

• sin x cos x A asin x b cos x c '( ) B asin x b cos x c asin x b cos x c asin x b cos x c

• 2 1 2 2 1 1 2 asin x bsin x cos x cos x a tan x b tan x c cos x+ + + +

A a sin x b cos x ' sin x cos x a sin x b cos x  a sin x b cos x 

+ + Đặc biệt cận tích phân đối, bù, phụ thì đặt tương ứng t x, t x, t x

Để tính tích phân I, ta có thể thêm J, giúp dễ dàng hơn trong việc tính toán các tích phân I J+ và I J− hoặc I kJ+ và I mJ− Tích phân truy hồi I n có thể được tính dựa vào I n 1 − hoặc I n 2 −, trong đó sin x, cos x sẽ được tách lũy thừa 1 và sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đối với tan x và cot x, ta tách lũy thừa 2 và áp dụng phương pháp tích phân đổi biến số.

1 Nếu hàm số f x ( ) liên tục trên đoạn  a; b thì:

0 0 0 0 f sin x dx f cos x dx; xf sin x dx f sin x dx

2 Các dạng tích phân lượng giác:

Các bài toán về hàm lượng giác

CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI TỔNG HỢP

Các bài toán về nguyên hàm tích phân hàm vô tỷ và căn thức thường xuất hiện trong các đề thi, đòi hỏi người học phải nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết Mặc dù đã có nhiều phương pháp được đề xuất, chương này vẫn cần được học kỹ và thực hành nhiều để hiểu sâu Dưới đây, chúng ta sẽ khám phá các dạng toán cụ thể liên quan đến chủ đề này.

Dạng 1 Xét tích phân tổng quát

Phương pháp Nhìn chung đây là dạng cơ bản nhất và phương pháp giải của nó cũng rất cơ bản Ta có 2 trường hợp sau

• I 2 dx ( dx ) 2 1 ln mx n ( ) ( mx n ) 2 k C ax bx c mx n k m

• Đối với nguyên hàm đầu ta xét dạng khác 2

• Đối với nguyên hàm thứ 2, ta sẽ lượng giác hóa, các bạn có thể tham khảo ở phần sau!

Nhìn chung phần này không có khó khăn gì cả nên ta sẽ đi qua vài ví dụ cơ bản

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a) 2

Nguyên hàm tích phân hàm vô tỷ, căn thức

TỔNG KẾT

Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá thêm các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân bên cạnh những phương pháp đã biết, cùng với các dạng toán liên quan Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu một số loại tích phân đặc biệt mà bạn có thể gặp phải Hãy bắt đầu hành trình khám phá này!

Nhiều bài toán tích phân khó có thể giải quyết bằng cách tính trực tiếp, vì vậy chúng ta thường áp dụng kỹ thuật tìm tích phân liên kết Phương pháp này thường được sử dụng cho các tích phân liên quan đến hàm lượng giác hoặc hàm phân thức Để hiểu rõ hơn về phương pháp này, hãy cùng khám phá các bước thực hiện.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét tích phân I = ∫(a đến b) f(x) dx và tìm hiểu mối liên hệ với tích phân K = ∫(a đến b) g(x) dx Mục tiêu là thiết lập các mối quan hệ giữa I và K thông qua các yếu tố cI, dK, m, eI, và nK.

+  +  Giải hệ này ta sẽ tìm được cả I và K

Kinh nghi ệ m Ta thường gặp các trường hợp sau:

• Hai tích phân I K= , tính được I K+ từ đó suy ra I

• K là một tích phân tính đơn giản, khi đó từ mI nK a+ = ta sẽ tính được I

Để tìm tích phân K, chủ yếu dựa vào kinh nghiệm Đặc biệt, trong trường hợp tích phân lượng giác, việc hoán đổi sinx và cosx có thể giúp tạo ra các tích phân liên kết hiệu quả hơn.

Các loại tích phân đặc biệt

TÍCH PHÂN LIÊN KẾT

Nhiều bài toán tích phân khó có thể giải trực tiếp, do đó, chúng ta thường áp dụng kỹ thuật tìm tích phân liên kết Phương pháp này thường được sử dụng cho các tích phân lượng giác hoặc hàm phân thức Hãy cùng khám phá phương pháp này để hiểu rõ hơn.

Để phân tích tích phân I = ∫ a b f(x) dx, chúng ta sẽ tìm mối liên hệ với tích phân K = ∫ a b g(x) dx và xác định các mối quan hệ giữa I và K Mục tiêu là thiết lập mối quan hệ giữa I và K thông qua các yếu tố cI, dK, m, eI và vK, n.

+  +  Giải hệ này ta sẽ tìm được cả I và K

Kinh nghi ệ m Ta thường gặp các trường hợp sau:

• Hai tích phân I K= , tính được I K+ từ đó suy ra I

• K là một tích phân tính đơn giản, khi đó từ mI nK a+ = ta sẽ tính được I

Để tìm tích phân K, bạn cần dựa vào kinh nghiệm Đặc biệt, khi làm việc với tích phân lượng giác, hãy chú ý đến việc hoán đổi sinx và cosx để tạo ra các tích phân liên kết hiệu quả hơn.

1 Ở ngay câu đầu ta đã thấy ngay sự khó khăn rồi phải không? Bây giờ sẽ nghĩ tới tích phân liên kết Chú ý tới đẳng thức sin x cos x 1 2 + 2 = ta sẽ thử tạo tích phân liên kết với tích phân 6 2

Mặt khác ta lại có:

K I cos 2xdx 1 cos 4x dx x sin 4x

Từ đây suy ra được I 1 3 3

2 Chú ý tích phân liên kết của ta là

Cần tìm mối liên hệ giữa I và K bằng cách đưa biểu thức vào trong dấu vi phân Ta nhận thấy rằng (sin x ' cos x, cos x ') = ( ) = −sin x, từ đó tìm cách đưa biểu thức vào trong dấu vi phân.

2 sin x 3 cos x 6 sin x 3 cos x sin x 3 cos x

3 Chú ý nếu tính được tích phân

Ta có: ( cos x ' 4 ) = −4 cos xsin x, sin x ' 4 sin x cos x 3 ( 4 ) = 3 (cos x sin x 4 + 4 )= −sin 4x

4 I K dx ln sin x cos x 0 I K sin x cos x

I K dx dx sin x cos x 1 cos 2x 2 1 cos 2x 4

T Ạ P CH Í VÀ TƯ LI Ệ U TO ÁN H Ọ C

4 Chọn tích phân liên kết 0 1 2x 2x 0 1 2x ( ) 2x ( 2x ) 1 2

5 Ta chú ý tới hằng đẳng thức sau x 6 + = 1 ( x 2 + 1 x )( 4 − x 2 + 1 ) , ta chọn K 0 1 6 x 2 dx x 1

KỸ THUẬT ĐƯA BIỂU THỨC VÀO DẤU VI PHÂN

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán ứng dụng kỹ thuật đưa biểu thức vào dấu vi phân Để giải quyết các bài toán này, kỹ năng biến đổi đạo hàm là rất quan trọng Dưới đây là một số ví dụ minh họa.

 với m, n, p là các số nguyên dương

Nhiều bài toán yêu cầu kỹ thuật này thường được trình bày phức tạp, gây khó khăn cho người giải Tuy nhiên, hầu hết có thể được đơn giản hóa bằng cách tách thành hai tích phân khác, và để thực hiện điều này, cần tách phần tử trên theo mẫu số.

 + Đặt t e.2 x dt e.ln 2.2 dx x 2 dx x 1 dt e ln 2

A ln t ln ln 1 e.ln 2 t e.ln 2 eln 2 e eln 2 e

Mấu chốt của bài toán là nhận diện rằng đạo hàm của mẫu là một phần của tử, từ đó cho phép chúng ta thực hiện phép đặt mẫu để thu được vi phân.

Khi trình bày tự luận, không cần phải đặt mẫu, mà chỉ cần đưa trực tiếp tử vào trong dấu vi phân và nhân thêm hằng số bên ngoài.

0 x 2x cos x cos x 1 sin x c dx a b ln x cos x

 với a,b,c là các số hữu tỉ Tính

Vấn đề vẫn tiếp tục với cách diễn đạt khó khăn, nhưng điểm quan trọng là cần đưa biểu thức vào trong dấu vi phân và phân tách thành hai tích phân như trong bài trước.

0 0 0 0 x cos x dx 1 sin xdx x cos x dx d x cos x x cos x x cos x x cos x

1 1 1 2 x sin x ln x cos x 1 ln 1 ln

A P= −8 B P= −6 C P 6= D P 10 L ờ i gi ả i Bài toán này không còn đơn giản như 2 bài toán trước nữa Vẫn bám sát phương pháp làm ta sẽ phải đơn giản và làm xuất hiện biểu thức hợp lí để đưa vào trong dấu vi phân Vậy biên đổi như thế nào để xuất hiện biểu thức đó?

1 1 ln x ln x ln x 1 ln x dx dx ln x x 1 ln x x 1 ln x x 1

  + + Khi đó tích phân cần tính trở thành:

2 2 ln x ln x dx ln x 1 d ln x 1 udu 1t 1 2 ln x x 1 ln x x 1 2 8 ln x x 1 e 2

 là phân số tối giản Tính P b 36a= −

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán liên quan đến việc đưa biểu thức vào trong dấu vi phân với hàm phân thức hữu tỉ Để thực hiện điều này, không chỉ đơn thuần đưa tử vào trong dấu vi phân, mà cần phải tiến hành biến đổi một cách hợp lý.

Chia cả hai vế cho x 2 ta được:

Kỹ thuật chia cả hai vế cho số hạng bậc cao nhất của tử là một phương pháp quan trọng thường được áp dụng trong các bài toán liên quan đến việc đưa biểu thức vào dấu vi phân với hàm phân thức hữu tỉ.

Các bài toán này thường yêu cầu biến đổi mẫu số nhằm phân tích tử số một cách hợp lý, từ đó cho phép đưa vào trong dấu vi phân.

Bài toán này có vẻ phức tạp, nhưng để giải quyết, chúng ta cần tách các biểu thức trong dấu tích phân ra thay vì cộng chúng lại, nhằm đơn giản hóa quá trình tính toán.

Tích phân thứ nhất có thể tính toán dễ dàng bằng cách đưa biểu thức vào trong dấu vi phân Đối với tích phân thứ hai, chúng ta sẽ xử lý bằng cách chia cả tử và mẫu cho x².

   Đến đây dễ dàng tính được:

Nh ậ n xét: Ở bài toán trên ta đã sử dụng một tính chất của hàm phân thức hữu tỉ

1 1 1 d 2 x ln x x e 1 e 2 x dx ln 2 x ln x ln

Chú ý rằng nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các em có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kỹ thuật vi phân Trong tích phân I, I1 và I2, chúng ta đã áp dụng công thức I = u'dx, với u' là đạo hàm của u và ln u là hàm logarit tự nhiên của u.

0 0 x 1 sin 2x x sin x x sin x 1 2 cos x sin 2x

= Đặt    u x dv sin xdx = =     du dx v = − = cos x

  Đặt t 1 2 cos x dt 2 sin xdx sin xdx dt

• x 2 sin x cos x 2xsin x+ ( + )=x 4 sin x 1( 2 + +) sin 2x

• 1 sin xsin 3x 1 1 (cos 4x cos 2x) 1 cos 4x 1 cos 2x

2 u x u x du dx dv sin xdx dv 1 v tan x cos x

A x tan x dx dx ln cos ln 2 1 cos x 3 cos x 3 3

Thay ta được ( ) ( )1 , 2 và ( )* ta có 2 4 4 3 4

0 x cos x cos x sin x sin xdx x cos x

0 x cos x x cos x 1 sin x x cos x dx

1 sin x x cos x dx dx x cos x

0 x 4 cos x sin x cos x 2 sin x x 2 cos x dx

0 x 2 cos x x 2 cos x 1 2 sin x x 2 cos x dx

1 2 sin x x 2 cos x dx dx x 2 cos x

KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ HÀM SỐ

Trong các bài toán tích phân, có những trường hợp mà hàm được biểu diễn bằng hai công thức khác nhau Để giải quyết, ta cần thực hiện đánh giá và so sánh hai biểu thức, từ đó phân chia tích phân cần tính thành hai phần.

Ta xét bài toán tổng quát Tính tích phân I= a b min f x ,g x dx( ( ) ( ) )

• Bước 2: Xét dấu cho hàm h x( ) ( ) ( )=f x −g x trên   a; b

• Bước 3: Chia tích phân cần tính ra thành các tích phân nhỏ

Chú ý: Yêu cầu bài toán có thể thay min bằng max

Vậy I 0 2 min x , x dx 2  0 1 x dx 2 1 2 x dx 4 2 1

2 Xét hàm số f x( )=tan x x− Ta có f ' x( ) 1 2 1 0 cos x

= −  Vậy f x( ) luôn đồng biến trên Mặt khác ta lại có f 0( )=0 nên x 0= là nghiệm duy nhất của phương trình f x( )=0

I min tan x,x dx tan xdx xdx ln 2

3 Xét phương trình sin x cos x x

I max sin x,cos x dx cos xdx sin xdx 2

4 Xét hàm số: f x ( )=tan x 2 sin x 3x+ −

2 2 cos x 1 2 cos x 1 f ' x 1 2 cos x 3 0 x ; cos x cos x 3 3

 , từ đó suy ra phương trình f x( )=0 có nghiệm duy nhất x 0= trên đoạn ;

I min tan x 2 sin x,3x dx tan x 2 sin x dx 3xdx 1 ln 2

5 Xét hàm số f x( ) e x cos x 2 x x 2 f ' x( ) x e x sin x 1 f '' x( ) 1 e x cos x

Mà f 0( )=0 nên x 0= là nghiệm duy nhất của phương trình f x( )=0 trên đoạn 0;

TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trong phần ứng dụng tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, các công thức tính toán thường liên quan đến tích phân chứa giá trị tuyệt đối Vì vậy, chúng ta sẽ khám phá khái niệm về tích phân chứa trị tuyệt đối trong phần này.

Phương ph áp Nếu dưới dấu tích phân có dấu trị tuyệt dối I f x dx( )

= thì tìm cách phá trị tuyệt đối bằng cách đi xét dấu của f x( ) trong đoạn   ; Cụ thể:

• Bước 1 Giải phương trình f x( )= 0 xi =?

• Bước 2 Lập bảng xét dấu của f x( ) trong các khoảng thuộc   ;

• Bước 3 Ta dựa vào công thức f x dx( ) f x dx( ) f x dx( )

   (      ) để tách tích phân ban đầu thành ( ) i ( ) ( ) i x x f x dx f x dx f x dx

Sau đó phá trị tuyệt đối, trở về tích phân cơ bản

Chú ý Đối với bài toán có nhiều dấu trị tuyệt đối lồng vào nhau thị ta sẽ mượn bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Tính các tích phân sau: a)

L ờ i gi ả i a) Lập bảng xét dấu của x 2 −1 trên đoạn  − 2; 2  x −2 −1 1 2 x2−1 + 0 − 0 +

= −  + −  = −  + −  c) Ta sẽ dùng bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối: x −3 −2 2 5 x 2+ − −x 2 0 x 2 + x 2+ x 2− − +x 2 − +x 2 0 x 2− x 2+ − −x 2 − 4 2x 4

