Một số vấn đề về hình học giả euclide

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận vãn với đề tài “Một số vấn đề về Hĩnh học giả Euclide” nhàm làm rõ địnhnghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hĩnh học giả Euclide.. Ngoài ra,

Trang

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 2

PHẦN NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EƯCLIDE 4

1.1 CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN 4

1.2 T RỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN 9

1.3 CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTO GIẢ EUCLIDE 13

1.4 PHÉP BIẾN ĐỒI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP 20

1.5 PHÉP BIẾN ĐỒI TRựC GIAO 25

1.6 PHÉP BIẾN ĐỒI ĐỒNG DẠNG 32

CHƯƠNG II: KHÔNG GIAN GIẢ EƯCLIDE 41

2.1 CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN 41

2.2 CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 43

2.3 PHÉP DỜI 45

2.4 PHÉP ĐỒNG DẠNG 48

2.5 SIÊU MẶT BẬC HAI - SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 52

2.6 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 56

PHẦN KẾT LUẬN 64

1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65LÝ DO CHỌN ĐỂ TÀI

“Hĩnh học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại sốtuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chính thức

để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán - Tin Đây là những mônhọc rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên.Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giới thiệu hết tất cảnhững vấn đề về hĩnh học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thức trọng tâm, cơ bảnnhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này

Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tim hiểu vềcác loại hĩnh học, mối liên hệ cùng những điểm giống và khác nhau giữa chúng, em đãquyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về hĩnh học giả Euclide” để thực hiện luận văn tốtnghiệp của minh

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Luận vãn với đề tài “Một số vấn đề về Hĩnh học giả Euclide” nhàm làm rõ địnhnghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hĩnh học giả Euclide Đồngthời, luận văn đi vào tim hiểu một số bất biến của Hĩnh học giả Euclide, mối liên hệ giữaHĩnh học giả Euclide với Hĩnh học Euclide và với Hĩnh học xạ ảnh

Ngoài ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp em có dịp củng cố những kiến thức vềĐại số tuyến tính, Hĩnh học Afin, Hĩnh học Euclide, Hĩnh học xạ ảnh và bước đầu làmquen với việc nghiên cứu các vấn đề mới của Toán học

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

i- Đọc lại và nắm vững những vấn đề trọng tâm, cơ bản của Không gian vectơ, Hĩnhhọc Afin, Hĩnh học Euclide, Hĩnh học xạ ảnh

i Phân tích kỹ định nghĩa và tìm hiểu một số tính chất của các khái niệm cơ bản tronghĩnh học giả Euclide

4- Dựa vào một số định lý, mệnh đề trong Hĩnh học Euclide, phân tích, so sánh để rút

ra các định lý, mệnh đề có liên quan đến các khái niệm trong Hĩnh học giả Euclide Sau

đó chứng minh lại một cách đầy đủ, rõ ràng và có hệ thống

4- Dựa vào cách xây dựng mô hĩnh xạ ảnh của không gian Afin và không gian Euclide

để rút ra cách xây dựng mô hĩnh xạ ảnh của không gian giả Euclide Trên cơsở đó, timhiểu mối liên hệ giữa Hĩnh học giả Euclide với Hĩnh học Euclide và với Hĩnh học xạảnh

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số khái niệm cơ bản trong không gian vectơ giả Euclide, khônggian giả Euclide n chiều chỉ số k thông qua tim hiểu lý thuyết tổng quát

5 NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ị - Chương I: Trình bày các định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, không gian

vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, cơ sở trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn, các không giancon, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhàm tạo nền tảng kiếnthức cho phần tiếp theo

Trang 4

PHẦN NÔI DUNG

i - Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide n chiều chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không

gian con, khoảng cách và góc, các phép dời hĩnh và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hĩnh xạ ảnh của không gian giả Euclide; từ đó rút ra mối liên hệ giữa hĩnh học giả Euclide và hĩnh học xạ ảnh

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE

1.1 CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN

r (<)

0 *«=(() b ) * ã - 0.(ố *«) = () , vớiồeVn

ã*Õ=ã*(0.b) D = ì 0.(ã*b) = 0 , với b eVn

Vậy {«,}, độc lập tuyến tính trong Vn

Do hệ n vectơ {«,}, độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n chiều Vn nên ta suy ra { ã t } r là cơ sở của Vn

1.1.3.2 Không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ sổ n chính là không gian vectơ Euclide.

Thật vậy

:Xét vn n là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n Vĩ tích vô hướng

trên Y n thỏa các tiên đề (El*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũngthỏa các tiên đề (El), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide Do đó ta chỉ cần chứngminh tích vô hướng trên vn n thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide, tức

a) Trường các số phức c là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với tích

vô hướng: X * ỷ = ( a + i b ) * (c + i d ) = a c - b d , trong đó X = a + i b e C , ỷ = c + i d e c.

