Lý do chọn đề tài : Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay bộ môn hình học không gian nói chung và các bài toán cơ bản về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng,giao điểm của đường thẳng và[r]
Trang 1
A.PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài :
Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay bộ môn hình học không gian nói chung và các bài toán cơ bản về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng,giao điểm của đường thẳng và phẳng ,tìm thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng là một trong vấn đề mà không ít học sinh rất lúng túng khi gải các bài toán dạng này,các em rất ngại giải bài toán hình học không gian Muốn học sinh học tốt hơn môn hình học không gian và giúp các em gải một cách dễ dàng các bài toán kể trên Tôi đi sâu tìm hiểu cở sở phương pháp và chọn một số bài tập mẫu giúp các
em nắm được phương pháp và kỹ năng giải các bài toán đã kể trên
TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG ,GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ,TÌM THIẾT DIỆN CỦA MỘT HÌNH
CHÓP KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG
1 Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi
là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức
2 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :
2.1 Nhiệm vụ :
- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong chương 2 hình học 11
- Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 11
2.2 Phạm vi nghiên cứu :
- Đối tượng : Bài đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong chương 2 hình học
11
- Tài liệu : Sách giáo khoa hình hoc lớp 11, sách hướng dẫn giáo viên
3 Phương pháp nghiên cứu :
Trang 2
1 Nghiên cứu tài liệu
2 Nghiên cứu thực tế
B NỘI DUNG
I C¬ së lý thuyÕt
1 Các khái niệm cơ bản trong hình học không gian
*Đối tượng cơ bản của hình học khơng gian Là điểm đường thẳng và mặt phẳng
Điểm được ký hiệu A,B,C
Đường thẳng được ký hiệu a,b,c,d
Mặt phẳng được ký hiệu (P),(Q),(R) ,hay ,
*Quan hệ cơ bản của hình học khơng gian :
Thuộc :Ký hiệu ví dụ A a , M
Chứa trong, nằm trong :Ký hiệu ví dụ a P b;
2.Hình biểu diễn của một hình khơng gian
Qui tắc :
-Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng Đoạn thẳng được biểu diễn bởi
đoạn thẳng
-Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau )được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau
-Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau
-Dùng nét vẽ liền (_) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét vẽ đứt ( -) để biểu diễn cho những đường bị che khuất Một
2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất 1 :có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
Tính chất 2 :Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước
Tính chất 3 :Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt đó
Tính chất 4 :Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
Tính chất 5 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa
Tính chất 6 :Trên mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng
3.Điều kiện xác định mặt phẳng
o Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua 3 điểm không thẳng hàng
o Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó di qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó
Trang 2
Trang 3
o Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau
4.Hình chóp và tứ diện
Hình chóp :Cho đa giác A A1 ; 2 , A n nằm trong mặt phẳng và điểm
S nối S với các đỉnh A A1 ; 2 , A n ta được n tam giác
1 2 ; 2 3 , n 1
SA A SA A SA A Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác A A1 2 A n được gọi là hình chóp Ký hiệu S A A A 1 2 n
Tứ diện :Cho 4 điểm không đồng phẳng A,B,C,D Hình tạo bởi 4 tam giác
ABC ;ACD ;ADB và BCD được gọi là hình tứ diện
+Các điểm A,B,C,D là 4 đỉnh
B
C
D A
A2
A3
A4
S
A5
+Các đoạn AB,AC,AD,BC,CD và DA gọi là cạnh của tứ diện ,hai cạnh
không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện
+Các tam giác ABC ;ACD ;ADB và BCD được gọi là các mặt của tứ hình tứ
diện
+Tứ diện có 4 mặt là các tam giác đều được gọi là tứ diện đều
II BÀI TẬP
Bài toán 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
A.Nội dung phương pháp :
Hoạt động 1:Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
PP:: Tìm giao tuyến cuả 2 mp ( ), ( )
Trang 4
Cách 1: Tìm 2 điểm chung A, B () () AB.
