Một số vấn đề định tính của quy hoạch toàn phương trong không gian hilbert vô hạn chiều

Theo chúng tôi được biết, ngoài nhữngkết quả nghiên cứu về những bài toán tối ưu phi tuyến tổng quát có thểáp dụng cho quy hoạch toàn phương, những kết quả nghiên cứu quantrọng cho quy h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ VĂN ĐỒNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

VÔ HẠN CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGƯỜI HDKH: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội 2018

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được viết dựa trên những nghiên cứu của tác giả tạiTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tậntình, chu đáo của PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trong bất

kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Tác giả luận án

Vũ Văn Đồng

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 Tác giảxin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người Thầy đãdẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học Những lời chia sẻ, chỉdạy của Thầy trong khoa học cũng như trong cuộc sống sẽ là hành trangquý báu để tôi tự tin hơn trên những chặng đường sắp tới

Xin chân thành cám ơn PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần VănBằng và các thành viên của Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học TrườngĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội

2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và cán bộ công nhân viên của TrườngĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thờigian học Cao học và làm nghiên cứu sinh

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường CĐCN Phúc Yên,Trung tâm GDTHPT PCI của trường CĐCN Phúc Yên đã luôn độngviên tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả

Xin được gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, các bạn nghiên cứusinh và bạn bè của tác giả đã luôn khuyến khích giúp đỡ tác giả trongquá trình học tập và nghiên cứu

MỤC LỤC

CAM ĐOAN i

LỜI CÁM ƠN ii

MỤC LỤC 1

BẢNG KÍ HIỆU 2

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG 10

1.1 Dạng toàn phương trên không gian Hilbert 10

1.2 Bài toán quy hoạch toàn phương 19

Chương 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 27

2.1 Bài toán quy hoạch toàn phương không lồi 27

2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương lồi 51

Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH 66

3.1 Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm 67

3.2 Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu 83

KẾT LUẬN 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

Rn không gian Euclid n chiều

`2 không gian các dãy số bình phương khả tổng

L2[a, b] không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]

H ⊕ G tổng trực tiếp của H và G

LH không gian các toán tử tuyến tính liên tục trên HA\B Tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc BHàm và toán tử

f : X → R hàm giá trị thực

T : X → Y toán tử từ X vào Y

T∗ toán tử liên hợp của toán tử T

A+ toán tử giả ngược của toán tử A

Giới hạn và khả vi

r(h) = o(h) tức là r(h)khk → 0 khi h → 0

f0(x, d), Df (x)d đạo hàm của hàm f tại x theo hướng d

f00(x, d), D2f (x)d đạo hàm cấp hai của hàm f tại x theo hướng d

Chuẩn và hội tụ

xn → x xn hội tụ (mạnh) tới x

xn * x xn hội tụ yếu tới x

Các bài toán tối ưu

val(QP ) giá trị tối ưu của bài toán (QP)

F tập chấp nhận được (tập ràng buộc) của bài toán

(QP)Sol(QP ) tập nghiệm của bài toán (QP)

(QPω) bài toán tối ưu theo tham số ω

F (ω) tập chấp nhận được của bài toán tham số (QPω)ϕ(ω) hàm giá trị tối ưu của bài toán tham số (QPω)

Sol(ω) tập nghiệm tối ưu của bài toán tham số (QPω)

v đ k với điều kiện

MỞ ĐẦU

Bài toán quy hoạch toàn phương là bài toán tìm nghiệm tối ưu (lớnnhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm toàn phương trên một tập hợp xácđịnh bởi một số hữu hạn các hàm toàn phương Quy hoạch toàn phươngnghiên cứu những khía cạnh định tính, định lượng, thuật toán và ứngdụng khác nhau của các bài toán quy hoạch toàn phương Quy hoạchtoàn phương là một bộ phận quan trọng của Quy hoạch toán học.Nhiều bài toán ứng dụng trong thực tế, bao gồm những bài toántrong việc lập kế hoạch và lịch trình, thiết kế kĩ thuật, và điều khiểnđược phát biểu một cách tự nhiên dưới dạng bài toán quy hoạch toànphương Người ta cũng sử dụng các bài toán quy hoạch toàn phương đểgiải xấp xỉ những bài toán tối ưu phi tuyến phức tạp Về tầm quan trọngcủa quy hoạch toàn phương đã được Floudas và Visweswaran trình bàykhá đầy đủ trong tài liệu tham khảo [28]

