Trường hợp một chiều
Vấn đề độ nhạy
Trong nhiều ứng dụng, ta xem xét các số có dạng E(φ(F x )), trong đó F x là một biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào tham số hữu hạn x Một ví dụ điển hình là F x = X t x, mô tả một quá trình khuếch tán bắt đầu từ x Để nghiên cứu độ nhạy của yếu tố này với tham số x, chúng ta chứng minh rằng hàm x 7→ E(φ(F x )) là khả vi và tìm biểu thức đạo hàm của nó Có hai phương pháp để giải quyết vấn đề này: tiếp cận theo từng quỹ đạo hoặc tiếp cận theo phân bố.
Cách tiếp cận theo từng quỹ đạo giả định rằng x7→F x (ω) là khả vi hầu khắp nơi, tương tự như trường hợp x7→X t x (ω) trong ví dụ Ngoài ra, φ cũng cần phải khả vi.
∂ x E(φ(F x )) =E(φ 0 (F x )∂ x F x ) nhưng cách tiếp cận này không thực hiện được nếuφ không khả vi.
Cách tiếp cận theo phân bố giúp vượt qua các trở ngại bằng cách sử dụng sự uyển chuyển của mật độ phân bố F x Trong phương pháp này, giả thiết rằng F x ∼ p x (y)dy và hàm x7→p x (y) là khả vi với mọi y.
Để tính toán kỳ vọng của hàm φ(F x ), ta có thể sử dụng công thức tích phân từng phần Cụ thể, ta có thể biểu diễn E(φ(F x )) bằng cách tích phân hàm φ(y) nhân với đạo hàm ∂ x p x (y) theo y Nếu biết mật độ phân bố của F x, ta có thể áp dụng công thức liên quan đến ∂ x lnp x (y)p x (y) Tuy nhiên, trong trường hợp không biết mật độ này, ta cần áp dụng công thức tích phân từng phần để có được đẳng thức cần thiết.
Đẳng thức trên vẫn đúng khi φ không khả vi, vì không có đạo hàm của các số hạng đầu và cuối Chúng ta có thể áp dụng một số lập luận thông thường trước khi chuyển sang giới hạn, từ đó thu được H(F x ;∂ x F x ).
Giải tích Malliavin hoạt động như một công cụ mạnh mẽ cho việc tính toán các lớp biến ngẫu nhiên, đặc biệt trong trường hợp mật độ phân bố không rõ ràng, như trong quá trình khuếch tán Phương pháp này được áp dụng trong nghiên cứu của Fourni’e để tính toán các chỉ số kiểu Hy Lạp, liên quan đến độ nhạy của giá các lựa chọn châu Âu và Mỹ đối với những tham số nhất định trong lĩnh vực Toán tài chính.
Mật độ của phân bố
Sau đây ký hiệu1A(x)hoặc 1x∈A là hàm chỉ tiêu, nghĩa là: 1A(x)
Giả sử rằng F thỏa mãn công thức IP(F; 1), thì phân bố của F là liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue Mật độ của phân bố này được xác định bởi công thức: p(x) = E(1[x,∞)(F)H(F; 1)).
Hơn nữap liên tục và p(x)→0khi |x| → ∞
Hình thức lập luận như sau: Từ δ 0 (y) =∂ y 1 [0;∞) (y), áp dụng công thức IP(F; 1) ta có
Để có suy luận chính xác, ta áp dụng hàm Dirac với hàm dương φ∈C c ∞ (R) có giá trị không đổi trên khoảng [-1;1] Điều này dẫn đến việc R φ(y)dy = 1 Đối với mỗi δ > 0, ta định nghĩa φ δ (y) = δ −1 φ(yδ −1 ) Ngoài ra, Φ δ được xác định là nguyên hàm của φ δ, tức là Φ δ (y) = y.
Chúng ta xem xét tích phân −∞ φ δ (z)dz và xây dựng một số biến ngẫu nhiên θ δ từ phân bố φ δ (y)dy, độc lập với F Biến θ δ hội tụ yếu về 0 khi δ tiến tới 0, do đó với mỗi hàm f ∈ C c ∞ (R), ta có kết quả mong muốn.
E(f(F)) = lim δ→0E(f(F −θ δ )) (1.5) Đặt Λ là phân bố củaF, ta có thể viết :
Bây giờ Φ δ được hạn chế trên δ và Φ δ (y) → 1[x,∞)(y) khi δ → 0 với ∀ y Khi đó sử dụng định lý hội tụ Lebesgue thông qua giới hạn ta được :
E(f(F)) Z f(z)E(1 [z;∞) (F)H(F; 1))dz với bất kỳf ∈ C c ∞ (R), vì vậy z → E(1 [z;∞) (F)H(F; 1)) là hàm mật độ xác xuất của
F, nó cũng là hàm liên tục Thật vậy, nếu z n → z ta có 1 [z n ;∞)(F) → 1[z;∞)(F) Vì vậy áp dụng định lý hội tụ Lebesgue, ta có: p(z n ) = E(1 [z n ;∞) (F)H(F; 1))→E(1 [z;∞) (F)H(F; 1)) =p(z) tức p là hàm liên tục.
Cuối cùng, nếu z →+∞ thì 1[z;∞)(F)→0và khi đó p(z)→0.
Nếu thay bằng \( z \to -\infty \), ta có thể sử dụng lập luận tương tự và biểu diễn như sau: \( p(x) = -E(1 (-\infty;x) (F)H(F; 1)) \) Điều này được suy ra từ thực tế rằng \( [x;+\infty) = 1 - 1 (-\infty;x) \) và cần nhắc lại rằng \( E(H(F; 1)) = 0 \) (Xem Nhận xét 1.1.2) Đây là điều cần chứng minh.
Giả sử rằngH(F; 1)là bình phương khả tích Khi đó sử dụng bất đẳng thức Chebishev ta có : p(x)≤p
Giới hạn của hàm phân phối P(F ≥ x) khi x tiến tới vô cùng là 0, và tỉ lệ hội tụ được điều chỉnh đến cuối phân bố F Nếu F có bậc hữu hạn được mô tả bởi p(x) ≤ Cx − p/2, quá trình khuếch tán thường có dạng mũ Vấn đề giới hạn trên cho hàm mật độ tương đối đơn giản, trong khi giới hạn dưới cho hàm mật độ lại là một thách thức lớn Công thức trên áp dụng cho trường hợp x tiến tới vô cùng, và trường hợp tương tự khi x tiến tới âm vô cùng được xử lý bằng công thức (1.6).
Bây giờ ta nghiên cứu xa hơn nữa và nghiên cứu vấn đề đạo hàm của hàm mật độ.
Giả sử ta có công thứcIP i (F; 1), i= 1, , k+ 1 Khi đó mật độ là khả vi bậc k và : p (i) (x) = (−1) i E(1(x;∞)(F)H i+1 (F; 1)), i= 0,1, , k (1.7)
−∞ Φ δ (y)dy, khi đó Ψ 00 δ = φ δ và ta quay trở lại với chứng minh Bổ đề 1.1.3, sử dụngIP 2 (F; 1) ta có :
Từ lim δ→0Ψδ(F −z) = (F −z)+ ta thu được :
Biểu diễn tích phân mới của mật độ \( z \rightarrow (F - z) + \) có khả năng vi phân Đạo hàm của công thức này cho ta \( p_0(z) = -E(1[z; \infty)(F)H_2(F; 1)) \), chứng minh đã hoàn tất với \( i = 1 \) Để tính đạo hàm bậc cao, ta áp dụng tích phân từng phần, dẫn đến công thức \( p(z) = E(\eta_i(F - z) H_{i+1}(F; 1)) \), trong đó \( \eta_i \) là hàm khả vi bậc \( i \) với \( \eta_i^{(i)}(x) = (-1)^i 1[0; \infty)(x) \).
Ta có ngay điều cần chứng minh.
Công thức biểu diễn tích phân (1.7) cho phép xác định giới hạn trên của các đạo hàm của mật độ p Đặc biệt, nếu F hữu hạn với bậc tùy ý và thỏa mãn công thức IP i (F; 1) với ∀i∈N, đồng thời H i (F; 1) là bình phương khả tích, thì p sẽ khả vi vô hạn và có thể biểu diễn dưới dạng p (i) (x).
Vì vậyp∈S, không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh.
Tích phân từng phần và các mật độ
Bổ đề 1.1.5 chứng minh mối quan hệ tương đương giữa tích phân từng phần và sự tồn tại mật độ phân bố "tốt" của F Cụ thể, khi F ∼ p(x)dx với p 0 (F) khả tích, thì với mọi hàm f ∈ C c ∞ (R), mối quan hệ này được xác lập.
Vì vậy ta có công thứcIP(F; 1) với H(F; 1) =−p 0 (F) p(F)1 (p>0) (F)∈L 1 (bởi vì p 0 (F)∈
L 1 (Ω)) Bằng việc lặp đi lặp lại, ta thu được chuỗi tác động sau đây :
Kỳ vọng có điều kiện
Tính toán kỳ vọng có điều kiện là yếu tố quan trọng để giải quyết các vấn đề phi tuyến trong thuật toán lập trình động lực học Nhiều tác giả như Fourni’e, Lion và Regnier, Bally, Kohatsu-Higa và Petterson, cùng Bouchard đã áp dụng các kỹ thuật giải tích Malliavin để tính toán kỳ vọng có điều kiện Phần này sẽ trình bày dạng trừu tượng của công thức này.
ChoF vàGlà các biến ngẫu nhiên thực thỏa mãn các công thứcIP(F; 1)vàIP(F;G). Khi đó :
E 1[x;∞)(F)H(F; 1) (1.8) với quy ước rằng số hạng bên phải bằng 0 khi mẫu số bằng 0.
Cho θ(x) là số hạng bên trái của đẳng thức Đối với mọi hàm f thuộc không gian C c ∞ (R), ta có thể xác nhận rằng E(f(F)G) = E(f(F)θ(F)) Bằng cách áp dụng các hàm quy tắc từ chứng minh Bổ đề 1.1.3, ta thu được những kết quả quan trọng.
=E(Gf(F)) và ta có điều phải chứng minh.
Trường hợp nhiều chiều
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu biến ngẫu nhiên d chiều F = (F1, F2, , Fd) Các kết quả liên quan đến mật độ phân bố và kỳ vọng có điều kiện cho biến ngẫu nhiên này có nhiều điểm tương đồng.
Ta giới thiệu một số ký hiệu Cho i = 1, , d Ta đặt ∂ i ≡ ∂
∂ x i Cho một đa chỉ số α = (α1, , αk) ∈ {1, , d} k , ta biểu thị |α| = k và ∂α = ∂α 1 ∂α k với quy ước rằng
∂ 0 là phần tử đơn vị Bây giờ ta định nghĩa tích phân từng phần như sau : Định nghĩa 1.2.1.
