Giải tích malliavn và ứng dụng

Những ứng dụng này hơi khác nhữngphương pháp trước đó bởi công thức tích phân từng phần trong giải tích Malliavinđược dùng để giải thích một cách chắc chắn các vấn đề trong thuật toán ph

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục lục

Lời nói đầu iii

1 Công thức tích phân từng phần trừu tượng 1 1.1 Trường hợp một chiều 1

1.1.1 Vấn đề độ nhạy 3

1.1.2 Mật độ của phân bố 4

1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện 8

1.2 Trường hợp nhiều chiều 9

2 Giải tích Malliavin Brown 12 2.1 Trường hợp hữu hạn chiều 12

2.1.1 Các định nghĩa và các tính chất 12

2.1.2 Các toán tử vi phân Các tính chất cơ bản 14

2.2 Trường hợp vô hạn chiều 18

2.2.1 Miền xác định tập Domp(D) = D1,p 19

2.2.2 Miền xác định tập Domp(δ) 20

2.2.3 Các tính chất 20

2.2.4 Các ví dụ 25

2.2.5 Công thức Clark - Ocone 30

2.2.6 Miền xác định tập Domp(L) 31

2.2.7 Công thức tích phân từng phần 33

2.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 34

2.4 Các đạo hàm bậc cao và các công thức tích phân từng phần 41

2.5 Quá trình khuếch tán 44

2.6 Phụ lục Phân tích hỗn độn Wiener (Wiener chaos decomposition) 48

3 Áp dụng vào Tài chính 53 3.1 Công thức Clark - Ocone và danh mục đầu tư tái tạo 53

3.2 Tính toán độ nhạy 57

3.2.1 Tập Delta 59

3.2.2 Một số ví dụ khác 63

3.3 Kỳ vọng có điều kiện 69

3.3.1 Thủ tục đường chéo và các công thức cơ bản 69

3.3.2 Công thức địa phương 74

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích Malliavin được hình thành từ những năm 70 của thế kỷ XX và đến nhữngnăm 80, 90 một lượng khổng lồ các công việc đã được thực hiện trong lĩnh vực này Lýthuyết phần lớn được xây dựng trên tính toán ngẫu nhiên Itô nhằm mục đích nghiêncứu cấu trúc cũng như phân bố của không gian các hàm Wiener Đầu tiên năm 1974,Malliavin đã dùng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối để chứng minh rằng dưới điều kiệnHormander phân bố của quá trình khuếch tán có mật độ mịn và với cách này ông đãchứng minh được định lý xác suất Hormander Sau đó người ta đã dùng phương phápgiải tích này trong nhiều bài toán khác nhau có liên quan tới quá trình ngẫu nhiên.Cuối cùng người ta đã tìm ra ứng dụng của giải tích Malliavin trong phương pháp sốxác suất, chủ yếu trong lĩnh vực toán tài chính Những ứng dụng này hơi khác nhữngphương pháp trước đó bởi công thức tích phân từng phần trong giải tích Malliavinđược dùng để giải thích một cách chắc chắn các vấn đề trong thuật toán phi tuyến

Bố cục luận văn gồm ba chương :

Chương 1: “Công thức tích phân từng phần trừu tượng ” Chương này nhằmgiới thiệu công thức tích phân từng phần trừu tượng Từ đó ta đưa ra được những kếtquả quan trọng như : vấn đề độ nhạy, mật độ của phân bố và kỳ vọng có điều kiện.Chương 2: “Giải tích Malliavin Brown” Chương này đưa ra các khái niệm về cáchàm đơn giản, các quá trình đơn giản, từ các khái niệm này người ta mới đưa ra địnhnghĩa đạo hàm Malliavin Tiếp theo đưa ra định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan

hệ giữa tích phân Skorohod với tích phân Itô, từ mối quan hệ này ta thấy được tíchphân Skorohod là mở rộng của tích phân Itô như thế nào Áp dụng công thức tíchphân từng phần trừu tượng để suy ra được các tính chất quan trọng của tích phânnhư : công thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark – Ocone và công thức tíchphân từng phần Malliavin Ngoài ra chương 2 còn giới thiệu quá trình khuếch tán vàphân tích hỗn độn Wiener, các tập Domp(D), Domp(δ), Domp(L)

Chương 3: “Áp dụng vào tài chính” Ta áp dụng các kết quả của chương 1 và

chương 2 vào chương này Trước tiên áp dụng công thức Clark – Ocone để tìm danhmục đầu tư tái tạo, tức là tìm được những cổ phiếu φitđể lựa chọn việc đầu tư tái tạo;tìm giá của tùy chọn (H, T ) kiểu châu âu tại thời điểm t, nghĩa là tại kỳ hạn thanhtoán T tương ứng với chi trả ngẫu nhiên H Áp dụng việc tính toán độ nhạy ở chương