b) Không gian R4 là một không gian vectơ giả Euclide 4 chiều chỉ số 3 với tích vôhướng: X *ỹ = (x ì ,x 2 ,x ĩ ,x ậ )*(y ì ,y 2 ,y ĩ ,y ậ ) = x ỉ y ỉ +x 2 y 2 +x 3 y 3 -x A y A , trong đó

X = (*!,*2J*3, JC4) ER4, ỹ = (y u y 2 ,y 3 ,y 4 ) e R4

Khi đó R4 được gọi là không gian Minkowski hay không gian Không gian - Thờigian Người ta thường dùng mô hĩnh không gian này khi nghiên cứu về hĩnh học vũ trụ.c) Không gian Rn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k với tích vô

hướng: x*ỹ = Ỵ j x i y i - Xjyj, trong đó X = e Rn , ỹ = (y 1 , ,y„)e Rn

1.1.5 Module của vectơ

Ta định nghĩa module của vectơ ũ là số \ ũ \ sao cho:

\ũI = yjũ*ũ , nếu ũ * ũ > 0

\ ũ \ = ỉ y j - ũ * ũ , nếu ũ * ũ < 0, trong đó i là đơn vị ảo.

Trong cả hai trường họp, ta đều ký hiệu \ ũ \ = y j ũ * ũ Như vậy module của

một vectơ có thể là một số thực dương, bàng 0 hoặc một số thuần ảo

N h â n x é t : Vw eVn, VA <=R thì: ị Ẳ ũ ị = Ậ Ả Ũ ) *( Ắ ũ ) = J Ă 2 ( U * U) =141«!

Vectơ ũ được gọi là vectơ đơn vị nếu \ ũ \ = 1 hoặc \ ũ \ = ỉ

1.1.7 Góc giữa hai vectơ trong không gian vectơ giả Euclide

1.1.6.1 Định nghĩa

Cho hai vectơ ã và b thỏa \ ã \ * 0, b * 0 số phức ọ xác định bởi công thức:

(1) được gọi là số đo góc của hai vectơ ấ và b Ký hiệu: ọ { a , b )

Từ công thức (1), ta suy ra c o s ẹ có thể là số thực hoặc là số thuần ảo.

Ta có các trường hợp:

♦♦♦ Trường hạp 1: c o s ọ là số thực Ta xét:

• -1 < cos ọ < 1: Khi đó ( p là số thực và ta quy ước chọn ( p e [0,7ĩ].

• cos ẹ > 1: Khi đó ta đặt: a = cos ọ => oe(l; +oo)

Nhận thấy: hàm chx là một hàm số thực liên tục trên R và nhận giá trị trên [l;+oo)

nên với a e (l;+oo) thì tồn tại số thực 6 sao cho: COSỘ3 = a = c h o

Mà c h o = cos i O nên suy ra: COS ( Ọ = COS i 6

Do đó ta chọn < p = Ỉ O và nhận thấy trong trường hợp này < p là số thuần ảo.

• cosẹ? < - 1 : Khi đó -C0SỘ7 > 1

Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực 6 sao cho: -COSq > = c h o

=> cos<p = -ch0 = -cosi0 = cos(7T-i0).

Ta chọn < p = Ĩ Ĩ - Ỉ O và nhận thấy trong trường họp này < p là số phức.

♦♦♦ Trưởng hon 2: cos < p là số thuần ảo Lúc này ta có thể viết: cosẹ? = i b , với b eR cos <p

=

Trang 8

= 1.

Nhận thấy: hàm shx là một hàm số thực liên tục và nhận giá trị trên R nên với b eR thì

tồn tại số thực 9 sao cho: b - s h O 7 t

cos < p = i b = i s h O = sin i O = cos(— - i 0 )

Do đó ta chọn < p = — - Ỉ O và nhận thây trong trường họp này ( p là sô phức.

Vâv: Trong không gian vectơ giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có

+ Nêu pq < 0 thì: cos <p(pã,qb) = -cos <p(ã,b) = cosịĩr -

<p(ã,b)) => <p(pã,qb) = ĩĩ-<p(ã,b) iii) ã cùng phương với b

<=> cosọ(a,b) =1 Thật vậy:

ã cùng phương với b <=> ã = p b , với p e R

ã * b (p b ) * b p b * b p <=> cos< p ( a , b ) = ——— = J = f - 7.—r = ị

\ ã \ b p b b \ p \ ị Ip

7T-<p(ã,b), pq <

0.

cos q)(a,b)Thật vậy:

đó ã x , ã n là các vectơ nói trong tiên đề (E4*)) là một vectơ đẳng hướng

Hệ vectơ { b ị } ^ gồm các vectơ b ị * 0 thuộc vn k được gọi là hệ trực giao nếu

b ị * b ị * 0 (Vỉ = 1 , m ) và b ị : * b j = 0 (Ví * j ' , i , j = 1 , r ì ) (tức là chúng từng đôi

một trực giao với nhau)

Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn

N h â n x é t : Theo định nghĩa, hệ {«¿Ịp nói trong tiên đề (E4*) là một cơ sở trựcgiao của vn k.

