LËp ph¬ng tr×nh bÆc hai cã hai nghiÖm lµ hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vuông nội tiếp đờng tròn đờng kính bằng 5 và diện tích tam giác đó bằng 3 Bµi 4: Cho tam giác ABC AB ≠AC nội tiếp[r]
Trang 1Một ôtô dự định đi từ A => B cách nhau 148 km trong thời gian đã định Sau khi đi
đ-ợc 1 giờ ôtô bị chắn bởi tàu hoả trong 5 phút, do đó đẻ đền B đúng hẹn, xe phải chạy thêm với vận tốc 2 km/h so với vận tốc trớc Tính vận tốc của ôtô lúc đầu.
a/Chứng minh OE và OF theo thứ tự là phân giác của ∠AOM và∠ BOM
b/ Chứng minh: EA EB= R 2
3/ Xác định vị trí của M trên nửa đờng tròn để diịen tích tứ giác AEFB nhỏ nhất
Bài 5:
Giải phơng trình
x6− x5 +x4− x3
+x2− x +3
4=0
Trang 2sở gd&Đt ninh bình đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, thcb
năm học:1997 - 1998 môn thi: toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
Cho phơng trình
x2+(1 − 4a ) x +3a2− a=0 (x là ẩn, a là tham số)1/ Giải phơng trình với a = 2
2/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm vớ mọi giá trị của a
Bài 2: Trong phong trào đền ơn đàp nghĩa đợt 1, hai lớp 9A và 9B huy động đợc
70 ngày công để giúp đỡ các gia đìng thơng binh liệt sĩ Đợt 2 lớp 9A huy động vợt 20% số ngày công, lớp 9B huy động vợt 15% số ngày công, do đó cả hai lớp
đã huy động đợc 82 ngày công Tính sem trong đợt 1 mỗi lớp huy ffộng đợc bao nhiêu ngày công
Bài 3: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AC Trong đoạn OC lấy điểm B và kẻ ờng tròn tâm I đờng kính BC Gọi Mlà trung điểm của AB, từ Mkẻ dây DE vuông góc với AC, nối D với C, DC cắt đờng tròn tâm I tại F
đ-1/ Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi
2/ Chứng minh 3 điềm B, E, F thẳng hàng
3/ So sánh hai góc ∠ EMF và ∠ DAE
4/ Xác định vị trí tơng đối giữa đờng thẳng MF với đờng tròn tâm I
Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức:
2/ Không dùng máy tính hãy so sánh hai số: 2+√5 và√14
Bài 2: Cho phơng trình : x2 - ax + a +b = 0 ( a; b là tham số)
1/ Giải phơng trình với a = 7; b = 3
2/ Tìm giá trị của a và b để x1 = 2 và x2 = 5 là 2 nghiệm của phơng trình
Trang 3Bài 3: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Gọi C là trung điểm của đoạn
OA, D là điểm nằm trên đờng tròn sao cho BD = R Đờng trung trực của đoạn
sở gd&Đt
năm học:1998 - 1999 môn thi: toán Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên lý, hoá, toán vòng 1 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Bài 1:
Giải các hệ phơng trình:
¿ 1/
2x+ y=5 3x −2y=4
¿ 2/
Trang 4Bài 3:
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính EF; BC là một dây cung cố định vuônggóc với EF; A là điềm bất kỳ trên cung BFC ( A ≠ B, A ≠C )
1/ CM: AE là phân giác của góc BAC
2/ Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB
CM: BD// AE
3/ Gọi I là trung điểm của BD CM: I, A, F thẳng hàng
4/ M là điểm bất kỳ trên dây cung AB sao cho AM
2 của hai đờng tròn trên
1/ CM: ba đờng thẳng AD, BM, CN đồng quy
2/ So sánh hai góc ADM và AND
Bài 4(1 điểm):
Cho a, b, c là 3 số dơng thoả mãn: abc = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = a + b + c + ab + ac + bc
Trang 5
Bài 1: 3 điểm
Cho phơng trình : x2 - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0 (1)
1/ Giải phơng trình với m = 3
2/ CMR: phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
3/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1): Tìm m để:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 6P(x)= x
4 +16x3+56x2+80x +356
x2 + 2x+5 với x ∈ R
¿ { {
¿
Bài 3: 3 điểm
Trên đờng thẳng a Lấy 2 điểm A và B, gọi O là trung điểm của AB,
C là điểm nằm trong đoạn OA Từ C vẽ trong nửa mặt phẳng bờ a, 2 tia Cm và Cnsao cho: A ^ C m=B ^ C n=α(00
<α <900
) Trên tia Cm lấy điểm M, trên tia Cn lấy
điểm N sao cho 4 điểm A, B, N, M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB
1/ Gọi P là giao điểm của BM với AN CMR: Khi α thay đổi thì P chạytrên 1 đờng thẳng cố định
2/ Gọi E là giao điểm của CN và BM, F là giao điểm của AN và CM.CMR: NE > EF > FM
Bài 1: (2 điểm)
Cho hệ phơng trình
¿ mx+ny=3
Trang 7Sau 2 giờ thì hai ngời gặp nhau Hỏi mỗi ngời đi hết quãng đờng AB trong baolâu.