1 và công thức tích phân từng phần Malliavin để tính toán độ nhạy Việc tính toán

độ nhạy cho ta biết phương án đầu tư có an toàn hay không, khi độ nhạy thấp thìphương án đầu tư là an toàn ngược lại khi độ nhạy cao thì cần tính đến việc thay đổiphương án đầu tư khác Một áp dụng nữa là tính kỳ vọng có điều kiện, tính kỳ vọng

có điều kiện giúp ta quyết định có bán cổ phiếu theo giá bảo hiểm hay không

Luận văn được dựa trên cơ sở chính là tài liệu "An Introduction to Malliavin Calculusand its applications to Finance" của các tác giả : Vlad Bally trường đại học Paris - EstMarne - la - Vallée, Lucia Caramellino trường đại học Roma -Tor Vergata và LuanaLombardi trường đại học L’Aquila

Tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trường đại học Khoa học

tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô viện Toán học đã trang bị kiếnthức, dìu dắt tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại đây, đặc biệt là thầy

TS Nguyễn Thịnh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi hoàn thành luận vănnày

Hà Nội, ngày 01 tháng 7 năm 2015

Bùi Hùng Cường

H0(F ) = 1, Hk(F ) = H(F ; Hk−1(F )), k ≥ 1

- Nếu có công thức IP (F ; G) thì từ E(H(F ; G)) = 0 suy ra G = 1 ở (1.1)

Hơn nữa, H(F ; G) trong IP (F ; G) không phải là duy nhất : Với bất kỳ biến ngẫunhiên R thỏa mãn E(φ(F )R) = 0 (nghĩa là E(R |F ) = 0) ta cũng có thể sử dụng nhưH(F ; G) + R ( thực tế E(H(F ; G) |F )) là duy nhất ) Trong số học điều này đóng vaitrò quan trọng bởi vì nếu ta muốn tính E(φ(F )H(F ; G)) sử dụng phương pháp MonteCarlo thì nó có thể cho ta phương sai tối thiểu Cũng lưu ý rằng để thực hiện thuậttoán Monte Carlo ta có mô phỏng F và H(F ; G) Trong một số trường hợp, H(F ; G)

có thể tính toán trực tiếp Nhưng giải tích Malliavin cho ta một hệ thống phép toán

để tính toán điều này Thường trong các ứng dụng F là lời giải của phương trình ngẫunhiên và H(F ; G) xuất hiện như một sự tổng hợp của các toán tử vi phân trên F Những điều này cũng có liên quan tới các phương trình ngẫu nhiên và vì vậy ta có thể

sử dụng một số xấp xỉ của các phương trình để tạo ra các thuật toán cụ thể

Ví dụ: Cho f = ∆ và G = g(∆) trong đó f, g là các hàm khả vi và ∆ là biến ngẫunhiên Gauss có kỳ vọng 0 của phương sai σ Khi đó:

p(x) = √ 1

2πσ2exp(−x

2

2σ) ta có :E(f0(∆)g(∆)) =R f0(x)g(x)p(x)dx

= −R f (x)(g0(x)p(x) + g(x)p0(x))dx

= −R f (x)[g0(x) + g(x)p

0(x)p(x)]p(x)dx

= E(f (∆)[g(∆)∆

σ − g0(∆)])Giải tích Malliavin tạo ra H(F ; G) cho một lớp lớn các biến ngẫu nhiên - (1.3) đạidiện cho ví dụ đơn giản kiểu này, nhưng đó không phải là mục tiêu của phần này Ởđây ta chỉ đưa ra một vài hệ quả của tính chất trên

Cách tiếp cận theo từng quỹ đạo : giả sử rằng x 7→ Fx(ω) là khả vi hầu khắp nơi

ω ( và đây là trường hợp x 7→ Xtx(ω) trong ví dụ) và φ cũng khả vi Khi đó :

∂xE(φ(Fx)) = E (φ0(Fx)∂xFx)

nhưng cách tiếp cận này không thực hiện được nếu φ không khả vi

Cách tiếp cận theo phân bố : vượt qua trở ngại trên nhờ sử dụng sự uyển chuyểnmật độ của phân bố của Fx Vì vậy trong cách tiếp cận này ta giả thiết rằng Fx ∼

px(y)dy và x 7→ px(y) là khả vi với mỗi y

Khi đó:

