Phương trình đường tròn 1,0 điểm Gọi abcd là số có 4 chữ số khác nhau đôi một lấy từ các chữ số trên và chia hết cho 5.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y4x33x C
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C
của hàm số
2 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3x 4x3 3m4m3 0 có 3 nghiệm thực phân biệt
Câu II (2,0 điểm).
1 Giải phương trình:
2
6
2 Giải hệ phương trình:
3 6 2 9 2 4 3 0
2
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn:
3 0
cos lim
x x
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh a, SAABC
;
2
SA a Gọi M N, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC Tính thể tích khối chóp
A BCNM theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số x y z, , thuộc đoạn 0;2 và x y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2
A x y z xy yz zx
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C4; 1
, đường cao và đường trung tuyến hạ
từ một đỉnh lần lượt có phương trình d1: 2x 3y12 0; d2: 2x3y0 Viết phương trình các cạnh của
tam giác ABC.
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x4y 5 0;d2: 4x 3y 5 0 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng :x 6y 10 0 và tiếp xúc với d d1, 2.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức
3
x x
, biết n là số tự nhiên thỏa
mãn hệ thức n 46 2 454
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm).
1 Cho ABC biết A2; 1
và hai đường phân giác trong của góc B C, lần lượt có phương trình là
2 Cho hai điểm M1; 2 , N3; 4
và đường thẳng dcó phương trình x y – 3 0 Viết phương trình
đường tròn đi qua M, N và tiếp xúc với đường thẳng d
Trang 2Câu VII.b (1,0 điểm) Cho tập hợp X 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8 Ký hiệu G là tập hợp tất cả các số có 4 chữ
số đôi một khác nhau lấy từ tập X, chia hết cho 5 Tính số phần tử của G Lấy ngẫu nhiên một số trong tập
G, tính xác suất để lấy được một số không lớn hơn 4000.
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI B
———————————
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
I 1 1,0 điểm
TXĐ:D
Giới hạn: xlim y ; limx y ;
SBT y'12x23;
1 ' 0
2
0.25
BBT:
0.25
Hàm số đồng biến trên
1 1
;
2 2
, nghịch biến trên các khoảng
1
; 2
1
; 2
Hàm số đạt cực đại tại
1 2
x
, y CD 1, Hàm số đạt cực tiểu tại
1 2
x
, y CT 1
0.25
y’
y
1 2
2
0 0
1
1
Trang 3Đồ thị:
y x y x Đồ thị hàm số có điểm uốn O(0; 0).
Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối xứng.
0.25
2 1,0 điểm
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
3
y m m
Từ đồ thị suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1 3m 4m31
0.5
2 3
2
1 2
m
m
m
0.5
II 1 1,0 điểm
Ta có:
6
6
0.25
6
x x
2
Vậy phương trình có nghiệm 2 ;
3
x k kZ
0.5
2 1,0 điểm
Đk
0 0
x y
x y
0.25
Trang 4 2
4
2
Với xy, thay vào phương trình
Với x4y, thay vào phương trình
ta được:
32 8 15
8 2 15
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:2;2
III 1,0 điểm
3
2 3
2 0
sin
4
x
x
x
x x
Xét SAB và SAC có ABAC; SA chung A 900
SAB SAC SB SC SBC
là tam giác cân
Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có:
0.25
Áp dụng định lý Pytago:
5
a
;
5
a
Ta có các tỷ số:
.
S AMN
S ABC
V
3
S AMN S ABC
a
ABCNM S ABC S AMN
(đvtt) 0.25
Trang 5Ta có x y z 2 x2y2z22xy yz zx
2 2 2
9
Vậy nên 3 2 2 2 9
0.25
Không mất tính tổng quát, giả sử: x y z 3 x y z 3x x 1 x1;2
Lại có: y2z2(y z )23 x2 x2y2z23 x2x2 2x2 6x9 0.25
2
(1) 5; (2) 5;
0.25
Suy ra x2y2z2 5, đẳng thức xảy ra khi
1
2 2
1 0
0 3
x
x x
y yz
z
x y z
x y z
Vậy A max 3 khi x2, y1, z0 hoặc các hoán vị của chúng
0.25
VI.a 1 1,0 điểm
Vì C không thuộc d d1; 2 nên giả sử A thuộc d d1; 2
Phương trình BC: BCd1 BC: 3 x 2y c 0; C BC c10
0.25
Phương trình cạnh AC: Điểm A d 1d2 tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
3; 2
A
Phương trình cạnh AC:
0.25
Phương trình cạnh AB: Gọi M là trung điểm BC khi đó M d2BC, suy ra tọa độ điểm
M là nghiệm của hệ: 3 2 10 0 6; 4
M
Tọa độ điểm B được xác định bởi:
0.25
Phương trình cạnh AB:
Vậy phương trình 3 cạnh của ABC là:
0.25
2 1,0 điểm
Xét I a b ;
là tâm và R là bán kính đường tròn (C) Do I a6b10 1
Đường tròn (C) tiếp xúc với
1 2
2 5
;
3 5
R
d d
R
0.25
Trang 6Từ (1); (2); (3) suy ra 3 6 b104b5 4 6 b10 3b 5
0
70
43
b
0.25
Từ (1) suy ra
10 10 43
a a
7 7 43
R R
0.25
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn:
;
2
:
C x y
0.25
VII.a 1,0 điểm
Từ hệ thức đã cho suy ra n 6
4
n
0.25
3 2
2
x
Hệ số của x4 tương ứng với 24 4 k 4 k 5
Vậy hệ số của x4 là C85 52 18 5 1792
VI.b 1,0 điểm
Lấy A A1; 2 theo thứ tự là điểm đối xứng của A
qua d d B; C A A1; 2BC
Vậy phương trình đường thẳng A A1 2 cũng
Xác định A1:
Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và d1 d B d1: 2x y 3 0
Gọi E d 1d B E1;1
Vì E là trung điểm của A A1 A10;3
0.25
Xác định A2: Gọi d2 là đường thẳng đi qua A và d2 d C d x y2: 3 0
Gọi F d2d C F0; 3
Vì F là trung điểm của A A2 A22; 5 0.25
Vậy phương trình cạnh BC : 4x y 3 0 0.25
2 1,0 điểm
Gọi E là trung điểm MN ta có E(2;-1) Gọi là đường trung trực của MN.
Suy ra có phương trình x 2 3 y1 0 x 3y 5 0.
Gọi I là tâm đường tròn đi qua M, N thì I nằm trên
0.25
Giả sử I t3 5;t
Trang 7Ta có
2
2
t
2
Phương trình đường tròn x42y32 50 0.25
VII.b 1,0 điểm
Gọi abcd là số có 4 chữ số khác nhau đôi một lấy từ các chữ số trên và chia hết cho 5
Nếu d = 0 thì abccó A 63 120 cách chọn. 0.25
Nếu d = 5 thì a có 5 cách chọn
b có 5 cách chọn và c có 4 cách chọn suy ra có 100 số.
Vậy G có tất cả 220 số.
0.25
Giả sử abcd G và abcd 4000
Khi đó a = 1, 2, 3 nên a có 3 cách chọn.
d có 2 cách chọn
bccó A 52 20 cách chọn
Vậy nên có 120 số lấy từ G nhỏ hơn 4000.
0.25
Xác suất là P =