Bài toán quy hoạch toàn phương đã và đang thu hút được sự quantâm của nhiều nhà nghiên cứu Năm 1956, Frank và Wolfe đã mở rộngđịnh lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính cho quy hoạch toàn phươnghữu hạn chiều và chứng minh được định lý tồn tại nghiệm (gọi là định lýFrank-Wolfe) cho các bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc tuyếntính Định lý đó nói rằng “Nếu bài toán quy hoạch toàn phương hữu hạnchiều với ràng buộc tuyến tính có hàm mục tiêu bị chặn dưới trên miềnràng buộc khác rỗng, thì nó có nghiệm tối ưu (nhỏ nhất)” Từ đó đếnnay đã có thêm một số chứng minh mới cho định lý này và nhiều phiênbản mở rộng của nó Chẳng hạn, Eaves, B.C [27], Blum, E và Oettli,

W [12], Belousov, E.G [10], Luo, Z.Q và Zhang, S [42], Belousov, E.G

và Klatte, D [8] Năm 2000, Frédéric, Bonnans, J F và Shapiro, A [13]

đã mở rộng định lý Frank-Wolfe cho bài toán quy hoạch toàn phương vôhạn chiều với ràng buộc tuyến tính.

Các bài toán quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều với ràng buộctuyến tính đã được khảo sát khá đầy đủ Nhiều kết quả nghiên cứu quantrọng trong quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính có thể tìmthấy trong cuốn sách chuyên khảo [39] và các tài liệu trích dẫn trong

đó Đối với những bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toànphương đã được Kuhn, H.W và Tucker, A.W nghiên cứu từ những nămđầu của thập niên 50 của thế kỷ 20 trong [38] Trong những năm gầnđây nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu các bài toán quy hoạch toànphương với ràng buộc toàn phương cả về định tính cũng như định lượng,cùng các ứng dụng của chúng Ở Việt Nam, đã và đang có nhiều nhàkhoa học tiến hành nghiên cứu về quy hoạch toàn phương, chẳng hạnnhư Hoàng Tụy, Nguyễn Đông Yên, Hoàng Xuân Phú, Lê Dũng Mưu,Nguyễn Năng Tâm, Nguyễn Quang Huy, Võ Minh Phổ, Hoàng NgọcTuấn Sự quan tâm nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương vớiràng buộc toàn phương ở trong và ngoài nước được phản ánh qua sốlượng và chất lượng của những công trình đã công bố Điển hình như:Tuy, H [56], Kim, D.S., Tam, N.N., Yen, N.D [37], Lee, G.M., Tam,N.N., Yen, N.D [39, 40], Tam, N N [1], Zheng, X.J., Sun,X.L., Li, D.,

Xu, Y.F [58], Burer,S., Dong, H [19], Jeyakumar,V., Lee, G.M., Li, G.Y.[33], Jeyakumar, V., Huy, N.Q., Li, G.Y [34], Jeyakumar, V., Rubinov,A.M, Wu, Z.Y [35, 36], Pasquale L De Angelis, Gerardo Toraldo [45],Beck, A., Eldar, Y.C [9], Nghị, T V [44] Trong những công trình đó,

có thể tìm thấy nhiều kết quả thú vị và những vấn đề mở về những bàitoán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương trong khônggian hữu hạn chiều

Trong khi các bài toán quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều nhận

được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảo các tác giả, thì những côngtrình nghiên cứu về lớp bài toán quy hoạch toàn phương vô hạn chiềuđược công bố còn rất hạn chế Theo chúng tôi được biết, ngoài nhữngkết quả nghiên cứu về những bài toán tối ưu phi tuyến tổng quát có thể

áp dụng cho quy hoạch toàn phương, những kết quả nghiên cứu quantrọng cho quy hoạch toàn phương trong không gian vô hạn chiều, chođến nay, vẫn chỉ xuất hiện lẻ tẻ, chưa nhiều và chưa trọn vẹn Trongnhững kết quả đã có, đáng lưu ý nhất là kết quả về sự tồn tại nghiệmcủa bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính trongkhông gian Hilbert đã được Bonnans và Shapiro chứng minh vào năm