∂xE(φ(Fx)) =

Zφ(y)∂xpx(y)dy =

Zφ(y)∂xln px(y)px(y)dy = E (φ(Fx)∂xln px(F ))

Đôi khi người ta gọi ∂xln px(F ) là hàm điểm Nhưng cách làm này chỉ dùng được khi

ta biết mật độ của phân bố của Fx Nếu không biết mật độ của phân bố của Fx thì

sử dụng công thức tích phân từng phần IP (Fx; ∂xFx) ta có đẳng thức :

∂xE(φ(Fx)) = E (φ0(Fx)∂xFx) = E (φ(Fx)H(Fx; ∂xFx))

Ta thấy rằng đẳng thức trên đúng ngay cả khi φ không khả vi bởi vì không có đạohàm của các số hạng đầu và cuối Trong thực tế ta có thể sử dụng một số lập luậnthông thường và sau đó chuyển qua giới hạn Do đó ta thu được H(Fx; ∂xFx)

Giải tích Malliavin như một cái máy cho phép tính toán số lượng lớn các lớp biếnngẫu nhiên cho trường hợp mật độ của phân bố không biết một cách rõ ràng (ví dụnhư quá trình khuếch tán) Đây là cách tiếp cận trong Fourni’e, [12] và [13] đối vớitính toán kiểu Hy Lạp (độ nhạy của giá của người châu Âu và lựa chọn của người Mỹvới các tham số nhất định) trong các vấn đề Toán tài chính

Để có suy luận chính xác, ta làm theo hàm Dirac Vì vậy ta có một hàm dương

φ ∈ Cc∞(R) nhận giá trị không đổi trên [-1;1] Như vậy R φ(y)dy = 1 và với mỗi δ > 0

ta xác định φδ(y) = δ−1φ(yδ−1) Hơn nữa ta xác định Φδ là nguyên hàm của φδ,

E(f (F )) =

Z

f (z)E(1[z;∞)(F )H(F ; 1))dz

với bất kỳ f ∈ Cc∞(R), vì vậy z → E(1[z;∞)(F )H(F ; 1)) là hàm mật độ xác xuất của

F , nó cũng là hàm liên tục Thật vậy, nếu zn → z ta có 1[zn;∞)(F ) → 1[z;∞)(F ) Vìvậy áp dụng định lý hội tụ Lebesgue, ta có:

p(zn) = E(1[zn;∞)(F )H(F ; 1)) → E(1[z;∞)(F )H(F ; 1)) = p(z)

tức p là hàm liên tục

Cuối cùng, nếu z → +∞ thì 1[z;∞)(F ) → 0 và khi đó p(z) → 0

Nếu thay bằng z → −∞ thì ta sử dụng lập luận tương tự nhưng biểu diễn là :

điều đó được suy từ thực tế sau 1[x;+∞) = 1 − 1(−∞;x) và nhắc lại rằng E(H(F ; 1)) = 0(Xem Nhận xét 1.1.2) Ta có điều cần chứng minh

Nhận xét 1.1.4 [Bị chặn]

Giả sử rằng H(F ; 1) là bình phương khả tích Khi đó sử dụng bất đẳng thức Chebishev

Bây giờ ta nghiên cứu xa hơn nữa và nghiên cứu vấn đề đạo hàm của hàm mật độ

Bổ đề 1.1.5:

Giả sử ta có công thức IPi(F ; 1), i = 1, , k + 1 Khi đó mật độ là khả vi bậc k và :

p(i)(x) = (−1)iE(1(x;∞)(F )Hi+1(F ; 1)), i = 0, 1, , k (1.7)

và ta đã hoàn thành chứng minh với i = 1.

Để lấy đạo hàm bậc cao, ta sử dụng thêm tích phân từng phần để nhận được :

p (z) = E (ηi(F − z) Hi+1(F; 1))

trong đó ηi là hàm khả vi bậc i sao cho : ηi(i)(x) = (−1)i1[0;∞)(x)

Ta có ngay điều cần chứng minh

Nhận xét 1.1.6 [Bị chặn]

Công thức biểu diễn tích phân (1.7) cho phép có được giới hạn trên của các đạo hàmcủa mật độ p Đặc biệt giả sử F hữu hạn với bậc tùy ý và thỏa mãn công thức IPi(F ; 1)với ∀i ∈ N và Hi(F ; 1) là bình phương khả tích Khi đó p là khả vi vô hạn và :

E(f0(F )) =R f0(x)p(x)dx

= −R f (x)p0(x)dx

= −R f (x)p

0(x)p(x)1(p>0)(x)p(x)dx

= −E(f (F )p

0(F )p(F )1(p>0)(F ))

