-Gi¸o dôc cho häc sinh tÝnh cÈn thËn, vµ biÕt vËn dông c¸c kiÕn thøc to¸n häc vµo g¶i c¸c bµi to¸n trong thùc tÕ.. -Häc sinh: häc thuéc tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt d·y tû sè b»[r]
Trang 1I.Mục tiêu:
-Học sinh nắm chắc tính chất dãy tỉ số bằng nhau biết vận dụng làm bài tập -Rèn cho học sinh kỹ năng trình bày các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau
-Rèn cho học sinh có t duy sáng tạo trong giải toán
-Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, và biết vận dụng các kiến thức toán học vào gải các bài toán trong thực tế
II.Trọng tâm:
Hai tiết đầu: hai dạng toán đầu
III.Chuẩn bị:
- Giáo viên: chọn lọc phân laọi bài tập, soạn bài bằng văn bản và GAĐT, máy chiếu, máy tính
-Học sinh: học thuộc tính chất của tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau
IV.Ho ạ t động dạyhọc:
A.Lý thuyết:
* Các tính chất của tỉ lệ thức:
+ Nếu a
b=
c
d ⇔ad=bc
+ Nếu a , b , c , d ≠ 0 thì :
ad bc
* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
+ Từ dãy tỉ số a
b=
c
d hoặc
a
b=
c
d=
e
f Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
* a
b=
c
d=
a+c b+d=
a − c b− d
* a
b=
c
d=
e
f=
a+c+e b+d +f=
a − c − e
b −d − f=
Trang 2B.Các dạng toán:
Dạng 1: Tìm các số khi biết tổng (hoặc tớch) và tỷ số của chỳng.
VD1: Tìm x,y,z biết:
a) x
2=
y
3=
z
4 và x+ y+ z=18 ; b)
x
2=
y
3=
z
4 và x − y − z =15
Giải:
a) Cỏch 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x
2=
y
3=
z
4=
x+ y+ z
2+3+4=
18
9 =2⇒ x=2 2=4
y=2 3=6
z =2 4=8
¿ { {
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt x,y,z theo k
2
3 (1)
4
x k
x y z
z k
x y z k k k k
Theo (1) ta cú: x = 4; y = 6; z = 8
Cỏch 3: Rỳt x, y theo z.
1 2 3
4
18
x z
x y z
y z
x y z z z z z
b)
x
2=
y
3=
z
4=
x − y − z 2− 3− 4=
15
−5=−3⇒
x =−3 2=−6 y=− 3 3=−9 z=−3 4=−12
¿ { {
VD2: Tìm x, y,z biết:
Trang 3a) x
3=
y
4=
z
x
3=
y
4=
z
Giải:
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
a)
x
3=
y
4=
z
5=
2 y
8 =
4 z
20 =
x +2 y +4 z
3+8+20 =
−93
31 =−3 ⇒ x=− 3 3=9
y =−3 4=12 z=−3 5=15
¿ { {
b)
x
3=
y
4=
z
5=
2 x
6 =
3 z
15 =
− 2 x + y −3 z
− 6+4 −15 =
34
− 17=−2⇒
x=− 2 3=− 6 y=− 2 4=− 8 z=−2 5=−10
¿ { {
VD3: Tìm x, y,z biết:
2x 3y 4z
3 4 5 và x+2y+4z=220;
Giải:
a) Từ 2 x
3 =
3 y
4 =
4 z
5 ⇒ x
18=
y
16=
z
15
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x
18=
y
16=
z
15=
x +2 y +4 z
18+32+60=
220
110=2⇒ x=2 18=36
y =2 16=32 z=2 15=30
¿ { {
VD 4: Tìm x, y biết:
a) 5 x=7 y và x+2 y =51 ; b) a x =b y (a ≠ 0 ,b ≠ 0 , b ≠ a) và
x − y=b − a
Giải:
a) Từ 5 x=7 y ⇒ x
7=
y
5
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x
7=
y
5=
