Chứng minh rằng nếu chuỗi hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi.. Chứng minh rằng là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi cũng là một không gian mêtric đầy đủ.. Cho là hai không
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………
KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1
a Cho dãy số thực Chứng minh rằng nếu chuỗi
hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi
b Cho chuỗi hàm
Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm
Tính tổng của chuỗi hàm
Câu 2
Cho là một không gian mêtric Trên ta định nghĩa
a Chứng minh rằng là một mêtric trên
b Chứng minh rằng là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi cũng là một không gian mêtric đầy đủ
Câu 3
Cho là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và
là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy hội tụ về thì dãy bị chặn Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính liên tục
Câu 4
Xét không gian Hilbert phức gồm tất cả các dãy số phức sao cho
với tích vô hướng
Giả sử là một dãy số phức bị chặn Cho xác định bởi
a Chứng minh rằng là toán tử tuyến tính liên tục Tính chuẩn của
b Chứng minh rằng nếu là dãy số thực thì là một toán tử tự liên hiệp -
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009 Câu 1 (4đ)
a Ta có
Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi
a Ta có nên ta chỉ cần xét chuỗi trong Với bất kỳ
ta có
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi và hội tụ đều trên các khoảng
Do khi nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng
b Chú ý
Do đó
Vậy
Câu 2 (2đ)
a (1đ) Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric (0,5đ) Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm
đơn điệu tăng trên (0,5đ)
b (1đ)
cơ bản trong cơ bản trong (0,5đ)
cơ bản trong cơ bản trong (0,5đ) Câu 3 (2đ) Giả sử không bị chặn trên mặt cầu đơn vị khi đó tồn tại trên dãy mà Khi đó dãy
hội tụ về 0 nhưng
Trái giả thiết
Câu 4 (2đ)
a Kiểm tra tính tuyến tính của (0,5đ)
Trang 3ta có
Vì dãy bị chặn nên Do đó
Vậy liên tục và
Xét dãy ta có nên Suy ra
b (1đ) ta có
Vì là số tực nên tổng của chuỗi này là một số thực Vậy toán tử là tự liên hợp
Trang 4BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………
KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1
a Chứng minh bất đẳng thức
2𝑥
𝑥 + 2< ln 𝑥 + 1 , ∀𝑥 ∈ ℝ
+
b Cho 𝑎 > 1, tìm tất cả các số thực 𝛼 để chuỗi sau hội tụ
𝑎𝑛 − 1 𝛼
∞
𝑛=1
c Cho hàm số 𝑓 xác định trên hình vuông 𝐷 = 0; 1 × 0; 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1 − 𝑦 nếu 𝑥 ≤ 𝑦
𝑦 1 − 𝑥 nếu 𝑥 > 𝑦
Khảo sát tính khả vi của hàm 𝑓 tại các điểm trong của 𝐷
Câu 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên 𝑛 > 1, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất trong tập 𝐷 = 0; 1 × 0; 1 :
𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 + 𝑛 = 3𝑛𝑥
𝑥2𝑛+ 𝑦2𝑛 + 𝑛 = 6𝑛𝑥
Câu 3 Cho 𝑋 = 𝐶 0;1 với chuẩn 𝑥 = max 𝑥 𝑡 : 𝑡 ∈ 0; 1
Cho ánh xạ 𝐴: 𝑋 ⟶ 𝑋 xác định bởi
𝐴𝑥 𝑡 = 𝑡 ∙ 𝑥 1 − 𝑡 − 1 − 𝑡 ∙ 𝑥 𝑡 , ∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑡 ∈ 0; 1 Chứng minh 𝐴 là ánh xạ tuyến tính liên tục Tìm 𝐴
Câu 4 Cho 𝐻 là một không gian Hilbert
a Giả sử 𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℕ∗ là hệ trực giao trong 𝐻 Chứng minh rằng, chuỗi ∞𝑛 =1𝑥𝑛 hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn)
b Cho 𝑥𝑛 là dãy hội tụ yếu về 𝑥 trong 𝐻 Giả sử dãy 𝑥𝑛 hội tụ về 𝑥 trong ℝ Chứng minh dãy 𝑥𝑛 hội tụ mạnh về 𝑥