A ( ) ( )
AB ( ) ( )
B ( ) ( )
Cách 2: Tìm một điểm chung A phương của giao tuyếnn.
a ( ), b ( )
M ( ) ( )
là đường thẳng qua M và //a//b
Cách 3 :
( ) //( )
//
a
b a M
*Chú ý cách tìm điểm chung của 2 mặt phẳng
+) Điểm chung phát hiện nhờ tên gọi của hai mặt phẳng chẳng hạn 2 mặt phẳng (ABC) và (CDE) nhận C là một điểm chung
+) Điểm chung được phát hiện nhờ giao điểm của 2 đường thẳng cụ thể
( )
( )
A a b
là một điểm chung của (P) và (Q)
A
C B
E
D
A I
J
VD1 : Cho tứ diện ABCD, E là một điểm thuộc cạnh AB hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ,(ABD),(ACD) ,(BCD)
Bài giải
B
C
D
A E
VD2 : Cho tứ diện SABC và một điểm I trên cạnh SA ,d là đường thẳng trong
(ABC) cắt đoạn AB,BC tại J,K sao cho JK cắt
AC tại M tìm giao tuyến của (I,d) với các mặt phẳng sau (SAB) ;(SAC),(SBC)
Trang 4
M
J A
B
C
S Q I
K
Trang 5
I,d SAC
I,d SBC
I d SAB
MI QK
VD3 :Cho tứ diện ABCD gọi I là điểm trren cạnh khạc AD khác A ;D
M là điểm trên cạnh AB khác A ;B,N là điểm trên cạnh AC sao cho MN không song song với BC
1.Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
2 Tìm giao của (DMN) và (BCD)
Bài giải
1.(IBC) (DMN)=RS
2.(DMN) (BCD)=HD
R B
C
D
A
N
H S
VD4 :
Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy một điểm M Cho (α ) là mp qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD Tìm thiết diện của (α ) với các mặt của tứ diện? thiết diện là hình gì?
Bài gải
//
M
ABC AC
G2 D A
C
B
P Q
N M
MxBCN
Tương tự ta tìm được giao điểm của với các cạnh CD,AD là P và Q
Suy ra thiết diện cần tìm là : Hình bình hành MNPQ
Bài toán 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Trang 6
Phương pháp: để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng
PP1: Nếu trong có sẵn một đường thẳng c cắt a tại A nào đó thì A chính là giao điểm của a và
PP2:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng chứa a ( gọi là mặt phẳng phụ)
Bước 2: Tìm giao tuyến của và là đường thẳng d
Bước 3: Trong ()Gọi M là giao điểm của a với d thì M là giao điểm của a
M a
VD1 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên các cạnh AC, BC
và CD sao cho
1
3
;
2
3
;
4
5
Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với đường thẳng AD
HD
AD ABD
E = BD JK
ABD IJK IE
Trong ABD IE: AD F
IJK
F AD
VD2.Cho tứ diện SABC trong tam giác ABC lấy điểm 0 và trên tia AS kéo dài lấy điểm M( S nằm giữa M và A) xác định giao tuyến của
a.BC và (SOA) c.AB và (MOC)
b.MO và (SBC) d.SB và (MOC)
Bài gải
a (ABC) AO cắt BC tại N ta có
N BC
N BC SAO
Trang 6
I A
B
C
S M
O N H
K
Trang 7
.