2000 trong [13] Ngoài ra, có thể kể đến một vài kết quả về sự tồn tạinghiệm và điều kiện cực trị đối với một bài toán quy hoạch toàn phươngđặc biệt của các tác giả Schochetman, I E., Smith, R L., Tsui, S K.[49], Semple, J [50], Sivakumar, K.C., Swarna, J M [53] và Borwein,J.M [17]

Theo chúng tôi được biết, nhiều vấn đề về bài toán quy hoạch toànphương với ràng buộc toàn phương trong không gian vô hạn chiều vẫnchưa được nghiên cứu Vì những lý do trên chúng tôi đặt vấn đề nghiêncứu định tính các bài toán quy hoạch toàn phương vô hạn chiều

Mục tiêu của luận án này là nghiên cứu một số vấn đề định tính trongquy hoạch toàn phương vô hạn chiều Cụ thể là nghiên cứu về sự tồn tạinghiệm và tính ổn định cho một lớp các bài toán quy hoạch toàn phươngtrong đó hàm mục tiêu là hàm toàn phương (có thể không lồi) và cáchàm ràng buộc là các hàm toàn phương lồi trong không gian Hilbert có

số chiều tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn chiều) Trong không gian hữu hạnchiều những tính chất ấy đã được nghiên cứu khá đầy đủ trong [39, 42]

và những tài liệu trích dẫn trong đó Trong không gian vô hạn chiều sựtồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán quy hoạch toàn phương đã

được nghiên cứu trong [13, 17] chủ yếu với ràng buộc tuyến tính Luận

án này nghiên cứu mở rộng những kết quả ấy cho trường hợp tổng quáthơn

Một trong những kỹ thuật thường dùng trong nghiên cứu định tínhcủa các bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert hữuhạn chiều là sử dụng tính compact, tính lồi, tính chính quy của tập ràngbuộc và định lý Weiertrass Để thu được những kết quả định tính củanhững bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert có sốchiều tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn chiều) chúng ta vẫn có thể sử dụng kỹthuật đó với một sự hiệu chỉnh phù hợp Tuy vậy, sự hiệu chỉnh đó nóichung không dễ dàng Trong luận án này chúng tôi hiệu chỉnh kỹ thuật

đó bằng cách sử dụng tính chất Legendre của dạng toàn phương Tínhchất đó dùng để chứng minh rằng, một dãy (hoặc dãy con) mà hội tụyếu thì nó hội tụ mạnh đến cùng giới hạn Mặt khác, vì nhiều bài toánquy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều, dạngtoàn phương không có tính chất Legendre, ví dụ như bài toán quy hoạchtuyến tính, nên khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng, luận án còn

sử dụng giả thiết về tính compact với ảnh đóng của các toán tử trongbài toán đó Mặc dù giả thiết này khá mạnh, nhưng bằng cách sử dụnggiả thiết này chúng ta có thể nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một lớpbài toán quy hoạch toàn phương vô hạn chiều mà không sử dụng đếntính chất của dạng Legendre Vì mọi dạng toàn phương trong không gianHilbert hữu hạn chiều đều là dạng Legendre và toán tử biểu diễn dạngtoàn phương đó là compact với ảnh đóng nên những kết quả mà chúngtôi thu được trong luận án này thực sự là những mở rộng của những kếtquả đã có Ngoài việc hiệu chỉnh một cách phù hợp những kỹ thuật đã

sử dụng trong nghiên cứu bài toán hữu hạn chiều chúng tôi đưa ra mộtđiều kiện, có tên là điều kiện A, để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của

bài toán quy hoạch toàn phương không lồi.

Các bài toán quy hoạch toàn phương mà chúng ta xét trong luận ánnày có tập ràng buộc là tập lồi đóng trong không gian Hilbert Vì thếtính bị chặn của nó tương đương với tính compact yếu Tuy nhiên, tậpràng buộc có thể không bị chặn, đó là lý do tại sao khái niệm nón lùi xacủa tập ràng buộc được sử dụng trong suốt luận án này

Luận án này, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu thamkhảo, gồm ba chương

Chương 1 giới thiệu về Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộctoàn phương cùng một số khái niệm và kết quả liên quan trong khônggian Hilbert Các khái niệm và kết quả được trình bày trong chương này

là cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được đề xuất trong các chươngsau của luận án

