Lý thuyết galois

Tiểu sử Evariste Galois Evariste Galois 25 tháng 10 năm 1811 – 31 tháng 5 năm 1832 là một thiên tài toán học người Pháp đoản mệnh, nhưng các công trình toán học của ông để lại là một đ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÊN KHÓA LUẬN: LÝ THUYẾT GALOIS

GVHD : Th.s Nguyễn Viết Đức Sinh viên : Nguyễn Đắc Lấn Lớp : 16CTUDE

Đà Nẵng – Năm 2020

MỤC LỤC

PHẦN GIỚI THIỆU 1

1 Tiểu sử Evariste Galois 1

2 Lý thuyết Galois như một lời tổng kết 1

3 Mục đích của khóa luận 1

4 Lời cảm ơn 3

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Nhóm 4

1.2 Đồng cấu nhóm 4

1.3 Nhóm con 4

1.4 Liên hợp và nhóm con chuẩn tắc 5

1.5 Nhóm thương 5

1.6 Vành đa thức 5

1.7 Nhóm đối xứng 6

1.8 Đa thức đối xứng 7

1.9 Nhóm giải được và nhóm đơn 7

CHƯƠNG 2 MỞ RỘNG TRƯỜNG 10

2.1 Mở rộng trường và bậc của mở rộng trường 10

2.2 Trường con nguyên tố và trường nguyên tố 12

2.3 Mở rộng đơn 14

CHƯƠNG 3 LÝ THUYẾT GALOIS 21

3.1 Tự đẳng cấu trường 21

3.2 Nhóm Galois 23

3.3 Đa thức tách được, mở rộng tách được 24

3.4 Các tính chất của nhóm Galois 26

3.5 Sự tương ứng giữa nhóm con và trường con 31

3.6 Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức của phương trình đại số 32

CHƯƠNG 4 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS TRONG PHÉP DỰNG HÌNH 4.1 Khái niệm và tính chất về điểm và số dựng được 38

4.2 Một số bài toán áp dụng 40

4.2.1 Bài toán 1: Chia ba một góc 40

4.2.2 Bài toán 2 : Gấp đôi khối lập phương 41

4.2.3 Cầu phương đường tròn 41

4.2.4 Bài toán 4: Chia đường tròn thành phần bằng nhau 41

4.3 Một vài phép dựng hình cụ thể 43

4.3.1 Dựng đa giác đều 5 cạnh 43

4.3.2 Dựng đa giác đều 15 cạnh 45

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

n

PHẦN GIỚI THIỆU

1 Tiểu sử Evariste Galois

Evariste Galois ( 25 tháng 10 năm 1811 – 31 tháng 5 năm 1832) là một thiên tài toán học người Pháp đoản mệnh, nhưng các công trình toán học của ông để lại là một

đề tài rất quan trọng cho việc tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc cao hơn 4 thông qua việc xây dựng lý thuyết nhóm trừu tượng mà ngày nay gọi là lý thuyết nhóm Galois, một nhánh quan trọng của đại số trừu tượng Galois là người đầu tiên dùng từ

groupe (nhóm) như là một thuật ngữ toán học để biểu thị cho nhóm hoán vị Ông chết

trong cuộc đấu súng khi mới 21 tuổi (Trích Wikipedia)

2 Lý thuyết Galois như một lời tổng kết

Đại số cổ điển đã tìm cách giải những phương trình “đại số”

𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎0 = 0, có hệ số thực hoặc phức, bằng những công thức tường minh Trường hợp phương trình bậc hai, các công thức quen thuộc cho nghiệm của phương trình nhờ những căn số bậc hai Đối với phương trình bậc ba và bậc 4, cũng

có những công thức tương tự dùng đến những căn số bậc cao hơn, phần giải chi tiết các phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba, bậc bốn sẽ có ở phần sau Còn những cố gắng thử giải phương trình bậc năm tổng quát bằng căn thức được xác nhận là không có kết quả và lý thuyết Galois đã chỉ ra điều đó

Lý thuyết Galois là một lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số, tập hợp nhiều kiến thức

và phương pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải quyết các bài toán cổ điển và những vấn đề quan trọng nhất của đại số hiện đại

Một trong những ứng dụng chủ yếu của lý thuyết Galois là giải quyết bài toán tìm nghiệm căn thức của phương trình đa thức, đặc biệt chỉ ra rằng phương trình bậc lớn hơn hoặc bằng năm không thể giải bằng căn thức và còn chỉ ra những điều thú vị khác như bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa

3 Mục đích của khóa luận

Giải phương trình đại số ( phương trình đa thức)

Hệ số trong ℕ, được gọi là phương trình Diophantine Hệ số trong ℚ ( thực chất không liên quan đến bậc của phương trình

( )

2

0 1 2 n n 0 *

a +a x+a x + +a x = , (𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛) ϵ , 𝑎𝑛 ≠ 0

→ Quy đồng mẫu số chung (𝑎, 𝑎0, 𝑎1, … 𝑎𝑛 ϵ )

027

p

T +qT − = có hai nghiệm là:

3 2

4 Lời cảm ơn

Nhân đây em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Viết Đức, người đã giới thiệu em về lý thuyết này và hổ trợ nhiệt tình trong những buổi sermina để em hoàn thành được khóa luận

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng

Khóa luận này chắc sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót về nội dung cũng như là cách trình bày Em mong muốn được quý thầy cô và người đọc đóng góp ý kiến

để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020

Sinh Viên Nguyễn Đắc Lấn

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhóm

và là một luật hợp thành trên G ,thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

i Luật hợp thành là kết hợp, tức là

(x y) z=x (y z) , với mọi x y z, , G

ii Có một phần tử e G , được gọi là phần tử trung lập, có tính chất

x e=e x=x, với mọi x G iii Với mọi x G , có một phần tử x'G, được gọi là nghịch đảo củax,

sao cho: x x'=x x e' =

,

x y= y x với mọi x y, G

nhóm giao hoán mà ta gọi là nhóm cộng các số nguyên Cũng như vậy ta có nhóm cộng các số hữu tỉ, nhóm cộng các số thực, nhóm cộng các số phức

nhóm hữu hạn, không giao hoán với mọi n  3

1.2 Đồng cấu nhóm

ánh xạ 𝜑: G→ được gọi là đồng cấu nhóm nếu G'

𝜑(𝑥𝑦) = 𝜑(𝑥)𝜑(𝑦), với mọi x y, G

cộng

1.3 Nhóm con

nhóm con của G nếu S khép kín với luật hợp thành trong G (tức là xyS với mọi x y, S

) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G (tức là 1

x− S với mọi x S ) Kí hiệu

S G

Ví dụ 1.3.2 a) Mỗi nhóm cộng sau đây đều là nhóm con của các nhóm đứng sau:

  

b) Nhóm đối xứng S nlà một nhóm con của nhóm S m với nm

1.4 Liên hợp và nhóm con chuẩn tắc

Định nghĩa 1.4.1 Ánh xạ c a:G→G cho bởi công thức 𝑐𝑎(𝑥) = 𝑎𝑥𝑎−1 được gọi là

phép liên hợp xác định bởi a Phần tử 𝑎𝑥𝑎−1 được gọi là liên hợp với 𝑥 bởi a

Định nghĩa 1.4.2 Nhóm con S của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G

nếu nó bất biến đối với mọi tự đẳng cấu trong của G, tức là 𝑐𝑎(𝑆) = 𝑆 ∀𝑎 ∈ 𝐺 và được

kí hiệu là: S G

1.5 Nhóm thương

nhân lập thành một nhóm Nhóm G K/ được gọi là nhóm thương của G theo nhóm

con chuẩn tắc K

1.6 Vành đa thức

siêu việt có hệ tử trong A Một đa thức f =a0+a x1 + + a x n A x a[ ], n 0 gọi là có bậc

,

n kí hiệu deg( )f Khi đó vành A chứa trong A x[ ] như một vành con

vành con, cho  Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành R  từ A x[ ]vàoRthỏa:

( )x

 = và ( )a =  a, a A

khả nghịch Tồn tại duy nhất q r, D x[ ] sao cho f =gq+r với r = hay0

deg( )r deg( ).g Đa thức q(tương ứng r) gọi là thương (tương ứng dư) của phép chia

(Euclid) f cho g

Vành đa thức trên trường đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong Lý thuyết

mở rộng trường và Galois, nên trong suốt bài viết này tôi kí hiệu Flà một trường và

không giải thích gì thêm

Hệ quả 1.6.3 Mọi ideal của F x[ ] đều là ideal chính Hơn thế ideal ( )f F x[ ] là tối