-
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 5ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1 (4đ)
a Xét hàm 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − 2𝑥
𝑥 +2, 𝑥 ≥ 0 Ta có 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 𝑥+4
𝑥+1 𝑥+2 2 , 𝑥 > 0
Do vậy 𝑓 𝑥 > 𝑓 0 = 0 hay ln 1 + 𝑥 > 2𝑥
𝑥+2 , 𝑥 > 0 (1đ)
b Đặt 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 − 1 thì 𝑎𝑛 > 0 và 𝑎𝑛 = 1 + 𝑎𝑛 Theo trên ta có
2𝑎𝑛
𝑎𝑛 + 2 <
1
𝑛ln 𝑎 = ln 1 + 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛 hay 𝑛𝑎𝑛 2
𝑎𝑛 + 2< ln 𝑎 < 𝑛𝑎𝑛 (0,5đ) Suy ra lim𝑛→∞𝑛𝑎𝑛 = ln 𝑎 Nên các chuỗi ∞𝑛=1 𝑎𝑛 − 1 𝛼 và 1
𝑛 𝛼
∞ 𝑛=1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 𝛼 > 1 và phân kỳ khi 𝛼 ≤ 1 (1đ)
c Dễ thấy 𝑓 khả vi tại các điểm của 𝐷 mà 𝑥 < 𝑦 hay 𝑥 > 𝑦 (0,5đ)
Để xét tính khả vi của 𝑓 tại các điểm 𝑎, 𝑎 , 𝑎 < 1, ta xét hàm
𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑎 , khi đó 𝜑′ 𝑎+ = −𝑎 ≠ 𝜑′ 𝑎− = 1 − 𝑎 tại mọi 𝑎 < 1 Suy
ra 𝑓 không khả vi tại các điểm 𝑎, 𝑎 , 𝑎 < 1 (1đ)
Câu 2 (2đ)
Xét không gian metric 𝑋 = ℝ2 với khoảng cách 𝑑 xác định bởi
𝑑 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 = max 𝑥1− 𝑥2 , 𝑦1 − 𝑦2 , ∀ 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 ∈ 𝑋
𝑋, 𝑑 là không gian metric đầy đủ (0,5đ) Xét hàm 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑋 xác định bởi
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥
𝑛 + 𝑦𝑛 + 𝑛
𝑥2𝑛 + 𝑦2𝑛 + 2𝑛
6𝑛 , 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
∀ 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 ∈ 𝑋 ta có
𝑑 𝑓 𝑥1, 𝑦1 , 𝑓 𝑥2, 𝑦2 =
= max 𝑥1𝑛 − 𝑥2𝑛 + 𝑦1𝑛 − 𝑦2𝑛
𝑥12𝑛 − 𝑥22𝑛+ 𝑦12𝑛 − 𝑦22𝑛
Chú ý
𝑥1𝑛 − 𝑥2𝑛 + 𝑦1𝑛 − 𝑦2𝑛 ≤ 𝑥1𝑛 − 𝑥2𝑛 + 𝑦1𝑛 − 𝑦2𝑛 ≤ 𝑛 𝑥1− 𝑥2 + 𝑦1− 𝑦2
≤ 2𝑛 𝑑 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2
𝑥12𝑛− 𝑥22𝑛 + 𝑦12𝑛 − 𝑦22𝑛 ≤ 𝑥12𝑛 − 𝑥22𝑛 + 𝑦12𝑛 − 𝑦22𝑛
≤ 2𝑛 𝑥1− 𝑥2 + 𝑦1− 𝑦2 ≤ 4𝑛 𝑑 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 (0,5đ)
Do đó 𝑑 𝑓 𝑥1, 𝑦1 , 𝑓 𝑥2, 𝑦2 ≤2
3𝑑 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 Theo nguyên lý ánh xạ
co, có duy nhất 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 sao cho 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , tức là hệ phương trình có duy nhất nghiệm (0,5đ)
Câu 3 (2đ)
Kiểm tra tính tuyến tính của 𝐴 (0,5đ)
Trang 6∀ 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑡 ∈ 0; 1 ta có 𝐴𝑥 𝑡 ≤ 𝑡 𝑥 1 − 𝑡 + 1 − 𝑡 𝑥 𝑡 ≤ 𝑥 Nên
𝐴𝑥 ≤ 𝑥 Vậy A liên tục và 𝐴 ≤ 1 (1đ) Xét hàm 𝑥 𝑡 = 2𝑡 − 1, 𝑡 ∈ 0; 1 Ta có 𝑥 = 1 còn
𝐴𝑥 = max𝑡∈ 0;1 1 − 2𝑡 =1 Vậy 𝐴 = 1 (0,5đ)
Câu 4 (2đ)
a Đặt 𝑆𝑛 = 𝑛𝑖=1𝑥𝑛 Giả sử lim𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑥0. Khi đó với mọi 𝑥 ∈ 𝐻 ta có
lim
𝑛→∞ < 𝑆𝑛 − 𝑥0, 𝑥 > ≤ lim
𝑛→∞ 𝑆𝑛 − 𝑥0 ∙ 𝑥 = 0 Vậy 𝑆𝑛→ 𝑥𝑤 0 (0,5đ) Ngược lại, giả sử 𝑆𝑛 → 𝑥𝑤 0 khi đó với mọi 𝑥 ∈ 𝐻 ta có
lim𝑛→∞ < 𝑆𝑛, 𝑥 > =< 𝑥0, 𝑥 >
Do đó dãy < 𝑆𝑛, 𝑥 > 𝑛 bị chặn Theo nguyên lý bị chặn đều 𝑆𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 Suy ra 𝑆𝑛 2= 𝑛 𝑥𝑖 2
𝑖=1 ≤ 𝑀2, ∀𝑛 Vì vậy ∞ 𝑥𝑛 2
𝑛=1 hội tụ nên ∞𝑛=1𝑥𝑛 hội tụ (0,5đ)
b Giả sử 𝑥𝑛 → 𝑥 Ta có 𝑤
𝑥𝑛 − 𝑥 2 =< 𝑥𝑛 − 𝑥, 𝑥𝑛 − 𝑥 >=< 𝑥𝑛, 𝑥𝑛 > −< 𝑥, 𝑥𝑛 > −< 𝑥𝑛, 𝑥 > + +< 𝑥, 𝑥 > = 𝑥𝑛 2−< 𝑥, 𝑥𝑛 > −< 𝑥𝑛, 𝑥 > + 𝑥 2 (0,5đ) Theo giả thiết lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑥 nên lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 − 𝑥 = 0 Vậy
lim
𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 (0,5đ)