Tài liệu Thanh chịu lực phức tạp ppt

Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực tổng quát Các dạng chịu lực của thanh mà chúng ta nghiên cứu trước đây như kéo, nén đúng tâm, xoắn thuần tuý, uốn thuần túy phẳng và uốn ngang

CHƯƠNG 9

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

™ KHÁI NIỆM CHUNG

1 Khái niệm

2 Ứng suất pháp

3 Ðường trung hòa và biểu đồ ứng suất

4 Kiểm tra bền

5 Ðộ võng của dầm khi uốn xiên

1 Khái niệm

2 Ứng suất

3 Ðiều kiện bền

III THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ÐỒNG THỜI

1 Uốn và xoắn đối với thanh tròn

2 Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang chữ nhật

1 Thanh có mặt cắt ngang tròn chịu lực tổng quát

2 Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực tổng quát

Các dạng chịu lực của thanh mà chúng ta nghiên cứu trước đây như kéo, nén đúng tâm, xoắn thuần tuý, uốn thuần túy phẳng và uốn ngang phẳng đều thuộc về những trường hợp chịu lực đơn giản của thanh

Trong chương này ta nghiên cứu các trường hợp chịu lực phức tạp của thanh nghĩa là những hình thức chịu lực kết hợp giữa các trường hợp chịu lực đơn giản Các bài toán thường gặp là uốn xiên, uốn và kéo đồng thời và trường hợp chịu lực tổng quát

Ðể giải quyết những bài toán đó, chúng ta sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng Nguyên lý

đó được phát biểu như sau:

Ưïng suất và biến dạng do nhiều yếu tố gây ra đồng thời trên một thanh bằng tổng ứng suất

và biến dạng do từng yếu tố riêng biệt gây ra trên thanh đó

Muốn sử dụng được nguyên lý này, bài toán phải thỏa mãn các điều kiện sau đây :

Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất Biến dạng của thanh là bé, sự chuyển dịch điểm đặt của lực tác dụng lên thanh là không đáng kể

Khi xét bài toán chịu lực phức tạp, vì ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh không đáng

kể so với các thành phần nội lực khác, nên trong mọi trường hợp chúng ta đều không xét đến lực cắt

I UỐN XIÊN

Thanh uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ có 2 thành phần nội lực là các momen uốn Mx, My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt

Biểu diễn các momen uốn Mx, My bằng các vectơĠ,Ġ.Hợp hai vectơ này lại ta được vectơ tổng hợpĠ Khi hợp hai momen uốn Mx, My lại ta được momen uốn tổng hợp M nằm trong mặt phẳng ( chứa trục z của thanh Ta thấy mặt phẳng (không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào của mặt cắt ngang

Mặt phẳng ( được gọi là mặt phẳng tải trọng

Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang là đường tải trọng Ðường tải trọng

là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với phương của vectơ tổng momen M Từ đó

ta có một định nghĩa khác về uốn xiên như sau :

Thanh chịu uốn xiên là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là momen uốn M nằm trong mặt phẳng chứa trục z của thanh nhưng không trùng với mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào của mặt phẳng ngang

Gọi ( là góc có hướng giữa trục x và đường tải trọng, ( sẽ dương khi chiều quay từ trục x đến đừơng tải trọng là thuận chiều kim đồng hồ , ngược lại ( âm

Cũng như trước đây dấu của các momen uốn Mx , My được quy ước như trong trường hợp thanh chịu uốn phẳng nghĩa là Mx , My được coi là dương khi nó làm căng các thớ ở về phía dương của trục x và trục y

Ta thấy sự tương quan giữa Mx , My và M như sau:

Mx = Msinα

My = Mcosα

Như vậy hệ số gĩc của đường tải trọng là :Ġ (IX-1)

Aïp dụng nguyên lý độc lập tác dụng, ta cĩ thể xem ứng suất tại một điểm A nào đĩ trên mặt cắt ngang là tổng ứng suất do momen uốn Mx và My gây nên một cách riêng lẽ Như vậy

ta đã đưa bài tốn trên về 2 bài tốn uốn thuần tuý đơn Gọi x và y là tọa độ của một điểm A nào đĩ, trị số ứng suất tại A là:

(IX-2a) Khi sử dụng cơng thức đĩ ta phải chú ý đến dấu của Mx , My và x, y nên để thuận tiện ta dùng cơng thức kỹ thuật sau đây:

(IX-2b) Trong đĩ các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối, cịn dấu (+) hay (-) trước mỗi số hạng thì tùy theo các momen uốn Mx , My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét

Giả sử xét ứng suất tại A trên hình 9-1 Ðối với Mx , ứng suất tại A là nén, vậy trước số hạng chứa Mx lấy dấu âm; đối với My ứng suất tại A là kéo, vậy trước số hạng chứa My, lấy dấu dương

3 Ðường trung hịa và biểu đồ ứng suất

Ta thấy phương trình biểu diễn ứng suất tại một điểm mọi trên mặt cắt ngang là một hàm 2 biến theo x và y, đây là phương trình biểu diễn một mặt phẳng Ta gọi mặt phẳng này là mặt phẳng ứng suất

Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là quỹ tích những điểm cùng cĩ giá trị ứng suất pháp bằng khơng Giao tuyến đĩ chính là đường trung hịa, phương trình của nĩ là:

(IX-3) Hay y = tgβ.x

Trong đó tg( là hệ số góc của đường trung hòa

(IX-4)

Ta thấyĠ

Nhận xét :

Góc ( và ( luôn luôn trái dấu nhau Thực vậy vì Jx và Jy là những số dương, do đó dấu của tg( luôn ngược dấu với tg( Như vậy đường tải trọng và đường trung hòa không bao giờ cùng nằm trong một góc phần tư của hệ trục tọa độ

Thông thường đường trung hòa và đường tải trọng không vuông góc với nhau

Thật vậy vì Ġ trong đó JxĠJy

Nếu Jx = Jy thì Ġ khi đó đường trung hòa vuông góc với đường tải trọng và bất kỳ trục nào

đi qua trọng tâm mặt cắt cũng là trục quán tính chính trung tâm Như vậy mặt phẳng tải trọng cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm Sự uốn của thanh không còn là uốn xiên nữa mà

là uốn thuần túy đơn Ðó là trường hợp mặt cắt ngang của thanh là hình tròn hoặc đa giác đều Với những thanh đó thì không bao giờ chịu uốn xiên

Biều đồ ứng suất trên mặt cắt ngang được vẽ như sau:

Kéo dài đường trung hòa ra khỏi mặt cắt, vẽ đường vuông góc với đường trung hòa làm đường chuẩn Ưïng suất tại các điểm trên đường thẳng song song với đường trung hòa được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có gốc trên đường chuẩn và có phương nằm trên đường thẳng song song đó

Từ biểu đồ mặt ứng suất ta nhận thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hòa thì cùng có ứng suất như nhau Trị số các ứng suất tỉ lệ với khoảng cách đến đường trung hòa

Từ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt ngang ta tìm được các điểm nguy hiểm trong miền chịu kéo và nén Những điểm này là những điểm nằm xa đường trung hòa nhất

Ðối với mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, điểm nguy hiểm luôn luôn là các góc (điểm

B và C hình 9-3)

Các trị số ứng suất cực đại và cực tiểu là:

Ðiều kiện bền của dầm chịu uốn xiên là:

σmax ≤ [σk]

σmin ≤ [σn]

Ðối với vật liệu dẻo, mặt cắt ngang thường là hình chữ nhật, chữ I hoặc tương tự, vì [(k] =

[(n] nên điều kiện bền có thể viết lại là:

Từ phương trình trên ta thấy đối với bài toán chọn mặt cắt ngang ta gặp hai ẩn số là wx và

wy Ta chọn trước một ẩn số, từ đó xác định ẩn số thứ hai, xong kiểm tra lại từ điều kiện bền, làm như vậy cho đến khi xác định được kích thước hợp lý nhất

Thường để giải quyết bài toán được nhanh chóng ta viết điều kiện bền lại như sau:

(IX-6) Rồi chọn trước tỷ sốĠ, việc chọn tỷ số này đơn giản hơn việc chọn wx hay wy

- Ðối với mặt cắt ngang chữ nhật ĠĽ

- Ðối với mặt cắt ngang chữ U Ġ= 5 ( 7

- Ðối với mặt cắt ngang chữ I Ġ= 8 ( 10

Ðối với mặt cắt ngang dạng bất kỳ, điểm nguy hiểm vẫn là điểm xa trục trung hòa nhất (B và C)

5 Ðộ võng của dầm khi uốn xiên TOP

Gọi fx và fy là độ võng do Mx và My gây ra tại mặt cắt nào đó Ðộ võng toàn phần f sẽ bằng tổng hình học của fx và fy

Với cách đó ta có thể xác định được độ võng tại các mặt cắt khác nhau và như vậy ta có thể

xác định được đường đàn hồi của dầm

Nếu đường đàn hồi nằm ngang trong mặt phẳng thì ta có uốn xiên phẳng, nếu là một đường cong ghềnh thì gọi là uốn xiên không gian

Phương của chuyển vị:

(: góc hợp bởi phương của chuyển vị với trục x

II THANH CHỊU UỐN VÀ KÉO (NÉN) ÐỒNG THỜI

Thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh có các thành phần nội lực là các moment uốn Mx , My và lực dọc Nz

Trong thực tế ta thường gặp những kết cấu như vậy

Ví dụ: đập ngăn nước, ống khói, cột chống của cầu treo, cột điện

Ống khói (hình 9-6b) vừa chịu nén bởi trọng lượng bản thân vừa chịu uốn do tải trọng gió gây nên Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không vuông góc với trục thanh, thành phần vuông góc với trục thanh P1 gây ra uốn và thành phần theo chiều cột trụ P2 gây nén

Ta nhận thấy rằng bài toán này là sự kết hợp của ba bài toán đơn giản, hai bài toán uốn thuần túy đơn với bài tóan kéo nén đúng tâm Ứng suất tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang là tổng các ứng suất của mỗi bài toán riêng lẽ

Ðể thuận tiện ta dùng công thức kỹ thuật sau:

Trong đó dấu của momen uốn được qui ước như trong trường hợp uốn xiên Dấu của lực dọc

Nz lấy giá trị dương nếu Nz gây ứng suất kéo, ngược lại là âm

Một dạng riêng của bài toán uốn đồng thời với kéo, nén là bài toán kéo,nén lệch tâm:

Thanh chịu kéo (nén) lệch tâm là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có thành phần lực dọc N cùng phương nhưng đặt lệch một đoạn e so với trục z của thanh

Nếu chuyển lực dọc N về trọng tâm O của mặt cắt ngang thì ta được lực dọc đúng tâm Nz =

N và momen uốn M có giá trị bằng momen do N gây ra đối với tâm O:

Nz = N

M = N.e

Phân momen M thành hai thành phần Mx và My trên trục x và trục y ta được:

Mx = N yk

My = N xk

Như vậy bài toán kéo (nén) lệch tâm là một dạng riêng của bài toán uốn và kéo nén đồng thời Tuy nhiên vì đây là một dạng bài tóan đặc biệt nên ta đưa công thức này về một dạng riêng

Ta có:

Ðặt:Ġ, ta có:

Trong đó:

- ix , iy: được gọi là bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x

- N: lực dọc

- F: diện tích mặt cắt ngang

Từ phương trình của (z ta nhận thấy mặt ứng suất là một mặt phẳng không đi qua gốc tọa

độ (do có số hạng tự doĠtrong biểu thức Ġ)

Như vậy đương trung hòa cũng không đi qua gốc tọa độ

Cũng giống như trường hợp uốn xiên, những điểm cách xa đường trung hòa nhất là những điểm nguy hiểm nhất

Tương tự như trước ta thấy phương trình của đường trung hòa là:

và trong kéo (nén) lệch tâm:

σmax ≤ [σK]

σmin ≤ [σn]

Trường hợp mặt cắt ngang là hình chữ nhật hay các hình có dạng tương đương, ta có thể tính (max và (min theo công thức sau:

Số hạng đầu trong hai công thức trên đây lấy dấu (+) nếu NZ là lực kéo, lấy dấu (-) nếu

NZ là lực nén

Trường hợp mặt cắt ngang có dạng tổng quát ta phải xác định vị trị của đường trung hòa, sau đó xác định vị trí các điểm nguy hiểm nhất Những điểm nguy hiểm nhất vẫn là những điểm cách xa đường trung hoà nhất Sau khi đã có tọa độ của các điểm nguy hiểm

ta sử dụng các công thức của (Z để tính (max và (min

III THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ÐỒNG THỜI

Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có các thành phần nội lực là mômen uốn Mx, My và momen xoắn MZ

Ðây là bài toán thường gặp nhất trong các chi tiết máy Thực tế, bài toán xoắn thuần túy rất ít gặp Ví dụ: một trục truyền lực không chỉ chịu tác dụng xoắn do momen xoắn ở các Puli gây nên mà còn chịu uốn do trọng lượng bản thân, trọng lượng của các Puli và lực căng của các dây đai gây nên

Trong phần này ta chỉ xét các thanh có mặt cắt ngang dạng tròn và chữ nhật

1 Uốn và xoắn đối với thanh tròn TOP

Như ta đã biết, thanh tròn bao giờ cũng chỉ có uốn đơn: hợp hai momen uốn Mx , My lại ta được momen uốn Mu tác dụng trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm Ðường trung hòa vuông góc với đường tải trọng Ðiểm xa nhất đối với đường trung hòa là các giao điểm AB giữa mặt phẳng tải trọngĠ và chu vi mặt cắt