Vì vậy ta có công thức IP (F ; 1) với H(F ; 1) = −p

0(F )p(F )1(p>0)(F ) ∈ L

1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện

Điều cốt yếu của việc tính toán kỳ vọng có điều kiện là để giải thích một cách chắcchắn các vấn đề phi tuyến từ các thuật toán lập trình động lực học Một số tác giả (xem Fourni’e [13], Lion và Regnier [19], Bally [5], Kohatsu - Higa và Petterson [15],Bouchard [10]) đã sử dụng các công thức dựa trên các kỹ thuật giải tích Malliavin đểtính toán các kỳ vọng có điều kiện Trong phần này ta đưa ra dạng trừu tượng củacông thức này

Chứng minh:

Cho θ(x) đại diện cho số hạng bên trái của đẳng thức trên Ta có thể kiểm tra rằngvới ∀f ∈ Cc∞(R) ta có E(f (F )G) = E(f (F )θ(F )) Sử dụng các hàm quy tắc từ việcchứng minh Bổ đề 1.1.3 ta có :

1.2 Trường hợp nhiều chiều

Trong phần này ta nghiên cứu với biến ngẫu nhiên d chiều F = (F1, F2, , Fd) Cáckết quả liên quan đến mật độ của phân bố và kỳ vọng có điều kiện là khá giống nhau

Ta giới thiệu một số ký hiệu Cho i = 1, , d Ta đặt ∂i ≡ ∂

∂xi

Cho một đa chỉ số

α = (α1, , αk) ∈ {1, , d}k, ta biểu thị |α| = k và ∂α = ∂α1 ∂αk với quy ước rằng

∂0 là phần tử đơn vị Bây giờ ta định nghĩa tích phân từng phần như sau :

Định nghĩa 1.2.1

Cho F : Ω → Rdvà G : Ω → R là các biến ngẫu nhiên khả tích Cho α ∈ {1, , d}k, k ∈

N là một đa chỉ số Ta nói rằng ta có công thức tích phân từng phần IPα(F ; G) nếutồn tại biến ngẫu nhiên khả tích Hα(F ; G) sao cho :

ii) Giả sử rằng với mọi tập đa chỉ số α ta có công thức IPα(F ; 1) Khi đó ∂αp tồn tại

và được cho bởi :

∂αp(x) = (−1)|α|E(1I(x)(F )H(α+1)(F ; 1)) (1.12)

trong đó (α + 1) =: (α1+ 1, , αd+ 1) Hơn nữa, nếu Hα(F ; 1) ∈ L2(Ω) và F có bậchữu hạn tùy ý thì p ∈ S, S là không gian Schwartz của các hàm khả vi vô hạn màgiảm đến vô hạn cùng với tất cả các đạo hàm

Chứng minh :

i) Lập luận chính của chứng minh phần (i) là dựa trên cơ sở δ0(y) = ∂(1, ,1)1I(0)(y) vàcông thức tích phân từng phần Để chặt chẽ, ta có thể sử dụng quy tắc hàm Diracnhư trong chứng minh Bổ đề 1.1.3

ii) Để chứng minh (ii) ta có thể sử dụng như " phân phối Schwartz" lập luận nhưchứng minh Bổ đề 1.1.5

Cuối cùng, để thu được giới hạn ta viết :

|∂αp(x)| ≤pP(F1 > x1, , Fd> xd) H(α+1)(F ; 1) 2

Nếu x1 > 0, , xd > 0 bất đẳng thức Chebishev cho ta |∂αp(x)| ≤ Cq|x|−q, ∀q ∈ N.Nếu tọa độ của x không dương ta có thể sử dụng phương sai của (1.12) mà (−∞; xi]thay cho (xi; ∞)

F = x) = E(1I(x)(F )H(1,2, ,d)(F ; G))

E(1I(x)(F )H(1,2, ,d)(F ; 1)) (1.13)với quy ước số hạng bên phải bằng 0 khi mẫu bằng 0

Chương 2

Giải tích Malliavin Brown

2.1 Trường hợp hữu hạn chiều

Trong phần này ta giới thiệu những hàm đơn giản hữu hạn chiều và quá trình đơngiản hữu hạn chiều Ta định nghĩa đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod cho cácđối tượng hữu hạn chiều và ta thu được những tính chất quan trọng của tích phânnhư : công thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark - Ocone và công thức tíchphân từng phần

độ đo 0 Để đơn giản các ký hiệu, ta giả sử trong trường hợp này d = 1 Trường hợpnhiều chiều sẽ đề cập sau trong Mục 2.3