ChoF : Ω→R d vàG: Ω→Rlà các biến ngẫu nhiên khả tích Choα∈ {1, , d} k , k∈
N là một đa chỉ số Ta nói rằng ta có công thức tích phân từng phần IP α (F;G) nếu tồn tại biến ngẫu nhiên khả tíchHα(F;G) sao cho :
Nhắc lại, cho |α| = k , tập C c ∞ (R d ) có thể biến đổi thành C c k (R d ) , C b ∞ (R d ) hoặc
Ta đưa ra một ví dụ đơn giản mà nó là trung tâm của giải tích Malliavin
Cho F = f(∆ 1 , ,∆ m ) và G = g(∆ 1 , ,∆ m ) trong đó f, g là các hàm khả vi và
∆ 1 , ,∆ m độc lập với nhau, là các biến ngẫu nhiên Gauss kỳ vọng 0 với các phương sai tương ứng là :σ 1 , , σ m
Ta biểu thị ∆ = (∆ 1 , ,∆ m ) Khi đó với mỗi i= 1, , mta có :
∂x i (∆)]) (1.10) như một hệ quả trực tiếp của (1.3) và ∆ 1 , ,∆ m độc lập Nó thỏa mãn công thức :
Kết quả liên quan đến mật độ của phân bố F được trình bày trong Định lý 1.2.2 Cụ thể, nếu điều kiện IP(1,2, ,d)(F; 1) được thỏa mãn, thì mật độ p của F sẽ tồn tại và được xác định bởi công thức: p(x) = E(1 I(x) (F)H(1,2, ,d)(F; 1)).
[x i ;∞) Đặc biệt là pliên tục. ii) Giả sử rằng với mọi tập đa chỉ số α ta có công thứcIP α (F; 1) Khi đó ∂ α p tồn tại và được cho bởi :
Đạo hàm p(x) được xác định bởi công thức p(x) = (−1) |α| E(1 I(x) (F)H (α+1) (F; 1)), trong đó (α + 1) = (α1 + 1, , αd + 1) Nếu Hα(F; 1) thuộc L2(Ω) và F có bậc hữu hạn, thì p sẽ thuộc không gian Schwartz S, nơi chứa các hàm khả vi vô hạn và giảm đến vô hạn cùng với tất cả các đạo hàm của chúng.
Chứng minh phần (i) dựa trên cơ sở δ₀(y) = ∂(1, ,1) 1 I(0)(y) và công thức tích phân từng phần, có thể áp dụng quy tắc hàm Dirac để đảm bảo tính chặt chẽ như trong chứng minh Bổ đề 1.1.3 Đối với phần (ii), ta có thể sử dụng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 1.1.5 với phân phối Schwartz.
Cuối cùng, để thu được giới hạn ta viết :
Nếu x 1 > 0, , x d >0 bất đẳng thức Chebishev cho ta |∂αp(x)| ≤Cq|x| −q ,∀q ∈N. Nếu tọa độ củax không dương ta có thể sử dụng phương sai của (1.12) mà (−∞;x i ] thay cho(x i ;∞)
Ta có điều cần chứng minh.
Kết quả liên quan đến kỳ vọng có điều kiện như sau : Định lý 1.2.3
ChoF = (F 1 , , F d )vàGlà hai biến ngẫu nhiên thỏa mãn các công thứcIP(1,2, ,d)(F; 1) và IP(1,2, ,d)(F;G) Khi đó :
E(1 I(x) (F)H(1,2, ,d)(F; 1)) (1.13) với quy ước số hạng bên phải bằng 0 khi mẫu bằng 0.
Chứng minh tương tự như Bổ đề 1.1.7, sử dụng hàm φ δ (x) d
Q i=1 Φ δ (x i )và thực tế rằng ∂ (1, ,1) Φ δ (x) = φ δ (x)ta có điều phải chứng minh.
Trường hợp hữu hạn chiều
Các định nghĩa và các tính chất
Cho W = (W1, , Wd) là một chuyển động Brown d chiều trên không gian xác suất (Ω,F,P), với bộ lọc cơ sở {Ft} t∈[0;1] Giả sử W là một chuyển động Brown được tạo ra bởi W và khuếch tán bởi các tập P có độ đo 0 Để đơn giản hóa ký hiệu, ta sẽ xem xét trường hợp d=1, trong khi trường hợp nhiều chiều sẽ được đề cập trong Mục 2.3.
Với mỗi n, k ∈N ta biểu thị t k n =k2 −n và :
Ta biểu thị ∆ n = (∆ 0 n , ,∆ 2 n n −1 ) Chú ý rằng ∆ n là biến ngẫu nhiên Gauss nhiều chiều, nhận giá trị trong R 2 n với các véc tơ độc lập : ∆ n ∼ N(0; 2 −n I 2 n ×2 n ) (Ở đây
N(m,Γ)biểu thị phân bố Gauss theo m và ma trận hiệp phương sai Γ, còn Id×d là ma trận đơn vị d×d). Định nghĩa 2.1.1.
Một hàm đơn giản cấp n là một biến ngẫu nhiên dạng F = f(∆ n ), trong đó f ∈C p ∞ (R 2 n) Ta biểu thị không gian S n của các hàm đơn giản bậc n bởi :
S n ={F =f(∆ n ) :f ∈C p ∞ (R 2 n)} và định nghĩa không gian của tất cả các hàm đơn giản là : S = ∪ n∈ N
2.S⊂L p (Ω,F 1 ,P),∀p≥1là một hệ quả của thực tế rằng f có tốc độ đa thức và bất kỳ biến ngẫu nhiên Gauss có bậc hữu hạn tùy ý.
3 S là tập con tuyến tính trù mật của L 2 (Ω,F 1 ,P) Có một vài cách để chỉ ra tính hợp lý của khẳng định này, xem chứng minh ở Phụ lục 2.6(Xem tiếp ở Định lý 2.6.4). Định nghĩa 2.1.3.
Một quá trình U : [0; 1]×Ω→ R được gọi là một quá trình đơn giản bậc n nếu với bất kỳ k= 0, ,2 n −1 tồn tại một quá trình U k ∈S n sao cho :
Ta biểu thị Pn là không gian các quá trình đơn giản bậcn, tức là :
U k (ω)1[ t k n ;t k+1 n )(t) ;U k ∈S n } và không gian của tất cả các quá trình đơn giản được cho bởi :P = ∪ n∈ N
Từ U k ∈ S n, ta có U k = u k (∆ 0 n, , ∆ 2 n n −1) với u k ∈ C p ∞ (R 2 n) Điều này cho thấy u k phụ thuộc vào tất cả các gia số của chuyển động Brown, dẫn đến việc quá trình đơn giản thường không tương thích Tuy nhiên, U sẽ tương thích nếu và chỉ nếu U k = u k (∆ 0 n, , ∆ k−1 n) cho mọi k từ 0 đến 2 n −1.
2 Với mỗi ω cố định, ω ∈ Ω, t 7→ U t (ω) là một phần tử của L 2 ([0; 1],B[0; 1], dt) và nhìn chung thuộc vào L p ([0; 1],B[0; 1], dt),∀p ≥ 1 Khi đó nếu U, V ∈ P ta có thể định nghĩa tích vô hướng trên không gian này bằng cách sử dụng một trong các tiêu chuẩn trênL 2 ([0; 1]), đó là : hU, Vi 1
Chú ý rằnghU, Vi phụ thuộcω và hơn thế nữa nó còn là biến ngẫu nhiên hữu hạn.
3 Để đạt được mục tiêu dễ dàng, đặt:
4.P là một tập con trù mật củaL 2 (H 1 )≡L 2 (Ω×[0; 1],F 1 ×B([0; 1]),P×dt).
Các toán tử vi phân Các tính chất cơ bản
Đạo hàm Malliavin và toán tử liên hợp của nó, cùng với tích phân Skorohod, là những khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất Đạo hàm Malliavin của biến ngẫu nhiên F = f(∆ n ) ∈ S n được định nghĩa là một quá trình đơn giản {D t F} t∈[0;1] ∈P n.
Ta nhắc lại rằng x k đại diện cho số gia ∆ k n = W t k+1 n −W t k n
Từ định nghĩa ta có D t F = ∂F
Nếu ta biểu thị∆ t n = ∆ k n với t∈[t k n , t k+1 n ),∆ t n tương ứng với số gia của W theo t Do đó ta có thể sử dụng ký hiệu sau đây :
∂∆ k n (∆ 0 n ,∆ 1 n , ,∆ 2 n n −1 )khi t∈[t k n , t k+1 n ) Chú ý rằng định nghĩa đưa ra toán tử D không phụ thuộc vào n Thật vậy, cho
∂∆ 2k+1 n+1 (∆ n+1 ) (2.1) bởi vìt ∈[t k n , t k+1 n ) = [t 2k n+1 , t 2k+1 n+1 )∪[t 2k+1 n+1 , t 2k+2 n+1 ) và F = f( ,∆ k n , ) = f( ,∆ 2k n+1 + ∆ 2k+1 n+1 , ) Do đó (2.1) cho phép định nghĩa
Tích phân Skorohod được định nghĩa như toán tử : δ :P →S, δ(U) 2 n −1
P k=0 uk(∆n)1[ t k n ;t k+1 n )(t)∈Pn⊂P. Chú ý nhắc lại rằng định nghĩa không phụ thuộc vàon vì vậy định nghĩa là phù hợp.
Nhận xét 2.1.7 (Tích phân Skorohod và tích phân Ito)
Ta đã chú ý rằng quá trìnhU ∈Pn là Ft- tương thích nếu và chỉ nếu uk(∆n)chỉ phụ thuộc vào các biến∆ 1 n , ,∆ k−1 n Do đó ∂u k
∂x k = 0 và trong trường hợp này δ(U) 2 n −1
U s dW s có nghĩa là δ(U) tương đương với tích phân Ito đối với W Điều này chỉ ra rằng tích phân Skorohod được thiết kế để mở rộng tích phân Ito cho các quá trình không tương thích.
Bây giờ ta có thể chứng minh mối liên hệ giữa đạo hàm Malliavin với tích phân
Skorohod và nghiên cứu những tính chất trực tiếp của các toán tử. Định lý 2.1.8.
(i)[Đối ngẫu] Với bất kỳ F ∈S vàU ∈P ta có :
(ii) [Quy tắc chuỗi] Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F i ∈ S, i = 1, , m và Φ ∈
(iii) [Tích phân Skorohod của một tích] Cho F ∈S và U ∈P Khi đó : δ(F U) =F δ(U)− hDF, Ui
(i) Chon là một số nguyên sao cho F ∈S n và U ∈P n Khi đó :
∆ n là một véc tơ của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Gauss với phương sai h n = 1
2 n Khi đó ta có thể sử dụng (1.10) và ta nhận được :
∂x k (∆ n )]) Bằng cách thay thế ta có :
Ta dễ dàng chứng minh (ii)
(iii) LấyG∈S Bằng cách sử dụng công thức đối ngẫu và quy tắc chuỗi, ta có :
=E[hD(GF), Ui]−E[GhDF, Ui]
E[Gδ(F U)] = E[G(F δ(U)− hDF, Ui)] với bất kỳ G∈S và suy ra (iii) được chứng minh.