Ứng suất pháp tại các điểm A và B có giá trị lớn nhất:

Vì Ġ và Wu = Wx = Wy nên (max =Ġ (IX-12)

Ngoài ra còn có ứng suất tiếp do momen xoắn MZ gây ra

Ứng suất tiếp có giá trị lớn nhất tại các điển nằm trên chu vi mặt cắt

(IX-12)

Như vậy, các điểm A và B là các điểm nguy hiểm nhất Trạng thái ứng suất tại A và B là trạng thái ứng suất phẳng

Viết điều kiện bền của các phân tố A và B ta được :

a) Theo thuyết bền ứng suất tiếp:Ġ

((tđ = (1 - (3 ( [(])

Ta có:Ġ

b) Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:

(tđ =Ġ (tđ =Ġ( [(]

Ta có:Ġ

c) Theo thuyết bền Mohr: (tđ = (1 - ((3 với ( Ľ

Ta có: ĉ Nếu ta biểu diễn điều kiện bền dưới dạng

Mtđ = momen tương đương Như vậy:

a) Theo thuyết bền ứng suất tiếp:

Mtđ =Ġ b) Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:

Mtđ =Ġ c) Theo thuyết bền Mohr:

Mtđ =Ġ

2 Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang chữ nhật TOP

Giả sử trên mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu uốn và xoắn đồng thời có các thành phần nội lực là Mx , My và Mz

a) Trường hợp chịu uốn xiên: do Mx và My gây ra các điểm nguy hiểm có ứng suất pháp

cực trị là góc B và D

Tại B: chịu kéo ĉ (IX-14a)

Tại D: chịu nén ĉ (IX-14b)

b) Trường hợp chịu xoắn: do Mz gây ra, các điểm nguy hiểm có ứng suất tiếp lớn là

điểm giữa cạnh dài A và điểm giữa cạnh ngắn C

Trong 3 điểm ABC ta chưa biết được điểm nào là nguy hiểm cho nên ta phải kiểm tra bền cho cả 3 điểm trên

( Kiểm tra bền cho phân tố B:

Phân tố B ở trạng thái ứng suất đơn, do đó điều kiện bền là:

Nếu là vật liệu giòn thì phải kiểm tra cả phân tố D

( Kiểm tra bền đối với phân tố A:

Phân tố A ở trạng thái ứng suất phẳng, kiểm tra tùy theo các thuyết bền:

ết bền ứng suất tiếp:Ġ

t bền thế năng biển đổi hình dạng: (tđ =Ġ( [(]

Theo thuyết bền Mohr: (tđ = (1 - ((3 với ( Ľ ĉTa có:

Theo thuy

Ta có:Ġ

Theo thuyế

Ta có:Ġ

( kiểm tra bền đối với phân tố C:

Phân tố C ở trạng thái ứng suất phẳng, kiểm tra theo thuyết bền:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp:

• Theo thuyết bền thế năng biển đổi hình dạng:

• Theo thuyết bền Mohr:

IV THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT

át là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh có

đủ 6 thành phần nội lực

ng của các thành phần nội lực khác nên cũng như trước đây, chúng ta không xét đến lực cắt

y thì chúng ta có thể sử dụng công thức của Durapski để tính ứng suất tiếp do lực cắt gây nên

Thanh chịu lực tổng qu

Vì ảnh hưởng của các lực cắt Qx và Qy bé so với ảnh hưở

Nếu trong trường hợp cần thiết nào đó phải kể đến ảnh hưởng của lực cắt Qx và Q

1 Thanh có mặt cắt ngang tròn chịu lực tổng quát TOP

Trường hợp này, đường trung hòa là đường thẳng song song trục u ((AB) Thật vậy đường trung hòa có thể viết dưới dạng:

Do đó, các điểm nguy hiểm nhất vẫn là điểm A và B

Ưïng suất pháp do lực dọc Nz và momen uốn Mu gây ra tại A và B là:

Ứng suất tiếp do momen xoắn gây ra là:

Các điểm A và B chịu trạng thái ứng suất phẳng - Ðiều kiện bền của trạng thái ứng suất phẳng đã được nói kỹ ở phần trên, ở đây ta không nhắc lại nữa

2 Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực tổng quát TOP

Giả sử có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực như hình vẽ 9-13 Ta nhận thấy rằng nếu lực dọc Nz là kéo thì ứng suất pháp tại B sẽ có trị số tuyệt đối lớn nhất so với các điểm khác trên mặt cắt ngang Các điểm nguy hiểm cần kiểm tra là A B C

Ngược lại nếu Nz là lực nén thì trị số ứng suất pháp tại B có giá trị lớn nhất Các điểm nguy hiểm là ABC