Với mỗi n, k ∈ N ta biểu thị tk

n= k2−n và :

∆kn = W(tk+1n ) − W(tkn), k = 0, , 2n− 1

Một hàm đơn giản cấp n là một biến ngẫu nhiên dạng F = f (∆n), trong đó

f ∈ Cp∞(R2n) Ta biểu thị không gian Sn của các hàm đơn giản bậc n bởi :

Sn = {F = f (∆n) : f ∈ Cp∞(R2n)}

và định nghĩa không gian của tất cả các hàm đơn giản là : S = ∪

n∈NSnNhận xét 2.1.2

1 Sn⊂ Sn+1 , thật vậy ta có :

[tkn, tk+1n ) = [t2kn+1, t2k+1n+1 ) ∪ [t2k+1n+1 , t2k+2n+1 )

Vì vậy

F = f ( , ∆kn, ) = f ( , ∆2kn+1+ ∆2k+1n+1 , )

2 S ⊂ Lp(Ω, F1, P), ∀p ≥ 1 là một hệ quả của thực tế rằng f có tốc độ đa thức và bất

kỳ biến ngẫu nhiên Gauss có bậc hữu hạn tùy ý

3 S là tập con tuyến tính trù mật của L2(Ω, F1, P) Có một vài cách để chỉ ra tínhhợp lý của khẳng định này, xem chứng minh ở Phụ lục 2.6 (Xem tiếp ở Định lý 2.6.4).Định nghĩa 2.1.3

Một quá trình U : [0; 1] × Ω → R được gọi là một quá trình đơn giản bậc n nếuvới bất kỳ k = 0, , 2n− 1 tồn tại một quá trình Uk ∈ Sn sao cho :

2.1.2 Các toán tử vi phân Các tính chất cơ bản

Bây giờ ta có thể giới thiệu đạo hàm Malliavin và toán tử liên hợp của nó, tích phânSkorohod

, t ∈ [tk

n, tk+1

n )

n tương ứng với số gia của W theo t Do

đó ta có thể sử dụng ký hiệu sau đây :

DtF = ∂F

∂∆t n

(∆n) ≡ ∂f

∂∆k n

Nhận xét 2.1.7 (Tích phân Skorohod và tích phân Ito)

Ta đã chú ý rằng quá trình U ∈ Pn là Ft- tương thích nếu và chỉ nếu uk(∆n) chỉ phụthuộc vào các biến ∆1

Bây giờ ta có thể chứng minh mối liên hệ giữa đạo hàm Malliavin với tích phân

Skorohod và nghiên cứu những tính chất trực tiếp của các toán tử.

Định lý 2.1.8

(i) [Đối ngẫu] Với bất kỳ F ∈ S và U ∈ P ta có :

E(hDF, U i) = E(F δ(U ))(ii) [Quy tắc chuỗi] Cho F = (F1, , Fm) trong đó Fi ∈ S, i = 1, , m và Φ ∈

(i) Cho n là một số nguyên sao cho F ∈ Sn và U ∈ Pn Khi đó :

hn − ∂uk

∂xk(∆n)])Bằng cách thay thế ta có :

Khi đó :

E[Gδ(F U )] = E[G(F δ(U ) − hDF, U i )]

với bất kỳ G ∈ S và suy ra (iii) được chứng minh

Bây giờ ta đã sẵn sàng để chứng minh công thức tích phân từng phần đầu tiên trongMalliavin Cho F = (F1, , Fm) trong đó Fi ∈ S, i = 1, , m Tập σF như là hệ matrận cỡ m × m sau đây :

2

dt ≥ 0

Định lý 2.1.9 [Công thức tích phân từng phần Malliavin]

Cho F = (F1, , Fm) và G sao cho : F1, , Fm, G ∈ S Giả sử rằng σF là khảnghịch và γF là nghịch đảo của σF Hơn nữa giả sử rằng γF ∈ S Khi đó với mọi

φ ∈ Cb1(Rm) ta có :

E(∂φ

∂xi(F )G) = E(φ(F )Hi(F ; G))với Hi(F ; G) = δ(

m

P

j=1

γFjiGDFj)Chứng minh

2.2 Trường hợp vô hạn chiều

Công thức đối ngẫu là công thức được sử dụng để chỉ ra toán tử D, δ là các toán tửđóng và tính chất cuối cùng cho phép ta mở rộng ra trường hợp vô hạn chiều, nghĩa

là cho biến ngẫu nhiên và quá trình không nhất thiết phải phụ thuộc vào các số giacủa chuyển động Brown nhưng phụ thuộc vào tổng những cách thực hiện

