Từ môt điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC.Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đ[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2011 – 2012
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (5.0 điểm):
a) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn điều kiện: a2 b 72
Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 7
b) Cho A = n + n + 1
Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố
Câu 2 (4.5 điểm):
a) Giải phương trình:
2
x x x
b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thoả mãn:
xy + yz + zx = 0
Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
yz zx xy M
Câu 3 (4.5 điểm):
a) Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chứng minh rằng:
x2 + y2 + z2 3
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Câu 4 (6.0 điểm):
Cho đường tròn (O;R) và một dây BC cố định không đi qua O Từ môt điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn ( M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC).Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P
a) Chứng minh rằng: NP song song với BC
b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng OI là K Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất
Hết
-Đề chính thức
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2011 – 2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG A
( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
Câu 1
5.0đ
a
2.5đ
Giả sử a không chia hết cho 7 b không chia hết cho 7 6
6
1 7
1 7
a b
=> a + b -2 7 (1)
0.5
0.5
0.5
Ta có a + b = (a + b )(a - ab + b) 7 (Do a + b 7) (2) 0.5
Từ (1); (2) suy ra: 2 7 Điều này vô lý, do đó a và b đều chia hết cho 7
0.25 0.25
b
2.5đ
Khi n = 0 thì A = 1 (không thoả mãn) Khi n = 1 thì A = 3 (Thoả mãn)
0.25
0.5 Với n > 1 , ta có :
A = n - n + n - n + n +n +1 = n ( n - 1) + n( n - 1) + n +n +1 = ( n - 1)( n + n) + (n +n +1)
0.5
Vì n - 1 n - 1 Nên n - 1 n +n +1
Do đó : A n +n +1
Dễ thấy : A> n +n +1 với mọi n > 1 nên khi n > 1 thì A là hợp số
Vậy với n = 1 thì A có giá ttrị là một số nguyên tố
0.5
0.25 0.25
0.25
Câu 2
2.0đ 2.5đa Đặt:
Ta có: a - b = - x; do đó phương trình đã cho trở thành:
a - b + a - b =0
(a - b)(a + b + 1) =0
a = b (Do a + b + 1 > 0)
0.5
0.25
0.25
Trang 3Câu Nội dung Điểm
0.25 Lúc đó:
1
x x
=
5
2x x
=> x - = 2x -
=> x = 2
Thay vào ta được x = 2 thoả mãn, do đó phương trình có nghiệm duy nhất là x =2
0.25
0.25
0.25
b
2.0đ
Ta có: xy + yz +zx = 0 (1) Chia cả hai vế của (1) cho xyz ≠ 0 ta có
=> + + = 0
1 1 1
x y z xyz x y z x y z xy yz zx
Do
x y z
=> 3 3 3
x y z xyz
xy yz zx
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
Câu 3
4.0đ)
a
2.5đ
Ta có: a2 + b2 2ab nên:
2
2 2
ab
a b
2
ab b
ab
Do đó :
a
a b a b a - 2
b
Tương tự, ta có:
3
2 2
b
b c b - 3
2 2
c
c a c -
Từ đó suy ra được:
P = Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a = b = c =1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25 0.25
Trang 4Câu Nội dung Điểm
b
2.0đ
a
3.0đ
Ta có: x2 + 1 2x
y2 + 1 2y
z2 + 1 2z
2(x2 + y2 + z2) 2(xy + yz + zx)
Cộng 4 bất đẳng thức trên, ta được:
3( x2 + y2 + z2) + 3 2(xy + yz + zx + x + y + z)
3(x2 + y2 + z2) + 3 12 (Do xy + yz + zx + x + y + z = 6)
x2 + y2 + z2 3
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
0.25 0.25 0.25 0.25
0.5
0.25
0.25
B
E
I
O A
K
C M
N
F
P
Gọi giao điểm của OI với cung lớn BC là F
Dễ thấy các điểm O; I; M; A; N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Do đó: IANNMI (cùng chắn cung IN)
0.5
0.5 0.5
Trang 5Câu Nội dung Điểm
Mà tứ giác AION nội tiếp nên: IAN OFN
=> NMI OFN
=> Sđ
OF 2
SđNP
F là điểm chính giữa cung NP
OF NP hay NP// BC
0.5 0.5
0.5
b
3.0đ
Gọi E là giao của OA và MN
Ta có: KEO AIO
OE.OA = OI.OK (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMA có đường cao
ME, ta có:
OM2 = OE.OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OI.OK = OM2
OK = =
OK không đổi
Vẽ NH OI tại H, ta thấy : SNOK lớn nhất khi NH lớn nhất;
Mà NH ON dấu đẳng thức xẩy ra khi ON OI
Lúc đó OIAN là hình chữ nhật, do đó : IA = R
Vậy khi A ở trên tia đối của tia BC sao cho IA = R thì tam giác
NOK có diện tích lớn nhất
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25 0.5 0.25 0.5
0.25
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.
