Trong đề tài này, tôi cố gắng trình bày, tổng hợp một số dạng toán thường gặp khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến th[r]
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Tác giả: Trần Thị Dung
Chức vụ: Giáo viên
Tổ Chuyên môn: Toán - Tin
I TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
II ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lí do
Năm học 2012-2013
Trang 2
Phần kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thức rộng, nhiều Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để tiếp thu tốt kiến thức này thì học sinh cần phải nắm vững một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức; bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, tư duy lôgic, nên sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này Do vậy, với mong muốn được góp phần vào việc nâng cao chất lượng mũi nhọn và giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nói riêng nên tôi
đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức” Trong đề tài này, tôi cố gắng trình bày, tổng hợp một số dạng
toán thường gặp khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có thể định hướng được phương pháp truyền đạt để giúp học sinh nắm bài tốt hơn
2 Giới hạn
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số dạng toán thường gặp khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số, đồng thời nêu ra các định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu Bên cạnh đó tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ
để học sinh có thể rèn luyện tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, từ đó góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh khá, giỏi khối 8 và khối 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi;
- Sách giáo khoa tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 8, toán 9
III CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trong chương trình Toán học ở trường trung học cơ sở hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn, chọn lọc và sắp xếp
có dụng ý sư phạm là phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số đông học sinh Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực học nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đây là dạng toán có thể giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ như phân tích tổng hợp, khái quát hoá, đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, tính sáng tạo
IV CƠ SỞ THỰC TIẾN
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 8 và lớp 9, đặc biệt khi giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 8 trong những năm qua, tôi nhận thấy hầu hết
Trang 3
khi học sinh gặp phải dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức thì các em rất lúng túng và bỡ ngỡ Vì chương trình Toán trung học
cơ sở sách giáo khoa chưa đề cập nhiều về cách giải, nên học sinh chưa có được phương pháp giải những bài toán dạng này Tuy nhiên, trong các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán 8, các kỳ thi tuyển vào trường chuyên thường hay có các dạng toán này Vì vậy trong quá trình dạy học, đặc biệt là dạy lớp chọn và
ôn thi học sinh giỏi thì giáo viên cần trang bị cho học sinh nắm vững một số phương pháp giải thường gặp nhất trong chương trình Toán trung học cơ sở
Để từ đó mỗi học sinh tự mình giải được các bài toán dạng này một cách chủ động sáng tạo Do thời gian có hạn trên lớp nên hầu như nhiều giáo viên chưa
hệ thống được các dạng toán này Với mong muốn được đóng góp phần nào giúp học sinh học tập tốt hơn bộ môn Toán, tôi xin đưa ra một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số
V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1 Cơ sở lý thuyết
a) Áp dụng hằng đẳng thức a2±2ab + b2 = (a ±b)2 để biến đổi biểu thức
về dạng :
A = [ f(x) ] 2 + a a, với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0;
B = – [ f(x) ]2 +a a, với mọi x R suy ra max B = a khi f(x) = 0
b) Áp dụng bất đẳng thức a b a b (a b 0), để tìm giá trị lớn nhất
Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a – b) = 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
c) Áp dụng bất đẳng thức a b a b (a,b 0), để tìm giá trị nhỏ nhất
Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0
d) Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là 0 hoặc '
0
Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép 2
b x
a
hoặc
b x a
e) Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích đa thức A về dạng:
.
a với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0 và g(x) = 0;
.
