Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:1. Dấu nhị thức bậc nhất: • Dạng f(x) = ax + b (a  0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. • Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0):x +ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a2. Dấu tam thức bậc hai: • Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0. • Tính  = b2 4ac • Nếu  < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và x +f(x) cùng dấu với a • Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = và

Trang 1

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

Trang 2

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

2 Dấu tam thức bậc hai:

• Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0

f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

• Nếu ∆ > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x -∞ x1 x2 +∞

f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆ ' nếu hệ số b chẵn.

3 Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn:

Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai Giải được bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn.

Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) = 2

) 1 (

1 +

2 + +

−

x x

5 1

0 1

2 x x

−

>

− +

0 8 6

0 15 2

2

x x

.

4 Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) (∆ = b2 - 4ac)

Phương trình (*) có hai nghiệm

âm phân biệt (x1 < x2 < 0) khi và

a

b S a

c P a

Phương trình (*) có hai nghiệm

dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) khi

a

b S a

c P a

5 Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Tài liệu lưu hành nội bộ

-2

Trang 3

) ( ) ( ) (

) (

x g

x r x k x g

x

f = + (với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó k(x)

là thương và r(x) là dư trong phép chia

) (

x g

x f

.

Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng

) (

x g

x f

thành dạng

) (

) ( ) (

x g

x r x

a)

1

2 +

2

−

− +

x

x x

2

1 3

2

3

−

+ +

x

x x

x

x x

−

+

−

− 1

1 2

2

2 2

2 3

3

−

− +

x

x x

x

x x x

2 1

2

5 2 3

7 Các khái niệm liên quan đến hàm số:

Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.

• Tập xác định của hàm số: D = {x ∈ R  f(x) có nghĩa}.

• Giá trị của hàm số y = f(x) tại x0 là y0 = f(x0).

Ví dụ 1: Giá trị của hàm số y = x2 + 1 tại x0 = 2 là 5

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) =

7

2 3 +

−

x

(1) a) Tính f(2), f(-1);

b) Tính giá trị của hàm số tại x = -2;

c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0 trên đồ thị hàm số

1 3

; d) y = 2 2

) 9 (

x

0

x f

x

1

4 lim

2 +

±∞

2 4 lim

Trang 4

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12

1 (

v

v = −

b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

( = (x > 0)

2

1 )'

2

' )' ( = (u > 0)

2

' )'

1 (

u

u = − (u ≠ 0) (sinx)' = cosx

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' =

c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:

• (

d cx

b ax

+

)' = ( cx d )2

bc ad

+

−

2 2

) (

2 )'

(

e dx

dc be aex adx

e dx

c bx ax

+

− + +

= +

+ +

2 2

2

) (

2 ) (

)' (

f ex dx

ec bf x dc af x

bd ae f

ex dx

c bx ax

+ +

− +

−

= + +

+ +

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây:

d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Hệ số gĩc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) cĩ dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0).

Ví dụ: Cho hàm số y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đĩ, biết:

a) Tiếp điểm là điểm (1; 1);

b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4;

c) Tiếp tuyến đĩ song song với đường thẳng y = -x + 2;

d) Tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với đường thẳng y = 1

2

1 x + .

10 Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):

• Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.

Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau:

11 Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:

• Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường cĩ phương trình cho trước.

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:

-4

Trang 5

Trang 6

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1) Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu

với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu

với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

→a

xlim

y −

→b

xlim

Đồ thị hàm số đồng biến

là đường đi lên từ trái sang phải là đường đi xuống từ trái sang phải Đồ thị hàm số nghịch biến

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút

+∞ +∞

0 b) y =

x

1 TXĐ: D =

y' =

x -∞ 0 +∞

y' y

Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số trên K.

Nếu y' > 0 trên K thì hàm số trên K.

Định lí: Cho hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên K.

a) Nếu f'(x) > 0 ∀ x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f'(x) < 0 ∀ x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

-6

Trang 7

* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x).

Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

Giải:

* Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi: Khẳng định sau đúng hay sai? vì sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0 với mọi x ∈ R" Trả lời:

Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên K Nếu f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. • Nếu f'(x) = 0 ∀ x ∈ K thì f(x) khơng đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K) II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):  Trình bày bài giải: • Tìm tập xác định D của hàm số (D = {x ∈ R | f(x) cĩ nghĩa}) • Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, , n) mà tại đĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác định • Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên). • Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 2 2 2 1 3 1 3 2 + − − x x x Giải:

Trang 8

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 3; c) y = -2 4 x - x2 + 2 3 ; d) y = 1 1 + − x x Giải:

2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0; 2 π ) Giải:

-8

Trang 9

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y =

3

1

x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2; d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x + 2 Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

c) y = 16x + 2x2 -

3

16

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) y =

x

−

+ 1

1 3

7

2 3 +

−

x

1

−

+

x

a) y =

1

2

−

+

−

x

x x

x

x x

−

− 1

2

1

3 2

2

+

−

x

x x

.