đại khi và chỉ khi f bất khả quy

Hệ quả 1.6.4 Cho f g, F x[ ] Ký hiệu d =( , )f g Khi đó tồn tại các đa thức

s tF x sao cho sf + =tg d

Định nghĩa 1.6.6 Cho D là một miền nguyên Gauss Một đa thức thuộc vành D x[ ] gọi

là chuẩn tắc nếu hệ tử dẫn đầu của f bằng 1

tắc của f trong [ ]x thì g [ ]x

Mệnh đề 1.6.8 Cho f =ax n n+ +  a0 [ ]x Nếu tồn tại một số nguyên tố 𝑝 sao cho: 𝑝 ∤

𝑎𝑛, 𝑝|𝑎𝑖, ∀ 𝑖 = 0, … , 𝑛 − 1 và 𝑝2 ∤ 𝑎0 thì f bất khả quy trong [ ]x (Tiêu chuẩn bất khả quy của Eisenstein)

cao nhất của f và f bất khả quy trong p[ ]x thì f bất khả quy trong [ ]x

1.7 Nhóm đối xứng

- Nhóm đối xứng S n là nhóm các hoán vị n phần tử của tập  ={1, , }n , có cấp bằng !n Mỗi phần tử của S n gọi là một phép thế Nhóm đối xứng S n với n  là một 3nhóm không giao hoán

- Một vòng xích  =(a a1 2 a m) gồm các số tự nhiên phân biệt của  biểu diễn một phép thế của S nđược xác định bởi ( )a i =a i+1 với 1  −i m 1, ( a m)=a1 và giữ nguyên các phần tử còn lại của 

- Vòng xích  gọi là có độ dài m nếu nó chứa mphần tử Hai vòng xích được

gọi là độc lập nếu chúng không có phần tử chung Tích của hai vòng xích độc lập có

tính giao hoán

Mệnh đề 1.7.2 Mọi phép thế đều có thể biểu diễn một cách duy nhất (sai khác thứ tự)

dưới dạng tích của các vòng xích độc lập Biểu diễn này được gọi là biểu diễn vòng

xích của phép thế

Ví dụ 1.7.3 Phép thế (1 2 3 4 5 6

4 1 6 2 5 3) S6 có thể viết thành tích của 3 xích

𝛼 = (5) (3,6) (1,4,2)

Chú ý: Để cho gọn, khi viết mỗi phép thế thành tích của các xích ta có thể bỏ qua các

Định lí 1.8.2 (Định lí cơ bản về đa thức đối xứng)

Giả sử R là một miền nguyên, và f R X[ 1, ,X n] là một đa thức đối xứng Khi đó, tồn tại duy nhất

( , , n) ( ( , , n), , n( , , n))

Ta thừa nhận không chứng minh định lí này

1.9 Nhóm giải được và nhóm đơn

1.9.1 Nhóm giải được

Định nghĩa 1.9.1.1 Cho G là một nhóm nhân Dãy chuẩn tắc của G là một dãy hữu

hạn các nhóm con phân biệt

1=G G Gn =G , (*)

nghĩa là Gi là nhóm con chuẩn tắc của Gi+1 , với mọi i=0, ,n−1

Các nhóm thương Gi+1/Gi, với i=0, ,n−1, gọi là thành phần của dãy chuẩn tắc (*) Dãy (*) gọi là dãy hợp thành của G nếu Gi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của Gi+1, nghĩa là nếu có N Gi+1 và N chứa Githì Gi = N hay N=Gi+1, với mọi i=0, ,n−1

Định nghĩa 1.9.1.2 Một nhóm G được gọi là giải được nếu tồn tại dãy chuẩn tắc (*)

sao cho Gi+1/Gi,là nhóm aben, với mọi i=0, ,n−1

Nhận xét 1.9.1.3 Mọi nhóm aben đều giải được

Ví dụ 1.9.1.4 S3 là nhóm giải được Vì S3=G0 A3 { }e là một dãy aben

S4 là nhóm giải được Vì S4 =G0 A4 { }e là một dãy aben

Mệnh đề 1.9.1.5 Cho G là một nhóm

i) Nếu G giải được thì mọi nhóm con H của G giải được

ii) Nếu N G và G giải được thì G N giải được /

iii) Nếu tồn tại nhóm con chuẩn tắc N G sao cho N và G N giải được thì G giải /được

Nhóm cuối cùng là nhóm aben vì nó là nhóm con của nhóm aben Gi+1/Gi,

Vì vậy H là nhóm giải được

ii) Từ dãy hợp thành của G như trên, nhóm thương G N có dãy các nhóm con sau /

Nhóm cuối cùng là nhóm thương của Gi+1/Gi nên là nhóm aben Vậy G N giải được /iii) Tồn tại hai dãy chuẩn tắc