Chúng ta đã chuẩn bị để chứng minh công thức tích phân từng phần đầu tiên trong Malliavin Xét F = (F1, , Fm) với Fi ∈ S, i = 1, , m Tập σ F được định nghĩa như là hệ ma trận cỡ m×m với các phần tử σ F ij = DF i , DF j.
D t F i D t F j dt; i, j = 1, , m σF được gọi là ma trận hiệp phương sai liên quan đến F Đây là một ma trận xác định dương, bởi vì với bất kỳ ξ∈R m ta có : hσ F ξ, ξi m
2 dt≥0 Định lý 2.1.9 [Công thức tích phân từng phần Malliavin]
Cho F = (F 1 , , F m ) và G sao cho : F 1 , , F m , G ∈ S Giả sử rằng σ F là khả nghịch và γ F là nghịch đảo của σ F Hơn nữa giả sử rằng γ F ∈ S Khi đó với mọi φ∈C b 1 (R m )ta có :
Sử dụng quy tắc chuỗi ta có :
Vì σ F là khả nghịch với ma trận nghịch đảo γ F nên ta có thể viết :
Trường hợp vô hạn chiều
Miền xác định tập Dom p (D) = D 1,p
Trước tiên ta giới thiệu một tập phù hợp với đạo hàm Malliavin Dlà xác định tốt và khi đó mở rộng tậpS các hàm đơn giản Định nghĩa 2.2.2
Cho p ∈ N, F được coi là thuộc Dom p (D) = D 1,p nếu tồn tại một dãy {F n } n ⊂ S sao cho lim n F n = F trong L p (Ω) và lim n DF n = U trong L p (H 1), với U ∈ L p (H 1) Trong trường hợp này, chúng ta định nghĩa DF = U = lim n DF n trong L p (H 1).
D 1,2 không phụ thuộc vào dãy F n, n ∈ N vì D là một không gian đóng nhưng không phải là đại số Đồng thời, D 1,∞ lại là một đại số và định nghĩa của DF không bị ảnh hưởng bởi p.
Ta xác định một chuẩn k.k 1,p trên D 1,p như sau : kFk p 1,p =kFk p p +kDFk p L p (H 1 )≡E(|F| p ) +E((
Chú ý rằng chop= 2, chuẩn k.k 1,2 là một kết quả từ tích vô hướng : hF, Gi 1,2 =E(F G) +E(
Hơn nữaD 1,2 là không gian Hilbert
(i) F ∈ S k.k 1,p nếu tồn tại F n ∈ S, n ∈N sao choF n → F trong L p (Ω) và (F n )n∈ N là một dãy Cauchy trong k.k 1,p
(ii) Khi đó ta có :D 1,p ≡Dom p (D) = ¯S k.k 1,p
Dom p (D) là không gian đầy đủ, nghĩa là mọi dãy Cauchy trong Dom p (D) đều hội tụ tới một phần tử trong chính không gian này Cụ thể, xét một dãy Cauchy (F n )n∈ N với chuẩn k.k 1,p, dãy này cũng là dãy Cauchy với chuẩn k.k p Do L p là đầy đủ, tồn tại F ∈ L p (Ω) sao cho F n → F trong k.k p Vì F n thuộc Dom p (D), ta có thể tìm một dãy hàm đơn giản F n 0 với điều kiện kF n − F n 0 k 1,p ≤ 1/n, từ đó (F n 0 )n∈ N là một dãy Cauchy với chuẩn k.k 1,p và F n 0 → F trong k.k p Kết luận, F thuộc Dom p (D).
Miền xác định tập Dom p (δ)
Chúng tôi đã giới thiệu một tập hợp thích hợp với tích phân Skorohodδ, đảm bảo tính xác định tốt Tiếp theo, chúng tôi mở rộng tập P của quá trình đơn giản Quá trình này được bắt đầu tương tự như định nghĩa 2.2.2 và được trình bày trong định nghĩa 2.2.4.
Chop∈N Ta nói rằngU ∈Dom p (δ) nếu tồn tại một dãy{U n } n ⊂P, n∈Nsao cho
: lim n U n =U trong L p (H 1 ) và lim n δ(U n ) =F trong L p (Ω) với F ∈L p (Ω) Trong trường hợp này ta xác định δ(U) =F = lim n δ(U n ) trongL p (Ω).
TrênP ta xem xét chuẩnkUk δ,p =kUk L p (H 1 )+kδ(U)k p và ta có :
Các tính chất
Đôi khi, việc tính toán đạo hàm Malliavin hoặc tích phân Skorohod thông qua giới hạn gặp nhiều khó khăn Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần một tiêu chí cụ thể, chẳng hạn như Định lý 2.2.5.
(i) ChoF ∈L 2 (Ω) Giả sử rằng tồn tại một dãy F n ∈D 1,2 sao cho: i lim n F n =F trongL 2 (Ω) ii.sup n kF n k 1,2 ≤C x
2 P (W T > x) Cho T = 1 ta nhận được P (M > x) = 2 P (W 1 > x) và khi đó M có một hàm mật độ xác suất cho bởi f M (x) = p
1 x>0 , nó cho ta biết rằng M ∈ L p với bất kỳ p một cách chắc chắn tính hợp lý của quy tắc chuỗi (xem ví dụ Nualart [22], định lý 2.1.3, trang 30):
Ta đặt A 0 = {φ n (x) = x 0 } và khi k = 1, ,2 n , A k = {φ n (x) 6= x 0 , , φ n (x) 6 x k−1 , φ n (x) = x k } Khi đó ∂ x k φ n (x) = 1 A k (x) Do đó ta có thể viết :
=1 [0,τ n ] (t) trong đó τ n là điểm duy nhất giữa các số k/2 n sao cho M n = W τ n
Tính toán đơn giản cho thấy rằng :
Giờ đây, ta xét giới hạn τn → τ với điều kiện |τn−τ| ≤ 2 Do W có đường dẫn liên tục, ta có E(|τn−τ|) → 0, dẫn đến DtMn → 1[0,τ](t) trong không gian L²([0,1]×Ω).
Tích phân Skorohod của quá trình cầu Brown trên khoảng [0,1] được tính toán, với điều kiện cố định hai điểm x và y tại thời điểm 0 và 1 Cầu Brown có thể được biểu diễn dưới dạng u(t) = x + t(y−x) + W_t - tW_1, trong đó W là một chuyển động Brown một chiều Khi áp dụng tích phân Skorohod và tích phân Ito, ta nhận thấy chúng tương thích với nhau, dẫn đến kết quả δ(u) = xW_1 + (y−x).
W t dW t −δ(vW 1 ) trong đó v(t) = t Sử dụng (iii) của định lý 2.2.6 δ(vW 1 ) =W 1
Hơn nữa áp dụng công thức Ito chof(W t ) = W t 2 và với g(t,W t ) = tW t ta có :
Công thức Clark - Ocone
Ta nhắc lại công thức biểu diễn martingale: Nếu F ∈L 2 (Ω,F 1 ,P)thì tồn tại một giá trị thực và quá trìnhF t - tương thích φ∈L 2 (Ω×[0,1],F 1 ×B[0,1],P×dt)sao cho
Khi biến ngẫu nhiên F là đạo hàm Malliavin, ta có thể viết một cách rõ ràng quá trình φ Thật vậy ta có Định lý 2.2.17 [Công thức Clark - Ocone]
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằngE(F) = 0(nếu không, ta thực hiện với
F −E(F)), do đó bằng cách biểu thị định lý martingale Brown ta có: F 1
0 φ s dW s cho một số quá trìnhF t - tương thích trong L 2 (Ω×[0,1]) Ta đặt P ad là tập con của quá trình đơn giản P mà F t - tương thích Cho U ∈ P ad ta có : δ(U) 1
Mặt khác, sử dụng công thức đối ngẫu ta có:
E(D s F|F s )U s ds) khi đó ta có: hU, φ−E(D.F|F.)i L 2 (Ω×[0,1]) =E
= 0 với bất kỳ U ∈ P ad Lời phát biểu sau về việc tập đóng P ad đối với chuẩn trong
L 2 (Ω×[0,1]) được cho bởi tất cả các quá trìnhF t - tương thích đối vớiL 2 (Ω×[0,1])
(i) Nếu F ∈D 1,2 thì F là một hằng số nếu và chỉ nếu DF = 0
(ii) NếuA∈ F 1 thì1 A ∈D 1,2 nếu và chỉ nếu hoặcP(A) = 1hoặcP(A) = 0 Như một hệ quả D 1,2 đúng cả trong L 2 (Ω,F 1 ,P)
(i) được suy ra trực tiếp từ công thức Clark - Ocone.
(ii) Nếu 1 A ∈D 1,2 thì sử dụng quy tắc chuỗi ta có:D1 A =D(1 2 A ) = 21 A D1 A
Nếu D1 A 6= 0 thì 1 = 21 A là điều không thể xảy ra
Khi D1 A = 0 thì 1 A là hằng số là đúng nếu hoặc P(A) = 1 hoặc P(A) = 0 Suy ra điều cần chứng minh
Như một ví dụ, cho A = {W t >0} và F = 1 A Khi đó F ∈ L 2 (Ω,F 1 ,P), bởi vì
2 trong khi 1 A ∈/ D 1,2 , vì vậy D 1,2 là thực sự đúng cả trong
Miền xác định tập Dom p (L)
Ở đây ta giới thiệu toán tửL: Ornstein - Uhlembeck Trên một lớp các hàm đơn giản
L:S →S, LF =−δ(DF) Đúng với mối liên hệ đối ngẫu sau :
Lập luận tương tự cho taL là tập đóng, vì vậy ta có thể cho như sau Định nghĩa 2.2.19.
F ∈ Dom(L) ≡ Dom 2 (L) nếu tồn tại một dãy các hàm đơn giản {F n } n sao cho
F n →F trong L 2 (Ω) và LF n → G trong L 2 (Ω),với G∈ L 2 (Ω) Sau đó ta định nghĩa
LF := G = lim n LF n Nếu sự hội tụ ở trên đúng trong L p (R), p ≥ 2 ta nói rằng
Rõ ràng, với F thuộc miền xác định của toán tử L, ta có LF = -δ(DF) Trên không gian S, ta có thể xác định chuẩn kFk L,p = kFk p + kLFk p, dẫn đến miền xác định của p (L) là S k.k L,p Quy tắc chuỗi được nêu trong Định lý 2.2.20.
Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F i ∈ Dom∞(L), i = 1, , m và Φ∈ C p ∞ (R m ) Khi đóΦ(F)∈Dom ∞ (L) và :
Xem xétφ 1 , , φ m với m≥1trongH 1 và tậpF i = W(φ i ) 1
Biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong giải tích Malliavin, cho phép hiểu sơ lược về "toán tử Ornstein - Uhlembeck" với L = −δ(D).
