Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị C tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0.. Giải phương trình:.[r]
Trang 1Ngày 23 tháng 02 năm 2013
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số
2 4 1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho
A và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2 os sin cos 2.tan
x
c x
2 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2
2
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:
2 cos
0 (e x s inx).sin 2 x dx
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r;
góc giữa BC’ và trục của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có ABC 1200 Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c =
3
4
3
a b b c c a
Câu VI: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng : x – y + 1 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z
và mặt phẳng (P) : ax + by + cz – 1 = 0 (a2b2 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau
Câu VII: (1,0 điểm)
Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z 3i 1, tìm giá trị nhỏ nhất của z
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……… SBD:………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 37
Câu 1: 1, TXĐ: D = R\{-1}
6
( 1)
y x
Hs đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và ( 1; ), hs không có cực trị
Giới hạn: lim 2, lim1 , lim1
=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2
BBT
x - -1 +
y’ + +
y
+ 2
2 -
+ Đồ thị (C): Đồ thị cắt trục hoành tại điểm 2;0
, trục tung tại điểm (0;-4)
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
Câu 1: 2, Đường thẳng d cần tìm vuông góc với : x + 2y +3= 0 nên có phương trình y = 2x +m
D cắt (C) ở 2 điểm A, B phân biệt
2 4 2 1
x
x m x
2
2x mx m 4 0
có 2 nghiệm phân biệt khác - 1 m2 8m 32 0 (1)
Gọi I là trung điểm AB có
2
2
I
x
m
Do AB vuông góc với nên A, B đối xứng nhau qua đường thẳng : x + 2y +3= 0
4
m = - 4 thỏa mãn (1) vậy đường thẳng d có phương trình y = 2x - 4
Câu 2: 1, Điều kiện: sinx0, cosx0,sinxcosx0.
Pt đã cho trở thành
0 cos 2 cos sin
cos sin 2 sin 2
cos
x x
x x x
x
2
cos 2cos
0 cos sin( ) sin 2 0
2 sin
x
+) cosx0 x2 k, k.
Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 2
Trang 3+)
n x
n x
x
x
3
2 4
2 4 2
) 4 sin(
2
sin
3
2
4
x t t
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là :
k
x
2
t k t
Câu 2 : 2, Điều kiện: x+y0, x-y0
Đặt:
u x y
v x y
2
3 (2) 2
uv
2
uv uv uv uv uv uv uv
Kết hợp (1) ta có:
0
4, 0 4
uv
u v
(vỡ u>v) Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k) KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
Câu 3:I=
( e x s inx).sin 2 x dx 2 e x.cos sin x x dx s inx.sin 2 x dx
2
cos
0
.cos sin
x
Đặt t = cosx có I =
1 0
.t t t 1
t e dt t e e dt
0
sinx.sin 2 (cos os3 ) (sinx sin 3 )
Vậy: I=
2 cos 0
2 8 ( sinx).sin 2 2
3 3
x
Câu 4: Từ giả thiết suy ra BC C ' 300 BA = BC = r
Trang 4' cot 30 3
3 0 ' EF EF EC '.
1 1 1 .AA'.1 sin120
r
Gọi H là trung điểm của AC ta có FH // AA’ suy ra FH(ABC) và 2
r
HKHB HE Gọi J là trung điểm KF, trong mp (FKH) đường trung trực của FK cắt FH tại I, I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE,FK2 FH2KH2 r2Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
R FI
Câu 5: Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho 2 bộ ba số dương ta có
z y x
9 z
1 y
1 x
1 9 xyz
3 xyz 3 z
1 y
1 x
1
)
z
y
x
(
3
3
(*)
9 a
3 c
1 c
3 b
1 b
a
1 P
áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho 3 bộ ba số dương ta có
3
c 3a 1 1 1
Suy ra 3a 3b 3b 3c 3c 3a 1 4 a b c 6
3
1 4.3 6 3
3 4
Do đó P 3; Dấu = xảy ra
3
4
a 3b b 3c c 3a 1
Câu 6: 1, Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình (x a )2(y b )2 R2
MAB vuông tại M nên AB là đường kính suy ra qua I do đó: a - b + 1 = 0 (1)
Luyện thi Đại Học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 4
Trang 5Hạ MH AB có ( , )
2 1 1
2 2
M
MAB
Vì đường tròn qua M nên (2 a)2(1 b)2 2 (2) Ta có hệ 2 2
(2 ) (1 ) 2 (2)
a b
Giải hệ được a = 1; b = 2 Vậy (C) có phương trình (x1)2(y 2)2 2
Câu 6: 2, Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP u (1, 1, 1)
(P) có VTPT n a b c( , , )
d ( )P n v. 0 a b c 0 a b c
( ,( )) ( , ( )) os( , ) os( , )
0
b c
Nếu b = c = 1 thì a = 2 suy ra ( )P1 : 2x + y + z - 1 = 0 (loại vì M( )P1
Nếu b = - c = - 1 thì a = 0 suy ra ( )P2 : y - z - 1 = 0 (thỏa mãn)
Vậy (P) có phương trình y - z - 1 = 0
Câu 7 :Đặt z = x + iy ta có
Từ x2(y 3)2 1 ta có (y 3)2 1 2 y 4 Do đó z x2y2 0 2 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 đạt khi z = 2i