P là một điểm thuộc đường thẳng HM, đường tròn K đường kính AP cắt AC, AB lần lượt tại E, F khác A.. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại E, F của K cắt nhau trên trung trực BC.. Xét các xâu c
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LƯƠNG VĂN TỤY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 5 câu trong 1 trang giấy
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình:
2 2 2
8
( , , )
x y z
Câu 2 ( 4 điểm): Cho dãy số ( )a n xác định như sau:
2
( 1)(2 1) (( 1) 1)(( ) 2 1), 2
Chứng minh rằng nếu với mỗi số tự nhiên n có số nguyên tố p là ước của na n 1 thì luôn tồn tại số nguyên m sao cho m2 5(mod )p
Câu 3 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC ( BAC 900 ) có H là trực tâm và M là trung điểm của BC P là một điểm thuộc đường thẳng HM, đường tròn (K) đường kính AP cắt AC,
AB lần lượt tại E, F khác A Chứng minh rằng tiếp tuyến tại E, F của (K) cắt nhau trên trung trực BC
Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn:
f x xy f y f x f y x y
Câu 5 ( 4 điểm): Gọi a a a1 2 n với a i 2;0 là một xâu có độ dài n
Gọi xâu 20 là xâu OLIMPIC nếu 2 và 0 là hai phần tử liên tiếp theo thứ tự đó ở trong xâu
có độ dài n đã cho ( ví dụ như xâu 2220022 có độ dài là 7 và trong đó có 1 xâu OLIMPIC) Xét các xâu có độ dài 30 và chứa k xâu OLIMPIC, biết rằng có C xâu như thế Tìm k?319
………Hết……….
TR ƯỜNG THPT CHUYÊN NG THPT CHUYÊN
L ƯƠNG VĂN TỤY NG VĂN T Y ỤY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2014 - 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2Đáp án đề thi gồm 5 câu trong 4 trang giấy
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình:
2 2 2
8
( , , )
x y z
Đặt P ( x y )5 (y z )5 (z x )5
Do vai trò của x, y, z trong biểu thức P như nhau, không mất tính tổng quát,
có thể giả sử x y z
Ta có: (z x )22y2 0 (z x )2 2(x2 y2 z2) 16 z x 4
Bổ đề: Cho ,a b Khi đó: 0 5 5 5
4
2
a b
Áp dụng bổ đề ta có: 5 5 5
4
2
z x
Khi đó: 1 14 ( )5 1 14 25 960
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: x2,y 0,z2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (-2;0;2) và các hoán vị của nó
1đ 1đ
1đ
1đ
Câu 2 ( 4 điểm): Cho dãy số ( )a n xác định như sau:
2
( 1)(2 1) (( 1) 1)(( ) 2 1), 2
Chứng minh rằng nếu với mỗi số tự nhiên n có số nguyên tố p là ước của na n 1 thì luôn tồn tại số nguyên m sao cho m2 5(mod )p
Đ t ặt b n na n 1 và
1
n
i
D th y, ễ thấy, ấy, 2B B1 n( n 1) Vì v y, ậy, 2 ,a n n 1
Ta có:
1 ( 1) 1 ( ) 1 ( 1)
2
2
1 ( 1)
n
Vì v y:ậy,
2
2
1 ( 1)
n
1đ
1đ
Trang 3Suy ra:
2 1
1
4
Do p là ước của ủa c c a b n, b nlà ước của ủa c c a B n nên 1 1 2 5
4
V y t n t i s nguyên m th a mãn ậy, ồn tại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn ố nguyên m thỏa mãn ỏa mãn p m 2 5 (đpcm)
1đ
1đ
Câu 3 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC( BAC 900 ) có H là trực tâm và M là trung
điểm của BC P là một điểm thuộc đường thẳng HM, đường tròn (K) đường kính AP cắt AC, AB lần lượt tại E, F khác A Chứng minh rằng tiếp tuyến tại E, F của (K) cắt nhau trên trung trực BC
G i T là giao đi m c a các ti p tuy n v i (K) t i E, F Y, Z theo th t làểm của các tiếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ủa ếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ớc của ại số nguyên m thỏa mãn ứ tự là ự là