Ta hãy bắt đầu bằng những dữ kiện sau đây, ta thấy rằng:

D và δ là hai toán tử đóng, nghĩa là :

(i) Nếu {Fn}n ⊂ S sao cho: lim

Chứng minh

(i) Cho {Fn}n ⊂ S sao cho: lim

n Fn = 0 trong L2(Ω) và lim

n DFn = U trong L2(H1)

Vì P là trù mật trong L2(H1), điều đó đủ chứng tỏ rằng E(hU, V i) = 0, ∀V ∈ P Thậtvậy, nếu V ∈ P , bằng cách sử dụng công thức đối ngẫu ta có :

E(hU, V i) = lim

n E(hDFn, V i) = lim

n E(Fnδ(V )) = 0(ii) được chứng minh tương tự

Ta xác định một chuẩn k.k1,p trên D1,p như sau :

một dãy Cauchy trong k.k1,p.

(ii) Khi đó ta có : D1,p ≡ Domp(D) = ¯Sk.k1,p

(iii) Domp(D) là đầy đủ, tức là mọi dãy Cauchy trong Domp(D) hội tụ tới một phần

tử của Domp(D) Thật vậy, xem xét một dãy Cauchy (Fn)n∈N với chuẩn k.k1,p Dãynày cũng là một dãy Cauchy với chuẩn k.kp và ta biết rằng Lp là đầy đủ, vì vậy tồntại F ∈ Lp(Ω) sao cho Fn → F trong k.kp Vì Fn ∈ Domp(D) nên ta có thể tìm thấymột dãy các hàm đơn giản Fn0 sao cho : kFn− F0

nk1,p ≤ 1

n vì vậy (F

0

n)n∈N là một dãyCauchy với k.k1,p và Fn0 → F trong k.kp Vì vậy F ∈ Domp(D)

2.2.2 Miền xác định tập Domp(δ)

Nhắc lại rằng ta giới thiệu một tập phù hợp với tích phân Skorohod δ là xác định tốt

và khi đó mở rộng tập P của quá trình đơn giản Ta bắt đầu tương tự như định nghĩa2.2.2

(i) Bất kỳ tập bị chặn nào trong không gian Hilbert đều là compact tương đối, vì vậy

ta có thể tìm được F0 ∈ D1,2 sao cho : Fn hội tụ yếu tới F0

Ta thấy rằng trong trường hợp hữu hạn chiều công thức tích phân Malliavin có thể

có một số tính chất được công nhận, đặc biệt trong mối quan hệ đối ngẫu, quy tắc

1 Bổ đề Mazur : Cho (X, k.k) là một không gian Banach và {un}n ⊂ X sao cho u n hội tụ yếu đến u (nghĩa là : f (u n ) → f (u) với mỗi hàm tuyến tính liên tục f) Khi đó tồn tại một hàm

N : N → N và với bất kỳ n ∈ N , các số {α(n) k ; k = 1, , N (n)} sao cho : α(n) k > 0 với bất kỳ

k = 1, , N (n),

N (n) P k=1 α(n) k = 1 và thỏa mãn tập con lồi v n =

N (n) P k=1 α(n) k u k hội tụ mạnh đến u 0 ,tức

là kv n − u 0 k → 0 khi n → ∞

chuỗi đối với các mục đích thực hành, đặc biệt là tích phân Skorohod Nói cách khác,nếu Định lý 2.1.8 vẫn đúng, câu trả lời là rõ ràng, và trong thực tế ta có

Định lý 2.2.6

(i) [Đối ngẫu] Cho F ∈ Dom2(D) và U ∈ Dom2(δ) , ta có :

E(hDF, U i) = E(F δ(U ))(ii)[Quy tắc chuỗi] Cho F = (F1, , Fm) trong đó Fi ∈ D1,2, i = 1, , m và

(i) Cho F ∈ Dom2(D) và U ∈ Dom2(δ) Lấy {Fn}n ⊂ S và {Un}n ⊂ P , sao cho khi

n → ∞, ta có

Fn → F, δ(Un) → δ(U ) trong L2(Ω) và DFn→ DF, Un → U trong L2(H1)

Bằng cách áp dụng mối liên hệ đối ngẫu giữa S và P (Định lý 2.1.8.)

và với mỗi k ta có:

∂xkΦn(F )DFk− ∂xkΦ(F )DFk L2(H1) ≤ k ∇Φn− ∇Φk∞ DkF L2(H1) → 0

và điều này cho ta điều cần chứng minh

Bây giờ giả sử rằng Fk ∈ D1,2 với bất kỳ k = 1, , m và Φ ∈ C1

b(Rm) Ta lấydãy {Fk

n}n ⊂ S sao cho Fk

n − Fk

1,2 → 0 Từ Φ có đạo hàm bị chặn ta có ngaykΦ(Fn) − Φ(F )k2 → 0 Hơn nữa, từ phần đầu của chứng minh ta biết rằng DΦ(Fn) =

Mối liên hệ này đúng cho mọi G ∈ S, vì vậy ta có điều cần chứng minh.