Trong vn k, nếu ta có n vectơ b i { ỉ = \ , n ) sao cho b ị * b ị : * ■ 0 (Vỉ = \ , n ) và

b ị * b j = 0 (V/ ^ j ) thi ta sẽ có đúng k vectơ b ị sao cho b ị * b ị >0 và (n - k) vectơ b j sao cho b j * b j < 0.

Dễ thấy ràng 1 vectơ b ị , b 2 , ố, độc lập tuyến tính trong vn k (Vĩ độc lập tuyến

tính) Vĩ vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con 1 chiều Vi Tương tự, gọi vn-k là

không gian vectơ con sinh bởi (n - k) vectơ độc lập tuyến tính ã k + l , ã k + 2 , ., ã n nóitrong tiên đề (E4*)

Vĩ 1 > k nên Vi và vn_k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít

(1) và (2) mâu thuẫn nhau nên 1 > k là không thể được

• Neu 1 < k:

Gọi Vn_i là không gian vectơ con sinh bởi (n - 1) vectơ độc lập tuyến tính

^ì+2 > ■■■> ■

Trang 11

Gọi Vk là không gian vectơ con sinh bởi k vectơ độc lập tuyến tính a x ,

ã 2 , .,

ãk nói trong tiên đề (E4*)

Chứng minh tương tự như trường họp 1 > k, ta nhận thấy trường họp 1 < k làkhông thể được

Vậy 1 = k và ta có điều phải chứng minh

1.2.4 Định lỷ

Trong không gian vn k luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn

Chứns minh:

Gọi { ã ị } r là hệ vectơ nói trong tiên đề (E4*) Khi đó, { ã ị } r là cơ sở trực giao

Ta chọn các vectơ e t sao cho:

°; v ớ i i ^ i v à i , j = l , n

Do đó { ẽ ị } J— là một cơ sở trực chuẩn của vn k.

Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ ể, sao cho ể, * ẽ ì : — 1 và (n - k) vectơ ể

■ sao cho ẽ j * ê j — -1 Điều này cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn khác (vĩ suy ra từ

định lý ở trên)

Từ đây, khi nhắc đến cơ sở trực chuẩn {M,}, bất kỳ của vn k, nếu không nói rõ thì

ta quy ước cơ sở trực chuẩn đó phải thỏa ũ ị * ũ i — 1, với i<k, ũ j * ũ j — -1, với j>k

Tọa độ trực chuẩnTọa độ của vectơ X e yn đối với một cơ sở trực chuẩn đượcgọi là tọa độ trực chuẩn của X trong vn k.

Giả sử { ẽ i } Ị là một cơ sở trực chuẩn trong vn k thỏa ẽ ị * ẽ ị > 0, với i < k Khi đó: với X , ỷ e yn thi:

Trang 13

X j = - x * ế j = 0 , với j > k

Xị = X * êị = 0, với i < k.Do đó: * = =X0^ =0

1.2.6 Công thức đổi cơ sở trực chuẩn

Gọi { ế ị }r, ị ẽ ị '}j— là các cơ sở trực chuẩn trong yn

Dựa vào công thức đổi cơ sở trong không gianvectơ, ta có công thức đổi cơ sở trực chuẩn trong vn k

❖ D i n h n g h ĩ a 7: Giả sử p là không gian vectơ con của vn k Khi đó trong p xác

định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép

toán cộng và nhân trong V n Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong V n áp dụng cho

p, khi đó trên p ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (Ei*), (E2*), (E3*) Nếu ánh xạ * thỏa thêm tiên

đề (E4*) thì trên p xác định được một tích vô hướng, do đó p sẽ là một không gian vectơ giả Euclide Khi đó ta gọi p là không gian con của V n

N h ă n x é t : Từ định nghĩa, ta nhận thấy không phải mọi không gian vectơ con

của vn k đều là không gian vectơ giả Euclide Ví dụ: không gian vectơ con một chiềucủa vn k sinh bởi vectơ đẳng hướng V = e x + e n (với {e,}, là một cơ sở trực chuẩn

trong V n ) không thỏa tiên đề (E4*) nên không là không gian vectơ giả Euclide

♦♦♦ Đ i n h n g h ĩ a 2 \ Cho p là không gian vectơ con của vn k Khi đó p được gọi là

xác định dương (không âm, đẳng hướng, không dương, âm) nếu X * x > 0 ( X * x > 0,

X

❖ j? * jc = 0, x * f < 0 , x * f < 0 ) , với mọi vectơ X eP, X ^ 0.D i n h n g h ĩ a 3 : Cho p

là không gian vectơ con của vn Khi đó p được gọi là không suy biến nếu có X eP và X *

