Mở đầu về Oxyz toán 12

Mở đầu về Oxyz toán 12

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

TỦ SÁCH LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

MỞ ĐẦU

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Lời giới thiệu

Chủ đề hình học giải tích không gian Oxyz tuy không phải là khó nhưng cũng không hẳn là dễ với những bạn học sinh mới bắt đầu chủ đề này Ebook nhỏ này nhằm mang tới cho bạn đọc cái nhìn khái quát và cơ bản nhất về vấn đề chủ đề này thông qua các lý thuyết cơ bản và ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết sẽ phần nào giúp các bạn

dễ tiếp cận hơn Nội dung Ebook không quá đè nặng những bài toán khó và lắt léo tuy nhiên vẫn sẽ có những bài toán đủ để khiến bạn đau đầu và tốn khá nhiều công sức để giải quyết nó Bên cạnh đó thì phần trình bày và hình vẽ cũng được đầu tư nhiều công sức với mong muốn bạn đọc có thể hiểu, tưởng tượng và suy luận ra những hướng đi mà lời giải đã giải quyết các bài toán trong đó Kì thi THPT Quốc Gia ngày một tới gần, đây có lẽ là lúc thích hợp nhất để các bạn cùng nhìn lại và ôn tập những kiến thức đã qua và đồng thời cung cấp thêm cho mình một số kinh nghiệm

để giải quyết các bài toán hay xuất hiện trong các đề thi, tập thể tác giả mong rằng cuốn sách này sẽ giúp ích cho các bạn một phần nào đó trong quá trình ôn luyện Nội dung ebook được tham khảo từ rất nhiều nguồn, các bạn xem ở cuối của tài liệu này Dù đã cố gắng để biên soạn tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, mọi

ý kiến phản hồi vui lòng gửi về địa chỉ

Tạp chí và tư liệu toán học

Link liên kết https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/

Mục lục

Chương 2 Lý thuyết về phương trình đường thẳng 32

Chương 3 Các bài toán về phương trình mặt phẳng 107

Chương 4 Các bài toán về phương trình mặt cầu 171

Chương 5 Các bài toán cực trị trong hình học không gian Oxyz 261

Chương 6 Phương pháp tọa độ hóa hình cổ điển 352

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Tóm tắt nội dung

Trong chương này chúng ta sẽ đi tìm hiểu các khái niệm và công thức cơ bản, qua đó tìm hiểu các dạng toán liên quan tới những công thức này nhằm giúp các bạn học sinh nắm vững lý thuyết cơ bản để đi sâu hơn vào các dạng bài tập khó hơn

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi i j k, , là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox Oy Oz, , Hệ ba trục như vậy gọi

là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

i

y z

x

III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Cho 2 điểmA x( A;y A;z A) (,B x B;y B;z B) khi đó thì

Trong không gian Oxyzcho hai vectơ a=( ;a a a1 2; 3), b=( ;b b b1 2; 3) Tích có hướng của hai vectơ

a và b, kí hiệu là a b,  , được xác định bởi

• Điều kiện đồng phẳng của 3 vecto a b, và c a b c,  =0

• Diện tích hình bình hành ABCD S ABCD = AB AD, 

• Diện tích tam giác ABC 1 ,

• Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ

diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh

CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

a) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA;BE vàOA=2BE c) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3AB+2AM =3CM

x y z

b) Chứng minh tam giác ABC là là tam giác vuông

c) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho MA=MB

d) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A

e) Tính số đo góc A của tam giác ABC

AB BC = + − + =  AB⊥BC  ABC vuông tại B

c) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho MA=MB

BC A AB

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC cóA(1;3; 2 ,) B(3; 5; 6− ), C(2;1;3)

a) Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB

b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox

c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho FA+FB+FC nhỏ nhất

e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung

Lời giải

a) Tìm tọa độ của điểm M là trung điểm của cạnh AB

Ta có điểm M là trung điểm của cạnh AB 1 3 3 5 2 6; ;

  hay M(2; 1; 4− ) b) Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC lên trục Ox

G là trọng của tam giác ABC 1 3 2 3 5 1 2 6 3; ;

Hình chiếu của của G lên trục Ox là H(2; 0; 0)

c) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C

Gọi N x y z( ; ; ), ta có N đối xứng với điểm A qua điểm C C là trung điểm của AN

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng (Oxz) sao cho FA+FB+FC nhỏ nhất

e) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B qua trục tung

Hình chiếu của B lên trục Oy là H(0; 5; 0− )

B đối xứng với điểm B qua trục tung  H là trung điểm của đoạn BB '( )

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2;3 ,) B(2;1;1 ,) C(0; 2; 4)

a) Chứng minh A B C, , là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm Mmp Oyz( ) sao cho 3 điểm A B M, , thẳng hàng

Vậy A B C, , là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm Mmp Oyz( ) sao cho 3 điểm A B M, , thẳng hàng