a với mọi x R suy ra max A = a khi f(x) = 0
và g(x) = 0
f) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Với a 0, b 0 thì a + b 2 ab;
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b;
Trang 4
Nếu a.b = k (không đổi) thì min (a + b) =2 k khi a = b;
Nếu a + b = k (không đổi) thì max (a b) =
2 4
k
khi a = b
2 Nội dung
a) Phương pháp 1
Áp dụng hằng đẳng thức a2±2ab + b2 = (a ±b)2 để biến đổi biểu thức về dạng :
A = [ f(x) ] 2 + a a, với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0;
B = – [ f(x) ]2 +a a, với mọi x R suy ra max B = a khi f(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
a) A = 4x2 + 12x +10
b) B = x.( x +1)( x2 + x - 4)
c) C = 2y + 9x2 + y2 – 6x + 7
Giải
a) Ta có A = (4x2 + 12x + 9) + 1
= (2x + 3)2 + 1 Nên A 1, với mọi x R
Vậy min A = 1 khi x =
3 2
b) Ta có B = x.( x +1)( x2 + x - 4)
= (x2 +x)( x2 + x - 4) Đặt t = x2 + x, ta có:
B = t.(t – 4) = t2 – 4t = ( t2 – 4t + 4) – 4 = (t – 2)2 – 4
Nên B – 4, với mọi t R
Vậy min B = – 4 khi t = 2 x2
+ x = 2 (x – 1)( x + 2 ) = 0
x =1 hoặc x = – 2
c) Ta có C = (9x2 – 6x + 1) + ( y2 + 2y + 1) + 5
= (3x – 1)2 + ( y + 1)2 + 5 Nên C 5, với mọi xR, yR
Vậy min C = 5 khi x =
1
3 và y = – 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a) A = 2x2 10x 8
b) B = x2 y2xy2x2y
Giải
2
Trang 5
2
2
2
2
x x
Nên
9 2
A
, với mọi xR Vậy max A =
9
2 khi x =
5
2 b) Ta có : -2B = 2x22y2 2xy 4x 4y
Nên 2B8
B4, với mọi xR, yR
Vậy max B = 4 khi x = y = 2
* Bài tập: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a) A = 6x – x2
b) B = x2 – 4xy + 5y2 + 2y + 5
c) C = x( x - 2)( x2 - 2x + 2)
d) D =
2 2
e) E = 9x4 6 (x x2 2) ( x2)2 4
Giải
a) Ta có A = 6x – x2 = – ( x2 - 6x +9) +9 = – (x - 3)2 +9
Nên A 9, với mọi xR
Vậy max A = 9 khi x = 3
b) Ta có B = (x2 – 4xy +4 y2) + (y2 + 2y + 1) + 4
= (x – 2y )2 + (y +1)2 + 4 Nên B 4, với mọi xR, yR
Vậy minB = 4 khi x = – 2; y = – 1
c) Ta có C = (x2 – 2x)(x2 – 2x + 2)
Đặt t = x2 – 2x
Khi đó C = t( t + 2) = t2 + 2t = ( t2 + 2t + 1) – 1= ( t +1)2 –1
Nên C – 1, với mọi tR
Do đó min C = – 1 khi t = – 1
Khi t = – 1, ta có x2 – 2x = – 1 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0
⇔ (x – 1)2 = 0 ⇔ x = 1
Vậy min C = – 1 khi x = 1
Trang 6
d) ĐKXĐ :
Ta có D =
2 2
2
2
2
1
2 1
2 3 1 2
x x
Nên D
3 2
với
Vậy max D =
3
2 khi x = 1
f) ĐKXĐ: x R
Ta có E 3x22 2.3 x2 x2 x22 4
E (3x2 x 2)24 Nên E 2, với mọi xR
Vậy min E = 2 khi 3x2 –x – 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc
2 3
x
b) Phương pháp 2
Áp dụng bất đẳng thức √a −√b ≤√a −b (a b 0), để tìm giá trị lớn nhất; Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a – b) = 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
Ví dụ:
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x72 x 97
b) Cho x - y = 88 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 20 y32
Giải
a) ĐKXĐ: x 97
Ta có x72 x 97 (x72) ( x 97)
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 97 ( thích hợp) hoặc x + 72 = x - 97 (loại)
Vậy max A = 13 khi x = 97
b) ĐKXĐ x 20, y- 32
Ta có : x 20 y32 x 20 y32
Trang 7
Dấu ‘=’ xảy ra khi y = - 32 => x = 56 (thích hợp)
hoặc x – 20 = y + 32 x – y = 52 ( loại)
Vậy max B = 6 khi x = 56, y = -32
c) Phương pháp 3
Áp dụng bất đẳng thức a b a b (a,b 0), để tìm giá trị nhỏ nhất Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0 ⇔a = 0 hoặc b = 0
Ví dụ:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2012 2013 x
b) Chox Z y Z , và x + 2y = 27 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = x 5 2y3
Giải
a) ĐKXĐ 2012 x 2013
Ta có x 2012 2013 x x 2012 2013 x
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 2012 hoặc x = 2013
Vậy min A = 1 khi x = 2012 hoặc x = 2013
b) ĐKXĐ x 5 và y
3 2
Ta có x 5 2y 3 x 5 2y3
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 5 => y = 11( thích hợp)
hoặc y =
3 2
=> x = 30 (loại) Vậy min B = 5 khi x = 5, y =11
d) Phương pháp 4
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là 0 hoặc
0
Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 2
b a
hoặc
b x a
Ví dụ 1:
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -3x2 +5x + 1
Trang 8
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
2 2
Giải
a) Gọi a là giá trị của biểu thức A
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình
-3x2 +5x + 1 = a có nghiệm
⇔-3x2 +5x + 1 – a = 0 (1) có nghiệm
⇔ 0
2
⇔37 - 12a 0
⇔
a
37 12
Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x =
5 6
Vậy max A =
37
12 khi x =
5
6 b) ĐKXĐ : x 2
Gọi a là giá trị của biểu thức B
Biểu thức B nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình
2 2
a
có nghiệm
Phương trình (1) ⇔ (a - 1)x2 – 2(2a + 1)x + (4a - 1) = 0 (2)
+ Nếu a = 1 thì
1
2
+ Nếu a 1 thì (2) là phương trình bậc hai
= (2a + 1)2 – (a – 1)(4a – 1) = 9a
Phương trình (2) có nghiệm khi 9a 0 ⇔ a 0
Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x =
2 1
1 1
a a
Vậy min B = 0 khi x = - 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức:
2
2
2
C
x
Giải
a) ĐKXĐ : x R
Gọi a là giá trị của biểu thức C
Biểu thức C nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình
2 2
2
a x
có nghiệm
Phương trình (1) ⇔ (a-1)x2 – 2x +2a - 3 = 0 (2)
Trang 9
+ Nếu a = 1 thì
1
2
+ Nếu a 1 thì (2) là phương trình bậc hai
= 1 - (a - 1)(2a - 3) = -2a2 5a 2
Phương trình (2) có nghiệm khi 0
2
1
2 2
a
Vậy min C =
1
2 khi phương trình (2) có nghiệm kép x =
1
2 1
a
max C = 2 khi phương trình (2) có nghiệm kép x =
1 1
a
Ví dụ 3: Tìm cặp số (x , y) thỏa mãn phương trình
2x2 – 4x - y +7 = 0 (*) sao cho y đạt giá trị lớn nhất
Giải
Xét phương trình bậc hai 2x2 – 4x - y +7 = 0 (*) với ẩn x tham số y; Nếu tồn tại cặp số (x ; y) thỏa mãn phương trình (*) thì phương trình (*) phải có nghiệm
Do đó 0
5
y y
y
Nên max y = 5 khi phương trinh (*) có nghiệm kép x = 1
Vậy cặp số cần tìm là (1 ; 5)
e) Phương pháp 5
Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích đa thức A về dạng:
.
a, với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0
và g(x) = 0;
.
a ,với mọi x R suy ra max A = a khi f(x) = 0
và g(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A= x4 2x3 3x2 4x 5
b) B= x1 x2 x3 x6 2013
c) C= x4 6x3 10x2 6x 7
Giải
a) Ax4 2x3 x2 2x2 4x 2 3
Trang 10
2 2
Nên A 3, với mọi x R
Vậy min A = 3 khi x =1
b) B x1 x6 x3 x2 2013
x2 5x 6 x2 5x 6 2013
Đặt a = x2 5x
Khi đó B = a 6 a6 2013a2 36 2013 a2 2049
Nên B - 2049
Vậy min B = -2049 khi a = 0 x25x 0 x x 5 0 x0;x5 c) C x4 6x3 9x2 x2 6x 9 2
2 2
2 2
Nên C 2, với mọi x R
Vậy max C = 2 khi x =3
Ví dụ 2:
Cho x, y thỏa x22xy8x y 2y212 0 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: S= x+y+1
Giải
Ta có x22xy8x y 2y212 0
x22xy y 28x y 12 y2
x y 22.x y .4 16 4 0 ( vì y2 0)
42 4
x y
x y
x y
x y S
Vậy min S= -5 khi x= -6; y=0;
maxS= -1 khi x=-2; y=0
e) Phương pháp 6
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Với a 0; b 0 thì a + b 2√ab (1)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b;
Nếu a.b = k (không đổi) thì min(a + b) = 2√k, khi a = b;
Trang 11
Nếu a + b = k (không đổi) thì max( a.b) = k2
4 , khi a = b
* Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng
A = f x( ) + g x( ) bậc f(x) bằng bậc của g(x);
Phương pháp giải: Tìm ĐKXĐ, bình phương hai vế của biểu thức, sau
đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy: với a 0 ,b 0 thì 2 a b a b.