ỷ - 0, Vỹ eP thi ta suy ra được X = 0

Ngược lại thi p được gọi là suy biến

❖ D i n h n g h ĩ a 4 : Cho p là không gian vectơ con của vn k và vectơ X e vn k Ta nói

ràng X trực giao với p nếu như X trực giao với mọi vectơ của p

❖ D i n h n g h ĩ a 5 : Cho p, Q là các không gian vectơ con của vn k Ta nói ràng p

và Q trực giao với nhau nếu như mọi vectơ của p trực giao với mọi vectơ của Q

Ký hiệu: Q _L p hay p _L Q

❖ D i n h n g h ĩ a 6 : Cho p là không gian vectơ con của vn Đặt:

Q = { x e Vn :x * ỹ = 0,Vỹ e P}

Ta dễ dàng chứng minh được Q là một không gian vectơ con của vn k và Q trực

giao với p Khi đó Q được gọi là phần bù trực giao của p

Ký hiệu: Q = p1

N h â n x é t 1 : Từ định nghĩa ta nhận thấy có duy nhất một không gian vectơ con

Q bù trực giao với không gian vectơ con p đã cho.

Gọi p là không gian vectơ con dương của vn k Vĩ trên p ánh xạ * thỏa các tiên đề

(Ei*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (EO,(E2), (E3) của không gian vectơ Euclide

Mặt khác, do p dương nên: Vx eP thì X * X > 0 và x*x = 0 < » x = 0

Do đó trên p ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide

Vậy p là một không gian vectơ Euclide Suy ra p là một không gian vectơ giảEuclide

N h â n x é t : Neu p dương thì p thỏa tất cả các tính chất của không gian vectơ

Euclide

Euclide.

Thật vậy:

Gọi p là không gian vectơ con âm của vn Khi đó trên p ánh xạ * thỏa các tiên đề

(El*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa tiên

đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide

Gọi m là số chiều của p và {xjj— là một cơ sở tùy ý của p

Vĩ p âm nên V3c eP, X * 0 thi je * je <

0 =>;*?, * X ị <0, V/ = ỉ , m

Đặt: ũ x - => ũ x * ũ x < 0.

_ _ ^ _ ¿1, X ị * ũ ị _ —

Đặt: ũ , = ị - 2, f ũ , Vi = 2,

Dễ thấy ũ ị õ (Vỉ = 1 , m ) do là hệ độc lập tuyến tính Ta kiểm tra bàng

quy nạp ràng ũ h trực giao với các vectơ Ũ Ị , ũ 2 , ., ũ h _ x

♦♦♦ Trưởng hơp Ị: Neu X - 0 hoặc ỷ - 0 thì hiển nhiên bất đẳng thức được thỏa.

♦♦♦ Trưởng hơp 2: Neu X ^ 0 và ỷ ^ 0 thì:

m

- Nếu { x , ỹ } phụ thuộc tuyến tính thi 3p*0 sao cho: X = p ỷ

Khi đó: (x * ỹ )2 = { p ỹ * ỹ )2 = p 2 { ỹ * ỹ ) 2 = { p ỹ *p ỹ ) { ỹ *ỹ ) = (x*x ) ( ỹ *ỹ ) - Nếu

{ x , ỹ } độc lập tuyến tính thi : X p ỷ , e R

(x * ỹ)2 < (x * x ) ( ỹ * ỹ ) (Vĩ ỹ * ỹ < 0 ) Vậy trong cả hai trường hợp ta luôn có: ( x * ỷ )2 < (x * x ) { ỹ * ỹ ) , Vx , ỹ eP.

N h â n x é t : Bất đẳng thức Schwartz vẫn đúng cho trường hợp p là không gian vectơ con

không dương hoặc không âm Ta có thể chứng minh điều này dựa vào câu a của định lýbên dưới và cách chứng minh bất đẳng thức Schwartz dành cho không gian vectơ con âm

ở trên

1.3.2.4 Sổ chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con dương

của vn k là k.

Thật vậy:

Gọi p là không gian vectơ con dương của vn k Giả sử dimP > k

Gọi vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n - k) vectơ độc lập tuyến tính ã k+l ,

ã k+ 2, , ã nnói trong tiên đề (E4*) Khi đó dễ thấy Vn-k là không gian vectơ con âm của vn

Mà dimP + dimVn_k > n nên PnVn_k là không gian vectơ con khác không của Vn k (1)

Mặt khác p dương và Vn_k âm nên PnVn_k = {0} (2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý Vậy ta có số chiều lớn nhất có thể có của p là k.

1.3.2.5 Sổ chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con âm

1.3.2.7 Nếu p 1 Q thì PnQ là không gian vectơ con đẳng hướng của v n k

hoặc không gian không.

(Tính chất này ta công nhận, không chứng minh)

Cho p là không gian vectơ con của vn thỏa mãn PnP1 = {0} và p©p- = yn Khi

đó, nếu có X eP và X * ỷ — 0 , Vỹ eP thi suy ra: X eP1

Do đó p không suy biến

(<=):

Cho p là không gian vectơ con không suy biến của vn k

Khi đó, với X ePnP1 thì do X eP1 nên X * ỷ — 0 , vỹ eP.

Vĩ p không suy biến nên suy ra: X - 0 Vậy PnP1 = {0}

Mặt khác: dimP + dim p1 = n (theo tính chất 1.3.2.8.) và P0P1 <z vn

Do đó P0P1 = vn

Thật vậy:

Vĩ p là không gian con của v n nên p là một không gian vectơ giả Euclide

Xét x e P v à X * ỷ = 0 , vỹ e P thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của

tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra: X - 0

Do đó p không suy biến

1.3.2.12 Nếu p là không gian con của v n thì p1 không suy biến.

Thật vậy:

Vĩ p là không gian con của vn k nên p không suy biến (theo tính chất 1.3.2.11.) Do

đó theo tính chất 1.3.2.10 ta có: PnP1 = {0} và P0P1 = vn k Mặt khác theo tính chất1.3.2.8 thi: (P1)1 = p Suy ra: (P1)1 nP1 = {0} và (P1)1 ©p1 = vn

Từ đó ta có p1 không suy biến

1.3.3 Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con)

a) Mọi không gian vectơ con p của vn k đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp p =

Po©Pi, trong đó Po là không gian vectơ con đẳng hướng, Pi là không gian vectơcon không suy biến và Po -1 Pi (trường họp p không suy biến thi ta xem Po = {0},trường họp p đẳng hướng thi ta xem P! = {0})

b) Mọi không gian vectơ con không suy biến p của vn k đều có thể biểu diễn thànhtổng trực tiếp p = p + © p _ , trong đó P+ là không gian vectơ con dương, p.là khônggian vectơ con âm và P+ _L p (trường hợp p dương (hoặc âm) thi ta xem p.= {0}(hoặc p+ = {õ}))

Chứns minh:

a) Đặt Po = PnP1 Khi đó Po là không gian vectơ con đẳng hướng

Vĩ Po là không gian vectơ con của vn k nên tồn tại không gian vectơ con N của v n k

sao cho: P0©N = vn

Vì vậy: P0©(NnP) = p

Đặt p 1 = NnP Suy ra: P! _L p0 (Vĩ p0 <= p1 và P!<z P)

Ta sẽ chứng minh P! không suy biến

Xét vectơ x0 eP! sao cho x0 = 0, V3c ePi

Nhận thấy: X * ỹ = 0, vỹ eP0 (Do Pi 1 p0)

Vĩ P0©Pi = p nên ta suy ra: x ữ * z = 0, Vz eP Do đó : í0 eP1 í>ỉ0e NnPnP1 = p0n P!

= {0}

Nên: x0 = 0

Vậy Pi không suy biến và ta có điều phải chứng minh

b) Gọi P+ là không gian vectơ con dưcmg có số chiều lớn nhất của p Khi đó P+ khôngsuy biến và P+QÍP-^)1 = vn

Vì vậy: P+©(Pn(P+)1) = p

Đặt p = Pn(P+)1 Suy ra: p+ _L p và p+©p_ = p

Ta sẽ chứng minh p âm.

Giả sử tồn tại X e P , X 0 sao cho X * X > 0

Khi đó Vỹ eP+ thi: x*ỹ = ữ và ỹ*ỹ>0 ^ (x + ỹ)* (x

Ta xét vectơ x0 eP sao cho x0 * x0 = 0

Khi đó, Vx eP_ ta luôn có: (x0 * x f < (x0 * x0)(;*f = 0

Suy ra: * x = 0, Ví eP.

Mặt khác ta có: x ữ * ỹ = 0 , Vỹ eP+ (Vì p+ 1 p.)

Do p+©p = p nên ta suy ra: x ữ * z - 0, Vz e p

Vĩ p không suy biến nên ta được: ^0=0

Vậy p_ âm và ta có điều phải chứng minh

> H ệ q u ả 1 : Mọi không gian vectơ con p của Vn đều có thể biểu diễn được dướidạng p = P+ffiP_ffiP0, trong đó P+ là không gian vectơ con dương, p_ là không gian vectơcon âm và p0 là không gian vectơ con đẳng hướng

> H ệ q u ả 2 : Mọi không gian vectơ con không suy biến p của Vn đều là khônggian vectơ giả Euclide Từ đó p là không gian con của Vn khi và chỉ khi p không suybiến