Dạng 5 Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng

Ta cần chú ý các tính chất sau

• a b, ⊥a; a b, ⊥b a b, = −b a, 

• a và b cùng phương a b,  = 0 a b c, , đồng phẳng a b c,  =0

• Diện tích hình bình hành ABCD S ABCD = AB AD, 

• Diện tích tam giác ABC 1 ,

2

ABC

S = AB AC

• Thể tích khối hộp ABCD A D C D     V ABCD A B C D.     = A B AD AA,  

• Thể tích khối tứ diện ABCD 1 ,

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện

b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Vậy A B C D, , , là 4 đỉnh của một tứ diện

b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

AB AD AD

V

d A DCGH

S

Vì vectơ b cùng phương với a nên tồn tại số k sao cho x= 2 2k ; y= −k ; z=4k

Lại có a b = 20 Suy ra 8k+ +k 16k =20 Suy ra 4

Cho vectơ a =(1;1;1); b =(1; 1;3− ) tìm vectơ c có độ dài bằng 3 , vuông góc với hai vectơ a, b

và tạo với tia Oz một góc tù

Lời giải

Gọi tọa độ của vectơ c=(x y z; ; ) Theo giả thiết ta có

3 0

b 0

j 0

c

a c c c

Kết hợp điều kiện ( )4 ta có

66262

x y

x y

a) Chứng minh A,B , C , D đồng phẳng và tứ giác ABCD là hình chữ nhật

b) Tính độ dài các đường chéo và góc giữa hai đường chéo

Lời giải

DC = nên DC= AB hay tứ giác ABCD là hình bình hành

Mặt khác AB AD = 0.3+4.0+0.0=0 nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

• Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

Ta cóAB = −( 5; 0; 10− ),AC =(3; 0; 6− ), BC =(8; 0; 4)

Xét AB AC = 24 0 24+ − = nên AC BC0 ⊥ nên ABC vuông tại C

Vậy ABC vuông tại C

• Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 8

Cho ba điểm A(1; 0; 0); B(0; 0;1); C(2;1;1)

a) Chứng minh ba điểm A,B , C không thẳng hàng

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

c) Tìm toạ độ điểm D biết ABCD là hình bình hành

d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC

e) Tính các góc của tam giác ABC

f) Xác định toạ độ tực tâm của ABC

g) Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a b c

a b c

Cách khác Tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm tam giác ABC là A(1; 0; 0)

g) Gọi I a b c( ; ; ) là toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong không gian Oxyzcho 4 điểm A(2; 1; 6 ,− ) (B − − −3; 1; 4 ,) (C 5; 1; 0− ) và D(1; 2;1)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác b) Tính thể tích tứ diện ABCD

Lời giải

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

+) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

Ta có AB = −( 5; 0; 10− ),AC =(3; 0; 6− ), BC =(8; 0; 4)

Xét AB AC = 24 0 24+ − = nên 0 AC ⊥BC nên ABC vuông tại C

Vậy ABC vuông tại C

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;3; 1 ,− ) (B −1; 0; 2 ,) (C 1; 2; 0− )

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm Dtrên Oz sao cho tứ diện ABCDcó thể tích bằng 4

c) Tìm tọa độ điểm E trên (Oyz sao cho ) AE/ /BC

d) Tìm tọa độ điểm Htrên Ox sao cho DH ⊥AC

e) Cho BFlà phân giác trong của tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F

22

12

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(0; 0;3 ,) (B 1;1;5 ,) (C −3; 0; 0 ,) (D 0; 3; 0− )

Chứng minh 4 điểm A B C D, , , đồng phằng và tính diện tích ACD

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

b) Tính độ dài đường cao DK của tam giác BCD

c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD, từ đó suy ra dộ dài đường cao AH của tứ diện

d) Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC

e) Tìm trên mặt phẳng (Oxy điểm ) M sao cho MA=MB=MC

y

a) Chứng minh rằng SA⊥(SBC), SB⊥(SAC), SC ⊥(SAB)

b) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng SMNP là tứ diện đều

Do MN=MP=NP=SM =SN =SP nên SMNP là tứ diện đều

(Hiển nhiên S không thể đồng phẳng với (MNP ) )

Điểm M thuộc trục Oynên tọa độ điểm M(0; ; 0)y MA(2;3−y;1 ;) MB(3; 4− −y;1)

Vì z z  A B 0 nên A, B khác phía đối với mặt phẳng (Oxy )

Gọi N là giao điểm của AB và (Oxy Lấy ) M( )P ta có MA + MB  AB=NA+NB

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khiN M

Suy ra T =MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi N M hay 3 điểm A, B, M thẳng hàng

T T = − = −  Vậy A, B khác phía đối với mặt phẳng (Oxy )

Đường thẳng AB quaA −( 1; 6; 6) và nhận AB =4 1; 3; 2( − − ) làm véc tơ chỉ phương, suy ra AB có phương trình

x y z

Vậy x'+ + =y' z' 2014−t t, 0,t   + + + =x' y' z' t 2014.

