Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng hay và khó phần 3 copy đã chuyển đổi

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O với P là giao điểm của hai đường chéo và M là trung điểm của AD.. Gọi R là giao điểm thứ của đường tròn ngoại tiếp giác KPD với đường thẳng MP.. G

Bài 101 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O với AB AC Tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )O cắt BC tại T Gọi D là điểm đối xứng với A qua O Giao điểm của OT với BD là E Gọi BE cắt AT tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt

OE tại G khác E Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm trên đường tròn ( )O

E

D

C B

A

Bài 102 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn ( )O P là một điểm bất kì trên cung nhỏ AD của đường tròn ( )O Gọi giao điểm của PB, PC với AD lần lượt là M, N Đường trung trực của AM cắt AC, BD lần lượt tại E, S và đường trung trực của DN cắt AC, BC lần lượt tại T và F Đường thẳng ST cắt PB, PC lần lượt tại U, V Chứng minh rằng đường tròn đường kính UV tiếp xúc với đường tròn ( )O

Z J

Q P

N M

A

Bài 103 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O với P là giao điểm của hai đường chéo và M là trung điểm của AD Gọi K, L lần lượt là hình chiếu của P trên AB, CD

Gọi S, T lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác KMA và LMD Chứng minh rằng KS.BT CS.LT=

L K

R

H

F

E K

B A

Bài 105 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O và P là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Lấy điểm Q bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn ( )O Đường thẳng AP cắt đường tròn ( )O tại D khác A Gọi M là trung điểm của AQ Đường thẳng QP cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là K Dựng đường tròn ( )I đi qua hai

điểm P, K và tiếp xúc với AP Đường tròn ( )I cắt AK, AM lần lượt tai điểm thứ hai là

E, F Gọi R là giao điểm thứ của đường tròn ngoại tiếp giác KPD với đường thẳng MP Chứng minh rằng KEP KFP KRD= =

R

O

Q

P M K

F E

D

C B

A

Bài 106 Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) nội tiếp đường tròn ( )O có đường cao

AH Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D Gọi E là trung điểm của AH, tia DE cắt đường trog ( )O tại F Gọi L là tâm đường tròn bàng tiếp góc F của tam giác FBC Chứng minh rằng ba điểm F, D, L thẳng hàng

X

V U

Q K

C B

A

Bài 107 Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) nội tiếp đường tròn ( )O và ngoại tiếp đường tròn ( )I Đường tròn ( )I tiếp xúc với BC tại D Gọi E và F là giao điểm của BI,

CI với đường tròn ( )O Gọi M là trung điểm của EF Lấy P và Q trên đường trung trực của ID sao cho MP song song với BI và MQ song song với CI Đường trung trực của PQ cắt IM tại G Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ tiếp xúc với đường tròn ( )O

Q P

K

J

N

M G

O I F

CO với EF Đường thẳng PO cắt BN và CM lần lượt tại U và V Chứng minh rằng O là trung điểm của UV

V

U

T

Y X

J P

Q

G H

Bài 109 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn ( )O Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( )O với BC, AB, AC Gọi H, I, J lần lượt là trung điểm của

EF, CE, BF Gọi G là giao điểm PQ và EF Gọi BK và CL là các đường cao của tam giác ABC Chứng minh rằng GO song song với BC

M A

Bài 110 Cho tam giác ABC không cân và đường tròn nội tiếp ( )O tiếp xúc với AB,

BC, CA lần lượt tại E, D, F Gọi I, J lần lượt là trung điểm của DE và DF Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của IE và JF Giao điểm của PQ với JB và IC lần lượt ta S, T Chứng minh rằng tam giác TBI và SCJ đồng dạng

J A

tại K và N Gọi giao điểm của MO và BC là I Chứng minh rằng đường tròn đường kính AI tiếp xúc với đường tròn ( )O