> H ệ q u ả 3 : Nếu p là không gian con của Vn thì p cũng là không gian con của

Vn Từ đó, nếu p _L Q và p (hoặc Q) là không gian con của Vn thì p n Q = {0}

1.3.4 Định lý

Vĩ p _L Q và p, Q là các không gian con của v n k nên p n Q = {0} Do đó, nếu ta

lấy lần lượt trong p và Q các cơ sở trực chuẩn { ẽ ị } 1 và ị ẽ ị '}j— thi hệ Ịếị,^ 'Ịí=ĩ^ sẽ là hệtrực chuẩn trong vn k

Nếu trong vn k có một hệ trực chuẩn { é ị , e j ' } i = ĩ p sao cho , { ế ị ' }r lần lượt

7-1.?

là cơ sở trực chuẩn của p và Q thi với X e p, ỷ e Q, ta có:

Vậy X -L ỹ Do đó p -L Q.

1.4

PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP

(i) s (Ãị + ụx 2 ,ỹ) = ẤS , ỹ) + ụS (x2, ỷ)

I.4.I.2 Biểu thức tọa độ

Trong vn cho cơ sở {cjr và s là một dạng song tuyến tính

Đặt Sịc^Cy) = Cy, Vỉ, j = l,n.

Với X , ỷ e Vn thì X , ỷ có dạng: X = ỵ ^ X ị C ị , ỹ = ỵ ^ y j C j

Khi đó: S(x,ỹ) = S(Ỳ,x i c i ,Ỳ,y^j) = ị i x i y J S(c i t c J ) = (!)

Gọi [*], [y ] lần lượt là ma trận cột tọa độ của X , ỹ và c = [cỉ;/.]nxn thi từ (1) ta có:

■S(Í,?) = M*CM (2)Dạng (2) được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính s Ma trận c được gọi

là ma trận của dạng song tuyến tính s đối với cơ sở {cjr

1.4.2 Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong không

gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k

I.4.2.I Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính

> Cho phép biến đổi tuyến tính ọ : v k -» v k

Xét ánh xạ S : V k x v k - + R

(x,ỹ) S(x,ỹ) = <p(x)*ỹ

Dễ dàng nhận thấy s là một dạng song tuyến tính và s xác định duy nhất (do tính

duy nhất của q > và tích vô hướng xác định trên vn ).

Giả sử {ếjp là một cơ sở trực chuẩn trong vn k , A là ma trận của phép biến đổi

tuyến tính ọ đối với cơ sở trực chuẩn đó Ta tìm ma trận c của dạng song tuyến tính liên

hợp s đối với cơ sở trực chuẩn {ejr

Ta có: c i j =S(ê i ,ê j ) = <p(ê i )*ê j , ViJ = 1,71.

trận A=[aij] nxn đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thi s có ma trận C=[ci j ] nxn thỏa

ci j= aj i » với j < k, và cij=-aji, v ớ i j > k

> Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính s trong vn thi tồn tại duy nhất một phép

biến đổi tuyến tính ọ : V * - > V * sao cho S ( x , ỹ ) = ạ > ( x ) * ỹ

I.4.2.2 Có thể xác định sự liên hệ giữa dạng song tuyến tỉnh với phép

biến đổi tuyến tính theo một cách khác như sau:

và dạng song tuyến tính S ( x , ỹ ) tương ứng Ta xác định phép biến đổi tuyến tính ( Ị ) bởi điều kiện: S ( x , ỹ ) = x * < p \ ỹ ) (3)

Thật vậy: Giả sử {e,}, là một cơ sở trực chuẩn trong Vn

Đặt: Ọ ( ẽ ị ) - ^ d m i ^ m , trong đó dmi là các số cần xác định

m =1

Ta có: c 9 = S(ị,ej) = ị* ẹ{êj) t Vỉ, j = \,n Nên:

*■ n - k dòng

0 0 -1

Ta nhận thấy: D = IkAxIk và Ik = (Ik) '

Vậy: nếu < p * là phép biến đổi tuyến tính của Vn thỏa mãn điều kiện (3) thì ma

trận D của ( p thỏa mãn D = IkAxIk Do đó ( p là duy nhất.

> K ế t l u ậ n : Cho một phép biến đổi tuyến tính < p : V * —» V * thì tồn tại duy nhất

một phép biến đổi tuyến tính (p : V * —> V * thỏa mãn ọ ( x ) * ỹ = x * ọ * ( ỹ ) và ngược lại

Định nghĩaCho phép biến đổi tuyến tính ọ : V * - > vk Khi đó phép biến đổi

tuyến tính ç > * - V * thỏa mãn < p ( x ) * ỹ = x * ẹ ( ỹ ) , Vf , ỹ e Vn được gọi là phépbiến đổi

tuyến tính liên họp của q >.