giao đi m c a CH, BHểm của các tiếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ủa
và CA, AB (N) là đườngng
tròn đườngng kính AH, S
là giao đi m th haiểm của các tiếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ứ tự là
c a (K) và (N) Có haiủa
trườngng h p x y ra:ợp xảy ra: ảy ra:
Tr ường hợp 1 ng h p 1 ợp 1 P trùng
v i H Dớc của ễ thấy, th yấy,
,
E Y F Z Do đó
T M
Tr ường hợp 1 ng h p 2 ợp 1 P không
trùng v i H.ớc của
D th y các tam giácễ thấy, ấy,
SEY, SFZ đ ng d ngồn tại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn
cùng hước của ng
Do đó các tam giác SEF,
SYZ đ ng d ng cùngồn tại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn
hước của ng (1)
T (1), chú ý r ng TE,ừ (1), chú ý rằng TE, ằng TE,
TF ti p xúc v i (K) t iếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ớc của ại số nguyên m thỏa mãn
E,F và MY, MZ ti p xúc v i (N) t i Y, Z suy ra các tam giác TEF, MYZ đ ngếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ớc của ại số nguyên m thỏa mãn ồn tại số nguyên m thỏa mãn
d ng cùng hại số nguyên m thỏa mãn ước của ng (2)
T (1), (2) suy ra các tam giác STF, SMZ đ ng d ng cùng hừ (1), chú ý rằng TE, ồn tại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn ước của ng
Do đó các tam giác STM, SFZ đ ng d ng cùng hồn tại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn ước của ng (3)
D th y: ễ thấy, ấy, ASH 900 ASP Do đó: SH=SP
K t h p v i P thu c HM suy ra SM=SH(4).ếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ợp xảy ra: ớc của ộc HM suy ra SM=SH(4)
T (3), (4) suy ra: ừ (1), chú ý rằng TE,
1đ
1đ
1đ
Trang 4( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )(mod )
( , ) (S ,SH) 0(mod )
V yậy, TM AH BC
Nói cách khác,ti p tuy n t i E, F c a (K) c t nhau trên trung tr c BCếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ại số nguyên m thỏa mãn ủa ắt nhau trên trung trực BC ự là
1đ
Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn:
f x xy f y f x f y x y
D th y hàm ễ thấy, ấy, f h ng không th a mãn ằng TE, ỏa mãn Ta xét f không h ng.ằng TE,
Trong (1) cho y=-1 ta đượp xảy ra:c: ( ( 1)) ( ) 1 ( 1) 1 ,
f f f x f x
Rõ ràng n u ếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ( 1) 1 0
2
f thì f là hàm h ng Do đó:ằng TE,
Ta sẽ ch ng minh: ứ tự là ( ) 1 0 1
2
Th t v y, gi s t n t i ậy, ậy, ảy ra: ử tồn tại ồn tại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn a 1sao cho ( ) 1
2
Trong (1) ch n y a ta có: ( 1) 0,
2
Mâu thu n vì ẫn vì f không là hàm h ng Do đó ta có: ằng TE, a 1.
Chú ý là ( 1) 1
2
f nên t (1) ta cóừ (1), chú ý rằng TE, : ( 1) 0
2
Trong (1) ch n
1 ( ) 2
1
f y x
y
ta đượp xảy ra: : c
1
( )
f y
y
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
Trang 51 1
1
1
2
Do ( 1) 1
2
f nên ( ) 1,
2
f x x x
Th l i ta có hàm s c n tìm là ử tồn tại ại số nguyên m thỏa mãn ố nguyên m thỏa mãn ần tìm là ( ) 1,
2
f x x x
1đ
Câu 5 ( 4 điểm): Gọi a a a1 2 n với a i 2;0 là một xâu có độ dài n
Gọi xâu 20 là xâu OLIMPIC nếu 2 và 0 là hai phần tử liên tiếp theo thứ tự đó ở trong xâu
có độ dài n đã cho ( ví dụ như xâu 2220022 có độ dài là 7 và trong đó có 1 xâu OLIMPIC) Xét các xâu có độ dài 30 và chứa k xâu OLIMPIC, biết rằng có 9
31
C xâu như thế Tìm k?
