De Dap an KSCL HSG lop 9 NH 1213

Chứng minh rằng AM=AN b Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm trong tam giác.. Gọi D,E,F thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB..[r]

PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC

TRƯỜNG THCS PHẠM CÔNG BÌNH

-ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN 4

NĂM HỌC: 2012- 2013 MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

-Ngày thi: 03 tháng 01 năm 2013

Câu 1: (2.5 điểm)

a) Cho a xy  (1x2)(1y2); b x 1y2 y 1x2 Biết tích xy là số dương, hãy tính b theo a

b)Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc trong hệ thập phân sao cho

2

2

1 ( 2)

abc n





 



Câu 2: (2.5 điểm)

a) Cho

( )

    So sánh f n( 1) f n( 1) với f n( ) b) Giải phương trình

Câu 3: (1.5 điểm)

Giải hệ phương trình

2

2

1 1







Câu 4: (2.5 điểm)

a) Cho tam giác nhọn ABC, kẻ các đường cao BB’ và CC’ Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn BB’ và CC’ sao cho AMCANB900 Chứng minh rằng AM=AN

b) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm trong tam giác Gọi D,E,F thứ

tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB Hãy xác định vị trí điểm M sao cho tổng MD2ME2MF2 có giá trị nhỏ nhất

Câu 5: (1.0 điểm)

Cho các số nguyên không âm a,b,c,d thỏa mãn





 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 2b2c2d2

- Hết

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !

PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC

TRƯỜNG THCS PHẠM CÔNG BÌNH

-HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN 4

NĂM HỌC: 2012- 2013 MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

-Ngày thi: 03 tháng 01 năm 2013

Câu 1

a) Tính được a2  1 x2y22x y2 22xy (1x2)(1y2) (1)

b2 x2y22x y2 22xy (1x2)(1y2) (2)

Từ (1) và (2) suy ra b2 a21

Do xy 0 x y, cùng dấu

+ Nếu x>0 ; y>0 thì b>0 suy ra b a21

+ Nếu x<0 ; y<0 thì b<0 suy ra b a21

b) Ta có abc100a10b c n  2 (1)1

cba100c10b a n  2 4n (2)4

Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được 99(a c ) 4 n 5 (*)

Từ (*) suy ra 4n   (3)5 99

Do abc n 2 1 100n2 1 999101n21000

11 n 31 39 4n 5 119

       (4)

Từ (3) và (4) suy ra 4n 5 99  n26 abc675

a) Tính được

( )

f n

Vậy (f n1) f n( 1)f n( )

b) ĐKXĐ x 2012

Khi đó x1 0; x 2 0; x 3 0; ; x 2012 0; x 1 2013 0

Pt đã cho

2012x (1 2 3 2012) x 1 2013x 2025078 x 2012

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2013

Câu 3 Trừ vế với vế của phương trình đầu cho phương trình sau ta được

1 0

x y







+ Nếu x=y, từ pt đầu ta có

2

1

2

x

x







 



Hệ có nghiệm

(1;1); ;

 

+ Nếu x y   1 0 yx Từ pt đầu của hệ có 01 x  Phương trình có0

vô số nghiệm suy ra hệ có vô số nghiệm ( ;k k 1) trong đó k R

Vậy tập nghiệm của hệ là

1 1 (1;1); ; ;( ; 1)

a) Tam giác AMC vuông tại M có MB’ là đường cao nên ta có

AM2 AB AC'. (1)

Tương tự có AN2 AC AB'. (2)

Do các tam giác AB’B và AC’C đồng dạng nên

Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra AM=AN (đpcm)

b)Kẻ đường cao AH, gọi K là hình chiếu của M trên AH

Ta có ME2MF2 MA2 AK2

Khi đó

Suy ra 2 2 2

2

1 2

MD ME MF

là trung điểm của AH Cộng vế với vế 2 đẳng thức đã cho ta có

3(a2b2c2d2) 42 d2 42

 3P42 P14 Dấu bằng xảy ra khi d=0

Khi đó ta có







Từ (2) suy ra b chẵn và b<3 suy ra b=0 ;2

+ Nếu b=0 suy ra a2  3 a Z Loại

+ Nếu b=2 ta có a2  1 a ( do a không âm)1

- Nếu a=1 suy ra c= 3

Vậy MinP=42 khi (a ;b ;c ;d)=(1 ;2 ;3 ;0)