0 Câu III 1 điểm Tính tích phân Câu IV 1 điểm Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm O của tam giác[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 32
Ngày 30 tháng 1 năm 2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số yx3 3x2 4
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
Câu II (2điểm)
1 Giải hệ phương trình:
y y
x x
y y x y x
) 2 )(
1 (
4 ) ( 1
2 2
(x, y R)
2 Giải phương trình:
8 1
3
tan 6 tan
3 cos cos 3 sin
x x
x x x
x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
1
0
2
) 1 ln(x x dx x
I
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa
BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 8
3
2
a
Tính thể tích
khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1 3
2
1 3
2
1
2 2 2
2 2
2
a c c
b b
a
P
PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2)
Phần 1 C âu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): yx2 2x và elip (E):
1
9
2
2
y
x
Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn.
Viết phương trình đường tròn đi qua 4 điểm đó
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình
0 11 6 4 2
2
2
2
phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi
bằng 6
Câu VII.a(1điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
4
2 1
6560 1
2 3
2 2
2 2
1 2
3 1 2 0
n
C n C
C
n n n
n
(C n k là số
tổ hợp chập k của n phần tử)
Phần 2 Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y - 7=
0 và tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 vàđiểm C thuộc d2 Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 MB2 MC2
Trang 2Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình
1
) 1 ( 2
y x e
x e
e
y x
(x, y R) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ 32
Câu 1: 1, Khảo sát hàm số yx3 3x2 4
1 Tập xác định: R
2 Sự biến thiên:
a) Giới hạn: lim ylim (x x 4), lim ylim (x3 x2 4)
x x
2 3 x x
b) Bảng biến thiên: y' = 3x2 - 6x, y' = 0 x = 0, x = 2
Bảng biến thiên:
x - 0 2 + y' + 0 - 0 +
y
4 +
- 0
- Hàm số đồng biến trên (-; 0) và (2; +), nghịch biến trên (0; 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 0
3 Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0) Nhận điểm uốn
I(1; 2) làm tâm đối xứng
Câu1 : 2,Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc
d có phương trình y = m(x – 3) + 4
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình
0 m x
3 x 0 ) m x )(
3 x ( 4 ) 3 x ( m 4
x
x
2 2
2
3
Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và y'( m).y'( m)1
9
35 3 18 m 0 1 m 36 m 9 1 ) m 6 m 3 )(
m
6
m
3
(thỏa mãn)
Câu 2: 1, Giải hệ phương trình đại số
Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ
Hệ phương trình tương đương với
1 ) 2 y x ( y
1 x
2 2 y x y
1 x
2 2
Đặt
2 y x v , y
1 x u
2
Ta có hệ
1 v u 1
uv
2
v
u
Suy ra
1 2 y x
1 y
1
x2
x y
4
2
1
Trang 3Giải hệ trên ta được nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5)
Câu 2: 2,Giải phương trình lương giác
Điều kiện:
0 3 x cos 6 x cos 3 x sin 6 x
Ta có
1 x 6
cot 6 x tan 3
x tan 6 x
1 x cos x cos x sin x
1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 cos 2x cos 2x cos 4x 1
2
1 x cos 8
1 x cos 2
1 ) x cos x 2 cos x
2
(cos
k 6
x
(lo¹i) k
6
x
,(kZ) Vậy phương trình có nghiệm
6
x
,(kZ)
Câu 3:Tính tích phân Đặt
2 / x v
dx 1 x x
1 x 2 du xdx
dv
) 1 x x ln(
u
2 2 2
2
2 0 0
1
0 2 1
0 2 1
dx 4
3 dx 1 x x
1 x 2 4
1 dx ) 1 x ( 2
1 3 ln 2 1
1 0 2
1 0
2
I 4
3 3 ln 4
3 I 4
3 ) 1 x x ln(
4
1 x x
2
1
3
ln
2
1
* Tính I1:
1
0
2 2
1
2
3 2
1 x
dx I
Đặt
2
, 2 t , t tan 2
3 2
1 x
3 t
3
3 2 t tan 1
dt ) t tan 1 ( 3