G i H là s là xâu ch a toàn là s 2 có đ dài l n h n hay b ng 1ố nguyên m thỏa mãn ứ tự là ố nguyên m thỏa mãn ộc HM suy ra SM=SH(4) ớc của ơn hay bằng 1 ằng TE,
G i K là s là xâu ch a toàn là s 0 có đ dài l n h n hay b ng 1.ố nguyên m thỏa mãn ứ tự là ố nguyên m thỏa mãn ộc HM suy ra SM=SH(4) ớc của ơn hay bằng 1 ằng TE,
Ta có các trườngng h p sau:ợp xảy ra:
Trườngng h p 1 HKHKHK…HK (*) ( có k xâu lo i H, k xâu lo i K)ợp xảy ra: ại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn
Trườngng h p 2 HKHKHK…HKH ( có k+ 1 xâu lo i H, k xâu lo i K)ợp xảy ra: ại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn
Trườngng h p 3 KHKHK…KHK ( có k xâu lo i H, k+1 xâu lo i K)ợp xảy ra: ại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn
Trườngng h p 4 KHKHK…KHKH( có k+1 xâu lo i H, k+1 xâu lo i K)ợp xảy ra: ại số nguyên m thỏa mãn ại số nguyên m thỏa mãn
Xét trườngng h p 1.ợp xảy ra:
G i x1 là s ph n t xâu H ( H v trí đ u tiên trong (*)) , ố nguyên m thỏa mãn ần tìm là ử tồn tại ở xâu H ( H ở vị trí đầu tiên trong (*)) , ở xâu H ( H ở vị trí đầu tiên trong (*)) , ị trí đầu tiên trong (*)) , ần tìm là x 1 1
G i x2 là s ph n t xâu K ( K v trí th hai trong (*)) , ố nguyên m thỏa mãn ần tìm là ử tồn tại ở xâu H ( H ở vị trí đầu tiên trong (*)) , ở xâu H ( H ở vị trí đầu tiên trong (*)) , ị trí đầu tiên trong (*)) , ứ tự là x 2 1
…
G i x 2k là s ph n t xâu K ( K v trí cu i trong (*)) , ố nguyên m thỏa mãn ần tìm là ử tồn tại ở xâu H ( H ở vị trí đầu tiên trong (*)) , ở xâu H ( H ở vị trí đầu tiên trong (*)) , ị trí đầu tiên trong (*)) , ố nguyên m thỏa mãn x 2k 1
Ta có : x1x2 x2k 30
Theo bài toán chia k o Eulerẹo Euler : S xâu có đ dài 30 và ch a k xâu OLIMPICố nguyên m thỏa mãn ộc HM suy ra SM=SH(4) ứ tự là
trong trườngng h p 1 là ợp xảy ra: 2 1
29
k
Tươn hay bằng 1ng t nh v y ta có các trự là ư ậy, ườngng h p còn l i và k t h p v i quy t cợp xảy ra: ại số nguyên m thỏa mãn ếp tuyến với (K) tại E, F Y, Z theo thứ tự là ợp xảy ra: ớc của ắt nhau trên trung trực BC
c ng ta cóộc HM suy ra SM=SH(4) :
2 1 2 2 2 1 9
29 29 29 29 31
2 1 9
31 31
4
k
k
k
V y k=4.ậy,
1đ
1đ
1đ
1đ
Người ra đề: Nguyễn Trường Sơn
ĐT: 0974 515 696