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 15x 6 3 15 x
Giải
ĐKXĐ:
Ta có : A2 =15x 6 2 15 x6 3 15 x 3 15x
A2 =9 2 15 x6 3 15 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm 15x 6 và 3 15x ,
ta có : 2 15 x6 3 15 x 15x 6 3 15x
Do đó : A2 9 + 9
A2 18
Dấu “ = “ xảy ra khi 15x + 6 = 3 -15x x=
1 10
Vậy max A = 18 khi x =
1 10
* Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng
A=
( ) ( )
g x
bậc f(x) bằng bậc g(x) Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: với a 0 ,b 0 thì
1 2
ab a b
; Chọn hai số không âm là
à
a
để áp dụng bất đẳng thức Cauchy như trên
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A =
9 5
x x
b) B =
2 2
6
x x
Giải
a) ĐKXĐ: x 9
Trang 12
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
9 3
x
và 3, ta có:
1
2 3
x x
x x
( Vìx 9 nên 5x 0)
x
x
Dấu ‘=’ xảy ra khi
9
3
x
x
Vậy max A =
1
30 khi x = 18 b) ĐKXĐ : x
7 2
và x
7 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
2
à 7 7
x v
, ta có:
2
2 2
2 2
1 4
2
7
x x
x x
2 2
2
2 2
2
x x
v
x x
Dấu ‘=’ xảy ra khi
2
7
x
Vậy max B =
1
3 7 khi x
;
* Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng A = f(x).g(x),
bậc f(x) bằng bậc g(x)
Phương pháp giải : Biến đổi f(x) g(x) = k (k là hằng số) ;
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Trang 13
a.b (a+b )2
4 hoặc a + b 2√a b
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
a b c
a b c
với a, b, c > 0
Giải
A
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Nên A 3 2 2 2
A 9
Dấu “=” xảy ra khi
2
2 2
2
2 2
2
0 2
2
a b
a c
b c
c b
Vậy min A =9 khi a = b = c
Ví dụ 2:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=
1 1 1
a b c
Giải
Ta có: a+b+c = 3
Trang 14
1 3
1
3
1
3 3
a b c
a b c a b c a b c
A
a b c a b c a b c A
A
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Nên A13 2 2 2
A 3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy min A= 3 khi a = b = c = 1
VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
- Sau khi áp dụng các phương pháp trên ở lớp 8 và lớp 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi thì phần nhiều học sinh từ khá trở lên đã làm được các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức từ mức độ đơn giản đến khó, và khi gặp dạng toán này học sinh không còn bỡ ngỡ mà tỏ ra rất thích thú tìm hiểu;
- Sau đây là kết quả nghiên cứu cụ thể khi cho các học sinh khá, giỏi của hai khối lớp 8 và 9 thực hiện bài khảo sát trước khi thực hiện đề tài và sau khi thực hiện đề tài :
+ Kết quả thực hiện bài khảo sát của học sinh khá, giỏi của hai khối lớp
8 và 9 trước khi thực hiện đề tài :
Khối học sinhTổng số Giỏi Khá TB Yếu TB trở lên
8 47 ( 10,6% )5 ( 21,3% )10 ( 25,5% )12 (42,6% )20 ( 57,4% )27
9 43 ( 13,9% )6 ( 27,9% )12 ( 25,6% )11 (32,6% )14 ( 67,4% )29 + Kết quả thực hiện bài khảo sát của học sinh khá, giỏi của hai khối lớp
8 và 9 sau khi thực hiện đề tài :