= −  +  +  = − + + d) Ta sẽ dùng bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối: x −1 1 2

0 0 t 3 t 4 dt 1 1 1 1 1 t 4 2 3 dt dt ln ln t t 12 7 t 3 t 4 7 t 4 t 3 7 t 3 7 4

5 x dx 2 3 dx 5ln x x 2x 3ln x 8ln 2 3ln 5 4. x x

1 Ta có 1 sin 2x− = sin x cos x 2 sin x cos x 2 + 2 −

(sin x cos x) 2 sin x cos x 2 sin x

   −  −  Dựa vào đường tròn đơn vị

−  −  thì sin x 0 hay sin x 0 khi x 0;

−    thì sin x 0 hay sin x 0 khi x ;

I 2 sin x dx 2 sin x dx 2 cos x 2 cos x 2 2

11 Ta có 1 sin x sin 2 x cos 2 x 2 sin cosx x

+ = + + x x 2 x x x sin cos sin cos 2 sin

      +    Dựa vào vòng tròn đơn vị ta có

   +   thì sin x 0 hay sin x 0 khi x 0;3

   +    thì sin x 0 hay sin x 0 khi x 3 ; 2

4 Ta có tan x cot x 2 2 2 (tan x cot x) 2 tan x cot x sin x cos x 2 2 2 cos 2x sin x cos x sin 2x

      , Dựa vào đường tròn đơn vị ta có:

   thì sin 2x 0 cos 2x hay 0 khi x ; cos 2x 0 sin 2x 6 4

   thì sin 2x 0 hay cos 2x 0 khi x ; cos 2x 0 sin 2x 4 3

I 2 dx 2 ln sin 2x ln sin 2x 2 ln sin 2x sin 2x sin 2x 3

TÍCH PHÂN CÓ CẬN THAY ĐỔI

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các bài toán tích phân có cận là các hàm theo biến x, khác với các bài toán thông thường có cận là hằng số cố định Để giải quyết những bài toán này, cần nhớ định lý quan trọng: Nếu f(x) là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và liên tục tại mọi x thuộc [a, b], thì hàm F(x) được xác định bởi F(x) = ∫[a, x] f(t) dt sẽ khả vi tại x và đạo hàm của nó là F'(x) = f(x).

Tổng quát ta có F' x( )=(  u x v x ( ) ( ) f t dt ' v' x f v x( ) ) = ( ) ( ( ) ) −u' x f u x ( ) ( ( ) )

Phương pháp chung: Để giải những bài toán ở phần này tất cả đều theo 2 bước chính:

• Bước 1: Đạo hàm giả thiết

• Bước 2: Biến đổi kết quả của đạo hàm để suy ra yêu cầu của bài toán

Sau đây là những ví dụ minh họa:

Cho hàm số f x ( ) liên tục trên và 3x 5 + 96 =  a x f t dt ( ) Tìm a?

Những ai lần đầu gặp bài này ắt hẳn sẽ rất khó khăn, tuy nhiên ta đã có phương pháp rồi do đó sẽ bám sát nó!

Lấy đạo hàm hai vế ta được 15x 4 =f x( )

Từ đây suy ra 3x 5 + 96 =  a x 15x dt 3t 4 = 5 x a = 3 x ( 5 − a 5 )  = − a 2

Lấy đạo hàm 2 vế ta được

 − =  =  Thay vào giả thiết ta có:

3 3 ce ce ce 3ce ce dt 2018 ce 3c e dt 2018 3c e 2018

• Ở lời giải trên có chỗ f x( )=f ' x( )f x( )small> x vấn đề này ta sẽ được tìm hiểu ở phần sau!

• Bước tìm hằng số c ở đoạn sau chú ý là ta đang coi x cố định để tính tích phân cho ra một hàm theo biến x

Tìm tập nghiệm của bất phương trình x

Ta có bảng biến thiên như sau: x − 0 +

0 Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra được x − +( ; )  \ 0

Cho hàm số f x( )0 xác định và có đạo hàm trên đoạn  0;1 , thỏa mãn đồng thời điều kiện ( ) ( )

L ờ i gi ả i Theo cách làm chung thì ta vẫn đi lấy đạo hàm hai vế!

Từ giả thiết, ta có ( ) ( )

Thay ngược lại, ta được x ( ) ( ) 2

 +  +  = +  Suy ra f x( )09x 1+ hoặc f x( )09x 1− (loại vì f x( )09x 1− )

Cho hàm số f x( ) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn   0;1 , thỏa mãn

0 f x  +1 3 f t dt g x = với mọi x    0;1 , tích phân 1 ( )

 có giá trị lớn nhất là?

Lấy tích phân cận từ 0→t ta được:

Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f 2( ) biết f 0( )=1?

Lấy đạo hàm 2 vế ta có

 − có nghiệm là a b với a,b là các số nguyên dương Tính giá trị của a 2 +b

Đối với các bài toán tương tự, nhiệm vụ chính của chúng ta là tính nguyên hàm của biểu thức trong dấu tích phân và sau đó thay cận vào để giải quyết phương trình.