1.4.3 Tính chất

a) (ạ>y=<p

Thật vậy:

Gọi A, A’, A” lần lượt là ma trận của ( p , ( f > và ( ọ ' ) đối với cơ sở trực chuẩn

đã chọn thi theo trên ta có: A' = IkAxIk

Suy ra: A" = I k A' x I k = I k (I k A x I k ) x I k = I k I k (A x ) x I k I k = (A x ) x = A

Gọi A, B lần lượt là ma trận của ( p , \ ự đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn Khi đó

A + B là ma trận của ( p + \ ự đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn Nhận thấy:

Trang 24e) (k ọ )* = k ( Ọ , v& e iỉ.

Suy ra: X * ((k ẹ ) { ỷ ) - ( k < p ) \ ỹ ) ) = 0, vĩe FB*

Do đó: (kạ>*)(y)-(kạ>y(y) = 0 Vậy: (V)ơ) = (kạ>y (ỹ), Vỹ e

V n k

1.5 PHÉP BIẾN ĐỔI TRựC GIAO

1.5.1 Định nghĩa

Đẳng cấu tuyến tính < P ' V k —>V ' [ được gọi là đẳng cấu trực giao nếu với X , ỷ e

v n , ta có: ọ { x ) * ọ i ỹ ) = X * ỷ , tức là ọ bảo toàn tích vô hướng.

Khi đó ta nói ràng vn k đẳng cấu với V’n Ký hiệu: v n k = V’n.

1.5.2 Tính chất của đẳng cấu trực giao

1.5.2.1 Đ ị n h l ý : Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi

chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k

Chứns minh:

(^):

Cho hai không gian vectơ giả Euclide vn và V’™'

Nếu Vn = V’J thì n = m và tồn tại một đẳng cấu tuyến tính ( p : v k —» V ' [ sao cho ẹ ( x ) * ẹ ( ỹ ) = x * ỹ , Vĩ, ỹ e vn

Gọi { ẽ ị } J— là cơ sở trực chuẩn của vn Khi đó: ẽ ị * ẽ j =1, với i < k, ẽ j * ẽ j

=> Trong có 1 vectơ < p ( ế ị ) sao cho < p ( ế ị ) * ợ > ( ẽ r ) = 1, với 7 = 1 , / (2)(theo bài 2)

Từ (1) và (2) suy ra k = 1

(*=)■■

Cho hai không gian vectơ giả Euclide v n và V’ n

Gọi { ế j } r , { ẽ ị '}1 lần lượt là cơ sở trực chuẩn của vn và V’n Khi đó tồn tại một

đẳng cấu tuyến tính ( Ọ ' - V k — > v k sao cho: < p ( j ẽ ị ) = ẽ ị \ V/ = 1, n

1.5.2.2 Quan hệ đẳng cẩu giữa các không gian vectơ giả Euclide là một

quan hệ tương đương.

Tồn tại đẳng cấu tuyến tính i ỵ : V k — > V " k thỏa y / { z ) * y / Ợ ) = z * ĩ , V z , F

Cho ánh xạ ( p : v k — > v k bảo toàn tích vô hướng của vectơ

Giả sử { ế ị } r là một cơ sở trực chuẩn của v n Khi đó: ẽ ị * ẽ ị = 1, với i < k, ẽ j

* ẽ j - -1, với j > k, và e i * ê j = 0 , với i j t ị

Đặt ẽ ị ' = ọ i ẽ ị ) Do < p bảo toàn tích vô hướng

nên: e,.' * e,.' = ẹ ị ĩ ẻ i ) * ẹ ị ĩ ẻ i ) = e, * ẽ ị : = 1,

với i < k ẽ j ' * ẽ j ' = < p ( e j ) * < p ( ẽ j ) =

ị ' * ẽ j ' = ẹ ( ị ) * <p(ej) = ị * ẽ j = 0 , với i * j.

=> { ẽ ị là cơ sở trực chuẩn của yn

Vĩ { e t } r , ị ẽ ị là các cơ sở trực chuẩn của v n nên tồn tại phép biến đổi tuyến

tính y / : v k —» v k thỏa mãn: y / { e t ) = ẽ ị V i = 1 , n

Lấy X e v n , giả sử X = / { ị } ^.

Khi đó, theo ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: ọ { x ) = y / { x ) , \ / x eVn hay < P W

-Vậy ( p là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên( p là phép biến

đổi trực giao

1.5.5 Định lý

Ánh xạ tuyến tính ọ : V * —» V * là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó

biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn

Gọi là một cơ sở trực chuẩn của vn k Khi đó: ể;*ể; =1, với i<k,

ẽ j * ê j - -1, với j>k, và e t * ê j = 0, với i^j.

Vĩ < p biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên ta suy ra {^(ể;)}j là cơ sở

trực chuẩn của vn Do đó: ( p { ẻ ị ) * < p ( ẽ ị ) = 1, với i < k, ẹ > ( ẽ j ) * ẹ > ( ẽ j ) = -1, với j

(1 )

=> X * y - < p { x ) * < p { y ) , Vx, ÿ e vn k , hay < p bảo toàn tích vô hướng.