2 Bài tập nâng cao:

a) y =

9

2

2−

x x

Trang 10

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y =

1

2 +

x

đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) (HD: Chứng minh y' ≥ 0 ∀ x ∈ (-1;1) và y' ≤ 0 ∀ x ∈ (- ∞ ;-1) ∪ (1; + ∞ ))

Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2 x − x2 đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2)

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 < x <

2

π

3

x

(0 < x <

2

π ).

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên của hàm số sau: y = x x x 2 5 2 3 6 1 3 2 + +

Đồ thị hàm số y = x x x 2 5 2 3 6 1 3 + 2 + Tài liệu lưu hành nội bộ

-10

Trang 11

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (cĩ thể a là - ∞; b là +∞) và điểm x0

∈ (a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (x0 - h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nĩi hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (x0 - h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nĩi hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

* Chú ý:

a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;

f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), cịn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) cịn gọi là

cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

c) Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0.

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ:

Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và cĩ đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0}, h > 0.

a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:

1 Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)

• Tìm tập xác định.

• Tính f'(x) Tìm các điểm x sao cho tại đĩ f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) khơng xác định.

• Lập bảng biến thiên.

• Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

x x0 - h x0 x0 + h

f'(x) + 0

-f(x) yCĐ x x0 - h x0 x0 + h f'(x) - 0 +

f(x)

yCT "Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3 Giải:

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = 1 1 3 + + x x Giải:

Trang 12

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trị của hàm số f(x) = x(x2 - 3) 2 Quy tắc 2: Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > 0 Khi đó: a) Nếu    > = 0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f thì x0 là điểm cực tiểu b) Nếu    < = 0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f thì x0 là điểm cực đại. Quy tắc 2: • Tìm tập xác định • Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, ) là các nghiệm của nĩ • Tính f''(x) và tính f''(xi) • Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trị của điểm xi Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) f(x) = 4 1 x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x Giải:

 Ghi chú:

-12

Trang 13

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x + x 1 ; d) y = x3(1 - x)2; e) y = x2 − x + 1 Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1 Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2 Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = 1 1 2 + − + − x m mx x Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = m x mx x + + + 1 2 đạt cực đại tại x = 2 Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu (HD: Chứng minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt) 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6 Xác định m sao cho: a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 3 5 a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều là những số dương và x0 = 9 5 − là điểm cực đại CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 14

-14

Trang 15

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH NGHĨA:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn

tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M Kí hiệu M = max f(x).D

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn

tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = m Kí hiệu m =

D

min f(x).

II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:

 Quan sát đồ thị các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= -x2 + 4x - 5 trên

(-∞; +∞) là: tại x =

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - 5 + x 1 trên (0; +∞) là: tại x =

 Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b)  Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đĩ suy ra kết luận. (Nếu bài tốn khơng chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định) x a x0

f'(x) b +

-f(x) GTLN x a x0 b f'(x) - +

f(x)

GTNN Trong đĩ: f'(x) = 0 hoặc khơng xác định tại x0 Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 + x 1 trên khoảng (0; +∞) Giải:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f(x) =

-1

1

2 +

1 trên (0; 1).

Giải:

Trang 16

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN: 1/ Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.  Quan sát đồ thị hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 - x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là: tại x =

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là: tại x =

2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn: • Tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng (a; b), tại đĩ f'(xi) = 0 hoặc khơng xác định (i = 1, 2, n) • Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b) • Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)} Ta cĩ: [ ]a; b max f(x) = M, min f(x) = m [ ]a; b Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10 trên [-3; 1] Giải:

-16

Trang 17

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên các đoạn [ 6 7 ; 6 π π ] và [ π ; 2 π 6 ]. Giải:

* Chú ý: • Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì: max[ b]y = f(b), min[ ] by = f(a) • Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì: max[ b]y = f(a), min[ ] b y = f(b)

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên [-1; 1] Giải:

IV ỨNG DỤNG: Ví dụ: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất Giải:

Trang 18

 Ghi chuù:

-18

Trang 19

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên [-4; 4] và [0; 5];b) y = x4 - 3x2 + 2 trên [0; 3] và [2; 5];

c) y =

x

−

− 1

2 trên [2; 4] và [-3; -2]; d) y = 5 − 4 x trên [-1; 1].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 − x2 + x .

Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

1

4

x

4 (x > 0);

4 x

x

1

x

Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất (HD:

Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.)

Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ

nhất (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y =

2

3

2

+ +

+

x x

x

; b) f(x) = -3x2 + 4x - 8 trên [-2;

2

3

x

1 trên (0; 2].

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +

1

2

−

x với x > 1.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10; 10].

Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = 2sin2x + 2sinx - 1; b) y = cos22x - sinxcosx + 4.

Bài 5: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Bài 8: Cho hàm số y = 2 x4− 3 x2 + 2 x + 1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất.

Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất:

∈[-2

5

;

3 ].

Trang 20

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

 Quan sát đồ thị hàm số y =

2

1

−

x

, trả lời các câu hỏi sau:

• Tính các giới hạn

2

1 lim

2 −

−

+

x

2

1 lim

−

+∞

x

• Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng y = 1 càng gần số nào khi x → ± ∞? và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng y = 1 khi x → ±∞?

• Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số nào khi x → 2+ và khi x →2- và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng x = 2 khi x → 2+

và khi x →2-?

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; + ∞ ), (- ∞ ; b) hoặc

(-∞ ; + ∞ )) Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:xlim f(x) = y→+∞ 0 (hoặcxlim f(x) = y→−∞ 0).

* Chú ý: Nếu x f x =x f x = l

−∞

→ +∞

±∞

II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y

= f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: → 0 +

lim

x

x f(x) = + ∞ (hoặc → 0 −

lim

x

x f(x)= - ∞ ; → + 0

lim

x

x f(x) = - ∞ ; → − 0

lim

x

x f(x) = + ∞ )

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y =

4 2

1 +

−

x

1

3

2

−

− +

x

x x

.

Giải:

-20

Trang 21

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = 1 2 2 3 + − x x ; b) y = 3 5 + − + x x ; c) y = x x − 2 ; d) y = 1 7 + + − x x ; e) y = 1 4 + − x ; f) y = 5 2 5 2 − − x x ; g) y = 7 − 1 x ; h) y = x 2 Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: a) y = 2 9 2 x x − − ; b) y = 2 2 5 2 3 1 x x x x − − + + ; c) y = 1 2 3 2 + + − x x x ; d) y = 4 3 2 − + x x ; e) y = 4 1 2 2 + − + − x x x ; f) y = 1 1 − + x x 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = 1 1 2 + − x x có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C), tìm điểm M thuộc (C) sao cho IM nhỏ nhất Bài 2: Cho hàm số y = 3 2 − + x x (1) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 22

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Điểm uốn của đồ thị hàm số:

Lõm

Lồi

O

x y

Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác nhau về hình dáng: bên

"lồi" lên, bên "lõm" xuống.

Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hồnh: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.

• Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

-22

Trang 23

2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax4

+ Kết luận các khoảng đơn điệu.

+ Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

• Điểm đặc biệt:

Điểm cực trị;

Trang 24

Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y;

Giao điểm với trục hồnh (nếu cĩ): y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.

3

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

d cx

b ax

-24

Trang 25

• Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hồnh: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.

• Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) y =

1

2 +

II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thị:

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: (C) y = x2 + 2x - 3 và d: y = 2x + 1.

Giải:

Trang 26

2/ Biện luận bằng đồ thị số nghiệm phương trình f(x) = g(x):

Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y =

1

1 +

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 có đồ thị (C1) Dựa vào đồ thị (C1), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 - 2 = m.

 Ghi chú:

-26

Trang 27

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

2 1

2 +

Trang 28

1 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + m = 0.

Bài 5: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1 (1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Dựa vào (C), biện luận về số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0 theo tham số m.

Bài 6: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Với giá trị nào của m thì phương trình x4 - 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( 2 ; 1).

Bài 7: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x3 - 2x2 + 5 = 0; b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0; c) 2x2 - x4 = -1.

Bài 8: Cho hàm số y =

m x

mx

+

− 2

1 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua A(-1; 2 ).

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

4

1

x4 + 2

1

x2 + m.

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1)?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng

4

7 Bài 10: Cho hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + 1 - m (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

−

+

− +

x

m x m

(m là tham số) có đồ thị là (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m vừa tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (G) tại giao điểm của nó với trục tung.

b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 - m > 0 có nghiệm x∈ [0; 1].

Bài 2: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (C1)

a) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + 1 + m = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 1]

b) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để bất phương trình x4 - 2x2 + 1 - m ≤ 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [0;

2

3 ].

