THI THU DH 2013 QLUU3 hay

Trong mặt phẳng OAB, tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.. Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.[r]

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013

TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 3 Môn thi : TOÁN; Khối A, A1, B, D

Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề.

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm ) :

Câu I ( 2,0 điểm )

Cho hàm số







2x 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết nó cắt đường tròn (T) có phương trình

5

tại hai điểm M, N sao cho tam giác IMN có diện tích lớn nhất, trong đó I(1;2)

Câu II ( 2,0 điểm)

1 Giải phương trình

2

2 cos x cos2x sin2x 3cos2x

3 cosx sin x



2 Giải phương trình x3 4x2  5x 6 3 7x29x 4

Câu III (1,0 điểm)

Tính tích phân

  







2 x x 1

x 0

x e 1 e

Câu IV (1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng

(ABCD) một góc  sao cho

1 cos

7

 

Biết rằng SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a

a Tính thể tích của khối chóp theo a

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD theo a

Câu V (1,0 điểm)

Cho các số không âm a, b ,c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3

Chứng minh rằng 2 2 2

a 2b 3 b  2c 3 c  2a 3 2 

PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B )

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đường cao hạ từ đỉnh A có phương trình

x – y = 0, điểm

9 9 I( ; )

4 4 là tâm đường tròn ngoại tiếp và khoảng cách từ I đến đường thẳng BC bằng

3 2

4 ,

đường thẳng đi qua đỉnh B có phương trình x + 5y – 14 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ của A và B đều không lớn hơn 2

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;1) , B(2;-1;2) và đường thẳng d : x y z 

a Trong mặt phẳng (OAB), tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất

Câu VII.a (1,0 điểm)

Trong các số phức z thõa mãn điều kiện z 1 2i 3  

Hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình:

2 2

1

2  3  và điểm M(2; 1) Viết

phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1), B(0;2;2) và đường thẳng

d :





a Trong mặt phẳng (OAB), tìm tọa độ trực tâm của tam giác OAB

b Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo với đường thẳng d một góc 300

Câu VII.b (1,0 điểm) Chứng ninh rằng

n 1 2 1



ĐÁP ÁN

I

2đ

1

(1đ) 10 Tập xác định  \ {1}

20 Sự biến thiên

 Giới hạn

     

















1 2

1

1

x

x x

y

x y

x

 Bảng biến thiên



3

1

x

-y 2

 



2

30 Đồ thị

 Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (-1/2;0)

 Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-1)

 Tâm đối xứng của đồ thị là I(1;2)

6

4

2

-2

-4

-6

I

1 2

-1 -1/2

0,25

0,25

0.5

(1đ)

Đường tròn (T) có tâm I(1;2) và có bán kính

6 5

r 

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm

0 0 0

; 1

x

M x

x



  có phương trình là

 

0

2

0 4 0



Diện tích tam giác IMN

0

Khi đó tam giác IMN vuông cân với cạnh IM =

6 r 5



Gọi H là trung điểm của cạnh BC ta có IH=

6

10 (2)

Từ (1) và (2) ta có

0 2

0

4

0 0

0

0















Tương ứng ta có các tiếp tuyến với các phương trình sau:

3x + y + 1 = 0; 3x + y – 11 = 0; 3x + 9y – 25 = 0; 3x + y – 11 = 0

0,25

0.25

0,5

II

2đ

1

(1đ)

2

3



6







6

0,25

0,5

0,25 2

1đ Giải Đặt

2 3

y 7x 9x 4 , ta có hệ :

3 3





Xét hàm số : f t    t3 t f '(t) 3t 2    1 0 t , f(t) là hàm đơn điệu tăng

Từ phương trình ta cĩ

5

2

x

x







 



0.25

0,5

III.

1đ









1 2 2x x 1

x

x

1

0

0

xe 1

Vậy I 1 ln e 1

0,25

0.25

0,5

IV.