3 2
I
3 /
6 /
3 /
6 / 2
2 1
3 3 ln 4
3
Câu 4: Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’, Khi đó (P)
(BCH) Do góc A ' AM nhọn nên H nằm giữa AA’ Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác
3 a AM 3
2 AO , 2
3 a
3 a HM 8
3 a BC HM 2
1 8
3 a S
2 2
4
a 3 16
a 3 4
a 3 HM
AM
AH
2 2 2
2
Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên AH
HM AO
O ' A
a a 3
4 4
3 a 3
3 a AH
HM AO O
'
3 a a 2
3 a 3
a 2
1 BC AM O ' A 2
1 S
O ' A V
3
Câu 5 : Tìm giá trị lớn nhất
A
B
C
C’ B’
A’
H
Trang 4Ta có a2+b2 2ab, b2+ 1 2b ab b 1
1 2
1 2 1 b b a
1 3
b a
1
2 2 2 2
1 2
1 3 a 2 c
1 , 1 c bc
1 2
1 3 c 2 b
1
2 2 2
2
2
1 b ab 1
b ab
1 b
ab 1
b ab
1 2
1 1 a ca
1 1 c bc
1 1 b
ab
1
2
1
2
1
P
khi a = b = c = 1 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2
1 khi a = b = c = 1
Câu 6a: 1,Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P)
Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình
0 9 x 37 x 36 x 9 1 ) x
2
x
(
9
(*) Xét (x)9x4 36x337x2 9, f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0,
f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E)
cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ
1 y 9 x
x x y
2 2 2
0 9 y x 16 y x 9 9
y
x
y x 16
2
2
2
(**) (**) là phương trình của đường tròn có tâm
9
4
; 9
8 I
, bán kính R = 9
161
Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**)
Câu 6a: 2,Viết phương trình mặt phẳng ()
Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5 Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3 Khoảng cách từ I tới () là h = R2 r2 52 32 4
Do đó
(lo¹i) 17 D
7 D 12 D 5 4
) 1 ( 2 2
D 3 ) 2 ( 2 1
2
2 2
2
Vậy () có phương trình 2x + 2y – z - 7 = 0
Câu 7a : Tìm hệ số của x 2 Ta có
2
0
n n n 2
2 n 1 n 0 n 2
0
n
dx x C x
C x C C dx ) x 1 (
2
0
1 n n n 3
2 n 2
1 n 0
1 n
1 x
C 3
1 x C
2
1
x
suy ra I
n n
1 n 2
n
3 1 n
2 0
1 n
2 C
3
2 C 2
2 C 2
(1)
1 3 )
x 1 ( 1 n
1 I
1 n 2 0 1 n
(2)
Từ (1) và (2) ta có
n n
1 n 2
n
3 1 n
2 0
1 n
2 C
3
2 C 2
2 C 2
1 n
1
3n 1
6560 1
n
1
7
0
4 k 14 k 7 k
k 7
k 7 k 7 7
2
1 x
2
1 x
C x
2 1 x
Trang 5Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn 4 2 k 2
k 3 14
Vậy hệ số cần tìm là 4
21 C 2
1 2
7
Câu b:1, Viết phương trình đường tròn
Do B d1 nên B = (m; - m – 5), C d2 nên C = (7 – 2n; n)
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
0 3 n 5 m 3
2 3 n 7 m 2
1 n
1 m 2 n m
3 n m
Suy ra B = (-1; -4), C= (5; 1)
Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình
0 c by 2 ax
2
y
x2 2 Do A, B, C (C) nên ta có hệ
27 / 338 c
18 / 17 b
54 / 83 a
0 c b a
10
1
25
0 c b a
2
16
1
0 c b a
4
9
4
338 y 9
17 x 27
83 y
Câu 6b :2, Tìm giá trị nhỏ nhất Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra G =
3
; 3
8
; 3 7
2 2
2
GC MG GB
MG GA
MG MC
MB MA
2 2 2 2 2
2 2 2
GC GB GA MG 3 ) GC GB GA ( MG 2 GC GB GA
MG
F nhỏ nhất MG2 nhỏ nhất M là hình chiếu của G lên (P)
19 1
1 1
3 3 3 / 8 3 / 7 )) P ( , G
(
d
64 9
104 9
32 9
56 GC GB
553 3
64 3
3
19 3
2
khi M là hình chiếu của G lên (P)
Câu 7b: Giải hệ phương trình mũ
1 y x e
1 y x e 1
y
x
e
) 1 x ( 2 e
e
y x
y x
y
x
y
x
y
x
Đặt u = x + y , v = x - y ta có hệ
) 2 ( u v e e
) 1 ( 1
u e 1 v e
1 u e
v u v
u v
- Nếu u > v thì (2) có vế trái dương, vế phải âm nên (2) vô nghiệm
- Tương tự nếu u < v thì (2) vô nghiệm, nên (2) u v
Thế vào (1) ta có eu = u+1 (3) Xét f(u) = eu - u- 1 , f'(u) = eu - 1
Bảng biến thiên:
u - 0 + f'(u) - 0 +
f(u)
0 Theo bảng biến thiên ta có f(u) = 0 u 0
0 y
0 x 0 y x
0 y x 0 v
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (0; 0)