Nhưng nghiên cứu sâu hơn, ta đề cập đến phần thú vị đầu cuốn sách Sanz - Solé [23]. Tậpa ij =hφ i , φ j i 1
Ma trận \( \phi_i \) và \( \phi_j \) có tính đối xứng và không phủ nhận định nghĩa của ma trận kích thước \( m \times m \), do đó tồn tại một căn bậc hai \( \sigma \) Căn bậc hai này là ma trận kích thước \( m \times m \) sao cho \( \sigma \sigma^* = a \) Khi đó, nếu đặt \( F_i = W(\phi_i) \), ta có \( DF_i = \phi_i \).
=a ij Khi đó với bất kỳf ∈C p ∞ (R m ), định lý 2.2.20 cho ta :
Giờ đây, tương tự cho toán tử trên R m , đó là :
X i,j=1 a ij ∂ x 2 i x j f(x) là phát hiện ra vi phân của quá trình khuếch tánX trên R m suy ra: dX t =−X t dt+√
2σdW t đó là một quá trình Ornstein - Uhlembeck
Công thức tích phân từng phần
Một hệ quả quan trọng của công thức đối ngẫu là công thức tích phân từng phần. Định nghĩa 2.2.22.
Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F i ∈ D 1,2 Ma trận hiệp phương sai Malliavin của F là ma trận xác định dương cho bởi : σ F ij DF i , DF j
Ta đưa ra một giả thiết không suy biến :
Nếu(N −D) đúng thì σ F khả nghịch hầu chắc chắn và ta biểu thị γ F =σ F −1
Công thức tích phân từng phần được cho như sau Định lý 2.2.23 [Công thức tích phân từng phần Malliavin]
ChoF = (F 1 , , F m )trong đóF i ∈D 1,∞ vàG∈D 1,∞ Cũng giả sử rằngσ F i,j ∈D 1,∞ ,
Dom p (δ), i= 1, , m.Khi đó ∀φ∈C p 1 (R m )ta có
Trước tiên ta chú ý rằng đẳng thức thứ hai ở (2.7) lấy từ tích phân Skorohod của tính chất tích (xem (iii)của định lý 2.2.6).
Sử dụng quy tắc chuỗi ta có thể viết :
Sử dụng công thức đối ngẫu ta có :
) =E(φ(F)δ(G(γ F DF) i ) và định lý được chứng minh.
Chuyển động Brown nhiều chiều
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động Brown theo chiều W = (W1, , Wd) trong một không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P), với F = {Ft} t∈[0,1] được sinh ra từ W và bổ sung các tập có độ đo P bằng 0 Chúng ta sẽ định nghĩa đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod, cùng với các tính chất tương ứng, có thể mở rộng tương tự như trong giải tích thông thường Những ý tưởng chính sẽ được trình bày một cách rõ ràng và dễ hiểu.
Ví dụ : Ta thấy đạo hàm Malliavin được cho bởi: DtF = ∂F
Đạo hàm trong chuyển động Brown d chiều được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau Khi các chuyển động Brown này độc lập với nhau, đạo hàm có thể được coi là một "gradient" Nguyên lý này cho thấy khả năng áp dụng của đạo hàm đối với tất cả các chiều không gian.
Liên hệ giữa tích phân Skorohod và toán tử liên hợp cho thấy mối quan hệ đối ngẫu quan trọng: E(hDF, Ui) = E(F δ(U)) Toán tử δ đóng vai trò thiết yếu trong quá trình nhận giá trị trên R d Hơn nữa, đối với quá trình tương thích Skorohod, tích phân Ito sẽ cho phép áp dụng các kết quả liên quan đến quá trình này.
U t = (U t 1 , , U t d )với các tính chất thông thường cho tích phân Ito δ(U) 1
Nhưng ta bắt đầu bằng việc giới thiệu các ký hiệu.
Cho n, k ∈N, ta biểu thịt k n =k2 −n và
( Ký hiệu * biểu thị chuyển vị) Ta nhắc lại rằng khi i, k khác nhau, các biến ngẫu nhiên ∆ k,i n là nhiều chiều, và ∆ k,i n ∼ N(0, 1
2 n ) Do đó, ∆ n = (∆ 0 n , ,∆ 2 n n −1 ) ∈R d×2 n là một ma trận d×2 n
Khi đó, mộthàm đơn giản bậc n là một biến ngẫu nhiên dạngF =f(∆ n )trong đó f ∈C p ∞ (R d×2 n ) Không gian các hàm đơn giản bậc n là
S n là tập tất cả các hàm đơn giản Quá trình U : [0,1]×Ω → R d được gọi là một quá trình đơn giản bậc n nếu
U k i (t k n , t k+1 n )(t), với U k i ∈ S n, k = 0, , 2 n − 1, i = 1, , d, cho thấy U t là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong R d Thủ tục U k i ∈ S n cho phép chúng ta biểu diễn véc tơ thứ i: U i của một quá trình đơn giản bậc n.
X k=0 u i k (∆ n )1[ t k n ,t k+1 n )(t), u i k ∈C p ∞ (R d×2 n), k= 0, ,2 n −1 với i = 1, , d Nhắc lại rằng, một quá trình đơn giản bậc n là tương thích nếu và chỉ nếu : u i k (∆n)≡u i k (∆ 0 n , ,∆ 2 n n −1 ) =u i k (∆ 0 n , ,∆ k−1 n ) với k và i bất kỳ
Ta kí hiệu P n d là tập của các quá trình đơn giản bậc n và P d =S n
P n d là tập tất cả các quá trình đơn giản
Với mỗi ω cố định, ω∈Ω, t7→U t là một phần tử của :
L 2 ([0,1],B[0,1],dt,R d ) ={ϕ: [0,1]→R d :ϕlà đo được Borel và
Khi đó trênP d ta có thể xác định một tích vô hướng bằng cách sử dụng thường xuyên trên L 2 : choU, V ∈P d , hU, Vi 1
U s i ×V s i ds chú ý rằng giá trị kết quả là một biến ngẫu nhiên.
Giờ đây ta biểu thị : L p (H d ) ={U : Ω→H d :E[kUk p H d] =E((
Khi đó,P d ⊂L p (Hd),∀p∈N. Định nghĩa 2.3.1. Đạo hàm Malliavincủa biếnF =f(∆n)∈Snlà một quá trình đơn giản{DtF}t∈[0,1] ∈
Đạo hàm Malliavin D i t, được mô tả trong phần trước, liên quan đến chuyển động Brown W i Để xác định D t i, cần phải đóng băng tất cả các nguồn kỳ vọng ngẫu nhiên thứ i Do đó, D i t thường được gọi là đạo hàm Malliavin theo hướng i của chuyển động Brown.
Tích phân Skorohodđược định nghĩa là toán tử δ:P d →S, δ(U) d
Tích phân Skorohod một chiều δ i (U i ) được định nghĩa phù hợp với chuyển động Brown W i, hoặc có thể được thực hiện tương đương trên hướng thứ i của chuyển động Brown W.
Cũng chú ý rằng bất cứ khi nàoU tương thích, ∂u k
U s i dW s i nghĩa là tích phân Skorohod trùng với tích phân Ito.
Tương tự cho những điều được viết trong Mục 2.1.2, nó cho kết quả tương tự như trong Định lý 2.1.8. Định lý 2.3.3
(i)[Đối ngẫu ] Cho bất kỳ F ∈S và U ∈P , E(hDF, Ui) = E(F δ(U))
(ii)[Quy tắc chuỗi] Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F i ∈ S, i = 1, , m và Φ∈C b 1 (R m ) Khi đó Φ(F)∈S và
(iii) [Tích phân Skorohod của một tích ]Cho U ∈P d và F ∈S, δ(F U) =F δ(U)− hDF, Ui
Các chứng minh tương tự như Định lý 2.1.8 cho thấy rằng mối liên hệ đối ngẫu có thể mở rộng các toán tử đến trường hợp vô hạn chiều Thông qua những lập luận giống như trong Mục 2.2, chúng ta có thể khẳng định rằng các toán tử D và δ là các toán tử đóng.
Tất cả các tính chất trong Định lý 2.3.3 có thể mở rộng và cho như sau Định lý 2.3.4.
(i)[Đối ngẫu ] Cho bất kỳ F ∈D 1,2 và U ∈Dom 2 (δ),
(ii)[Quy tắc chuỗi] Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F i ∈ D 1,2 , i = 1, , m và Φ∈C b 1 (R m ) Khi đó Φ(F)∈S và
(iii) [Tích phân Skorohod của một tích ] Cho U ∈Dom 2 (δ) và F ∈D 1,2 sao cho
Chúng ta sẽ nhắc lại và chứng minh bằng lập luận mật độ tương tự như trong Định lý 2.2.6 Liên quan đến ví dụ đã trình bày trong Mục 2.2.4, chúng ta sẽ xem xét vấn đề trong trường hợp nhiều chiều, tuy nhiên việc chứng minh sẽ tương tự nên sẽ không đề cập chi tiết.
Ví dụ 2.3.5[Chuyển động Brown - xem Ví dụ 2.2.9]
Cho F =W t i , t∈[0,1] Khi đó F ∈Dom 2 (D) và D j s W i t =1 i=j 1 s ≤ t.
Ví dụ 2.3.6[Tích phân Ito của các hàm bình phương khả tích - xem ví dụ 2.2.10] Cho φ∈L 2 ([0,1]) và tập W j (φ) : 1
Ví dụ 2.3.7[xem Ví dụ 2.2.11]
Ví dụ 2.3.8 [Tích phân Ito - xem ví dụ 2.2.14]
Cho U là một quá trình tương thích sao cho E(
Ta giả thiết rằng với mỗir cố định, r∈[0,1], U r ∈D 1,2 và :
(ii) Đặt τn(r) = br2 n c/2 n và U r n =Uτ n (r), Khi đó:
Khi đó,I i (U)∈D 1,2 với i= 0,1, , d và ta có:
(2.9) Đối với toán tửL Ornstein - Uhlembeck, trên lớp các hàm đơn giản S ta có:
X i=1 δi(D i F) vì vậy E(F LG) =−E(hDF, DGi) =E(LF G)
Khi đó, ta chứng minh được L là đóng, vì vậy Dom p L=S k.k L,p , trong đó F ∈S, kFk L,p =kFk p +kLFk p
Dom p L và quy tắc chuỗi đúng choL, nghĩa là Định lý 2.3.9.
Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F i ∈Dom∞L, i= 1, , mvà Φ∈ C p ∞ (R m ) Khi đó Φ(F)∈Dom∞L và
DF i , DF j đối với công thức Clark - Ocone, ta nhận được kết quả tương tự, đó là Định lý 2.3.10.