 − có nghiệm là a b với a,b là các số nguyên dương, a b là phân số tối giản Tính giá trị của a 2 +b

Tương tự câu trên, đầu tiên ta sẽ đi tính nguyên hàm của biểu thức trong dấu tích phân Đặt ( ) 1 arcsin x

6 dt cos udu t sin u dt cosudu f x t 1 t  sin u 1 sin u

6 2 du cotg u cos u 1 t 1 x 3 sin u  sin u t x

Cho hàm số f x( ) dương liên tục 0;+) thỏa mãn đồng thời điều kiện

Ta có f x( )2018 2 f t dt+  0 x ( ) f x( )−2018 2 f t dt 0 1−  0 x ( )  ( ) Đặt g x( )=e ax (  0 x f t dt b ;g ' x( ) + ) ( ) =e ax (a f t dt f x 0 x ( ) + ( ) +ab)

Từ ( ) 1 ta thực hiện phép đồng nhất ta được a 2 a 2 ab 2018 b 1009

Suy ra g ' x( )   0, x 0 g x( )nghịch biến trên 0;+)

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN NHÁNH

Tích phân hàm phân nhánh có thể hiểu đơn giản là các phép tính tích phân của những hàm được xác định bởi hai công thức Đây là một vấn đề không quá phức tạp nếu bạn đã từng tiếp xúc và nắm vững phương pháp giải quyết.

Cho hàm số ( ) x 1 khi x 0 2x f x e khi x 0

L ờ i gi ả i Chú ý là đây là hàm cho bởi 2 công thức nên ta sẽ tách tích phân cần tính ra thành 2 tích phân khác

Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1 ,

= 2x 1 − và f 1( )=2 Giá trị của biểu thức f 1( ) ( )− +f 3 bằng

Tới đây ta xét 2 trường hợp:

( ) ( ) ln 1 2x 1 khi x 12 f 1 ln 3 1 f x ln 2x 1 2 khi x 1 f 3 ln 5 2

Cho hàm số f x( ) xác định trên \−2;1 và thỏa mãn f ' x( ) 2 1 x x 2

=3 Giá trị biểu thức f 4 ( ) ( ) ( ) − + − − f 1 f 4 bằng

Bài toán này yêu cầu tính tích phân của hàm được xác định bởi ba công thức khác nhau, tương tự như các bài toán trước Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp xử lý tương tự để giải quyết bài toán này.

Cho hàm số f x( ) xác định trên (0;+)  \ e , thỏa mãn f ' x ( )=x ln x 1( 1 ) ,

Theo giả thiết ta có f ' x ( )= x ln x 1( 1 )

( ) 1 2 ( ) ln 1 ln x C khi x 0;e d ln x 1 f x 1 dx ln ln x 1 C x ln x 1 ln x 1 ln ln x 1 C khi x e;

• f 1 2 ln 6 ln 1 ln 1 2 C 1 ln 6 C 1 ln 2 e e

( ) ( ) ( ) 3 f 1 ln 2 ln 2 ln 1 ln x ln 2 khi x 0;e f x e ln ln x 1 3 khi x e; f e ln 2 3

Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số y 1

Ta xét 2 trường hợp sau:

Cho hàm số f x ( ) xác định trên thỏa mãn f ' x ( ) = e x + e − x − 2 , f 0 ( ) = 5 và f ln1 0

  Giá trị của biểu thức S f= −( ln 16) (+f ln 4) bằng?

Theo giả thiết ta có:

Tương tự ta có f ln1 0

VII TÍCH PHÂN TRUY HỒI, CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI DÃY

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các bài toán tự luân, giúp bạn chuẩn bị cho các đề thi thử của các trường Chúng ta sẽ tìm hiểu về các dạng tích phân truy hồi, cụ thể là In = ∫αβ f(x, n) dx, cùng với những câu hỏi thường gặp liên quan đến chúng.

1 Thiết lập công thức truy hồi I n = g I ( n k  ) ( k 1; n = )

2 Chứng minh công thức truy hồi cho trước.

3 Sau khi thiết lập được công thức truy hồi yêu cầu đi tính In ứng với một vài giá trị n nào đó hoặc tính giới hạn của hàm số hoặc dãy số có liên quan với I n

Phương pháp giải quyết bài toán chủ yếu là biến đổi để đưa về dạng truy hồi thông qua nguyên hàm từng phần Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể, sẽ có những cách giải hợp lý khác nhau Để minh họa rõ hơn, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ sau đây.

1 Tìm mối quan hệ giữa I ,I n n 2 +

3 Tìm công thức tổng quát của I n

4 Xét dãy số ( )un cho bởi un =(n 1 I I+ ) n n 1 + Tìm n nlim u →+

1 Tìm mối quan hệ giữa I ,I n n 2 +

Ta có: In 2 0 2 sin n 2 xdx 0 2 sin x 1 cos x dx I n ( 2 ) n 0 2 sin x.cos xdx 1 n 2 ( )

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần ta đặt n n 1 du sin xdx sin x v sin x.cos xdx n 1

I cos x sin x 1 sin x.cos xdx sin xdx 2 n 1 n 1 n 1

Sử dụng kết quả ở trên ta được:

3 Tìm công thức tổng quát của In

Ta đã có kết quả I n n 2I n 2 n 1 +

= + + , đến đây xét 2 trường hợp:

= = − Nhân theo vế các đẳng thức ta được:

+ Trường hợp 2: Với n lẻ hay n 2k 1= − , ta có: I 1 3I ,I 3 3 5I , ,I 5 2k 3 2k 1I 2k 1

Nhân theo vế các đẳng thức ta được:

4 Xét dãy số ( )un cho bởi un =(n 1 I I+ ) n n 1 + Tìm n nlim u →+

Tính tích phân In = 0  (cos x cos nxdx) n

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

I cos x cos nxdx cos x d sin nx sinnxd cos x n n n

0 n 1 0 n 1 n 1 0 n n 1 n 1 0 0 n 1 sin nx cos x sin xdx cos x sin nx sin xdx

1 1 1 cos x cos n 1 x cos n 1 x dx I cos x cos n 1 xdx

1I 1 cos x cos nx cos x sin nx sin x xdx

1I 1 cos x cos nxdx 1 cos x sin nx sin x 1I

I tan dx tan x tan x tan x dx tan x tan x tan x 1 tan x dx dx tan xdx cos x tan xd tan x I 1 I n 1

Ta có điều phải chứng minh!

I tan xdx dx ln 2 cos x cos x 2

• I 2 0 4 tan xdx 2 0 4 1 2 1 dx (tan x x) 0 4 4 cos x 4

= =  −  = − Áp dụng công thức truy hồi I n 2 1 I n

Xét tích phân In = 0 1 (1 x− 2 ) n dx

1 Tính I n Đặt u (1 x 2 ) n du n 1 x( 2 ) n 1 ( 2x dx) dv dx v x

Mặt khác ta lại có: 1 0 1 ( 2 ) 3 1

2 Xét tích phân I n = 0 3 (3 x e dx− ) n x với n  * Chứng minh rằng I n = − +3 n nI n 1 −

Từ đó suy ra điều phải chứng minh!

2 Xét tích phân I n = 0 3 (3 x e dx− ) n x với n  * Chứng minh rằng I n = − +3 n nI n 1 − Đặt ( x ) n x ( ) n 1 n ( ) n x 3 0 0 3 ( ) n 1 x n n 1 u 3 x du n 3 x dx

Từ đây có điều phải chứng minh!

I = 0 x 1 x dx− với n  * Biết ( ) u n là dãy cho bởi n n n 1 u I

3 du nx dx u v v 1 x dx 2 1 x dv 1 x dx

M ở r ộ ng Yêu cầu bài toán có thể cho thêm chứng minh rằng

Trước hết ta đi tìm công thức tổng quát của dãy số này Ta có

Nhân các đẳng thức và rút gọn 2 vế ta có I n 2n 2n 2 2n 4 4 2 2

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

Cho I n =  ( x 2 dx + a 2 ) n với n  * Tìm hệ thức liên hệ giữa I ,I n n 1 +

L ờ i gi ả i Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

1 Sử dụng công thức lượng giác biến đổi tích phân ban đầu ta được

I cos x cos n 2 x dx cos x cos n 1 x cos x sin n 1 x sin x dx

0 cos x cos n 1 x dx 0 sin sin n 1 x cos xsin xdx I I

I cos x cos n 1 x dx 1 cos xd sin n 1 x n 1

2 Sử dụng công thức lượng giác biến đổi tích phân ban đầu ta được

I cos xsin n 2 x dx cos x sin n 1 x cos x cos n 1 x sin x dx

0 cos xsin n 1 x dx 0 cos n 1 x cos xsin xdx I I

Xét tích phân I 0 2 cos xsin n 1 x dx n 1 ( ) 1 0 2 cos xd cos n 1 x n 1 ( ( ) ) n 1

3 Tương tự 2 câu trên ta sẽ biến đổi giả thiết trở thành

I=  sin x − cos n 1 x dx +  =  sin x − cos nx cos x sin nxsin x dx−

0  cosnx sin x − cos xdx 0  sin x sin nxdx I I

I sin x sin nxdx sin x d cos nx cos nx sin x n n

1 Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

I x cos ln x dx cos ln x d x x d cos ln x n 1 n 1 n 1

1 1 e cos1 1 1 x sin ln x dx e cos1 1 1 x sin ln x dx n 1 n 1 x n 1 n 1

J x sin ln x dx 1 sin ln x d x n 1

1 1 n x sin ln x x d sin ln x e sin 1 1 x cos ln x dx n 1 n 1 n 1 x

1 n e sin 1 1 x cos ln x dx e sin 1 1 I n 1 n 1 n 1 n 1

2 Tương tự câu trên, sử dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

Chứng minh các hệ thức truy hồi sau với A,B,C là các hệ số bất định

1 I n ( dx ) n ( A sin x B cos x) n 1 C ( dx ) n 2 asin x b cos x asin x b cos x − asin x b cos x −

2 I n = (a b cos xdx ) n =(a b cos xA sin x ) n 1 − +B (a b cos xdx ) n 1 − +C (a b cos xdx ) n 2 −

1 Biến đổi tích phân cần tính ta có

I dx asin x b cos x asin x b cos x +

( ) n 1 n 1 a cos x b sin x 1 a cos x b sin x d a sin x b cos x + a sin x b cos x +

2 2 2 n 2 a cos x bsin x dx a cos x bsin x n 1 a cos x bsin x a sin x b cos x a sin x b cos x a sin x b cos x a cos x bsin x b cos x a sin x b cos x a sin x n 1 dx a sin x b cos x