Bài 4: (3 điểm)
Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy điểm D sao cho hai đờng tròn nội tiếphai tam giác ACD và BCD bằng nhau Gọi O, O1, O2 theo thừ tự là tâm của các đ-ờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ACD, BCD
Giải các hệ phơng trình:
¿ (1)
2x −3y=1 5x+ y =11
¿ (2) 2x2− 4x=3y2−12y +11
Trang 8b Tính giá trị của a và b để M = 1
Bài 3: (2 điểm)
Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa trong thời gian quy định thìmỗi giờ phải bơm đợc 6m3 Sau khi đợc 1/5 dung tích bể chứa thì máy bơm chạyvới công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đợc 9m3, do đó hoàn thành trớc 1h20’ so vớiquy định Tính dung tích của bể
Bài 4: (3 điểm)
Cho hai đờng thẳng xx’ yy’ tại A Trên tia Ay’ lấy điểm M Kẻ đờng tròn(C1) tâm M bán kính MA; trên xx’ lấy I, kẻ (C2) là (I,R) sao cho đờng tròn náytiếp súc với(C1) tạiT
1 CMR: Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại T luôn đi qua 1 điểm cố
định
2 Cho A ^ M I=600 Tính AM theo R
3 Giả sử (C1) và (C2) bằng nhau Một đờng tròn (C3) có bán kính R tiếpsúc ngoài với (C1) và (C2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đờng tròn(C1), (C2), (C3)
Bài 5: (1 điểm):
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
√x+√x + +√x
⏟2000dấu căn
=y −2000
sở gd&Đt ninh bình
đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt
năm học: 2000 - 2001 môn thi: toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 3: 3,5 điểm
Cho tam giác đều ABC, gọi O là trung điểm cạnh BC Vẽ góc xoy bằng 600
sao cho 0x cắt cạnh AB tại M, 0y cắt cạnh AC tại N Chứng minh rằng:
a, ΔOBM ~ ΔNCO và BC2 = 4.BM.CN
b, MO là tia phân giác của góc B ^ M N
c, Đờng thẳng MN luôn tiếp súc với một đờng tròn cố định khi góc xoy bằng600 quay quanh O sao cho Ox, Oy luôn cắt AB và AC
Trang 9Cho đoạn thẳng AB cố định có độ dài bằng a trong mặt phẳng chứa đoạn
AB lấy điểm M thay đổi , đặt MA = b, MB = c CMR:
a4 +b4 +c4≤2a2b2 +2a 2c2 +2b 2c2
Đẳng thức sảy ra khi nào?
Bài 1:
Cho phơng trình bặc hai: x2+2(m+1) x+m2= 0
a, Giải phơng trình với m = 4
b, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệmbằng -2, khi đó tìm nghiệm còn lại
Bài 2:
Giải hệ phơng trình
Trang 10Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R; AC là dây cung sao cho AC=R.
a Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB; vẽ đờng tròn tâm O’ qua
3 điểm A;B;D Tính bán kình đờng tròn tâm O’ theo R
b Tính diện tích phần tam giác ABC năm ngoài đờng tròn (O’)
c Trên AB kéo dài lấy điểm K, kẻ hai tiếp tuyến KS với đờng tròn (O) vàKS’ với đờng tròn (O’) So sánh KS và KS’
Bài 4:
Đờng tròn (O;R) tiếp súc với đờng thẳng x tại A; kể đờng kính AB vàdâycung bất kỳ Bc Gọi D là hình chiếu của C xuống AB, kéo dài CD về phía Dlấy điểm E sao cho ED = BC Từ E kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn, 2 tiếp tuyếnnày cắt x tại K và N(N nằm giữa A và K).Tính KN theo R
sở gd&Đt ninh bình đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt
năm học:2001 - 2002 môn thi: toán
Trang 11Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
√a+2
a − 5√a+6)
Bài 4:
Cho đờng tròn đờng kính AB trên tia AB lấy ddiẻem C sao cho B nằm giữa
AC, từ C kẻ đờng thẳng x vuông góc với AB, trên x lấy điểm D (D≠C) Nối DAcắt đờng tròn tại M, nối DB cắt đờng tròn tại K
1 CM: Tứ giác ADCN nội tiếp
2 CM: AC là phân giác của góc KAD
3 Kéo dài MB cắt đờng thẳng x tại s, C/m: S; A; N thẳng hàng
Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Chứng minh rằng 1 trong 3 phơng trình trên phải có nghiệm
Bài 3:
Trang 12sở gd&Đt ninh bình
đề thi chính thức
đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt
năm học 2007 - 2008 môn thi: toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)
Bài I(3 điểm):
Bài II(3 điểm):
Cho hai đờng thẳng có phơng trình:
y = mx - 2 (d 1 ) và 3x + my = 5 (d 2 ) a/ Khi m = 2, xác định hệ số góc và tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng
b/ Khi d 1 và d 2 cắt nhau tại M(x 0 ;y 0 ), tìm m để x0+y0=1 − m
2
m2 + 3.
c/ Tìm m để giao điểm của d 1 và d 2 có haònh độ dơng và tung độ âm
Bài III(3 điểm):
Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (Cthuộc cung AD) sao choCD = R Qua C kẻ một đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB ở M.
Tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt BD ở K
a/ Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông
b/ Xác định tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD
c/ Tìm vị trí dây CD sao cho diện tích tứ giác KAB lớn nhất
Bài IV(1 điểm):
Hai máy bơm cùng bơm nớc vào một cái bể cạn (không có nớc), sau 4 giờ thì đầy bể Biết rằng nếu đẻ máy thứ nhất bơm đợc một nửa bể, sau đó máy thứ hai bơm tiếp (không dùng máy thứ nhất nữa) thì sau 9 giờ bể sẽ đầy Hỏi nếu mỗi máy bơm bơm riêng thì mất thời gian bao lâu sẽ đầy bể nớc
Bài V(1 điểm):
Tìm các số hữu tỉ x và y sao cho: √√12 −3+√y√3=√x√3
Trang 13UBND TỈNH NINH BÌNH
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT
Chuyên Lương Văn Tụy Năm học 2009- 2010
Cho phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn: 1 2
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN 2
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Câu 5: (1 điểm)
Trang 14Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
23
x yTìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 15Gợi ý
Bài 4:
c Tam giác MNP đều khi OM = 2R
d Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn).
Trang 16a) Giải hệ phơng trình:
x 16 xy
xy
b) Tìm m để phơng trình 2 2 2
x 2x 3x 6x m 0
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn k24 và k216 là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì p a p b p c 3p
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB tại
C Chứng minh rằng:
a) MB.BDMD.BC
b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 cạnh EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 cạnh EFGHIJKM là các số hữu
tỉ thì EF = IJ
Hết
-Họ và tên thí sinh:
Chữ ký của giám thị .
Số báo danh: Phòng thi số:
Hớng dẫn chấm thi
(Bản Hớng dẫn chấm thi gồm 04 trang)
I Hớng dẫn chung
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả Trong
bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
Trang 174) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn
II Đáp án và thang điểm
2
y 9 y 3
0,25 đ
- Với y 3 x2 (thoả mãn điều kiện)
- Với y 3 x2 (thoả mãn điều kiện)
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ
x 2x 1 y x 1 y x 1 y (y 0)
(*) Phơng trình đã cho trở thành: y 1 2 3 y 1 m 0
2
0,25 đ
Trang 18Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình
Trang 19
J I
C N
c) Kẻ đờng kính MN của (O) NB MB
Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC
Trang 20( ).