E(D t k F|F t )dW t k (ii) Nếu F ∈D 1,2 thì F là một hằng số nếu và chỉ nếu DF = 0
(iii) NếuA ∈ F 1 thì 1 A ∈D 1,2 nếu và chỉ nếu hoặc P(A) = 1 hoặc P(A) = 0.
Chúng ta sẽ thảo luận về công thức tích phân từng phần, bắt đầu với việc giới thiệu ma trận hiệp phương sai Malliavin và giả thiết không suy biến (N − D) trong trường hợp nhiều chiều.
Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F l ∈ D 1,2 Ma trận hiệp phương sai Malliavin là ma trận đối xứng xác định dương bởi 3 σ lj F DF l , DF j
Ta nói rằng σ F đáp ứng giả thiết không suy biến nếu
Nếu (2.10) đúng thì σF hầu chắc chắn khả nghịch, ta biểu thị: γF = σ F −1 Khi đó ta có: Định lý 2.3.12 [Công thức tích phân từng phần Malliavin]
Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F l ∈ D 1,∞ và G ∈ D 1,∞ Ta cũng giả sử rằng σ F i,j ∈D 1,∞ , D j F l T p∈ N
Domp(δ), j = 1, , d và điều kiện (2.5) không suy biến đối với
Ta cũng dễ có điều tổng quát sau Xétξ i = (ξ i1 , , ξ im )trong đó ξ i ∈Dom∞(δ) với bất kỳi= 1, , m Cho F = (F 1 , , F m ), và tập σ ij F,ξ DF i , ξ j d
Khi đó, ta dễ dàng thích ứng với chứng minh của công thức tích phân từng phần Malliavin để có điều sau
Định lý 2.3.13 trình bày công thức tích phân từng phần Malliavin tổng quát, trong đó F = (F₁, , Fₘ) với Fᵢ ∈ D¹,∞ và ξᵢ = (ξᵢ₁, , ξᵢₘ) với ξᵢ ∈ Dom∞(δ) cho mọi i = 1, , m Nếu σ F,ξᵢⱼ ∈ D¹,∞ cho mọi i, j = 1, , m và E(|detσ F,ξ|⁻ᵖ) < ∞ cho mọi p, thì với mọi G ∈ D¹,∞ và φ ∈ Cₚ¹(Rᵐ), chúng ta có thể áp dụng các kết quả liên quan đến ma trận σ.
Các đạo hàm bậc cao và các công thức tích phân từng phần
Đạo hàm bậc cao được định nghĩa tương tự như đạo hàm bậc nhất, bắt đầu từ các hàm đơn giản và sau đó sử dụng giới hạn để mở rộng khái niệm này Đối với hàm F thuộc không gian S n, chúng ta xác định các đạo hàm bậc cao dựa trên quy trình này.
F trong đó ∆ t,l n = ∆ k,l n với bất kỳ t ∈ t k n , t k+1 n
Nó dễ cho thấy định nghĩa không phụ thuộc vàon Rõ ràng khi đó :
D (i,j) :S→L p ([0,1] 2 ,B([0,1] 2 ), Leb2) trong đóLeb n biểu thị độ đo Lebesgue trênR n Hơn nữa ta có mối quan hệ đối ngẫu sau đây : Cho U1, U2 ∈P ta có :
Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức U 1 (t 1 )U 2 (t 2 )dbW i (t 1 )dbW j (t 2 ), trong đó dbW t biểu thị tích phân Skorohod Mặc dù không cung cấp biểu thức cho tích phân kép, ta nhắc lại rằng U1 và U2 là các quá trình đơn giản, và biến ngẫu nhiên trong L p là tùy ý Sử dụng công thức này, chúng ta có thể kiểm tra rằng D (i,j) là đóng, từ đó định nghĩa đạo hàm bậc hai và mở rộng toán tử một cách bình thường Để giảm bớt ký hiệu phức tạp, chúng ta sẽ trình bày không gian các hàm bậc hai khác biệt qua các chuẩn Sobolev, xác định trên S với chuẩn kFk p 2,p = kFk p p + E( ).
D 2,p Để định nghĩa đạo hàm bậc cao ta tiến hành tương tự Ta xem xét một đa chỉ số α= (α 1 , , α k )∈ {1, , d} k và ta biểu thị |α|=k Khi đó, choF ∈S ta xác định
Chúng tôi sử dụng lập luận đối ngẫu để kiểm tra tính đóng của D α và xác định sự mở rộng của toán tử Cuối cùng, chúng tôi xác định trên không gian S chuẩn kFk p k,p = kFk p p + k.
Không gian D ∞ được coi là không gian lý tưởng cho công việc vì khả năng lặp lại công thức tích phân từng phần Nó cung cấp một cách tiếp cận khác cho không gian C ∞ trong phân tích chuẩn Ngoài ra, D ∞ còn được xác định là một đại số.
Ví dụ 2.4.1 [Công thức Clark - Ocone gốc]
Bất kỳ F ∈ D 2,2 có thể được phân tích thành tổng của ba thành phần: hằng số (số hạng I), biến ngẫu nhiên Gauss (số hạng II, với E(D s F) là hàm xác định bình phương khả tích) và tích phân Ito lặp (số hạng III) Để chứng minh công thức này, chúng ta sẽ áp dụng công thức Clark - Ocone.
(E(D s F|F s )−E(D s F))dW s Giờ đây với mỗi s thì D s F ∈D 1,2 , vì vậy công thức Clark - Ocone cho ta
Bằng cách chèn vào trên, chúng ta có điều cần chứng minh Nếu F thuộc D ∞, về nguyên tắc, quy trình này có thể lặp lại vô hạn lần, do đó F có thể được coi là tổng vô hạn của tích phân Ito lặp (của bậc bất kỳ) của các hàm xác định Điều này thực sự đúng với các điều kiện đã nêu.
∀F ∈L 2 (Ω,F 1 ,P) và được kết nối chặt chẽ với việc khai triển Wiener hỗn độn(xem chi tiết trong ví dụ Nualart [22] hoặc Sanz - Solé [23]).
Thủ tục truy hồi dựa trên tiền công thức tích phân từng phần, trong đó σ F biểu thị ma trận hiệp phương sai Malliavin và γ F là nghịch đảo của ma trận này, được trình bày trong Định lý 2.4.2.
Giả sử rằng F 1 , , F d ∈ D ∞ , G ∈ D ∞ Cũng giả sử rằng σ i,j F ∈ D ∞ và điều kiện không suy biến (2.5) đúng choF Khi đó với mọi tập đa chỉ số α ta có :
E(∂ α f(F)G) = E(f(F)H α (F, G)) (2.15) trong đó |α|= 1 tức là α ={i};i= 1, , d;H α (F, G) =H i (F, G) cho bởi Hi(F, G) m
L p Đặc biệt, cho bất kỳ k và p, tồn tạiq và hằng số C phụ thuộc vàok, p, d sao cho : kHα(F, Gψ)k p ≤CαkGk k,q (1 +kFk 2,q ) l p,d (1 +E(|detσF| −q )
Bỏ qua việc chứng minh, bất đẳng thức cuối cùng chuyển thành dạng bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Meyer Bạn có thể tham khảo chi tiết trong ví dụ của Nualart [22] hoặc Sanz.
Quá trình khuếch tán
Cho X biểu thị lời giải của quá trình khuếch tán
Giả sử rằng cho i = 1, , m; j = 1, , d, σ j i , b i có tốc độ tuyến tính dưới, thuộc
C 2 (R m ), các đạo hàm cấp 1 và cấp 2 bị chặn.
Chú ý rằng với Giả thiết 2.5.1 ta có :
(i)x7→b(x) vàx7→σ(x)có tốc độ tuyến tính dưới và liên tục Lipschitz trên các tập compact
Hơn nữa, (x, z) 7→ b(x, z) và(x, z) 7→ σ(x, z) có tốc độ tuyến tính dưới và liên tục Lipschitz trên các tập compact
Ta có kết quả sau đây. Định lý 2.5.2.
Cho Giả thiết 2.5.1 đúng Khi đó, cho i= 1, , m;X t i ∈D 1,p với p bất kỳ Hơn nữa, cho cố định l = 1, , d và s > 0, quá trình đạo hàm Malliavin D s l X t i bằng 0 nếu t < s, còn nếu t≥s ta có
Quá trình chứng minh được phác thảo qua các bước chính, phản ánh sự phát triển tự nhiên từ Ví dụ 2.3.8 Cụ thể, cho n ∈ N và X n ≡ X, quy trình Euler bước 2 −n được xác định theo công thức (2.9).
X(t) là lời giải của phương trình vi phân, trong đó 2n + σij(X(tkn))∆k,j n (2.18) và X(0) = x Chúng ta cũng thực hiện nội suy trên tk n và tk+1 n bằng cách giữ các hệ số σji(¯X(tkn)) và bi(¯X(tkn)) là hằng số, đồng thời cho phép chuyển động Brown và thay đổi thời gian.
Chú ý rằng X(t) ∈ D 1,2 Trong thực tế, cho t∈ t k n , t k+1 n ta có :
Vì vậy, X(t) là hàm khá trơn của số gia của chuyển động Brown trên cặp khoảng và số gia của dạng W j t −W j t k n với t∈ t k n , t k+1 n
Dựa vào quy tắc chuỗi ta có
Nếu thay bởi s≤t ta có
∂ x q σ i j ( ¯X(t h n ))D l s X¯ q (t h n )∆ h,j n +σ i j ( ¯X(t h n ))D l s ∆ h,j n và tương tự đối với số hạng mà số gia làW t −W t k n TừD l s X q (t h n ) = 0 cho bất kỳ h sao cho t h n < svà D l s ∆ h,j n =1 s∈ [ t k n ,t k+1 n )1 l=j , ta có thể tiếp tục bằng cách viết
Vì vậy để chứng minh rằng X t ∈ D 1,p ta phải chứng minh X(t) hội tụ tới X t trong
L p (Ω) và đó là kết quả chuẩn liên quan đến quy trình xấp xỉ Euler (xem ví dụ ở Kloeden và Platen [13]) và DX(t) hội tụ tới DX(t) trong L p (H d ).
Bây giờ giả sửscố định và choQ s (t), t≥slà lời giải của phương trình vi phân d×m
Lời giải Q l,i s (t) tồn tại trong quá trình (X(t), Q s (t)) với t≥s, được xem là một quá trình khuếch tán, nhằm giải quyết phương trình vi phân Hệ số khuếch tán cần đáp ứng các tính chất thông thường để đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất của lời giải Cụ thể, theo Giả thiết 2.5.1, ta có sự liên tục Lipschitz trên các tập compact với tốc độ tuyến tính trong nhiều chiều, cùng với hệ số khuếch tán liên quan đến cặp (X(t), Qs(t)) Do đó, D s l X i (t) với t≥s là quy trình Euler cho Q l,i s (t), t≥s, từ đó cho phép áp dụng lập luận thông thường.