-28

Trang 29

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

I TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I:

Trang 30

II CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

Trang 31

b ax

+ + (ad - bc ≠ 0)

 Ghi chuù:

Trang 32

3 2

a) y = x3 - 3x + 2 tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2;

b) y = x4 - 2x2 tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8;

c) y =

1 2

3 2

−

+

x

tại giao điểm của (C) với trục tung.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:

a) y = x3 - 3x + 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9;

b) y = x4 - 2x2 biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 24x;

c) y =

1 2

3 2

b) Tìm m để phương trình x4 - 3x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x3 - 8x2 + 16x - 9 trên đoạn [1; 3]; b) y =

3

1 2

2− +

−

=

x x

Trang 33

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + 1 =

2

m

theo tham số m.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

Bài 9: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f''(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x4 - 6x2 + 3 = m.

Bài 1: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (m là tham số) có đồ thị (Cm).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành?

c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu.

1

3 +

+

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M

và N.

c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Bài 3: Cho hàm số f(x) =

3

1

x3 - 2

1

x2 - 4x + 6.

a) Giải phương trình f'(sinx) = 0;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.

Trang 34

CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA

oOo

1) Lũy thừa của một số hữu tỷ:

b

a b

a ) = ( (b ≠ 0) Nếu am = an thì m = n (a ≠ ±1, a ≠ 0).

x

x− = 1 2) Căn bậc hai:

A

A2 =

B A

B

A B

A = (A≥0, B>0)

B A B

B

B A B

B B

B A

B A C B A

B A

B A C B A

 Ghi chú:

-34

Trang 35

§1 LŨY THỪA

I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA:

1/ Lũy thừa với số mũ nguyên:

Cho n nguyên dương

• Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a (a lũy thừa n) là tích của n thừa số a.

1

* Chú ý: 00 và 0-n không có nghĩa.

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A = 10 3 4 2 1 ) 9

2

1 (

128 25

) 2 , 0 ( 27 ) 3

1

2 2 ) 1 (

a

(a ≠ 0, a ≠ ±1) Giải:

3/ Căn bậc n

a) Khái niệm:

Cho sốâ thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2).

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b

cơ số a

số mũ

Trang 36

Với b > 0: Có hai căn trái dấu, Số 8 có hai căn bậc hai là:

giá trị âm kí hiệu là -n b − 8 = − 2 2

n n

n a b = a b 3 2 3 4 =

n n

n

b

a b

2

16

4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a dương và số hữu tỷ r = n m , trong đó m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2 Lũy thừa của a với số mũ r là số

5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số ( a là lũy thừa của a với số mũ r n) α, kí hiệu là aα.

4

3

-36

Trang 37

1

) 2 ( =

(ab)α = aαbα (2 3 )2 =

α

α α

b

a b

a ) =

2

2 (

b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: Ví dụ: So sánh các số sau:

i) Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β 2

1

2 231 ii) Nếu a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β ) 3

2

1 ( − ) 2

) (

.

+

−

− +

a

a a

6 6 3

1 3

1

b a

a b b a

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số 52 3 và 53 2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 2 5 )3 2

3

1 ( ) 3

Trang 38

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

 Ghi chú:

3

9 :

5 75

,

0 ( 0 , 25 ) )

16

1

2 5

,

1 ( 0 , 125 ) )

04 , 0

Bài 2: Cho a, b là những số thực dương Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

1 2

1

b b

) (

4

1 4

3 4

1

3

2 3

1 3

a

a a

a

) (

3 2 3

3 2

5 1

5 4 5 1

b b b

1 3

1 3 1

b a

b a b a

) 5

Bài 5: Chứng minh rằng: 76 3 > 73 6.

-38

Trang 39

Trang 40

§2 HÀM SỐ LŨY THỪA

I- KHÁI NIỆM:

Hàm số y = xα, với α ∈ R, được gọi là hàm số lũy thừa

• Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là D = R\{0}; y = x-1, TXĐ: D =

II- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA:

Hàm số y = xα (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0: Ví dụ:

= III- KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y = xα

Các tính chất của hàm số lũy thừa y = xα trên khoảng (0; +∞)

Chiều biến thiên Hàm số luôn tăng Hàm số luôn giảm

Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang: Ox Tiệm cận đứng: Oy

* Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải

xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

 Ghi chú:

3

2) 2 ( − x ; c) y = ( x2 − 1 )−2; d) y = ( x2 − x − 2 ) 2.

-40

Định dạng
Số trang	90
Dung lượng	2,89 MB