( ) ( 2 2 ) n 2 ( ) n 1 n a cos x bsin x n 1 a b I nI asin x b cos x

2 Biến đổi tích phân ban đầu ta được

( ) n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 a b cos x dx d sin x dx dx

2 2 n 1 n 1 n n 1 n 2 bsin x b sin xdx aI n 1 a b cos x a b cos x b a 2a a bcox a b cos x bsin x aI n 1 dx a b cos x a b cos x bsin x al n 1 a b I 2a n 1 I n 1 I a b cos x

Tìm hệ thức truy hồi của tích phân n n sinx a

L ờ i gi ả i Đặt 2 2 x a x a x a x a x a sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin adx u du dx x a x a x a sin 2 2 sin 2 2 sin 2

Khi đó ta suy ra được hệ thức sau

I I u u 1 dx u dx 2 u sin xdu sinx a 2

2 u sin a sin a sin x du 2 sin a u du 2 u dx

2 sin au 2 u dx 2 u 1 dx 2 sin au 2I n 1 2 x a n 1

2 sin a sin x sin a 2 sinx a sin a sin x sin a 2

2 sin au 2 u dx 2 u 1 dx 2 sin au 2I n 1 2 sinx a n 1

2 sin a sin x sin a 1 cos x a u dx cosa u dx cosa I cosa cos x

Ta có bước biến đổi sau ( )

  Đến lúc này ta sẽ đổi biến Đặt

= = = Đặt u n 1 1 1 du 1 n n dx dx n du x − x x 1 n

Cho I n =tan xdx n với n  Khi đó I 0 + + I 1 2 I ( 2 + + + I 3 I 8 ) + + I 9 I 10 bằng?

Biến đổi tích phân ban đầu ta có

CH INH PH Ụ C OL YM PIC T O ÁN n 2 2

In =tan − x.tan xdx=  tan n 2 − x    cos x 1 2 − 1 dx    = tan n 1 − n 1 − x − I n 2 − + C

 + với n  Đặt un =1 I( 1+I2 ) (+2 I2+I3 ) (+3 I3+I4 )+ + n I( n +In 1 + )−n Biết lim u n =L Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Với n , biến đổi giả thiết ta có

Ta thấy u n là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với u 1 = −e − 1 và q 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân

Biến đổi giả thiết ta có:

T Ạ P CH Í VÀ TƯ LI Ệ U TO ÁN H Ọ C n 2 n 2

 − = +  − − = Thử với các giá trị n1; 2; 3; 4 đều không thỏa mãn

Với n , n 5 ta chứng minh 2 n n 2 +2 ( ) 1 Dễ thấy n 5 = thì ( ) 1 đúng

Giả sử ( )1 đúng với n k= với k , k 5 Khi đó 2 k k 2 +2

Do đó ( )1 đúng với n k 1= + Theo nguyên lý quy nạp thì ( )1 đúng

Vậy không tồn tại số nguyên n

Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn điều kiện

Xét biểu thức f 2018x 2017( + ) 18f x( ) Lấy đạo hàm 2 vế ta được

Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được

Cho hàm số f x( ) liên tục trên và  1 2 f x dx 1( ) = Tính giới hạn của dãy số: n ( )

Định nghĩa tích phân bằng tổng Riemann là một khái niệm quan trọng trong toán học, nhưng không nằm trong phạm vi kiến thức phổ thông trung học Do đó, nội dung này chỉ mang tính chất tham khảo và không đi sâu vào chi tiết.

Ta chia đoạn   1; 4 thành n phần bằng nhau bằng các điểm chia

= + − = = Mỗi đoạn con có độ dài là i 1 i n 1 ( )( i i 1 i ) i 0

VIII ỨNG DỤNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

D ấ u hi ệ u s ử d ụ ng Ý tưởng của phương pháp này là dựa vào hệ thức k 1 b k 1 k 1 b k a a x a b x dx k 1 k 1

Từ đấy dễ dàng tìm được dấu hiệu để sử dụng phương pháp này là số hạng của tổng có dạng k 1 k 1 k n a b C k 1

+ Cụ thể xét tích phân I= a b (c dx dx+ ) n ta có thể tính bằng 2 cách

=  +  = +  Hai cách trên là như nhau nên từ đó ta có được

Tùy từng bài toán ta chọn các hệ số a, b, c, d thích hợp! Để dễ dàng nhận biết hơn thì ta có thể chú ý như sau:

Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1; '; ; ; ;1 1 1 1

Khi các số 2, 3, 4 được sắp xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm theo một quy luật nhất định, việc sử dụng tích phân là rất cần thiết Để thực hiện, ta cần tuân theo các bước cụ thể.

• Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp

• Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai triển

• Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận

Trước khi vào các bài toán cụ thể ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:

Vế trái chứa các phân số với mẫu số tăng dần theo thứ tự một đơn vị, gợi ý cho việc áp dụng tích phân Chúng ta cần xem xét hàm tích phân, các cận và thay số vào biến Đặc biệt, số hạng cuối cùng có hệ số quan trọng cần được lưu ý.

+ − + nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng  1 2 ( 1 x dx + ) n

Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Tổng không đan dấu, ta sử dụng  0 1 (x 1 dx+ ) n

Từ 2 đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh!

Hướng dẫn Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối cùng có hệ số

+ nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử dụng

Vế trái chứa các phân số, do đó, việc sử dụng tích phân là cần thiết Tuy nhiên, với số hạng cuối cùng có hệ số n n 1+, việc tìm một hàm số thích hợp để tính tích phân không phải là điều dễ dàng Chúng ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k n 1 k n.

Từ đó sử dụng 2 n −  0 1 ( x 1 dx + ) n

Cách 1 Xét số hạng tổng quát trong vế trái k C k n 1 1 C k n k 1 k 1

Cách 2 Xét khai triển (x 1+ ) n =C 0 n+xC 1 n +x C 2 2 n+ + x C n n n

Lấy đạo hàm 2 vế ta được n x 1( + ) n 1 − =C 1 n +2C x 3C x 2 n + 3 2 n + + nC x n n 1 n −

Từ 2 điều trên ta có điều phải chứng minh!

Trừ 2 vế đẳng thức trên ta được:

Nh ậ n xét Nếu phải tính tổng C 0 2n 1C 2 2n 1C 4 2n 1 C 2n 2n

Sau đó tính tích phân  0 1 P x dx( )

Còn nếu phải tính tổng 1C 0 2n 1C 2 2n 1C 4 2n 1 C 2n 2n

Sau đó tính tích phân  0 1 G x dx( )

Cho tích phân  0 1 x 1 x 2 ( + 3 ) n dx = 3 n 1 2 ( n 1 + + − 1 ) ( n 2  ) Chứng minh rằng

Mặt khác  0 1 x 1 x 2 ( + 3 ) n dx = 3 n 1 2 ( n 1 + + − 1 ) ( n 2  ) vậy ta có điều phải chứng minh!

Khi giải bài toán với số hạng tổng quát không phải là 1 C k n k 1+, mà là 1 C k n k 2+, cần nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân Tương tự, nếu số hạng là 1 C k n k 3+, thì phải nhân thêm x^2 vào hàm đa thức cơ bản trước khi thực hiện tính tích phân.

Sau đây ta sẽ cùng hiểu rõ hơn qua ví dụ sau

Để giải quyết vế trái chứa phân số, chúng ta cần áp dụng tích phân Do hệ số cuối cùng là 1 C k n k 2+, nên cần nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước khi tính tích phân Do đó, ta sẽ sử dụng công thức tích phân từ 0 đến 1 của x nhân với (x + 1) mũ n.

Giả sử số tự nhiên n 2 thỏa mãn đẳng thức dưới đây hãy tìm n?

Giả sử số tự nhiên n 2 thỏa mãn

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

Ta xét khai triển sau: (1 x+ ) n 2 + =C 0 n 2 + +x.C 1 n 2 + +x C 2 2 n 2 + +x C 3 3 n 2 + + + x C n 2 + n 2 n 2 + +

Tương tự ta có x x 1( + ) n =xC 0 n+x C 2 1 n+ + x C n 1 + n n

Ta tính I= 0 1 x 1 x 2 ( − ) 2018 dx, đặt t 1 x = − , dt = − dx , đổi cận x 0 =  = t 1 , x 1 =  = t 0

Lấy tích phân hai vế của ( )1 ta được:

TÍCH PHÂN TRUY HỒI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÃY SỐ….…228 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

Hình thức này không phải là mới mẻ nhưng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi thử và đề thi THPT Quốc Gia với nhiều cách ra đề đa dạng.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá và mở rộng kiến thức về các hàm số, bắt đầu bằng việc tìm hiểu các tính chất cơ bản của chúng, bao gồm hàm số chẵn và hàm số lẻ.

I KỸ THUẬT ĐỔI ẨN VÀ TÍNH CHẤT CÁC HÀM ĐẶC BIỆT Đây là phương pháp đổi biến được sử dụng khi phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng

Phương pháp này, mặc dù ít được sử dụng, lại đặc biệt hiệu quả cho các lớp hàm số có dạng phức tạp và cận đặc biệt.

Nh ậ n xét Các bài toán dưới đây đều có một cách làm chung là đổi biến x a b t= + − với a, b là 2 cận

HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ HÀM CHẴN HOẶC HÀM LẺ

Tính chất 1 Nếu f x( ) là hàm chẵn thì ta có:

Chứng minh Ở đây sẽ chứng minh một tính chất tiêu biểu, các tính chất còn lại sẽ chứng minh tương tự

Ta chứng minh: I a a f x x ( ) dx a a f x ( ) x dx a a b f x x x ( )dx 2I a a f x dx( ) b 1 b − 1 b 1

Do f x( ) là hàm chẵn nên ta luôn có f x( ) ( )= −f x Đặt x= − t dx= −dt a ( ) ( ) a t ( ) a x ( ) t t x a a a f t b f t b f x

Từ đó suy ra điều phải chứng minh!

Tính chất 2 Nếu f x ( ) là hàm lẻ thì ta có:

Phương pháp đổi cận đổi biến – Hàm ẩn

Các ứng dụng của tích phân

Định dạng
Số trang	582
Dung lượng	18,37 MB