Kiểm tra nhanh các lập luận dẫn đến bất đẳng thức chỉ ra rằng C p không phụ thuộc s Bây giờ ta xác định Q s (t) =D s X(t) = 0, t≤s Khi đó ta thu được
X t ∈ D 1,p và D s X(t) = Q s (t), trong đó với t cố định, s 7→ D s X(t) là phần tử của L 2 ([0,1]) Chúng ta có phiên bản chính xác Q s (t) sao cho t 7→ Q s (t), t ≥ s là liên tục và là lời giải của một phương trình vi phân Do đó, chúng ta sẽ xem đạo hàm Malliavin của X(t) như là lời giải của (2.17) với s ≤ t.
Ta có thể miêu tả đạo hàm Malliavin theo một cách khác Đầu tiên ta nhắc lại kết quả quan trọng sau Định lý 2.5.3.
Với Giả thiết 2.5.1 đúng Khi đó tùy thuộc vào độ khuếch tán của X trên mốc ban đầu x làC 1 và đặt Y t =∂ x X t , nghĩa là:
∂x j ;i, j = 1, , m Khi đóY là lời giải của phương trình vi phân như sau:
∂σj(Xs)YsdW s j trong đó ∂bvà ∂σ j biểu thị các ma trận m×m được xác định bởi :
(∂b) ik =∂ k b i và (∂σ j ) ik =∂ k σ j i ;i, k = 1, , m;j = 1, , d tương ứng Hơn nữa, tồn tại giá trị ma trận nghịch đảo quá trình Zt =Y t −1 và thỏa mãn :
Chúng ta không cần chứng minh chi tiết, nhưng có thể nhận thấy rằng phương pháp chứng minh tương tự như chứng minh Định lý 2.5.2 Cụ thể, ta sẽ áp dụng quy trình Euler cho X, xác nhận rằng nó đạt điều kiện C 1 tại điểm khởi đầu, sau đó tìm phương trình vi phân liên quan đến Y = ∂X và cuối cùng chuyển đổi qua giới hạn.
Bây giờ ta có thể nêu rõ các kết quả sau Định lý 2.5.4.
Cho Giả thiết 2.5.1 và cho Y t =∂X t Khi đó ta có:
Cho t≥s, tập Q t =Y t Z s σ(X s ) Bằng công thức Ito:
∂σ j (X r )Q r dW j r nó được suy ra từ (2.17), phương trình tương tự thỏa mãn bởi D s X t
Cho X là lời giải phương trình vi phân dX t i =à i X t i dt+ d
Ta nhấn mạnh rằng à và σ được giả sử là cỏc hằng số Sử dụng thớch hợp cụng thức Ito ta có lời giải chính xác :
Khi đó, theo Ví dụ 2.2.8 ta có thể áp dụng quy tắc chuỗi, vì vậy
Nhưng ta có thể đi đến cùng một kết quả như vậy bằng cách sử dụng Đinh lý 2.5.4 : Giả thiết 2.5.1 được thỏa mãn và (2.20) cho ta
Công thức Clark - Ocone và danh mục đầu tư tái tạo
Cho {St} t là quá trình giá tài sản cơ bản, suy ra dS t i =à i (S t )S t i dt+ d
X j=1 σ j i (S t )S t i dW t j , i= 1, , d (3.1) với S 0 = x Giả thiết độ lệch số hạng à và ma trận thay đổi σ bị chặn và liờn tục Lipschitz, phương trình vi phân (3.1) cho lời giải duy nhất.
Từ góc độ tài chính, giả định rằng lãi suất ngắn hạn là không đổi với r t = r > 0 và ma trận a(x) = σσ ∗ (x) là elip đều, có thể xác định một độ đo martingale P ∗ duy nhất Theo đó, quá trình định giá tài sản trở thành Martingale Do đó, để làm việc với P ∗, ta có thể xem xét quá trình giá tài sản S t và các quá trình chiết khấu Se t = e −rt S t, dẫn đến phương trình dS t i = rS t i dt + d.
X j=1 σ j i (S t )Se t i dW j t , i= 1, , d (3.3) tương ứng Sử dụng công thức Ito với i= 1, , d ta có :
Công thức này cho thấy rằng nếu x∈R d + thì S t và Se t nhận giá trị trongR d +.
Chọn lựa kiểu châu Âu được biểu thị bởi ký hiệu Cho (H, T), trong đó T là thời gian thanh toán và H là biến ngẫu nhiên F t - đo được không âm liên quan đến chi trả ngẫu nhiên Một danh mục đầu tư tái tạo được định nghĩa là một tùy chọn phát sinh từ một quá trình.
- [Giả thiết kỹ thuật]φ 0 , φ 1 , , φ d là các quá trình tương thích sao choφ 0 ∈L 2 ([0, T]) và φ i ∈L 2 ([0,1]×Ω),∀i= 1, , d.
- [Tự tài trợ]dV t =rφ 0 t e rt dt+ d
- [Có thể chấp nhận] V t ≥0với ∀t ≤T
Khi đó, nếuH là bình phương khả tích 1 một danh mục đầu tư tái tạo đối với (H, T) tồn tại và cho bởi V t =E(e −r(T −t) H|F t )
Giá trị V tại thời điểm t không bị chệch và tương ứng với giá của tùy chọn (H, T) Đây là tính chất đóng của giá, nhưng vấn đề rủi ro bảo hiểm cần được xem xét Để tìm ra các cổ phiếu φ 0, φ 1, , φ d cho việc đầu tư tái tạo, trước tiên, các danh mục đầu tư giảm giá Ve t = e −rt V t cần đáp ứng các phương trình vi phân dVe t d.
Trong sự phát triển của tùy chọn giá không chệch, ta có Ve t = E(e −rT H|F t ), biểu thị cho Martingale Brown bình phương khả tích, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa giá trị hiện tại và kỳ vọng tương lai.
X j=1 Φ j s dW j s (3.5) trong đó Φ i là một quá trình tương thích sao cho Φ i ∈L 2 ([0,1]×Ω),∀i= 1, , d.
Vì vậy (3.4) và (3.5) cho ta Φ j t d
Chú ý rằngφ 1 , , φ d và V được biết sau khi biếtφ 0 : φ 0 t =Vet− d
Cái khó duy nhất trong (3.6) là chiến lược tái tạo φ 1 , , φ d từ các quá trình Φ 1 , , Φ d theo định lý đặc trưng của martingale Brown ở dạng trừu tượng Tuy nhiên, nếu lợi nhuận thỏa mãn một số tính chất trong lý thuyết Malliavin, thì công thức Clark - Ocone sẽ được chứng minh.
Chúng tôi đang áp dụng phương pháp trung hòa rủi ro, do đó, việc xác định bình phương khả tích và kỳ vọng giá cần phải dựa trên một tiêu chí nhất định để đảm bảo tính chính xác và hiệu quả.
Sử dụng công thức Clark - Ocone ta có e −rT H =E(e −rT H) +e −rT
Vì vậy Vet=E(e −rT H|Ft) =E(e −rT H) +e −rT t
Khi đó, công thức (3.5) cho ta Φ j t =e −rt E(D t j H|F t ); j = 1, , d;t∈[0, T] và (3.6) cho điều cần chứng minh.
Giả sử H = Ψ(S r), trong đó các tùy chọn giá được biểu diễn dưới dạng các số hạng của hàm giá Áp dụng tính chất Markov, ta có công thức V t = P(t, S t), với P(t, ξ) = e −r(T −t) E(Ψ(S T t, ξ)).
Bây giờ, nếu yêu cầu σ ∈ C b 2 thì S ∈ D 1,∞ và nếu hơn nữa Ψ ∈ C p 1 (R d ) thì H Ψ(S T )∈D 1,2 Vì vậy, trong trường hợp này ta có D j t H d
Theo Định lý 2.5.4, ta có công thức D_t S_T = Y_T Z_t σ(S_{b_t}), trong đó Y = ∂S biểu thị sự thay đổi đầu tiên của S, Z = Y^{-1} và σ_b là hệ số khuếch tán liên quan đến S, với σ_{b_{j i}}(x) = σ_{j i}(x)x_i Đặt Λ(x) = diag[x_1, , x_d], ta có σ(x) = Λ(x)σ(x) Do đó, D_t S_T = Y_T Z_t Λ(S_t)σ(S_t) với t ≤ T, và từ đó suy ra D_t^j H_d.
Sử dụng Định lý 3.1.1, với i= 1, , d, chiến lược tái tạo được cho bởi φ i t = e −r(T −t)
Nhưng ta có thể đi xa hơn trong việc giải thích chiến lược Trong thực tế ta chú ý rằng
Do đó, bằng cách sử dụng tính chất Markov trong (3.7) ta nhận được φ i t =e −r(T −t) E
| ξ=S 0,x t nghĩa là φ i t = ∆ i (t, St) trong đó ∆ i (t, ξ) = ∂ ξ i P(t, ξ)
P(t, ξ) là hàm giá liên quan đến tùy chọnH = Ψ(S T ).
Bằng cách khôi phục công thức Clark-Ocone cho chiến lược tái tạo trong các hạng tử của đạo hàm Malliavin, nếu hàm lợi nhuận Ψ đủ mịn, thì chiến lược tái tạo sẽ được xác định bởi hàm Delta Điều này cũng đúng với hàm lợi nhuận Ψ không mịn, chẳng hạn như trong trường hợp của lựa chọn loại kỹ thuật số.
Tính toán độ nhạy
Tập Delta
Cho X biểu thị một quá trình khuếch tán, với lời giải
Chú ý rằng chúng ta giả sử d = m, tức là X và W đều nhận giá trị trên R^d Mặc dù có thể khái quát hóa nếu bỏ điều kiện này, nhưng để đơn giản hóa, chúng ta sẽ không áp dụng phương pháp đó.
Cho Giả thiết 2.5.1 đúng và giả sử rằng hệ số khuếch tán σ khả nghịch và
Trong bài viết này, chúng ta xem xét quá trình thay đổi đầu tiên Y, được xác định bởi Y t ki = ∂ x k X t i, với δ > 0 Chúng ta cũng đề cập đến biến ngẫu nhiên G thuộc D 1,∞, không phụ thuộc vào x Điều này dẫn đến việc mọi hàm đo được φ với tốc độ đa thức đều có thể được áp dụng trong bối cảnh này.
Chứng minh Đầu tiên giả sử rằng φ ∈ C b 1 , trường hợp tổng quát sẽ đề cập sau Khi đó ta có thể bỏ qua đạo hàm của kỳ vọng, vì vậy
Sử dụng Định lý 2.5.4,Y T =D s X T σ −1 (X s )Y s với bất kỳ s < T, và khi đó d
Ta đã sử dụng quy tắc chuỗi Vì vậy d
D s l φ(X T )(σ −1 (X s )Y s ) li ds Bây giờ, bằng cách áp dụng tính đối ngẫu ta nhận được
Cuối cùng σ −1 (X s )Y s là tương thích, vì vậy Θ G i = 1
Nếu φ không thuộc lớp C b 1, ta có thể chính quy hóa φ với một số thay đổi thích hợp Bằng cách áp dụng lập luận thông thường, chúng ta sẽ chứng minh được điều cần thiết.