Chương 2 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toánquy hoạch toàn phương với hàm mục tiêu toàn phương và ràng buộcxác định bởi hữu hạn bất đẳng thức toàn phương lồi trong không gianHilbert Trong mục 2.1 đề xuất và chứng minh một số kết quả tồn tạinghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không lồi Trong mục 2.2

đề xuất và chứng minh một số kết quả tồn tại nghiệm của bài toán quyhoạch toàn phương lồi

Chương 3 nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm và tínhliên tục của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch toàn phương cótham số trong không gian Hilbert Trong mục 3.1 đề xuất và chứng minhtính liên tục của ánh xạ tập nghiệm toàn cục Trong mục 3.2 đề xuất vàchứng minh tính liên tục của hàm giá trị tối ưu

Luận án này được viết dựa trên bài báo [24] đã được đăng trong tạpchí “Taiwanese Journal of Mathematics” và hai bài báo [25, 26] đã đượcđăng trong tạp chí “Acta Mathematica Vietnamica”

Các kết quả của luận án đã được trình bày tại International shop on Some Selected Problems in Optimization and Control Theory(February 4-7, 2015, VIASM, Hanoi), The 14th Workshop on Optimiza-tion and Scientific Computing (April 24-27, 2016, Ba Vi, Hanoi), The15th Workshop on Optimization and Scientific Computing (April 20-22,

Work-2017, Ba Vi, Hanoi), Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP HàNội 2), Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (ViệnToán học) và Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Việnnghiên cứu cao cấp về toán)

Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

Chương này trình bày một số khái niệm và một số kết quả cốt yếucho việc nghiên cứu trong các chương sau Mục 1.1 trình bày một sốkhái niệm cơ bản trong không gian Hilbert, dạng toàn phương và dạngLegendre Mục 1.2 trình bày khái niệm bài toán quy hoạch toàn phươngtrên không gian Hilbert và một số kết quả đơn giản về tập ràng buộccủa bài toán đó

Nhiều kết quả trong chương này được trình bày ngắn gọn, không kèmtheo chứng minh Các kết quả đó được tham khảo trong các tài liệu[7, 13, 21, 30, 32, 52]

1.1 Dạng toàn phương trên không gian Hilbert

1.1.1 Một số tính chất cơ bản trong không gian Hilbert

Trong luận án này, H kí hiệu là không gian Hilbert thực với tích vôhướng h· , ·i Một tích vô hướng h· , ·i : H × H → R là một dạng songtuyến tính xác định dương Tức là,

(i) x 7→ hx, yi là tuyến tính với mọi y ∈ H;

(ii) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H;

(iii) hx, xi > 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 nếu và chỉ nếu x = 0

Nếu h· , ·i là một tích vô hướng, thì kxk = phx, xi xác định một chuẩntrên không gian Hilbert H

Định nghĩa 1.1.1 ([21, Definition 3.3.10]) Dãy {xn} trong không gian

H hội tụ yếu đến x ∈ H, kí hiệu xn * x nếu

(a) kxnk 6 M với M là hằng số;

(b) hxn, yi → hx, yi khi n → ∞ với mọi y ∈ D

Ví dụ 1.1.5 Cho H = `2 là không gian tất cả các dãy số thực bìnhphương khả tổng,

Ví dụ 1.1.6 Cho L2[0, 1] là không gian tất cả các hàm bình phươngkhả tích trên [0, 1], L2[0, 1] = {x |

1

R

0

x2(t)dt < ∞} Tích vô hướng vàchuẩn trong L2[0, 1] được xác định lượt bởi:

Z

0

p(t)dt = k

1 k2

Z

0

[p(t) − p(0)]dt + k

1 k2

vì, bởi tính liên tục của p, k ...

Nhận xét 1.1.29 Trong không gian hữu hạn chiều, dạng tồnphương dạng Legendre dạng tồn phương elliptickhi xác định dương Trong không gian vô hạn chiều tồntại dạng tồn phương xác định dương mà khơng... elliptic,

(iv) dạng toàn phương Q tổng dạng toàn phương elliptic v? ?một dạng toàn phương hạng hữu hạn

Định lý 1.1.28 ([30, Theorem 11.1]) Dạng toàn phương Legendre xácđịnh dương dạng elliptic... data-page="22">

(i) dạng toàn phương Q dạng Legendre,

(ii) hạn chế Q lên khơng gian đóng H dạng endre,

Leg-(iii) hạn chế Q lên không gian H đối chiều hữu hạn l? ?một dạng toàn phương elliptic,