Nhận xét 2.2.7

Chú ý rằng nếu Fi ∈ D1,∞, i = 1, , m thì ta có thể sử dụng bất đẳng thức Holder(đặc biệt, chỉ ra rằng bn → 0 khi n → ∞ trong chứng minh ở phần (ii) của Định lý2.2.6) và khi đó quy tắc chuỗi cũng đúng cho Φ ∈ C1

2 → 0 Áp dụng bất đẳng thức Holderlần nữa ta có :

Việc chứng minh là kết quả của các bước sau :

Bước 1 Cho φ là một hàm bậc thang trên các khoảng, tức là :

Từ φn → φ trong L2(0, 1) ta có ngay điều sau

Bước 3 Tổng quát nhìn chung các hàm φ thuộc L2(0, 1) lấy từ thực tế rằng tập cáchàm liên tục trên (0,1) là tập con trù mật của L2(0, 1)

Vì vậy với h tùy ý , h ∈ H1 ta có : hDF, hi = d

Ví dụ 2.2.14 [Tích phân Lebesgue và tích phân Ito]

Cho U là một quá trình tương thích sao cho : E(

kI1(Un)k1,2 < ∞ Khi đó ta có thể sử dụng tiêu chí trong Định lý 2.2.5 để nhậnđược I1(U ) ∈ D1,2 Giờ đây vì ta biết rằng I1(U ) ∈ D1,2, ta có DI1(U ) = lim

n→∞DI1(Un)trong L2(Ω) , và (2.4) được chứng minh Đối với (2.3) ta chứng minh tương tự nhưtrên

2n, , W1) Hàm φn không phải là một hàm C1

p, vì vậyquy tắc chuỗi ở định lý 2.2.6 không thể áp dụng ngay Tuy nhiên φn là một hàm liêntục Lipschitz và tồn tại đạo hàm riêng, vì vậy lập luận làm mịn cho phép khẳng định

2

Nhắc lại rằng nguyên lý của chuyển động Brown : cho x > 0 bất kỳ, ta có P sup t≤T W t > x
= 2P (W T > x) Cho T = 1 ta nhận được P (M > x) = 2P (W 1 > x) và khi đó M có một hàm mật độ xác suất cho bởi fM(x) = p2/π exp −x 2 2
1 x>0 , nó cho ta biết rằng M ∈ L p với bất kỳ p

một cách chắc chắn tính hợp lý của quy tắc chuỗi (xem ví dụ Nualart [22], định lý2.1.3, trang 30):

Tính toán đơn giản cho thấy rằng :

DtM = 1[0,τ ](t)

Ví dụ 2.2.16

Ở đây ta tính tích phân Skorohod của quá trình cầu Brown trên [0,1], cái mà phù hợptrong một số nghĩa với chuyển động Brown buộc phải cố định hai điểm x và y tại thờiđiểm 0 và 1 tương ứng Có một số cách giới thiệu một quá trình Ví dụ, cầu Brown

có thể được xem như :

trong đó v(t) = t Sử dụng (iii) của định lý 2.2.6

2.2.5 Công thức Clark - Ocone

Ta nhắc lại công thức biểu diễn martingale: Nếu F ∈ L2(Ω, F1, P) thì tồn tại một giátrị thực và quá trình Ft - tương thích φ ∈ L2(Ω × [0, 1], F1× B[0, 1], P × dt) sao cho

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng E(F ) = 0 (nếu không, ta thực hiện với

F − E(F )), do đó bằng cách biểu thị định lý martingale Brown ta có: F =

1

R

0

φsdWscho một số quá trình Ft - tương thích trong L2(Ω × [0, 1]) Ta đặt Pad là tập con củaquá trình đơn giản P mà Ft - tương thích Cho U ∈ Pad ta có : δ(U ) =

1

R

0

UsdWs, vìvậy :

Mặt khác, sử dụng công thức đối ngẫu ta có:

E(F δ(U )) = E(hDF, U i) = E(

với bất kỳ U ∈ Pad Lời phát biểu sau về việc tập đóng Pad đối với chuẩn trong

L2(Ω × [0, 1]) được cho bởi tất cả các quá trình Ft - tương thích đối với L2(Ω × [0, 1])

Hệ quả 2.2.18

(i) Nếu F ∈ D1,2 thì F là một hằng số nếu và chỉ nếu DF = 0

(ii) Nếu A ∈ F1 thì 1A ∈ D1,2 nếu và chỉ nếu hoặc P(A) = 1 hoặc P(A) = 0 Như một

hệ quả D1,2 đúng cả trong L2(Ω, F1, P)

Chứng minh

(i) được suy ra trực tiếp từ công thức Clark - Ocone

(ii) Nếu 1A∈ D1,2 thì sử dụng quy tắc chuỗi ta có: D1A = D(12

A) = 21AD1ANếu D1A6= 0 thì 1 = 21A là điều không thể xảy ra

Khi D1A = 0 thì 1A là hằng số là đúng nếu hoặc P(A) = 1 hoặc P(A) = 0 Suy ra điều cần chứng minh

Như một ví dụ, cho A = {Wt> 0} và F = 1A Khi đó F ∈ L2(Ω, F1, P), bởi vìE(F2) = P(Wt > 0) = 1

E(F LG) = −E(hDF, DGi) = E(LF G)Lập luận tương tự cho ta L là tập đóng, vì vậy ta có thể cho như sau

Định nghĩa 2.2.19

F ∈ Dom(L) ≡ Dom2(L) nếu tồn tại một dãy các hàm đơn giản {Fn}n sao cho

Fn → F trong L2(Ω) và LFn→ G trong L2(Ω),với G ∈ L2(Ω) Sau đó ta định nghĩa

và trong trường hợp đặc biệt này chúng cho phép giải thích một cách sơ lược "toán

tử Ornstein - Uhlembeck" với L = −δ(D)

Nhưng nghiên cứu sâu hơn, ta đề cập đến phần thú vị đầu cuốn sách Sanz - Solé [23].Tập aij = hφi, φji =

m × m sao cho σσ∗ = a) Khi đó, cho Fi = W (φi) ta có DFi = φi Vì vậy

là phát hiện ra vi phân của quá trình khuếch tán X trên Rm suy ra:

Nếu (N − D) đúng thì σF khả nghịch hầu chắc chắn và ta biểu thị γF = σF−1

Công thức tích phân từng phần được cho như sau

Định lý 2.2.23 [Công thức tích phân từng phần Malliavin]

Cho F = (F1, , Fm) trong đó Fi ∈ D1,∞và G ∈ D1,∞ Cũng giả sử rằng σFi,j ∈ D1,∞,(N − D) đúng cho F và DFi ∈ T

Khi đó :

i

H1 = (σF∇φ(F ))isuy ra :

Sử dụng công thức đối ngẫu ta có :

E(∂iφ(F )G) = E( FDF )i) = E(φ(F )δ(G(γFDF )i)

và định lý được chứng minh

2.3 Chuyển động Brown nhiều chiều

Trong phần này ta giải quyết với chuyển động Brown d chiều W = (W1, , Wd) xácđịnh trên một không gian xác suất đủ (Ω, F , P) , trong đó F = {Ft}t∈[0,1] được sinh

ra bởi W và được thêm vào các tập P - độ đo 0 Định nghĩa đạo hàm Malliavin vàtích phân Skorohod cũng như các tính chất thu được, có thể mở rộng như trong giảitích thông thường Nó dễ dàng để mô tả những ý tưởng chính

Ví dụ : Ta thấy đạo hàm Malliavin được cho bởi: DtF = ∂F

∂∆Wttrong đó đạo hàm ở trên theo "một vài nghĩa nào đó" Giờ đây, từ việc ta có chuyểnđộng Brown d chiều, và khi đó d chuyển động Brown độc lập với nhau, khi đó đạohàm trở thành một "gradient" từ nguyên lý nó có thể thực hiện đối với tất cả d chiều

DtF = (D1tF, , DtdF ), DtiF = ∂F

∂∆Wi t

, i = 1, , dBây giờ, liên hệ với tích phân Skorohod, nó trở lại với toán tử liên hợp Từ công cụchủ yếu là mối quan hệ đối ngẫu, đó là : E(hDF, U i) = E(F δ(U )), nó dễ cho thấy toán

tử δ là cơ sở tất yếu trên quá trình nhận giá trị trên Rd Hơn nữa, đối với quá trìnhtương thích Skorohod và tích phân Ito sẽ cho phép : Đối với quá trình tương thích