O'

t x

Bài 112 Cho tam giác ABC nhọn cố định nội tiếp đường tròn ( )O Dựng bên ngoài tam giác ABC các hình thang ABKL và ACMN sao cho tam giác ABL đồng dạng với tam giác CAM Các đường thẳng AN và AL theo thứ tự cắt CM, BL tại E, F Gọi P là giao điểm nằm trong tam giác ABC của các đường tròn ngoại tiếp tam giác LME và NFK Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC đi qua một điểm cố định

T

K L

F

O P Q

M N

E D

G

Bài 113 Cho tam giác ABC nội tiếp đường

tròn ( )O Điểm P thuộc cung BC không chứa

A của đường tròn ( )O và điểm Q đối xứng

với P qua BC Đường thẳng QB, QC theo thứ

tự cắt AC, AB tại E, F Đường tròn ngoại tiếp

tam giác AEF cắt đường tròn ( )O tại G khác

A Đường thẳng AP cắt BC tại G, đường

thẳng GD cắt đường tròn ( )O tại K khác G

Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng

qua K vuông góc với BC cắt AM tại L Chứng

minh rằng L là điểm chung của hai đường

tròn ngoại tiếp tam giác BCQ và AEF

Bài 114 Cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 tiếp xúc ngoài tại A BC là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 , với B thuộc ( )O1 và C thuộc ( )O2 Gọi

M là trung điểm của BC P, Q theo thứ tự đối xứng với B, C qua O ,O1 2 MP theo thứ

tự cắt BO2 và BA tại X, Y MQ theo thứ tự cắt CO1 và CA tại Z, T Chứng minh rằng các tứ giác BZTP và CXYQ nội tiếp đường tròn

T Z

Y X

O2

O1

Q P

F E

D

C B

A

Bài 115 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có BC cố định và điểm A di động sao cho tam giác ABC luôn nhọn Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi J là trung điểm của AH Đường phân giác của góc ABH cắt đường phân giác góc ACH

tại L Chứng minh rằng đường thẳng LJ luôn đi qua một điểm cố định

T

L J

C B

A

Bài 116 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có BC cố định và điểm A di động sao cho tam giác ABC luôn nhọn Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi M,

N theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác BFD và CDE Gọi P, Q theo thứ

tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và ACN Chứng minh rằng MN song song với PQ

là trung điểm của PL Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn ( )O tại G khác A Đường thẳng GI cắt đường tròn ( )O tại S Điểm T trên đường thẳng GL sao cho TI vuông góc với KI Chứng minh rằng ST luôn đi qua một điểmm cố định khi P thay đổi

V U

Z

Q

P

T S L

J

X

O N

Bài 118 Cho tam giác ABC nhọn nội

tiếp đường tròn ( )O có đường kính

AD và H là trực tâm của tam giác

ABC Hai điểm P và Q thuộc tia

phân giác góc BAC sao cho

ABP CBQ= và ở trong tam giác

ABC Điểm K thuộc đoạn PD sao cho

HK vuông góc với AP Chứng minh

rằng đường trung trực của HK đi

qua hình chiếu của Q trên cạnh BC

A

Bài 119 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp

đường tròn ( )O có trực tâm H Đường

tròn nội tiếp ( )I tiếp xúc với các cạnh BC,

CA, AB theo thứ tự tại D, E, F Gọi K là

hình chiếu của D trên EF và L là điểm đối

xứng vứi I qua EF Gọi giao điểm của KH

và KI với BC theo thứ tự là U và V

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt

đường tròn ( )O tại điểm thứ hai lài G J

là điểm đối xứng với A qua O

J

G

V U

H I F

Bài 120 Cho tam giác ABC và hai điểm E, F lần lượt nằm trên cạnh AC, AB sao cho

AE=AF Gọi D là giao điểm của EF và BC Gọi K và L theo tứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBF và DCE Gọi G là điểm đối xứng với D qua KL Điểm R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF sao cho AG song song với BC Gọi H là giao điểm của BE và CF, S là giao điểm của AH và BC Lấy điểm T thuộc đoạn thẳng GR sao cho ST vuông góc với BC Gọi M là trung điểm của ST Chứng minh rằng GS luôn