Số nghiệm nguyên không âm (x y z t của phương trình này là '; '; '; ) 4 1 3

2014 4 1 2017

C − + − =C tương ứng với nghiệm nguyên dương (x y z của bất phương trình ; ; ) x+ + y y 2018

a

2 min

54

a

2 min

64

a

2 min

154

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (ABC) Theo pytago và công thức diện tích ta

có S tp =S ABC+S MAB+S MCB+S MCA

Câu 24

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;1), B −( 1; 0; 2), C(3; 0; 0) Tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là (a b c và bắn kính đường tròn ngoại tiếp là ; ; ) RABC Giá trị của biểu thức T = + + +a b c RABC nằm trong khoảng nào dưới đây?

Suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC):x+2z− =3 0

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Giả sử D a b c( ; ; ) khi đó ta có

413123113

Lời giải

Gọi Đường thẳng qua và vuông góc với có phương trình

là hình chiếu của lên nên tọa độ thỏa mãn hệ suy ra

Tam giác cân tại nên

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm tạo thành tứ giác lồi A(2;1; 1− ), B(1; 2; 2− )

, C(3;1;1), D(5;3; 7) Diện tích của tứ giác lồi này có giá trị bằng?

D

Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (ADC)ta được 2.2 3 1 6+ + − =0 vô lý Vậy B

không thuộc mặt phẳng (ADC)

 + = Tứ giác qua bốn điểm A C D E, , , là tứ giác lồi ACED

Do đó hình chóp có đỉnh là B và mặt đáy là tứ giác lồi ACED

B

Kỹ năng phân giác cho ta cách xác định tọa độ điểm D Giao là chân đường phân giác của góc BAC

Từ các giả thiết đã cho, xác định các điểm đầu mút Tính thể tích

Có 0 x + y + z 2 và 0 − +x 2 y + z 2 nên tìm các điểm đầu mút

I

OB = + = , do đó hình bát diện đều B OCAC B ' ' có cạnh bằng 2

Vậy thể tích của bát diện đều là ( )3

Câu 33

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm M x y z( ; ; ) thoả mãn x + y + z =3

là một hình đa diện ( )H . Tính thể tích của khối đa diện tạo bởi ( )H

3333

Tóm tắt nội dung

Tiếp sau chương đầu tiên, trong các chương sau này chúng ta sẽ đi tìm hiểu về lý thuyết về các đối tượng đó là đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu và mối liên hệ giữa chúng Ta sẽ bắt đầu với lý thuyết về phương trình đường thằng

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d có vtcp u=(a b c; ; ) và đường thẳng d' có vtcp u'=(a b c'; '; ')

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:

+ Tìm tọa độ giao điểm H của và mặt phẳng ( ) d M( 1; =) M H1

• Cách 2 Sử dụng công thức: ( ) 1 0

1

,,

IV Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua M0(x y0; 0;z0), có vtcp

u u

V Phương trình đường phân giác trong

Đây là một dạng toán mới xuất hiện trong kì thi THPT Quốc Gia 2018 và đã làm bao nhiêu trái tim tan vỡ , hôm nay chúng ta ngồi đây và nhắc lại nó một lần nữa

Xét tam giác ABC, khi đó đường phân giác trong góc A có véctơ chỉ phương là

Dạng 1 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm phân biệt A B,

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là AB

Dạng 2 Đường thẳng  đi qua điểm M và song song với d

Cách giải:

Trong trường hợp đặc biệt:

• Nếu  song song hoặc trùng bới trục Ox thì  có vectơ chỉ phương là a = =i (1;0;0)

• Nếu  song song hoặc trùng bới trục Oy thì  có vectơ chỉ phương là a = =j (0;1;0)

• Nếu  song song hoặc trùng bới trục Oz thì  có vectơ chỉ phương là a = =k (0;1;0)

Các trường hợp khác thì  có vectơ chỉ phương là a =a d , với a d là vectơ chỉ phương của d





Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( )

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a =n, với n là vectơ pháp tuyến của ( )

Dạng 4 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d d1, 2

(hai đường thẳng không cùng phương)

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a = a a1, 2 , với a a1, 2 lần lượt là vectơ chỉ phương của d d1, 2

Dạng 5 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( )

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a = a n d,  , với a d là vectơ chỉ phương của d,

n là vectơ pháp tuyến của ( )

Dạng 6 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng ( ) ( ) , 

• Lấy một điểm bất kì trên , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý

• Xác định vectơ chỉ phương của  là a = n n,  , với n n,  lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( ) ( ) , 

Dạng 8 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a = AB, với A=d1( ) ,B=d2( )

Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc và cắt d

Cách giải:

• Xác định B=  d

• Viết phương trình đường thẳng  đi qua A B,

Dạng 11 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2, với Ad2

Dạng 12 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( )

Cách giải:

• Xác định B=  d

• Viết phương trình đường thẳng  đi qua A B,

Dạng 13 Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( ) cắt và vuông góc đường thẳng

Dạng 14 Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A của đường thẳng dvà mặt phẳng

( ) , nằm trong ( ) và vuông góc đường thẳng d(ở đây dkhông vuông góc với ( ) )

• Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A B,

Dạng 16 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng

• Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương a d =a

Dạng 17 Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) và cắt cả hai đường thẳng

• Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương a d =n

Dạng 18 Viết phương trình  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( )

Cách giải : Xác định H   sao cho AH ⊥a d ,với a d là vectơ chỉ phương của d