N N hay đẳng cấu với Gi+1/Gi (Gi+1/N) / (Gi /N),chúng đều là nhóm aben

Vậy G giải được

đại G2, nhóm G2 chứa một nhóm con chuẩn tắc tối đại G3, Tiếp tục quá trình này ta thấy rằng mọi nhóm hữu hạn đều có dãy hợp thành

Mệnh đề 1.9.2.3 Mọi nhóm đơn giải được đều là nhóm cyclic có cấp nguyên tố

Chứng minh Gọi G là nhóm đơn giải được Khi đó có dãy chuẩn tắc

1=G G =G

Với các thành phần aben Vì G đơn nên r =1 và G=G G/ 0 aben

Trong nhóm aben, mọi nhóm con đều là nhóm con chuẩn tắc, do đó để G đơn, nó trùng với nhóm con cyclic sinh ra bởi một phần tử bất kì khác 1 của G Do đó G là nhóm

con cyclic cấp nguyên tố

Hệ quả 1.9.2.4 Mọi nhóm hữu hạn G là giải được khi và chỉ khi tồn tại dãy hợp thành

1=G G Gn =G sao cho với mọi 1 i n, ta có Gi /Gi−1 cyclic có cấp nguyên

tố

Chứng minh Gọi 1=G0 G1 Gn =G là dãy hợp thành của nhóm giải được G Khi

đó nhóm conGi+1giải được nên nhóm thương Gi+1/Gi giải được, với mọi i=0, ,n−1

Do dãy trên là dãy hợp thành nên Gi+1/Gi là nhóm đơn Từ (mệnh đề 3.1.2.1 ), ta có các thành phầnGi+1/Gilà các nhóm cyclic cấp nguyên tố Chiều ngược là hiển nhiên vì mọi nhóm cyclic đều aben

CHƯƠNG 2

MỞ RỘNG TRƯỜNG

2.1 Mở rộng trường và bậc của mở rộng trường

2.1.1 Mở rộng trường

một mở rộng của F( có lúc ta hiểu Flà đẳng cấu với một trường con của Kthì cũng nói K là một mở rộng củaF), kí hiệu là K F hay : K F /

Nhận xét 2.1.1.2

- Mọi trường đều là mở rộng của trường con nguyên tố của nó

- Cho K F là một mở rộng trường Khi đó trường con nguyên tố của chúng trùng :nhau

b)  ( , 2)i

Định nghĩa 2.1.1.4 Cho :K F và L F là các mở rộng trường của : F Một đồng cấu (đẳng cấu) trường : K →L thỏa ( )a =  a, a Fgọi là F - đồng cấu ( F - đẳng cấu)

Mở rộng K F: được gọi là F - đẳng cấu với mở rộng : L F nếu tồn tại F- đẳng cấu từ

K vào L, kí hiệu KF L Nếu K =L thì các F- đồng cấu (F- đẳng cấu) gọi là F - tự

đồng cấu ( F - tự đẳng cấu)

Một cách tổng quát hơn ta có:

đồng cấu (đẳng cấu) trường Đồng cấu (đẳng cấu) : K →L gọi là mở rộng của  nếu

( )a = ( ),a  a F

đẳng cấu :i F → và một mở rộng của nó E j K: →L, nghĩa là j a( )=i a( ), a F

Nhận xét 2.1.1.7 Quan hệ đẳng cấu của của các mở rộng trường là một quan hệ tương

đương Đặc biệt, quan hệ “ F” là một quan hệ tương đương

đồng cấu Cho  là một nghiệm của K f F x[ ] Khi đó  ( )L là một nghiệm của

f

Chứng minh Gọi f =a x n n + + a0 Ta có

0

f  =a + +a = 0Suy ra

0

0 =( ( ))f  =a n ( )n+ + a = f( ( )). Nghĩa là   là một nghiệm của ( )