Ta có một hệ quả trong mô hình Black - Schole :
Giả sửb i (x) =à i x i và σ i j (x) = σ ij x i , i, j = 1, , d với σ khả nghịch Khi đú Θ i trong Định lý 3.2.1 được cho bởi Θ G i = 1
Chứng minh Đặt Γ(x) = diag[x 1 , , x d ], ta có σ(x) = Γ(x)σ, trong đó σ là ma trận thay đổi, vì vậy σ −1 (X s ) = σ −1 Γ −1 (X s ) Hơn nữa, từ Y s ij = ∂ x j X s i ta có thể viết một cách ngắn gọn Y s = Γ(X s )Γ −1 (x) Vì vậy σ −1 (X s )Y s =σ −1 Γ −1 (X s )Γ(X)Γ(x) =σ −1 Γ −1 (x)
D l s Gds và ta có ngay điều cần chứng minh.
Như một hệ quả ta có Định lý 3.2.3
Giả sử b i (x) = à i x i và σ i j (x) = σ ij x i , i, j = 1, , d với σ khả nghịch Khi đú với bất kỳφ có tốc độ đa thức với i, j = 1, , d ta có :
Từ Hệ quả 3.2.2 ta có ngay công thức (3.16) trong trường hợp G = 1 Đối với gamma, chú ý rằng
Bây giờ, G=x i Λ ∆ i là độc lập củax, vì vậy
∂ x 2 i x j E(φ(X T )) = 1 x i ∂ x j E(φ(X T )G i )−1 i=j 1 x 2 i E(φ(X T )G i ) và đặc biệt là Λ Γ ij = Θ G j i −1 i=j 1 x i Λ ∆ i Áp dụng lần nữa Hệ quả 3.2.2 ta có ngay (3.17) được chứng minh.
Trong mô hình Black-Scholes, chúng ta cần xác định rõ các đại diện cho delta và gamma trong trường hợp số chiều d=1,2 Delta thể hiện sự nhạy cảm của giá quyền chọn với biến động của giá tài sản cơ sở, trong khi gamma đo lường sự thay đổi của delta khi giá tài sản thay đổi Việc hiểu rõ mối quan hệ giữa delta và gamma là rất quan trọng để quản lý rủi ro và tối ưu hóa chiến lược đầu tư.
- Trường hợp số chiềud = 1 Ta có ngay Λ ∆ = W T xT σ và Λ Γ = Λ ∆ 2
- Trường hợp số chiều d= 2 Trong trường hợp 2 chiều, ma trận thay đổi luôn được viết như một ma trận con - đường chéo : σ
trong đó σ i là ký hiệu của sự biến động tài sản thứ i, i = 1,2 và ρ ∈ (−1,1) cho sự tương quan giữa những tiếng ồn Gauss Khi đó σ −1 = 1 σ 1 σ 2 p
1−ρ 2 Đối với gamma ta có Λ Γ ii = 1
Ví dụ,với tùy chọn thay đổi kỹ thuật số ta có : giá = e −rt E ∗ (1 S 1
T >S T 2 ) và delta, gamma kiểu Hy Lạp được cho bởi
T >S T 2 Λ Γ ij ), i, j = 1,2 trong đó E ∗ biểu thị kỳ vọng dưới biện pháp trung hòa rủi ro ( tức là biện pháp mà(S 1 , S 2 ) rỳt ra theo mụ hỡnh Black - Schole với à 1 =à 2 =r )
Một số ví dụ khác
ta thảo luận ở đây một số ví dụ cho độ nhạy đối với giá phù hợp với các tùy chọn kiểu châu Âu.
Delta cho các tùy chọn kiểu châu Á trong mô hình Black-Scholes được tính toán dựa trên giả định rằng giá tài sản S tuân theo phương trình dS_t = rS_t dt + σS_t dW_t, với S_0 = x Tùy chọn kiểu châu Á xác định lợi nhuận là một hàm φ của thời gian trong khoảng [0, T].
S u du Để đơn giản, đặt F = 1
Bằng cách chèn trong (3.18) và áp dụng công thức đối ngẫu ta nhận được
Áp dụng tính chất đối với tích ta có Λ ∆ = 2 σx
Xem xét phụ lục cuối, ta có :
hơn nữa, từdS t =rS t dt+σS t dW t , ta nhận được
S T −x σT F − r σ +σ 2 Độ nhạy đối với sự tương quan trong một mô hình biến động ngẫu nhiên
Giả sử S được suy ra như một phiên bản biến động ngẫu nhiên của mô hình Black -
Scholes dSt=rStdt+ηtStdW 1 t , S0 =x dη t =κ(θ−η t )dt+βdW t 2 trong đó W 1 và W 2 là hai chuyển động Brown có mối liên hệ tương quan, với d
Ta xem xét một tùy chọn kỹ thuật số có lợi nhuận 1[k,∞)(S T ) và ta muốn tính toán độ nhạy của tùy chọn giá đối vớiρ.
Trong trường hợp này không thể sử dụng trực tiếp Định lý 3.2.1 Vì vậy ta có thể tham gia thảo luận như sau.
Phương trình vi phân cho S và η được mô tả bởi công thức dS t = rS t dt + η t S t, trong đó S t là giá trị của tài sản tại thời điểm t, r là lãi suất và η t là độ biến động Bên cạnh đó, B1 và B2 là hai chuyển động Brown độc lập, tạo thành một chuyển động Brown hai chiều khi B = (B1, B2) được xác định bởi phép biến đổi nghịch đảo.
1−ρ 2 dB t 1 +ρdB t 2 ), S 0 =x dη t =κ(θ−η t )dt+βdB t 2 Chú ý rằngS T có thể viết như (áp dụng công thức Ito)
(3.19) Bây giờ cho bất kỳ hàm mịnφ ta có
Sử dụng (3.19) ta dễ nhận được
Ta sử dụng quy tắc chuỗiDexp(F) = exp(F)DF, mối liên hệD i s
=φ s và mối liên hệ (3.21) để thu được
Sử dụng công thức đối ngẫu đối với B 1 ta nhận được
Bây giờ, sử dụng tính chất tích phân Skorohod của một tích và quá trình tương thích, ta có δ 1
Hơn nữa, dễ thấy rằng D s 1 G=− ρ p1−ρ 2 η s vì vậy trong kết luận ta có thể nói rằng ∂ ρ E(φ(S T )) = E(φ(S T )Θ ρ ) với Θ ρ =G
0 η s −1 dB s 1 + ρT p1−ρ 2 Độ nhạy đối với sự biến động cho các tùy chọn thay đổi
Cho S 1 vàS 2 là hai tài sản tài chính sau dS t 1 =rS t 1 dt+σ 1 S t 1 dW 1 t , S 0 1 =x 1 dS t 2 =rS t 2 dt+σ 2 S t 2 dW 2 t , S 0 2 =x 2 trong đó W 1 và W 2 là hai chuyển động Brown với mối liên hệ d
Xem xét một tùy chọn trả một đô la khi S T 1 > S T 2, với số tiền phải trả là φ=1{ S T 1 >S 2 T } Chúng ta cần tính toán độ nhạy đối với biến động, cụ thể là ∂ σ 1 Π Đầu tiên, chúng ta có thể viết W 1 t =p.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai chuyển động Brown độc lập B1 và B2, với W1 và W2 là các chuyển động Brown có mối liên hệ ρ Phương trình vi phân liên quan đến S1 và S2 được biểu diễn dưới dạng dS t1 = rS t1 dt + σ1S t1 p.
, S 0 1 =x 1 dS t 2 =rS t 2 dt+σ 2 S t 2 dB t 2 , S 0 2 =x 2 Tại thời điểmT ta có
(3.24) vì ta muốn tính ∂σ 1E(1[1,∞)(ST)) Đặt Π =E(φ(S T ))
Do đó φ 0 (ST)∂σ 1ST =D s 1 (φ(ST)) p1−ρ 2 B T 1 +ρB T 2 σ1 p1−ρ 2 (3.28)
Sử dụng công thức đối ngẫu đối với B 1 , ta có
Kỳ vọng có điều kiện
Thủ tục đường chéo và các công thức cơ bản
Theo mục đích đề ra, ta hãy thiết lập
Như kết quả ban đầu, ta nghiên cứu một chuyển đổi cho phép xử lý quá trình mớiXe tại vị trí của quá trình ban đầuX :
Cho t≥ 0bất kỳ, tồn tại một hàm khả nghịch F t (.) :R d + →R d + sao cho X t =F t (Xe t ) và Xe t =G t (X t ) trong đó ta quy ước
Y j=1 z j x j e −h j t bσ ij (3.31) với i= 1, , d; y, z ∈R d + trong đó eσij = σ ij σ jj ; i, j = 1, , d; σb=σe −1 (3.32)
Giả sử d = 1, ta có mô hình X_t = xe^{a t} + σW_t, với a ∈ R, x, σ ∈ R+ và W là chuyển động Brown một chiều Nếu f, g : R → R, trong đó f có tốc độ đa thức và g có đạo hàm liên tục, thì với bất kỳ 0 < s < t, chúng ta có thể áp dụng các tính chất của hàm số này trong nghiên cứu.
E(f(Xt)g 0 (Xs)) =E f(Xt)g(Xs) ∆W s,t σs(t−s)X s trong đó ∆W s,t = (t−s)(W s +σs)−s(W t −W s ) Như một hệ quả, cho cố định bất kỳα∈R ta có công thức sau
Việc chứng minh bao gồm áp dụng hai lần công thức tích phân từng phần, lần đầu trên khoảng [0, s]và lần thứ hai trên [s, t]
(i) Công thức tích phân từng phần trên [0, s]
Ta có Drg(Xs) = g 0 (Xs)σXs với bất kỳ r < s Do đó g 0 (Xs) s
D r g (X s ) σsX s dr và bằng phương pháp đối ngẫu
D r f(X t ) σsXs dr trong đó ta đã sử dụng thực tế rằng δ(F) = F δ(1)− s
D r F dr áp dụng choF = f(X t ) σsX s Bây giờ nhắc lại rằng D r X u =σX u với r < u, ta nhận được
Bây giờ ta xử lý số hạng (*), nó "xấu" bởi vì sự có mặt của đạo hàm củaf : bây giờ ta sẽ bỏ qua nó.
(ii) Công thức tích phân từng phần trên [s, t]
Bằng cách dùng lập luận tương tự trên nhưng trên [s, t], ta có thể viết
=E f(X t ) g(X s ) σ(t−s)X s (W t −W s ) trong đó ta đã sử dụng thực tế rằng Dr g(X s ) σ(t−s)X s
= 0, r ∈(s, t) Bằng cách chèn số hạng (*) vào số hạng này ta có kết luận
Để đạt được kết quả này, chúng ta giả định rằng f là đầy đủ, điều này không đúng trong trường hợp tổng quát Tuy nhiên, điều này không phải là vấn đề lớn: chúng ta có thể hợp lý hóa bằng cách giảm độ phù hợp và áp dụng lập luận về mật độ, từ đó có thể chứng minh điều cần thiết.
