Hinh hoc Oxyz hay va du dang

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Trường hợp 2: P đi qua A,B và cắt CD ⇒ P cắt CD tại trung điểm I của... Gọi E,F là hai điểm nằm trên giao tuyến [r]

ŀ 429

Chuyên đề VII

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chủ đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Tọa độ véc tơ – Tọa độ điểm

* A,B,C,D đồng phẳng ⇔AB, AC AD 0


 =

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ:

a
= + −2i 3j 5k, b



= − +3j 4k, c


= − −
i 2j
Chứng minh rằng các véc tơ a,b,c


không đồng phẳng và phân tích véc tơ u
=(3;7; 14− ) qua ba vectơ a,b,c

Cách 2 Giả sử ba véc tơ a,b,c


đồng phẳng Khi đó tồn tại hai số thực x,y sao cho

a
=x.b y.c
+
( )1

Mà xb yc
+
= − −( y; 3x 2y;4x− ) nên (1)

y 23x 2y 3

hệ này vô nghiệm

Vậy a,b,c


không đồng phẳng

Vì E∈(Oyz) nên E 0;x;y ( )

Suy ra AE
= −( 3;y 2;z 4 , BE+ − ) 
=(1;y 4;z 4− + )

1 Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có

A≡O,B Ox,D Oy , A' Oz∈ ∈ ∈ và AB 1, AD 2,= = AA' 3=

a Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp

b Tìm điểm E trên đường thẳng DD' sao cho B'E⊥A'C

c Tìm điểm M thuộc A'C , N thuộc BD sao cho MN⊥BD,MN⊥A'C Từ đó tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A'C và BD

Hướng dẫn giải:

a Ta có A 0;0;0 ,B 1;0;0 , D 0;2;0 , A' 0;0;3 ( ) ( ) ( ) ( )

Hình chiếu của C lên (Oxy là C , hình chiếu của C lên Oz là A nên ) C 1;2;0 ( )

Hình chiếu của B',C',D' lên mp (Oxy) và trục Oz lần lượt là các điểm B,C,D và A' nên B' 1;0;3 , C' 1;2;3 , D' 0;2;3 ( ) ( ) ( )

b Vì E thuộc đường thẳng DD' nên E 0;2;z , suy ra ( ) B'E
= −( 1;2;z 3− )

Mà A'C
=(1;2; 3− ) nên B'E⊥A'C⇔B'E.A'C 0

= ⇔ − + −1 4 3 z 3( − )= ⇔ = 0 z 4Vậy E 0;2;4 ( )

c Đặt A'M
=x.A'C; BN

=y.BD

Ta có AM
=AA' A'M
+
=AA' x.A'C
+ 
=(x;2x;3 3x− ), suy ra M x;2x;3 3x( − )

y61

Vì MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng A'C,BD nên

a Tìm C trên tia Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8

b Gọi G là trọng tâm ABO∆ và M trên cạnh AC sao cho AM= Tìm x để x

M là trung điểm CD nên M(5; 1;1)− ⇒SM 5 x ; 1 y ;1 z 
( − S − − S − S)

• Nếu k 2= thì SM
=(5 x ; 1 y ;1 z− S − − S − S) (= − −2; 16; 2− ) nên tọa độ của điểm S

VTPT của ( )α Vậy mp( )α có vô số VTPT

* Nếu hai véc tơ a,b

(không cùng phương) có giá song song (hoặc nằm trên)

( )α thì n
=  a,b

 là một véc tơ pháp tuyến của ( )α

* Nếu ba điểm A,B,C phân biệt không thẳng hàng thì véc tơ

* Cho mp α đi qua ( ) M x ;y ;z( 0 0 0), có n
=(A;B;C) là một VTPT Khi đó phương trình tổng quát của ( )α có dạng:

a+ + = và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của b c ( )α

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

( )P

Lời giải

Cách 1: Mặt phẳng ( )P thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: ( )P đi qua A,B song song với CD

Véc tơ pháp tuyến ( )P : n= AB,CD

Trường hợp 2: ( )P đi qua A,B và cắt CD⇒( )P cắt CD tại trung điểm I của

1 ( )α đi qua M 2;3;1 và song song với mặt phẳng ( ) ( )P : x 2y 3z 1 0− + − = ;

2 ( )α đi qua A 2;1;1 ,B( ) (− − − và 1; 2; 3) ( )α vuông góc với ( )β : x y z 0+ + = ;

3 ( )α chứa trục Ox và vuông góc với ( )Q :2x 3y z 2 0+ − + =

Trong đó
i=(1;0;0 , a)
=(2;3; 1− ) là VTPT của ( )Q nên n
=(0;1;3)

Trong đó a
=(3;2; 1− ) là VTPT của ( )β nên n
=(12; 9;18− )

Vậy phương trình của ( )α : 4x 3y 6z 9 0− + − =

Bài tập tự luyện

1 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A 1;2;3 ,B( ) (−2;3; 1 ,C 0;1;1− ) ( ),

D − −4; 3;5 Lập phương trình mặt phẳng ( )α biết:

a ( )α đi qua A và chứa Ox

b ( )α đi qua A,B và cách đều hai điểm C,D

Vậy phương trình của ( )α :3y 2z 0− =

b Cách 1: Vì ( )α cách đều C,D nên ta có hai trường hợp:

TH1: CD( )α , khi đó AB,CD

 = n
là VTPT của ( )α

Mà AB
= −( 3;1; 4 , CD− ) 
= − −( 4; 4;4)⇒ = −n
( 12;28;16)

Trường hợp này ta có phương trình của ( )α là: 3x 7y 4z 23 0− − + =

TH 2: CD∩ α =( ) { }I , khi đó ta có được I là trung điểm của CD , suy ra I(− −2; 1;3)

Mặt phẳng ( )α đi qua A,B,I

Ta có AI
= − −( 3; 3;0 ,BI) 
=(0; 4;4− )⇒AI,BI

= −( 12;12;12)

Trường hợp này ta có phương trình của ( )α là: x y z 4 0− − + =

Cách 2: Vì ( )α đi qua A nên phương trình của ( )α có dạng:

a x 1− +b y 2− +c z 3− = ⇔0 ax by cz a 2b 3c 0+ + − − − = (*)

Do B∈ α nên 3a b 4c 0( ) − + − = ⇒ =b 3a 4c+ (1)

2 Viết phương trình mặt phẳng ( )α biết:

a ( )α đi qua A 1; 1;1 ,B 2;0;3( − ) ( ) và ( )α song song với Ox ,

b ( )α đi qua M 3;0;1 , N 6; 2;1( ) ( − ) và ( )α tạo với (Oyz một góc ϕ thỏa )

b Vì M∈ α nên phương trình của ( ) ( )α có dạng:

3 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :x 1 y z 2

− và mặt phẳng ( )P : x 2y z 0− + = Gọi C là giao điểm của ∆ với ( )P , M là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến ( )P , biết MC= 6

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Phương trình tham số của

x 1 2t: y t ,t

Giao tuyến d của ( )P và ( )Q qua J 0;1;3 có VTCP ( ) u
=(2;1;3) có phương trình:

5 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;0 ,B 0;b;0 ,( ) ( ) C 0;0;c ( )

trong đó b,c dương và mặt phẳng ( )P : y z 1 0− + = Xác định b và c , biết mặt phẳng (ABC vuông góc với mặt phẳng ) ( )P và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC bằng ) 1

1 Phương trình tham số của đường thẳng:

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ Véc tơ u 0
≠
gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆

Chú ý 1.3.3:

* Nếu u

là VTCP của ∆ thì k.u (k
≠0) cũng là VTCP của ∆

* Nếu đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B thì AB
là một VTCP

* Nếu ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q thì

Cho đường thẳng ∆ đi qua M x ;y ;z( 0 0 0) và có VTCPu
=(a;b;c)

Khi đó phương trình đường thẳng ∆ có dạng:

0 0 0

Chú ý 2.3.3 Cho đường thẳng ∆ có phương trình (1)

(2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆

3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng :

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ đi qua M , có VTCP u0 ∆



và điểm M∉ ∆ Khi đó để tính khoảng cách từ M đến ∆ ta có các cách sau:

Cách 2: Lập phương trình mp P đi qua M vuông góc với ∆ Tìm giao điểm H của ( )

(P) với ∆ Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm

b) Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau:

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ đi qua M có VTCP u0 ∆



và '∆ đi qua M ' có 0VTCPu
∆' Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ ’ được tính theo các cách sau:

'

u ,u M M'd( , ')

C 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm

C 3: Lập phương trình mp P đi qua ∆ và song song với '( ) ∆ Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên '∆ đến (P)

Ví dụ 1 Trong hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :x 1 y 2 z 1

1 Tìm tọa độ hình chiếu của A lê đường thẳng ∆

2 Tìm tọa độ điểm M nằm trên ∆ sao cho AM= 35

Cách 2 Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với ∆

Suy ra phương trình ( )P :2x y 3z 17 0+ − − = Khi đó H= ∆ ∩( )P nên tọa độ của H

Ví dụ 2 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ , biết:

1 ∆ đi qua hai điểm A 1;2;4 và ( ) B(−3;5; 1− )

2 ∆ đi qua A (ở ý 1) và song song với đường thẳng d :x 1 y 2 z

−

3 ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α : x y z 3 0+ + − = và ( )β :2y z 1 0− − =

4 ∆ nằm trong mặt phẳng ( )α (ở ý 3) đồng thời ∆ cắt và vuông góc với đường thẳng d (ở ý 2)

Cách 3: Trong hệ (*) cho y= ⇒ = −0 z 1,x= Do đó điểm 4 E 4;0; 1( − ∈∆ )

Hay ∆ ≡ME, từ đó ta lập được phương trình tham số của ∆ là:

Gọi ( )α là mặt phẳng chứa d vuông góc với mp P ( )

Theo giả thiết ta có ∆ =( ) ( )P ∩ Q , với ( )Q là mặt phẳng vuông góc với

( ) ( )

mp α ,mp P và khoảng cách từ M đến ( )Q bằng 42

Ta có u
d=(2;1; 1 ;n− ) 
p=(1;1;1) lần lượt là các véc tơ chỉ phương, pháp tuyến của d,mp P ( )

Véc tơ pháp tuyến của mp( )α : nα=u ;nd p=(2; 3;1− )

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M1(−1;0;0 , M 2;0;0) 2( )

3 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :x 2 y 1 z

− − và mặt phẳng ( )P : x y z 3 0+ + − = Gọi I là giao điểm của ∆ và ( )P Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P sao cho MI vuông góc với ∆ và MI 4 14=

Vectơ chỉ phương của ∆ là a
=(1; 2; 1− − )

4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :x 2 y 1 z 5

a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d

b Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ

b Tìm tọa độ các điểm M d , N d∈ 1 ∈ 2 sao cho MN song song với

7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz

a Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1;2;3) qua đường thẳng

Ta có H là trung điểm của AA' ⇒ A'(− −1; 4;1)

b Gọi ( )α là mặt phẳng đi qua A 1;2;3 và vuông góc với ( ) d có phương trình 1

2 x 1− − y 2− + z 3− = ⇔0 2x y z 3 0− + − =

Vì ∆ đi qua A vuông góc với d và cắt 1 d nên ∆ đi qua giao điểm B của 2 d và 2

a Viết phương trình mp P chứa A đồng thời song song với ( ) d ,d 1 2

b Tìm tọa độ điểm M,N lần lượt thuộc d ,d sao cho 3 điểm A,M,N thẳng hàng 1 2

Mặt cầu ( )S tâm I a;b;c , bán kính R ( )

1 Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ

nhật, viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,B,C,S

2 Tìm tọa độ A đối xứng với A qua SC 1

Lời giải

1 Tứ giác OABC là hình chữ nhật ⇒OC
=AB
⇒B 2;4;0( )

Vì O,C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I 1;2;2 của SB là ( )

tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O,B,S,C và bán kính R 1SB 3

Lời giải

Đường thẳng ( )d :3x 4 6y 1 z

− là giao tuyến hai mặt phẳng , do đó ( )d

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là :

( ) ( )

x 4y z 2 02x 2y z 3 x 2y 2z 1

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

( )S : x2+y2+z2−4x 4y 4z 0− − = và điểm A 4;4;0 Viết phương trình mặt ( )

phẳng (OAB , biết điểm B thuộc ) ( )S và tam giác OAB đều

Cách 2: ( )S có tâm I 2;2;2 , bán kính R( ) =2 3 Nhận thấy O và A đều thuộc ( )S

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r OA 4 2

( )P đi qua O có phương trình dạng: ax by cz 0, a+ + = 2+b2+c2>0

( )P đi qua A , suy ra b= − a

a Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa trục Ox và cắt ( )S theo một đường tròn

Cặp véc tơ có giá nằm trong mp( )Q : OI
=(1; 2; 1 ,i− − )
=(1;0;0)

Véc tơ pháp tuyến của mp Q : ( ) n
=OI;i

=(0; 1;2− )

Phương trình mp Q : y 2z 0( ) − =

b Gọi d đường thẳng đi qua I vuông góc với mp P ( )

Giả sử d cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm A,B