0,25 đ
Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180 O - 135 O = 45 O
Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.
e a
(điều này vô lý do 2 là số vô tỉ)Vậy e - a = 0 e = a hay EF = IJ (đpcm).
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 - THPT
Chuyờn Lương Văn Tụy Năm học 2011 - 2012
(Khúa ngày 21/6/2011)
Mụn thi: TOÁN - VềNG I
Đề thi gồm 04 cõu trong 01 trang
Cõu 1: (3,0 điểm)
Trang 21a) Giải hệ phương trình:
x + 2y = 5 3x - y = 1
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm S ở ngoài đường tròn.Kẻ 2 tiếptuyến SA, SB tới đường tròn (O,R) (A,B là 2 tiếp điểm) Điểm I thuộc đoạn AB(I khác A và B) đường thẳng qua I và vuông góc với OI lần lượt cắt SA, SB lầnlượt ở M và N
a) CM:4 điểm O,I,A,M cùng thuộc 1 đường tròn
b) CM: MI=NI
c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn nhất
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 22Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:
………….… ……
Họ và tên, chữ kí của giám thị 1:………
………
Họ và tên, chữ kí của giám thị 2:……….………
………
Trang 23ĐÁP ÁN
(Tôi xin trình bày đáp án của bản thân, do thời gian làm tương đối gấp nên có
gì sai sót mong quý thầy cô cùng các bạn thông cảm và đóng góp ý kiến)
Câu 1:
a) Giải hệ phương trình:
x + 2y = 5 x = 5 - 2y x = 5 - 2y x = 5 - 2y x = 5 - 2y x = 1 3x - y = 1 3x - y = 1 15 - 6y - y = 1 -7y = -14 y = 2 y = 2
5 1 2 2
Trang 24b) Hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của phương trình
Trang 25
2 2
m
Câu 3:
Gọi x là thời gian đội 1 làm riêng để hoàn thành công việc: x (giờ; x>15)Gọi y là thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc: y (giờ; y>15)Gọi số công việc là A
Công việc đội 1 làm được trong 1 giờ là: A/x
Công việc đội 1 làm được trong 1 giờ là: A/y
Vì nếu 2 đội cùng làm công việc đó thì sau 15 giờ họ hoàn thành công việc
Nếu đội 1 làm một mình trong 3 giờ rồi nghỉ và đội 2 làm tiếp công việc
đó 5 giờ nữa thì công việc hoàn thành được 25% nên ta có phương trình 2:
Nghiệm thỏa mãn điều kiện vậy:
- Thời gian đội 1 làm riêng để hoàn thành công việc là 24 giờ
- Thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là 40 giờ
Câu 4:
Trang 26a) CM:4 điểm O, I, A, M cùng thuộc 1 đường tròn
Ta có: MIO vuông tại I (vì MN vuông góc với OI)
Nên MIO thuộc đường tròn đường kính OM
MAO vuông tại A (TC tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)Nên MAO cũng thuộc đường tròn đường kính OM
Vậy 4 điểm O, I, A, M cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM (ĐPCM)
B N (Cùng chắn cung OI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OINB) (II)
Mặt khác AOB cân tại O (OA=OB=R) nên µ µA B1 1
(III)
Từ (I), (II), (III) ta suy ra M¶ 1 N¶1
Xét 2 tam giác vuông OIM và OIN có: OI chung
1 1
M N (Chứng minh trên)Vậy OIM =OIN và MI = NI (ĐPCM)
Và ta có luôn OM = ON
Trang 27c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn nhất
Xét 2 tam giác vuông OAM và OBN có: OM = ON (Chứng minh ý b)
AO = OB = R (bán kính đường tròn)Vậy OAM = OBN và AM = BN (IV)
Diện tích tam giác SMN là: SSMN=
· 1
SA = SB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
AM = BN (Chứng minh trên (IV))
Nên 2SA 2 SM.SN SM.SN SA 2 dấu bằng xảy ra khi SM = SM hay Mtrùng với A, N trùng với B và I là trung điểm của AB
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác SMN =
· 2 1 SA
2 SinMSN Khi I nằm ở
trung điểm của đoạn AB