b MO MAO
Trong MAO MO SN I
I MO
I MO SBC
I SN SBC
H AB
d
;
;
SB SAB
trong SAB SB MH K
K SB
Bài toán 3:Bài toán 3:Tìm thiết diện của một mặt phẳng với một hình chóp
Phương pháp:
Thiết diện (mặt cắt ) là một đa giác thu được ,khi cắt một khối chóp với một mặt phẳng
Các cạnh của thiết diện là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng cặt với các mặt của hình chóp
Để xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp ta phải tìm các đoạn giao tuyến (nếu có) của với từng mặt của khối chóp
Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau,tạo thành một đa giác phẳng ,đó là thiết diện cần xác định
Thông thường để xác định thiết diện ta thực hiện các bước sau:
Nối 2 điểm của cùng nằm trong nào đó của khối chóp
Tìm giao điểm của đường thẳng trên với các các cạnh của khối chóp
Tiếp tục quá trình trên cho đến khi xác định đủ các đoạn giao tuyến(nếu có) của với các mặt của khối chóp
Nối các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau ,để được thiết diện
Trang 8
VD1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M;N;P là 3 điểm lấy trên AB;BC;SO Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Bài giải:
P
A
C D
E
F S
M
N B
H
R
G
Trong mặt phẳng (ABCD) ,đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD,DC,BD, lần lượt tại E,F,và L
Trong mặt phẳng (SBD),đường thẳng LP Cắt SD tại H
Trong (SAD) ,EH cắt SA tại G, Trong (SCD) ,Đường SH đường tẳng FH cắt SC tại Q
Vậy ta có các đoạn giao tuyến do mp(MNP) cắt các mặt của hình chóp đó là
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNQHG
VD2: Cho hình chóp S.ABCD hai điểm M,N lần lượt thuộc SA,SB sao cho SM>MA; SN<NB Xác định thiết diện do mặt phẳng mp(CMN) ắt hình chóp
Trang 8
Trang 9
A
D S
H
M
I N
Bài giải
Trong mặt phẳng (SAB) ;
, ó :
Trong ABCD HC AD I
ta c MNC SAB MN
Vậy thiết diện do (MNC) cắt hình chóp S.ABCD là tứ giác CNMI
VD3: Cho điểm O thuộc miền trong của tam giác ABC.M,N lần lượt ở trên cạnh SA;SC và MN không song song với AC ;Xác định thiết diện do mp(MNO) cắt tứ diện S.ABC
Bài giải
A
B
C
S
K
M
N
O
\ Trong mặt phẳng (SAC),đường thẳng MN cắt AC tại K trong mặt phẳng (ABC)\ Trong (ABC) :
KO BC P
KO AB Q
Trang 10
Ta có
Vậy thiết diện là cần tìm là tứ giác MNPQ
III BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O Gọi điểm
E là trung điểm của SC
a) Tìm giao tuyến của (BED) và (SAC)
b) Tìm giao tuyến của (ABE) và (SBD)
c) Tìm giao điểm của SD và (AEB)
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành M là trung điểm của SC
a) Tìm giao điểm I của đường AM với mặt phẳng (SBD).chứng minh IA=2IM b) Tìm giao điểm E của SD với với mặt phẳng (ABM)
c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD ,gọi H,K lần lượt là trung điểm cạnh AB ,BC ,trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD.Tìm thiết diện của (HKM) với tứ diện trong các trường hợp sau
a M ở trong đoạn CD
b M ở ngoài đoạn CD
Bài tập 4:,Cho tứ diện đều cạnh bằng a kéo dài BC một đoạn CE=a kéo dài BD một đoạn DF =a M là trung điểm của AB
a) Tìm thiết diện tạo bởi tứ diện với mặt phẳng (MÈ)
b) Tính diện tích của thiết diện
III KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa hình học 11
Phân dạng và phương pháp giải bài tập hình học 11 nhà suất bản ĐHQG Thành phố HCM
Bài giảng chuyên sâu toán THPT hình học 11
IV-PHỤ LỤC
A.PHẦN MỞ ĐẦU
TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG ,GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ,TÌM THIẾT DIỆN CỦA MỘT HÌNH
CHÓP KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG
Trang 10
Trang 11
B NỘI DUNG
I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
II BÀI TẬP
1.Bài toán 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
2.Bài toán 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 3.Bài toán 3:Tìm thiết diện của một mặt phẳng với một hình chóp
III- BÀI TẬP THỰC HÀNH
Người viết Tổ trưởng chuyên môn Nguyễn thị Ánh Dư Thanh Xuân