2.1.2 Bậc của mở rộng trường

K, kí hiệu [K:F] Nếu [K F: ] hữu hạn thì ta gọi K F là một mở rộng hữu hạn Nếu :

mở rộng của K F không hữu hạn thì gọi là mở rộng vô hạn :

cách duy nhất dưới dạng a bi+ với a b , Do đó {1, }i là một cơ sở của : Suy ra

[ : ]=2

bậc của mở rộng trường bằng 1 khi và chỉ khi mở rộng là tầm thường Thật vậy, nếu

u= a f với a j biểu thị tuyến tính qua E nên thay a j trong biểu diễn của u bởi các

tổ hợp tuyến tính của S , ta có biểu diễn tuyến tính của u qua ES Do đó ES là hệ sinh của không gian vecto Ltrên F Ta chứng minh rằng ES độc lập tuyến tính Xét một tổ hợp tuyến tính trong Lcho bởi i,ja e fij i j =0 với aijF Ta viết  j( i a e fij i) j = 0 như

một quan hệ tuyến tính tầm thường của S Do S độc lập tuyến tính, ta có i a eij i = 0

với mọi . Mặt khác, do E độc lập tuyến tính, ta có a =ij 0 với mọi i j, Vậy ES độc lập tuyến tính

Nhận xét 2.1.2.6 Định lí trên cho thấy rằng :L F là mở rộng hữu hạn khi và chỉ khi

2.2 Trường con nguyên tố và trường nguyên tố

Nếu K là một trường, ta nhắc lại rằng đặc số của trường K là cấp chung của các phần

tử khác 0K của K, nói riêng là cấp của phần tử đơn vị 1K, trong nhóm cộng của trường

K, tức là số nguyên dương s bé nhất sao cho s1k =0k Trường K gọi là có đặc số 0 khi tồn tại số nguyên s 0 sao cho s1k =0k Và có thể kiểm chứng được rằng mọi trường

K hoặc có đặc số 0 hoặc có đặc số nguyên tố

đều có đặc số 0 Còn mỗi trường p các số nguyên mod p (p là số nguyên tố ) có đặc

số p

Bây giờ giả sử K là một trường cho trước, ta hãy xét các trường con của K Tập hợp tất cả các trường con của K là một tập hợp khác rỗng, vì K cũng là một trường

con của chính nó Nếu ta gọi P là giao của tất cả các trường con của K, thì P là một trường con của K không chứa trường con nào của K ngoài chính P,và mọi trường con của K đều chứa P

Trường con P với tính chất như thế gọi là trường con nguyên tố của trường K

vậy mọi trường K đều có chứa một trường con nguyên tố P Nếu xảy ra K =P, thì K

được gọi là trường nguyên tố

đặc số 0 thì Pđẳng cấu với trường các số hữu tỷ Nếu K có đặc số nguyên tố p thì

P đẳng cấu với trường p các số nguyên mod p.

Chứng minh Đơn vị 1K của trường K, thuộc trường con P

Xét đồng cấu vành h: →Kđịnh bởi h m( )=m1K m Vì 1KP nên ImhP. Còn

vì Kerh là một ideal của vành nên có dạng s , với một số nguyên s 0 bé nhất thuộc Kerh, sao cho h s( )=s1K =0, nên s chính là đặc số của trường K : Ta có hoặc

0

s = hoặc s là một số nguyên tố p Vậy nếu K có đặc số s =0 ta có Kerh=0, và đẳng cấu miền nguyên h:  ImhP. Do đó trường các thương của đẳng cấu với trường các thương F D của miền nguyên D= ImhP. Nhưng vì F Dlà một trường con của K, chứa trong trường nguyên tố PK nên F D = P Vậy trong trường hợp K có đặc số 0 này, P Nếu K có đặc số s= p,K her = p , và định lý cơ bản về đồng cấu vành cho đẳng cấu vành

/ erK h= / p ImhP

Nhưng vì / p = p là một trường, nên Im h cũng là một trường chứa trong trường con nguyên tố PK Do đó p Imh=P

cấu (−)𝑝: 𝐾 ⟶ 𝐾 của trường 𝐾

Trong đó

(𝑝

0) = (𝑝𝑝) = 1 , Hơn nữa, với 1  −k p 1, vì

𝑘! (𝑝𝑘) = 𝑝(𝑝 − 1) … (𝑝 − 𝑘 + 1) ,

Và do p là số nguyên tố, k! không phải là bội số của p, suy ra (𝑝

𝑘) là bội số của p và

vì thế ta có (𝑝𝑘)1K =0K Do đó công thức khai triển nhị thức trên trở thành (𝑎 + 𝑏)𝑝 =

𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 đây là đẳng thức cần phải chứng minh

Cuối cùng vì 1K p = 1 ,K tự đồng cấu ( ) :− p K →K không tầm thường nên là đơn cấu Định lí trên cho thấy mọi trường K có thể xem như một mở rộng của trường con nguyên tố Pcủa nó