1đ

E

F

S

H

0,25

a

Gọi F là trung điểm của AD ta cĩ FA = FD = FC, do đĩ tam giác ACD vuơng tai C, cĩ tâm đường trịn ngoại tiếp là F Vì SA = SD = SC nên SF là đường cao của hình chĩpS.ABCD

Dễ thấy SE và EF đồng thời vuơng gĩc với CD, do đĩ gĩc giữa mp(SCD) và mp(ABCD) là gĩc SEF = 

Từ giả thiết ta cĩ tan  6 SF a 3 Như vậy ta cĩ thể tích khối chĩp S.ABCD là



0.25

0.25

b

Do AD//BC nên d SC, AD =d (SCB), AD =d F,(SBC)

Kẻ FH vuơng gĩc với SC ta cĩ

BC CF

BC SF

Tính FH

a 3 FH

2



0.25

0.25

VT

2(a b 1) 2(b c 1) 2(c a 1)

(a b 1) (b c 1) (c a 1)

(a b 1) (b c 1) (c a 1)

2

2

2 2 2

a 1 (b c 1) (a 1)(c a 1)

a b c 3 (b 1)(a b 1) (c 1)(b c 1) (a 1)(c a 1)

1

2





  



  

Dấu đẳng thức khi a = b = c = 1

0,25

0,25

0,25

0,25

VI.a

2đ

1

1đ

Đường thẳng BC có phương trình x+y+m=0

Theo giả thiết ta có  

9 9

m

4 4

2







Với m=-3, tọa độ đỉnh B thỏa mãn hệ

1 x

y 4









Với m=-6, tọa độ đỉnh B thỏa mãn hệ x y 6 x 4 B 4;2 ( tmbt) 

Khi đó pt BC là x+y-6=0

Dễ thấy AI là đường cao của tam giác ABC nên chân đường cao cũng là trung điểm của

BC có tọa độ là nghiệm của hệ x y 0 x 3 H 3;3   C(2;4)

Gọi A(x;x) ta có

 

 

 



Vậy A(1;1), B(4;2), C(2;4)

0,25

0,25

0,25

0,25

2

1đ a Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.OA (1; 2;1)

OB (2; 1; 2)



 



Phương trình mp(ABC) là x-z=0 Phương trình mặt phẳng trung trực cạnh OA là x+2y+z-3=0 Phương trình mặt phẳng trung trực cạnh OB là 2x-y+2z-9/2=0 0,25

Tọa độ tâm I thỏa mãn hệ pt

6 x 5

x z 0

z 5













Bán kính

297 r

10



b Tìm M trên d để chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Vì M d nên M(t;t;t)



Đẳng thức xảy ra khi t=1 hay M(1;1;1)

0,25

0,25

0.25

VII.a

1đ

Gọi z=x+yi ta có

 2  2

2

Đặt u=x+1; v=y-2 ta có u2+v2=9,

2

Z có mô đun nhỏ nhất khi

2



0.25

0.25

0.5

Theo chương trình nâng cao

VI.b

2đ

1

1đ

Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB ;A, B  (H) : ta có

2 2

A A

2 2

B B

3x 2y 6 (1) 3x 2y 6 (2)







M là trung điểm AB nên : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4) (1)  (2) ta có : 3(x2

A - x2

B) - 2(y2

A - y2

B) = 0 (5) Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0  3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 3xA-yA =

5 Tương tự : 3xB - yB = 5 Vậy phương trình d : 3x - y - 5 = 0

0,25

0,25 0.5 2

1đ

a Tìm tọa độ trực tâm tam giác OAB

OA (1;1;1)

OB (0; 2;2) ptmp(OAB) : y z 0



 



Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với OB là y+z-2=0 Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với OA là x+y+z-4=0 Tọa độ trực tâm của tam giác OAB là nghiệm của hệ pt

0,25

y z 2 x 2

b Viết phương trình mặt phẳng (P)

0

(1)

2

c 0

n(a; b;c) là vtpt mp(P) ta có

+) sin30

2

b 1

















b 1

c  , chọn b=c=1,a=2 ta có ptmp(P): 2x+y+z-4=0





, chọn b=-1,c=2,a=1 ta có ptmp(P) là x-y+2z-2=0

0,25

0,25

0,25

VII.b

1đ

Xét nhị thức Niu-tơn 1 x n C0n C x C x1n  2n 2  C x nn n

Lấy đạo hàm hai vế ta có

n 1 1 2 n n 1

n 1 1 2 2 n n

n 1 n

n

1

0

1

0









n



0.25

0.25

0.25

0.25

Lưu ý: Nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.