Bây giờ ta sẵn sàng ghi kết quả chính thức của phần này Định lý 3.3.3 [Công thức I: không địa phương]
Cho 0< s < t,Φ∈ε b (R d ) và α ∈R d + cố định Tập : Xe s =G s (X s ) và αe s =G s (α), G s được xác định trong (3.31),H(ξ) =1ξ≥0, ξ∈R,σb như trong (3.32) và
∆W i s,t = (t−s)(W s i +σ ii s)−s(W i t −W s i ), i= 1, , d (3.33) Khi đó công thức liên hệ đối với kỳ vọng có điều kiện như sau :
Ta đặt Φe t (y)≡Φ(y) = Φe ◦F t (y), y ∈R d +, F t được xác định trong (3.31)
Từ X t =F t (Xe t ) với t tùy ý, rõ ràng ta có
E(Φ(Xt)|Xs=α) = E Φ(e Xet)|Xes =Gs(α)
(nhắc lại rằng G s =F s −1 ) Vì vậy, đặt αe s =G s (α), điều đó đủ chứng minh rằng
Tes,t[1] (α)e (3.35) trong đó Tes,t[f] (α) =e E f(Xe t ) d
Giả sử rằng Φ(y) = e Φe 1 (y 1 ) Φe d (y d ), có nghĩa là Φe có thể được phân tách thành tích của các hàm, mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến đơn và thuộc ε b (R) Trong trường hợp này, có thể thấy rõ ràng rằng
Xem xét E(Φe i (Xe t i )|Xe s i =αe i s ) với i cố định, i = 1, , d Giả sử {h n} n là một dãy các hàm mật độ xác suất C ∞ trên R, hội tụ yếu tới lượng Dirac tại 0 khi n → ∞.
Xe s i −αe i s Đặt H n là hàm phân phối xác suất liên quan tới h n , ta phải xử lý những đại lượng như E f(Xe t i )H n 0 (Xe s i −αe i s )
Vì quá trìnhXe i là những dạng tương tự như những đại lượng ta nghiên cứu trong Bổ đề 3.3.2, ta có thể áp dụng điều đó :
Bằng cách áp dụng định lý hội tụ làm trội Lebesgue, ta có
trong đó H(ξ) = lim δ→0H δ (ξ) =1ξ≥0 Vì vậy
Te s,t [1] (α)e vì vậy (3.35) đúng khi Φ(y) =e Φe 1 (y 1 ) .Φe d (y d ).
Trong trường hợp tổng quát, với tham số mật độ Φe ∈ ε b (R d ), tồn tại dãy hàm n Φe n o n ⊂ε b (R d ) sao cho Φe n (Xe t ) hội tụ về Φ(e Xe t ) trong không gian L 2 Mỗi hàm Φe n là tổ hợp tuyến tính của các hàm tách biến Do công thức đại diện (3.35) áp dụng cho bất kỳ Φe n, việc chuyển qua giới hạn cho phép khẳng định rằng nó cũng đúng cho Φe Điều này cần được chứng minh.
Công thức địa phương
Bài viết này thảo luận về các công thức liên quan đến hàm địa phương, đặc biệt là hàm địa phương dạng tích Đầu tiên, chúng ta sẽ trình bày công thức địa phương cho toán tử Ts,t[f](α) Đặt L1 ψ : R→[0,+∞) với ψ ∈ C1(R) và ψ(+∞) = 0.
Q i=1 ψi(x i ), ψi ∈L1,∀i} Ta có Định lý 3.3.4 [Công thức II : địa phương ]
Cho bất kỳ0≤s < t,Φ∈ε b , α∈R d + và cho bất kỳ ψ ∈L d ta có
(3.36) trong đó Ψ i biểu thị hàm phân bố xác suất liên quan đến ψ i : Ψ i (y) y
Chứng minh dưới đây từ cơ sở thực tế : trong trường hợp số chiềud = 1, Bổ đề 3.3.2 cho ta
E(f(Xt)g 0 (Xs−α)) =E(f(Xt)(g−Ψ) 0 (Xs−α)) +E(f(Xt)ψ(Xs−α))
Bây giờ sử dụng đẳng thức này, việc chứng minh của Định lý 3.3.3 có thể được lặp đi lặp lại và ta có điều cần chứng minh.
Chú ý rằng về nguyên tắc các hàm có thể địa phương hóa khác nhau cho mỗi toán tử, đó là E(Φ(X t )|X s =α) = T ψ s,t 1 [Φ] (α)
Trong việc phân tích hàm địa phương, điều quan trọng là xem xét tính ứng dụng của nó, đặc biệt là trong thực tế như giá thanh toán ngẫu nhiên kiểu Mỹ, nơi mà công thức không địa phương thường không hiệu quả Thực tế cho thấy, thuật toán thổi giá có thể gặp khó khăn khi không sử dụng hàm địa phương.
Khi lựa chọn một sản phẩm hoặc dịch vụ, câu hỏi quan trọng là cách thức thực hiện lựa chọn đó Chúng ta sẽ thảo luận về vấn đề này mà không cần chứng minh, có thể tham khảo thêm thông tin từ các nguồn như Bally, Caramellino và Zanette.
Ta hãy bắt đầu từ kết quả của Định lý 3.3.4 : Để tính E(Φ(X t )|X s =α) ta đánh giá
Mục tiêu của bài viết này là tìm hàm địa phương ψ nhằm giảm phương sai, thông qua việc tối ưu hóa trong trường hợp một chiều theo phương pháp của Kohatsu - Higa và Petterson [15] Việc này được thực hiện bằng cách tìm hàm địa phương ψ để cực tiểu hóa phương sai tích hợp.
dσ.e (3.37) lên đến hằng số ( đối với hàm ψ) số hạng từ T ψ s,t[f] (α) = Ts,t[f] (α) Khi đó ta có kết quả sau đây Định lý 3.3.6
Khi đó ta có inf ψ∈L d I d f (ψ) =I d f (ψ ∗ ) trong đó ψ ∗ (x) d
Q j=1 ψ j ∗ (x j ) với ψ ∗ j (ξ) = λ ∗ j e −λ ∗ j |ξ|/2 là một hàm mật độ xác suất
Laplace trênR và λ ∗ j =λ ∗ j [f] có hệ phương trình tuyến tính sau đây : λ ∗2 j E f 2 (X t )Θ 2 s,t;j Q i:i6=j λ ∗2 j + Θ 2 s,t;i
Trong trường hợp f = 1, giá trị tối ưu có thể viết một cách rõ ràng
Mục đích thực sự, dấu hiệu số chỉ ra rằng chọn λ ∗ = 1
Để thực hiện công việc hiệu quả, cần tránh làm quá tải thuật toán bằng cách giảm bớt các kỳ vọng cần tính toán Khi f = 1, điều này được rút ra từ Hệ quả 3.3.7 Trong trường hợp tổng quát, Định lý 3.3.8 cung cấp một giải thích lý thuyết rõ ràng về vấn đề này.
Cho bất kỳ j = 1, , d, ta có λ ∗ j [f] = O 1√ t−s khi t → s Hơn nữa, nếu f liên tục thì σ→0limlim t→s λ ∗ j [f] λ ∗ j [1] = 1
Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:
1) Nêu được các công thức tích phân từng phần trừu tượng cho cả trường hợp một chiều, nhiều chiều Áp dụng công thức tích phân từng phần trừu tượng để nghiên cứu : vấn đề độ nhạy, mật độ của phân bố, kỳ vọng có điều kiện.
2) Giải tích Malliavin trong cả trường hợp hữu hạn chiều, vô hạn chiều hay chuyển động Brown nhiều chiều đều đưa ra được các định nghĩa : Đạo hàm Malliavin của biến ngẫu nhiên, tích phân Skorohod và các tính chất Công thức tích phân từng phần Malliavin cả trường hợp riêng và trường hợp tổng quát Nghiên cứu được quá trình khuếch tán và phân tích hỗn độn Wiener.
3) Áp dụng các kiến thức Chương 1 và Chương 2 vào nghiên cứu để tìm ra Danh mục đầu tư tái tạo giúp cho người đầu tư biết phải mua vào những cổ phiếu nào và bán ra những cổ phiếu nào Nghiên cứu được độ nhạy của giá cổ phiếu, nghiên cứu được kỳ vọng có điều kiện.
[1] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến: Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004.
[2] Trần Hùng Thao: Nhập môn Toán học Tài chính, NXB Khoa học và kỹ thuật, 2004.
[3] Đặng Hùng Thắng: Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013.
[4] V Bally: An elementary introduction to Malliavin calculus Rapport de recherche
[5] V Bally, M.P Bavouzet, M Messaoud: Integration by parts formula for locally smooth laws and applications to sensitivity computations Annals of Applied Probability, 17, 33-66, 2007.
[6] V Bally, L Caramellino, L Lombardi: An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance, 2010.
[7] V Bally, L Caramellino, A Zanette: Pricing and Hedging American Options by Monte Carlo methods using a Malliavin calculus approach.Monte Carlo Methods and Applications, 11, 121-137, 2005.
[8] M.P Bavouzet-Morel, M Messaoud: Computation of Greeks uning Malliavin’s calculus in jump type market models Electronic Journal of Probability, 11, 276-
[9] K Bichteler, J.-B Gravereaux, J Jacod Malliavin calculus for processes with jumps Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1987.
[10] B Bouchard, I Ekeland, N Touzi: On the Malliavin Approach to Monte Carlo Approximation of Conditional Expectations.Finance and Stochastics, 8, 45-71, 2004.
[11] N Chen, P Glasserman Malliavin Greeks without Malliavin calculus.Stochastic Processes and their Applications, 117, 1689-1723, 2007.
[12] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions, N Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance Finance and Stochastics,
[13] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance II Finance and Stochastics, 5, 201 -
[14] P.E Kloeden, E Platen:Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations. Applications of Mathematics, Stochastic Modeling and Applied Probability 23, Springer, 1991.
[15] A Kohatsu-Higa, R Petterson: Variance Reduction Methods for Simulation of Densities on Wiener Space SIAM Journal of Numerical Analysis, 4, 431-450, 2002.
[16] S Kusuoka, D Strook: Applications of the Malliavin calculus II J Fac Sci. Univ Tokyo Sect IA Math., 32, 1–76, 1985.
[17] N Ikeda, S Watanabe:Stochastic differential equations and diffusion processes. North Holland, second ed 1989.
[18] D Lamberton, B Lapevre.Introduction to stochastic calculus applied to finance. Chapman and Hall, London, 1996.
[19] P-L Lions, H Reqnier: Calcul du Prix et des Sensibilit’es d’une option Am’ericaine par une M’ethode de Monte Carlo Preprint, 2000.