Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không [r]
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs
năm học 2008-2009
MễN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Đề thi cú một trang
CÂU 1 (2 điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh
xyz x y z.
CÂU 2 (2 điểm)
a) Giải phương trỡnh
3
b) Cho cỏc số dương x, y, z thỏa món điều kiện xyz = 100 Tớnh giỏ trị của biểu thức
y
A
CÂU 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu cỏc số x, y, z cú tổng là một số khụng õm thỡ
x y z 3xyz
b) Cho m, n là cỏc số thỏa món điều kiện
1 mn 2
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
CÂU 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh m 4 x m 3 y 1 (m là tham số) Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
CÂU 5 (2,5 điểm)
Cho đường trũn tõm O, đường kớnh BC = 2R Từ điểm P trờn tia tiếp tuyến của đường trũn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường trũn Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn BC, E là giao điểm của PC và AH
a) Chứng minh E là trung điểm của AH
b) Tớnh AH theo R và khoảng cỏch d = PO
Họ và tờn thớ sinh SBD
Chỳ ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2008-2009
MễN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chớnh thức cú 4 trang)
I Một số chỳ ý khi chấm bài
Hướng dẫn chấm thi dưới đõy dựa vào lời giải sơ lược của một cỏch, khi chấm thi giỏm khảo cần bỏm sỏt yờu cầu trỡnh bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic
Thớ sinh làm bài cỏch khỏc với Hướng dẫn chấm mà đỳng thỡ tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
Điểm bài thi là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn số
II Đáp án và biểu điểm CÂU 1 (2 điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh
xyz x y z .
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Phương trỡnh đó cho tương đương với
1
0,25 điểm
Không mất tính tổng quát, giả sử x y z (*) 0,25 điểm
- Nếu z 3 thỡ 2
1
- Nếu z 2 thỡ phương trỡnh đó cho trở thành
2xy x y 2 Hay 2x 1 2y 1 5
0,25 điểm
Do (*) nên chỉ có trờng hợp 2x - 1 = 5 và 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 1 0,25 điểm
- Nếu z 1 thì phơng trình đã cho trở thành
xy x y 1
x 1 y 1 2
0,25 điểm
Do (*) nờn chỉ cú trường hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2 0,25 điểm Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3) 0,25 điểm
CÂU 2 (2 điểm)
Trang 3a) Giải phương trình
3
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100 Tính giá trị của biểu thức
y
A
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
4x3 x33x23x 1 0,25 điểm
3 3
x 43 x 1
34 1 x 1 0,25 điểm Nghiệm của phương trình: 3
1 x
4 1
xy
A
xy
A
xy
A
CÂU 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì
x y z 3xyz
b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện
1 mn 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
§¸p ¸n biÓu ®iÓm
a) (1,25 điểm) Ta có
3
0,25 điểm
3
0,25 điểm
Trang 4x y z x y y z z x
1
0
2 (Do giả thiết x + y + z 0 ) 0,25 điểm Suy ra P x 3 y3 z3 3xyz0 và do đú x3 y3 z3 3xyz 0,25 điểm b) Từ
2
m n 2mn m n 0 và giả thiết suy ra m2n2 2mn 1 0,25 điểm
Do đú
Áp dụng BĐT a b 2 ab với a, b khụng õm, đấu đẳng thức cú khi a = b, ta
cú
1 15 17 P
Kết luận: min
17 P
4
, đạt được khi
1
m n
2
0,25 điểm
CÂU 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh m 4 x m 3 y 1 (m là tham số) Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
b) Với mọi m, đường thẳng (d) khụng đi qua gốc toạ độ O(0; 0)
m = 4, ta cú đường thẳng y = 1, do đú khoảng cỏch từ O đến (d) là 1 (1)
m = 3, ta có đờng thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)
0,50 điểm
m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lợt tại
1
A 0;
m 3
1
m 4
0,25 điểm
Hạ OH vuụng gúc với AB, trong tam giỏc vuụng AOB, ta cú
2
0,50 điểm
Suy ra OH2 2 OH 2 (3)
Từ (1), (2), (3) ta cú GTLN của OH là 2, đạt được khi và chỉ khi m =
7
2 Kết luận: m =
7
2.
0,25 điểm
Trang 5CÂU 5 (2,5 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đờng tròn tại B,
vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đờng tròn Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH
a) Chứng minh E là trung điểm của AH
b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO
Đáp án biểu điểm
E
O
P
C B
A
H
a) Ta cú AH // PB (vỡ AH, PB cựng vuụng gúc với BC)
(1) 0,25 điểm Lại cú AC // PO (vỡ AC, PO cựng vuụng gúc với AB) nờn hai tam giỏc vuụng
AHC và PBO đồng dạng
(2)
0,50 điểm
Mà CB = 2.BO nờn AH = 2 EH hay E là trung điểm của AH 0,25 điểm b) Ta cú AH2 = HB HC = (2R – HC)HC 0,25 điểm
AH.CB AH.CB
PB AH 2R PB R AH
R2 PB AH 2R PB2 2
Mà PB2 d2 R2 nờn
2
2
2R
d
Hết