2.3 Mở rộng đơn

2.3.1 Vành con và trường con sinh bởi một tập

các vành con (trường con) của K chứa S là một vành con (trường con) của K, gọi là

vành con (trường con) sinh ra bởi S Vành con (trường con) sinh ra bởi S là vành con

(trường con) nhỏ nhất của K chứa S

Vành con (trường con) sinh ra bởi F S trong K được gọi là vành con (trường con)

sinh ra bởi S trên F, kí hiệu F S[ ] (tương ứng F S( ))

Nếu S ={ , , }s1 s n thì ta kí hiệu F s[ , ,1 s n] cho F S[ ] Tương tự kí hiệu F s( , , )1 s n cho

F S = a s s a F s S n với quy ước s0 =  1, s S;

E= a s s a F s S n

Ta chứng minh rằng E là vành con nhỏ nhất chứa F Rõ ràng S FE do quy ước trên Tập E là một vành con vì nó là một nhóm con và đóng kín với phép nhân Cuối cùng mọi vành con của K chứa F đều chứa các phần tử của S E

b ) Hiển nhiên do tính chất của trường các thương

2.3.2 Cấu trúc của mở rộng đơn

cho K =F( ). Phần tử  được gọi là phần tử nguyên thủy của mở rộng đơn Chú ý

rằng một mở rộng đơn có thể có nhiều phần tử nguyên thủy khác nhau

trên F nếu nó là nghiệm của một đa thức f khác 0 trong F x[ ] Một phần tử u K

không đại số trên F được gọi là siêu việt trên F

đều đại số trên F.

i) Nếu u siêu việt trên F thì F u( )F F x( ), trường các phân thức hữu tỉ trên F

ii) Nếu u đại số trên Fthì F u( )=F u[ ]F F x[ ] / ( )f với f 0 là một đa thức có bậc nhỏ nhất nhận u làm nghiệm

i) Đa thức 0 f F x[ ] có bậc nhỏ nhất nhận u làm nghiệm khi và chỉ khi f bất khả quy nhận u làm nghiệm Điều đó tương đương với f u =( ) 0 và f chia hết cho mọi

đa thức nhận u làm nghiệm

ii) Nếu f và g là hai đa thức của F x[ ] có bậc nhỏ nhất nhận u làm nghiệm thì

deg( )f =deg( )g và hơn thế f g Trong các đa thức có bậc nhỏ nhất nhận u làm

nghiệm, tồn tại duy nhất một đa thức có hệ tử dẫn đầu bằng 1, đa thức đó gọi là đa thức

tối tiểu của u Bậc của f được gọi là bậc của u ( trên F)

Hệ quả 2.3.2.8 Cho K F là mở rộng trường và u:  đại số trên K Fcó bậc n Khi đó mọi phần tử của F u( ) được viết duy nhất dưới dạng 1

Mọi mở rộng đơn đều là mở rộng hữu hạn Điều ngược lại nói chung không đúng

Hệ quả 2.3.2.9 Cho K F là mở rộng trường và : u v, K đại số trên F Nếu u và v có cùng một đa thức tối tiểu thì tồn tại duy nhất một F − đẳng cấu trường : ( )F u →F v( )

sao cho ( )u =v

Chứng minh Thật vậy các mở rộng đơn F u( ) và F v( ) đều đẳng cấu với F x[ ] / ( )f với

f là đa thức tối tiểu của u và v

Ta thấy rằng, ứng với một mở rộng đơn đại số trên F có một lớp các đa thức bất khả quy liên kết với nhau trên F nhận u làm nghiệm

quy Khi đó tồn tại một mở rộng đơn đại số F( ) : F sao cho  là một nghiệm của

Chứng minh Ta có K:=F x[ ] / ( )f là một trường Đồng nhất a với F aK, ta có :

K F là một mở rộng trường Đặt  =x Rõ ràng f( ) = =f 0 và K =F( ).