Vậy ọ là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên ta suy

ra ọ là phép biến đổi trực giao.

> H ê q u ả : Nếu {ếjr, {e'Jj— là các cơ sở trực chuẩn của vn thi tồn tại duy nhất

một phép biến đổi trực giao ( p : V * — > v k sao cho ọ ( ẽ ị ) = ẽ ’ ị , V i = l , n .

1.5.6 Định lý

Ánh xạ tuyến tính ọ : v k — > v k là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó

bảo toàn module của vectơ

Trang 29Mà do ( p là ánh xạ tuyến tính nên:

<p(x + ỹ) * <p(x + ỹ) = (<ự>(x) + <p(ỹ)) * (<p(x) + <p(ỷ))

= <p(x) * <p(x) + 2<p(x) * <p(ỹ) + <p(ỹ) * <p(ỹ)

(2)Mặt khác:

(x + ỹ ) * ( x + ỹ ) = x * x + 2 ( x * ỹ ) + ỹ * ỹ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 ( < p ( x ) * < p ( ỹ )) = 2 { x * ỹ )

< ^ ọ { x ) * ( p i y ) =

x * ỹ Do đó ( p bảo toàn tích vô hướng.

Vậy q > là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên ta suy

ra ọ là phép biến đổi trực giao.

Vậy ọ là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng Do đó theo hệ quả 1 ta

có ọ là phép biến đổi trực giao.

> V ậ y : phép biến đổi tuyến tính ( p : V * —» V * là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi < p * = ạ > x

1.5.8 Ma trận k - trực giao

Trong vn , cho phép biến đổi trực giao <P'.V" - > v * Ta lấy một cơ sở trực chuẩn {ặ}j

— và gọi A là ma trận của ọ đối với cơ sở trực chuẩn đó Khi đó A gọi là ma trận k - trực

giao

Đặt A = [ a ]n x n

Khi đó ma trận của phép biến đổi tuyến tính liên họp ( f > là D = [dij]nxn thỏa: D =

IkAxIk (D, Ik được xác định theo bài 4)

Mà ( p là phép biến đổi trực giao nên: ọ * = ( p ~ x Nên

ta có: AD = DA = I (với I là ma trận đơn vị cấp n)

Suy ra: AIkAxIk = IkAxIkA = I (*)

Ngược lại: Nếu trong vn , đối với một cơ sở trực chuẩn nào đó, ma trận A của

phép biến đổi tuyến tính ( p thỏa mãn AIkAxIk = IkAxIkA = I, thi ( p là phép biến đổi trực

giao (suy ra từ nhận xét ở phần trên)

N h â n x é t : Neu A là ma trận k - trực giao thi detA = ±1 (suy ra từ đẳng thức

vectơ X , < p ( x ) e vn k đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn.

> H ê q u ả 2 \ Công thức đổi tọa độ trực chuẩn trong v n k là [x1] = Bx[x], trong đó B

là ma trận k - trực giao cấp n

1.5.10 Tính chất của phép biến đổi trực giao

1.5.10.1 Tập hợp các phép hiến đổi trực giao lập thành một nhóm, gọi là

nhóm trực giao.

Thật vậy:

i - Vĩ I(Ik I x I k ) = (I k I x I k )I = I nên phép đồng nhất id của v n là phép biến đổi trực giao.

i- Vĩ tích của hai đẳng cấu trực giao là một đẳng cấu trực giao nên tích của hai phépbiến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao

ị - Vĩ đẳng cấu ngược của một đẳng cấu trực giao là đẳng cấu trực giao nên nghịch đảo

của phép biến đổi trực giao là phép biến đổi trực giao

Do đó tập họp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm

tương ứng với nó bằng 1 hoặc -1.

Thật vậy:

Giả sử ( p là phép biến đổi trực giao có vectơ riêng X tương ứng với giá trị riêng Ẫ

và X không đẳng hướng Khi đó: ạ > ( x ) = Ẳ x , x * x * 0

Ta có: x * x = (p{x)*(p{x) = (Ă x ) * ( Ă x ) = Ã 2 ( x * x )

Vĩ X * X * 0 nên suy ra: Ã 2 = 1 Do đó: Ầ - 1 hoặc Ầ - - 1

1.5.10.3 Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai vectơ.

Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ, tính chất bảotoàn tích vô hướng và bảo toàn độ dài vectơ của phép biến đổi trực giao

=> {ẽj '}j là cơ sở trực chuẩn của Vn.

Vì {?]}]-, {<?>(£,)}! là các cơ sở của yn nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính ys :

V n k -> V n k thỏa mãn: y/{eJ) = <p(ej), Vỹ = \,n

Lấy XeVn , giả sử X= x n ) / {e,.}^

Khi đó, theo ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn ta có:

9>(pj) = i4ĩ, với