đi qua điểm cố định khi E và F thay đổi

O M

S

R Q

P

H G

Bài 121 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O trong hai điểm đó B, C cố định và điểm A di động trên cung lớn BC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Dựng đường tròn ( )J tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại E, F và tiếp xúc với đường tròn ( )O tại K Đường thẳng qua E vuông góc với BI và đường thẳng qua F vuông góc với CI cắt nhau tại P Chứng minh rằng IP luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên đường tròn ( )O

T G

Bài 122 Cho đường tròn ( )O và dây AB

thuộc đường tròn ( )O Đường tròn tâm I

tiếp xúc trong với đường tròn ( )O tại T

và tiếp xúc với AB tại K Đường kính MN

của đường tròn ( )O vuông góc với dây

AB (Các điểm M, T cùng thuộc một cung

AB) Từ N vẽ các tiếp tuyến NC, ND với

đường tròn ( )I (C, D là các tiếp điểm)

Gọi P là giao điểm của AC và BD, Q là

giao điểm của AD và BC

J

Q

P K

I O

T N

M

D C

Chứng minh rằng các điểm P, Q, I, M thẳng hàng

Bài 123 Tam giác ABC vuông tại A Gọi

D là điểm đối xứng với B qua A và M là

trung điểm CD Đường tròn ngoại tiếp

tam giác BDM cắt AC tại điểm E nằm

trong tam giác BCD Đường tròn ngoại

tiếp tam giác BCE cắt BM tại F khác B

Gọi I là giao điểm của BE và CF Gọi K là

giao điểm của BM và DI Chứng

minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác BKC

L

G J

K

I

M D

C B

A

Bài 124 Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác tiếp xúc với các

cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại D, E, F Gọi P là điểm nằm trên đoạn EF sao cho DP vuông góc với EF Tia BP cắt AC tại Y và tia CP cắt AB tại Z Lấy Q trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AYZ sao cho AQ vuông góc với BC Chứng minh rằng các điểm I,

P, Q thẳng hàng

Bài 125 Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) nội tiếp đường tròn ( )O Kẻ đường cao

AH của tam giác ABC Gọi P, Q theo theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt đường tròn ( )O tại điểm

K khác A Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC Chứng minh rằng ba điểm

y x

G

H

O I

F

E M

C B

A

Bài 127 Cho tam giác ABC có đường có AD Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H

trên AC, AB Gọi G là giao điểm của EF với BC và H là giao điểm của BE với CF Gọi

K là hình chiếu của G trên AH Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC

và đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tiếp xúc với nhau

G

M

K T

O

P

H F

E

B

A

Bài 128 Cho tam giác nhọn ABC có các

đường cao BE và CF cắt nhau tại D Gọi

T, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của

CF, AB, AF, AE Đường thẳng qua A

vuông góc với AB cắt NQ tại L Đường

thẳng qua F song song với PL cắt NT tại

R Chứng minh rằng đường tròn ngoại

tiếp tam giác NQR tiếp xúc với đường

N M

F

E

D

C B

A

Bài 129 Cho tam giác ABC nhọn không cân có D, E, F lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC, CA, AB Gọi ( )O và ( )O theo thứ tự là đường trong ngoại tiếp và đường '

tròn Euler của tam giác ABC Xét P là một điểm nằm trong tam giác DEF và DP, DE,

C' B'

A' S

G

F' E'

Bài 130 Cho tam giác ABC nhọn không cân có D, E, F lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC, CA, AB Gọi ( )O và ( )O theo thứ tự là đường trong ngoại tiếp và đường '

tròn Euler của tam giác ABC Xét P là một điểm nằm trong tam giác DEF và DP, DE,

DF cắt đường tròn ( )O theo thứ tự tại ' D ; E ; F' ' ' Gọi '

A là điểm đối xứng với A qua

'

D Xác định tương tự với B' và C Lấy X đối xứng với ' A' qua đường thẳng OD Xác định tương tự với Y và Z Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và XH, YH, ZH lần lượt cắt BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, K Chứng minh rằng M, N, K thẳng hàng