2.4 Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số

2.4.1 Tính chất của mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số

Mệnh đề 2.4.1.1 Cho K F là một mở rộng trường và : u1, ,u  K n sao cho u1 đại số trên F và u j đại số trên F( , ,u1 u j−1),  =j 2, , n Khi đó F( , ,u1 u n) là một mở rộng hữu hạn trên F

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp trên n Với n = ta có mở rộng đơn đại số 1

nên là mở rộng hữu hạn Giả thiết kết quả đúng cho k Đặt E=F( , ,u1 u k) Ta có

Chứng minh Cho K F là một mở rộng hữu hạn và đặt : n = K F[ : ]. Xét u K Tập hợp

{1, , ,u u n} là một tập gồm n + phần tử trong 1 K nên phụ thuộc tuyến tính Do đó tồn tại quan hệ tuyến tính không tầm thường a0+a u1 + + a u n n = 0. Nói cách khác u là nghiệm của đa thức f =a0+a x1 + + a x n nF[ ]x khác 0 Do đó u đại số trên F Mặt khác, ta có:

[K F: ] [= K F: ( )][ ( ) : ]u F u F =n Do đó [ ( ) : ] | F u F n Vậy bậc của u là ước của n

Hệ quả 2.4.1.3 Một mở rộng K F là một mở rộng hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại :

1, , n

u u  K đại số trên F sao cho K =F( , ,u1 u n)

Chứng minh Giả sử [K F: ]=n Gọi {{ , ,u1 u n} là một cơ sở của mở rộng K F Theo :mệnh đề trên thì u1, ,u n đại số trên F Rõ ràng K=F( , ,u1 u n)

số khi và chỉ khi :L K và K F là các mở rộng đại số :

Chứng minh Nếu L F: đại số thì rõ ràng các mở rộng :L K và K F đại số Ngược lại, :giả sử :L K và K F: đại số Xét u L Do u đại số trên K nên ta có

b +b u+ +b u = với b  K i không đồng thời bằng 0 Xét mở rộng F( , ,b0 b u n, ) : ,F

theo mệnh đề 2.3.1.1, đó là một mở rộng hữu hạn Do đó u đại số trên F

2.4.2 Trường con các phần tử đại số

E={uK|u đại số trên F}

là một trường con của K chứa F, gọi là trường con các phần tử đại số của K trên F Suy ra :E F là một mở rộng đại số

Chứng minh Vì mọi phần tử thuộc Fđều đại số trên F nên FE Cho u v  E, Xét

mở rộng F( , ) : u v F Theo mệnh đề 2.3.1.1 và mệnh đề 2.3.1.2, ta có F( , )u v là đại số trên F Suy ra F( , )u v E Suy ra u v uv− , F( , )u v E và nếu u  ta có 0

1

( , )

u− F u v E Vậy E là một trường

hơn 0 đều có ít nhất một nghiệm trong K

điển thường được gọi là Định lí cơ bản của đại số

i) Kđóng đại số ;

ii) Mọi đa thức thuộc K[ ]x có bậc lớn hơn không đều phân tích thành tích các nhân

tử bậc nhất ;

iii) Mọi đa thức bất khả quy trong K[ ]x đều là đa thức bậc nhất ;

iv) Mọi mở rộng đại số của Kđều trùng với K

đại số của Fnếu Kđóng đại số và :K F là mở rộng đại số

số của

E là trường con các phần tử đại số của K F: Khi đó Elà một bao đóng đại số của F

Chứng minh Ta đã biết FE là mở rộng đại số Cho

f =a0+a x1 + + a x n nE[ ]x

là một đa thức bậc lớn hơn 0 Do Kđóng đại số, đa thức f có nghiệm u K Rõ ràng

0

( , ,a a u n, ) :

F F là mở rộng đại số trên F Suy ra u E Vậy E đóng đại số

2.4.3 Mở rộng đại số lặp

Các mở rộng hữu hạn của một trường K có thể xây dựng bằng cách lặp lại nhiều

mở rộng đơn Nếu trường K có đặc số 0 người ta có thể chứng minh rằng một mở rộng nhiều lần lặp như thế có thể được sinh bởi một phần tử độc nhất chọn thích hợp Ở đây

ta không nói đến chứng minh này, mà chỉ nói trực tiếp đến các tính chất của những mở rộng nhiều lần lặp Tổng quát, nếu E là một mở rộng bất kì của trường K chứa những phần tử u u, , ,u thì kí hiệu K( , ,u u ) chỉ trường con của E sinh bởi K và các phần

tử u u1, 2, u  E r (trường con K( , ,u1 u r)) này gồm tất cả các phần tử biểu thị được dưới dạng một phân thức hữa tỉ theo u u1, 2, u rvới hệ tử thuộc K) Một mở rộng bội như thế còn có thể thu được nhờ những mở rộng đơn lặp; chẳng hạn như K( ,u u1 2) là mở rộng đơn L( )u2 của mở rộng đơn L=K( )u1 của K

Những mở rộng đại số lặp có thể xuất hiện trong việc giải phương trình và để giải người ta thường đưa vào những phương trình phụ thích hợp

3

12

3 2

x − − ix có một nghiệm u= +i 2.

Do đó phương trình đã cho ban đầu có một nghiệm trong trường E= ( , 2)i

Trường E này có thể thu được bằng cách kết nối vào số thực 2 trước, rồi đến số

ảo i Trường trung gian ( 2) chỉ gồm toàn những số thực, cho nên không chứa i Đa thức bậc hai y +2 1 nhận i làm nghiệm do đó vẫn là bất khả quy trên trường thực

( 2), cho nên mở rộng E= ( 2, )i có bậc trên ( 2) bằng 2 và có một cơ sở gồm hai phần tử 1 và i Đa thức 2

2

z − có nghiệm 2, là bất khả quy trên nên mở rộng

( 2) có bậc 2 trên và có một cơ sở 1, 2 Do đó mọi phần tử w của trường

( , 2)i

=

w = (a b+ 2) ( + +c d 2)i= +a b 2 + +ci d 2i

Với các hệ số hữu tỉ a b c d, , , có tính duy nhất Vậy 4 phần tử 1, 2, , 2i i tạo thành một

cơ sở của mở rộng E= ( 2, )i của

đó, ngoài T(0)=0 và T(1) 1= , ta có T(− = −u) Tu với mọi uE và T u( −1)=(Tu)−1 với mọi u  0 E. Vì tích TS của hai tự đẳng cấu T và S của trường E là một tự đẳng cấu, ánh xạ nghịch 1

T− của mỗi tự đẳng cấu T của E là một tự đẳng cấu và ánh xạ đồng nhất Icủa E là một tự đẳng cấu

Ta kí hiệu nhóm này là Aut E( )

Cho K là một trường và E là một mở rộng của K Ta biết rằng E cũng là một không gian vecto trên trường K, nói cách khác E có một cấu trúc K − không gian vecto Một

tự đồng cấu của K − không gian vecto là một ánh xạ T E: →E sao cho :

T u v+ =Tu Tv+ và T av( )=a Tv( ) (2)

Với bất kỳ u v, E và mọi aK Một tự đồng cấu thỏa mãn (2) và song ánh được gọi là một tự đẳng cấu của K − không gian vecto E

Để ý, khi E là một mở rộng trường của K, một tự đồng cấu của K − không gian vecto

E không nhất thiết là một tự đồng cấu của trường E, vì điều kiện thứ hai của (1) không thỏa mãn Ngược lại một tự đồng cấu của trường E cũng là một tự đồng cấu của

K − không gian vecto nếu và chỉ nếu

Ta=a với mọi aK (3)

Tức là T giữ cố định mọi phần tử của trường K

Định nghĩa 3.1.2 Cho E là một mở rộng trường của K, một tự đồng cấu T của trường E thỏa mãn (3) (tức là giữ cố định mỗi phần tử của K) được gọi là một K − tự đồng cấu của E

tự đẳng cấu là một K − tự đẳng cấu, và đẳng cấu nghịch của một K − tự đẳng cấu cũng

là một K − tự đẳng cấu Vì thế ta có

E tạo thành một nhóm, kí hiệu là Aut K( )E nhóm con của nhóm Aut E( )

T

K = a E Ta=a

là một trường con của trường E và T là một K − T tự đồng cấu của trường E.

Chứng minh Vì T 0, ta có T =1 1 nên 1K T Với bất kỳ a b, K T, ta có

E Khi đó, tập hợp K I các phần tử aE sao cho Ta=a với mọi TI là một trường con của E và I là một tập hợp những K − I tự đằng cấu của trường E

Chứng minh Với mỗi TI, theo định lý 3.1.4, Tập hợp K T = {a E Ta| =a} là một trường con của E. Do đó giao K I = K T, (TI) là một trường con của E, và mỗi TI

hiển nhiên thành một K − I tự đẳng cấu của E.

Trường con K I thường được gọi là trường các phần tử bất biến đối với tập hợp I

những tự đẳng cấu của trường E Đặc biệt, với I =Aut E( ), ta có trường con K Icủa E

gồm các phần tử bất biến qua mọi tự đẳng cấu của E, chính là trường con nguyên tố P

của E.

𝐾 = 𝐾ℋ là trường con của E tạo thành bởi các phần tử bất biến đối với ℋ, thì bậc

[ :E K] của E trên K không vượt quá cấp của nhóm ℋ