Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB lần lượt tại E và F.. -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
ĐỀ DỰ BỊ
(Đề thi có 1 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012
Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A = 6 2 2 3 2 12 18 128
Câu 3:(2,0 điểm ) Tính P =
Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC cắt
tiếp tuyến tại A của (O) ở M Tiếp tuyến tại C với (O) cắt AM tại I
Chứng minh IA = IM
Câu 5:(1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
2
Câu 6:(1,5điểm) Cho 2 số a,b sao cho ab 0 Chứng minh : a2 b22 a b 4
Câu 7:(1,5điểm) Chứng minh : 420104201142012 chia hết cho 84
Câu 8:(1,5điểm) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) cắt nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB
(AO;R , B O ', r) Chứng minh rằng : AB 2 Rr
Câu 9:(1,5điểm) Giải phương trình : x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
Câu 10:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC)có trung tuyến AM.Gọi số đo của góc ACB
là α Số đo của góc AMB bằng β Chứng minh rằng: ( sin α + cos α )2 = 1 + sin β
Câu 11:(1,5điểm) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a b c 2 abc 1 Tính giá trị của biểu thức:
B a(1 b)(1 c) b(1 c)(1 a) c(1 a)(1 b) abc 2012
Câu 12:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB lần lượt tại E và F
Chứng minh rằng:
2 2
HẾT -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
- Giám thị không được giải thích gì thêm
Trang 2Họ và tên thí sinh : Giám thị 1: Ký tên
Số Báo danh Giám thị 2: Ký tên
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO LÂM ĐỒNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A = 6 2 2 3 2 12 18 128
A = 6 2 2 3 4 2 3
A = 6 2 3 1
Câu 3:(2,0 điểm ): Tính P =
P = 1−1
3+
1
3−
1
5+
1
7−
1
7+ .
1
1
P = 1− 1
Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC
cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M Tiếp tuyến tại C với (O) cắt AM tại I Chứng minh IA = IM.
Chứng minh được OIAC 0,5đ
Câu 5:(1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
2
M =
2
x
I
O
C
M
Trang 3 M
37
36
0,5đ
giá trị nhỏ nhất của M là
37 36
Câu 6:(1,5điểm) Cho 2 số a,b sao cho ab 0 Chứng minh : a2 b22 a b 4
(1)
a b 2 a b2 a b4 0
a b [ a b 2 2 a b ] 02
0,5đ
a b 4ab 02
(2)
Câu 7:(1,5điểm) Chứng minh : 420104201142012 chia hết cho 84.
2010 2011 2012 2010 2
0,5đ
Câu 8:(1,5điểm) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r)cắt nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB
(AO R B; , O r', ).Chứng minh rằng : AB2 Rr
Vẽ O’C//AB =>ABO’C là hình chữ nhật => AB = O’C 0,25đ
O'C OO'2 R r 2 AB OO '2 R r 2
0,5đ OO’< R+r => OO’2 < (R+r)2
AB R r 2 R r 2
0,25đ AB 4Rr AB 2 Rr 0,5đ
Câu 9:(1,5điểm) Giải phương trình x4 - 30x 2 + 31x - 30 = 0
x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*) 0,5đ
(*) (x - 5)(x + 6) = 0
Câu 10:(1,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC) có trung tuyến AM.Gọi số đo của góc ACB là α
Số đo của góc AMB bằng β Chứng minh rằng: ( sin α + cos α ) 2 = 1 + sin β .
Từ A vẽ AH BC
Vì AB < AC nên HB < HC
Do đó H nằm giữa B và M
Nên sin β =
AH
2AH
BC ( Vì AM =
1
0,5đ
B A
C
A
Trang 4Mặt khác: (sin α+cosα¿2 = sin2 α + cos2 α + 2sin α cos α
= 1 + 2sin α cos α
Mà 2sin α cos α = 2
AB AC
BC
Do đó sin β = 2sin α cos α
Vì vậy (sin α+cos α¿2 = 1+ sin β
0,5đ
Câu 11:(1,5điểm) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a b c 2 abc 1 Tính giá trị của biểu thức:
B a(1 b)(1 c) b(1 c)(1 a) c(1 a)(1 b) abc 2012
a(1 b)(1 c) a(1 b c bc)
Tương tự : b(1 c)(1 a) b abc
Khi đó B a b c 3 abc abc 2012 a b c 2 abc 2012 2013 0,5đ
Câu 12:(1,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tai A có AB <AC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB lần lượt tại E và F Chứng minh rằng:
2 2
Chứng minh được AEIđồng dạngIFB 0,5đ
IF BI FB (1) Chứng minh IE=IF (2) 0,5đ
Từ (1,2) chứng minh được
2 2
HẾT
Ghi chú: Nếu học sinh giải đúng bằng cách khác thì giám khảo căn cứ biểu điểm để cho điểm tương ứng.