x +2 y
7+10=
51
17 =3⇒
x=21 y=15
¿ {
Trang 4b) Từ a x =b y ⇒ x
b=
y a
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x
b=
y
a=
x − y
b − a=
b −a
b −a=1⇒
x =b y=a
¿ {
VD5: Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC biết 2A=B; 3B=C
Giải:
Từ:
0 0
A 20 ; B 40 ;C 120
Tổng quát :
Tìm x,y,z biết
x y z
= =
a b c và mx+ny+pz=d
Với a, b, c, d là các số cho trớc và m,n,p≠ 0 Phơng pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra
tỷ số là hằng số
Cụ thể:
Từ
x y z mx ny pz
a b c ma nb pc
ma nb pc ma nb pc
VD6: Tìm x,y,z biết:
a) x
2=
y
x
2=
y
3=
z
4 và xyz 24
Giải:
a) Cỏch 1:
24
2
x
x
Với x = 4 y = 6
Với x = - 4 y = - 6
(*)
Trang 5Cỏch 2: Đặt x2=y
3=k⇒ x=2 k ; y=3 k
Thay x=2 k ; y=3 k vào x+ y+ z=18 ta đợc:
2 k 3 k =6 k2= 24⇒k2
= 4⇒ k=± 2
-Với k =2⇒ x =4 ; y=6
-Với k =−2 ⇒ x=− 4 ; y=− 6
b) Đặt x
2=
y
3=
z
4=k ⇒ x=2 k; y=3 k ; z=4 k
Thay x=2 k ; y=3 k ; z=4 k vào xyz 24 ta đợc:
2 k 3 k 4 k=24 k3 =24⇒ k3 =1⇒k =1⇒
x=2 y=3 z=4
¿ { {
VD7: Tìm x, y,z biết:
a) x
3=
y
4=
z
5 và x2+2 y2+4 z2=141
b) x
3=
y
4=
z
5 và −2 x2+y2−3 z2=−77
Giải:
a) Từ
(1)
9 16 25
x y z
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
2
9 16 25 32 100 9 32 100 141
kết hợp với (1)
⇒ x=3 y=4 z=5
¿ { {
hoặc
¿
x=−3 y=− 4 z=−5
¿ { {
¿
Trang 6b) Từ x
3=
y
4=
z
5 (1)⇒ x2
9 =
y2
16=
z2
25
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
2
kết hợp với (1)
⇒ x=3 y=4 z=5
¿ { {
hoặc
¿
x=−3 y=− 4 z=−5
¿ { {
¿
Tổng quát :
Tìm x,y,z biết x
a=
y
b=
z
c và mxk+nyk+pzk=d
Với a , b , c , d , m ,n , p , d , k là các số khác 0 k ∈ N
* Phơng pháp giải nh sau:
Từ x
a=
y
b=
z
c ⇒mx
k
mak =
nyk
nbk=
pzk
pck
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số mxk
mak=
nyk
nbk=
pzk
pck ta đợc:
mxk
mak=
nyk
nbk=
pzk
pck=
mxk+nyk+pzk
mak+ nbk+ pck=
d
mak+ nbk+pck
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức từ một hệ thức cho trớc.
VD1: Cho tỉ lệ thức: a
b=
c
d(a , b , c , d ≠0 ; a≠ ± b ;c ≠ ± d )
Chứng minh rằng:
a)
a+b
a− b=
c+d
a b c d
Giải:
a) Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau.
Từ a
b=
c
d ⇒ a
c=
b
d áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
a
c=
b
d=
a+b
c +d=
a − b
c −d
Trang 7do : a+b
c+d=
a − b
c −d ⇒ a+b
a− b=
c+d
c − d
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Đặt
1 1 1 1
a b kb b k
a kb
k
c kd c d kd d k
b d
c d kd d k
Vậy: a− b a+b=c+d
c −d
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
b)do:
b a+b a+b c+d
d c+d b d
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
VD2: Cho tỉ lệ thức:
a c
=
b dChứng minh rằng:
a)
Giải:
a) Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau.
do: a
b=
c
d ⇒ a
c=
b
d áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b
c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d
từ :
2a+3b 2a-3b 2a+3b 2c+3d
2c+3d 2c-3d 2a-3b 2c-3d
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Đặt
2a+3b 2kb+3b 2k+3
a=kb
a c= =k 2a-3b 2kb-3b 2k-3
c=kd 2c+3d 2kd+3d 3k+3
b d
2c-3d 2kd-3d 2k-3
Trang 8Vậy:
2a+3b 2c+3d
= 2a-3b 2c-3d
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
b) Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau.
do: a
b=
c
d ⇒ a
c=
b
d áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
2 2
3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b
3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c +5cd
= 7a -10b 7c -10d
từ
3a +5ab 7a -10b 3a +5ab 3c +5cd
3c +5cd 7c -10d 7a -10b 7c -10d
Cỏch 2: Đặt tỷ số bằng k rỳt tử theo k và mẫu:
Cỏch 3: Áp dụng tớnh chất của tỷ lệ thức.
Tổng quát :
Nếu:
a c
=
b d thỡ:
m'a+n'b m'c+n'd m'a +n'b +k'ab m'c +n'd +kcd
Nhận xột: Hầu hết cỏc bài tập trong hai dạng toỏn trờn đều cú thể giải bằng nhiều
cỏch tuy nhiờn ở mỗi bài ta nờn chọn c ỏch giải hợp lý nhất.
VD 3: Cho tỉ lệ thức:
a+b a− b=
c+d
c −d Chứng minh rằng:
b d
Giải:
Dạng 3: Tớnh giỏ trị của một biểu thức
Trang 9Ví dụ: Cho :
a b c
= =
b c a hãy tính giá trị của biểu thức
2 2 2
2
a +b +c M=
(a+b+c)
Gi¶i:
a b c a+b+c
b c a a+b+c
Trang 10C.Bµi tËp vËn dông
Bµi 1: T×m hai sè x vµ y biÕt:
a)
x 7
1921 vµ 2x – y = 34;
Bµi 2: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30.
Bµi 3: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
a)
10 6 24 vµ 5x + y – 2z = 28; b)
x y
3 4;
y z
5 7 vµ 2x + 3y – z = 186;
c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32;d)
2x 3y 4z
3 4 5 vµ x + y + z = 49;
e)
x 1 y 2 z 3
vµ 2x + 3y – z = 50;
Bµi 4: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
a)
2 3 5 vµ xyz = 810; b)
8 64216 vµ x2 + y2 + z2 = 14
Bµi 5: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
a)
;
b)
1 2y 1 4y 1 6y
2x 1 3y 2 2x 3y 1
B i 6 à : Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng Biết
rằng 3 lần số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3 Tính số vốn mà từng người đã góp
Bµi 7: Cho tØ lÖ thøc:
b d ; Chøng minh r»ng:
a)
7a 3ab 7c 3cd 11a 8b 11c 8d
Bµi 8: Cho tØ lÖ thøc:
b d .
Bµi 9: Cho d·y tØ sè :
bz cy cx az ay bx
Chøng minh r»ng:
a b c .
Bµi 10: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a2 = a1.a3 vµ a3 = a2.a4
Chøng minh r»ng:
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
Bµi 11*: Cho tØ lÖ thøc :
Chøng minh r»ng:
b d .
Trang 11Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:
b c c a a b Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 13: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho:
a+b-c a-b+c -a+b+c
Tìm giá bằng số của biểu thức:
(a+b)(b+c)(c+a) M
abc
Bài 14: Cho biểu thức:
x+y y+z z+t t+x
z+t t+x x+y z+y Tìm giá tri của biểu thức P biêt rằng:
y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z
Bài 15: Cho 2008 số thoả món a1+a2+ +a2008 0 và
2007 2008
1 2
2 3 2008 1
a a
= = = =
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức:
1 2 2007 2008
2
1 2 2007 2008
a +a + a +a N=
(a +a + +a +a )
B i 16: à Cho
2
ax + bx + c
a x + b x + c Chứng minh rằng nếu 1 1 1
Thỡ giỏ trị của P khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x