P X

L J

CA, AB Gọi L là trung điểm của BC Đường tròn đường kính LJ cắt các đường thẳng

DE, DF lần lượt tại K và H Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BDK và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ( )J

V U K

E'

D'

F'

L O

Bài 132 Cho ta giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O và ( )J là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( )J với BC,

CA, AB Gọi L là trung điểm của BC Đường tròn đường kính LJ cắt các đường thẳng

DE, DF lần lượt tại K và H Giả sử đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại G và đường thẳng GJ cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N Gọi P và Q là các điểm trên JB, JC sao cho PAB QAC 90= = 0 Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng

PM, QN và S là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn ( )O Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng đường thẳng SI cắt đường thẳng AT tại một điểm thuộc đường tròn ( )O

J R

A

Bài 133 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O có I là tâm đường tròn nội tiếp và P là môt điểm trên cung BC không chứa A của đường tròn ( )O Các đường thẳng PB, PC theo thứ tự cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AIB và AIC tại M,

N khác B, C Các đường thẳng vuông góc với MN được kẻ từ M, N cắt đường thẳng

BC theo thứ tự tại Q, R Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR nằm trên đường thẳng PO

I F E

M

P O Y

C B

A

Bài 134 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Đường phân giác ngoài của góc

DAB cắt đường phân giác ngoài của góc ABC tại X, đường phân giác ngoài của góc

ABC cắt đường phân giác ngoài của góc BCD tại Y, đường phân giác ngoài của góc

BCD cắt đường phân giác ngoài của góc CDA tại Z, đường phân giác ngoài của góc

CDA cắt đường phân giác ngoài của góc DAB tại T Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của XZ, YT Chứng minh rằng tứ giác XYZT nội tiếp đường tròn và XZ vuông góc với YT

N T

C

B A

D

Bài 135 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có trực tâm H Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác hạ từ điểm A của tam giác ABC Đường thẳng qua D cắt AB, AC tại F, E sao cho D là trung điểm của EF Gọi K là trực tâm của tam giác AEF Chứng minh rằng đường tròn đường kính AK tiếp xúc với đường tròn ( )O

Bài 135 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có trực tâm H Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác hạ từ điểm A của tam giác ABC Đường thẳng qua D cắt AB, AC tại F, E sao cho D là trung điểm của EF Gọi K là trực tâm của tam giác AEF Chứng minh rằng đường tròn đường kính AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC

D

N P

Q

T K

L

y x

O

C B

A

Bài 137 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của BC với EF Đường thẳng vuông góc với BC tại

K cắt BE, CF theo thứ tự tại Q, P Đường thẳng qua H vuông góc với EF và cắt BC tại

L Gọi D là điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng qua L vuông góc với BC cắt DB,

DC theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN

Q P

N

M

D

C B

A

Bài 138 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( )I; r Các cạnh AB, AC tiếp xúc với đường tròn ( )I theo thứ tự tại F và E Trên các tia EA, FA lấy lần lượt các điểm K, L sao cho EK=FL=r Đường thẳng qua K vuông góc với AC cắt đường thẳng qua L vuông góc với AB tại J Chứng minh rằng đường tròn (J; JL) tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

H

X T

J

I

N M

L

K

Q P

F

E

B A

Bài 139 Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn ( )O Lấy điểm M trên cung nhỏ BC của đường tròn ( )O sao cho AM không vuông góc với BC Gọi T là giao điểm của AM với đường trung trực của BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT

cắt cắt đường tròn ( )O tại điểm N khác A Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và G là chân đường phân giác góc BAC của tam giác ABC Các đường thẳng AI, MI, NI cắt đường tròn ( )O theo thứ tự tại D, E, F Gọi P, Q tương ứng là giao điểm của DF với

AM và DE với AN Đường tròn qua P và tiếp xúc với AD tại I cắt DF tại H khác D, đường tròn qua Q và tiếp xúc với AD tại I cắt DE tại K khác D Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC