Vat ly tuoi tre 23

Mặc dù biết là có thể sử dụng những công thức và định lý của hình học cao cấp, nh−ng bạn hãy nhớ lại những gì mình đã học đ−ợc trên Trái Đất rằng: tuy khối l−ợng và mômen quán tính của m[r]

Tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp

Động lực học chuyển động cong

Theo sách giáo khoa vật lý lớp 10, ta biết rằng chuyển động tròn đều, tức chuyển động của một chất điểm theo vòng tròn với độ lớn vận tốc không đổi, là một chuyển động có gia tốc Sở dĩ có gia tốc này là do hướng của vectơ vận tốc thay đổi đều theo thời gian Tại thời điểm bất kỳ, vectơ gia tốc đều hướng về phía tâm của vòng tròn quỹ đạo và có độ lớn không đổi bằng

,42

2 2

2

R T

R R

hướng của véctơ vận tốc vr mà cả độ lớn của nó nữa cũng thay đổi theo thời gian Trong trường

hợp đó, độ biến thiên của vectơ vận tốc v∆ sau một khoảng thời gian nhỏ từ t đến t+∆t có thể viết dưới dạng:

n

t v v

v=∆ +∆

∆

Hình 1

Trong đó ∆vrt là thành phần tiếp tuyến của độ biến thiên vectơ vận tốc, xuất hiện là do độ lớn của vận tốc thay đổi một lượng ∆v t = ∆vcosθ, còn ∆vrnlà thành phần pháp tuyến, xuất hiện do sự quay của vectơ vận tốc (giống như trong trường hợp chuyển động tròn đều) Khi đó lẽ tự nhiên véctơ gia tốc sẽ được viết dưới dạng tổng của các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến:

n t n t

a a t

v t

v t

v

∆

∆+

Từ đây dễ dàng nhận thấy rằng thành phần tiếp tuyến a của gia tốc đặc trưng cho tốc độ biến t

thiên của độ lớn vận tốc, còn thành phần pháp tuyến a đặc trưng cho tốc độ biến thiên về hướng n

của vận tốc Theo định lý Pythagore, ta có:

2 2

n

t a a

a= + Trong trường hợp chuyển động theo quỹ đạo cong tùy ý, tất cả những hệ thức nêu ở trên vẫn còn

đúng, tuy nhiên đại lượng R trong biểu thức của a bây giờ phải hiểu là bán kính của vòng tròn có n

cung nhỏ trùng với phần của quỹ đạo cong ở lân cận chất điểm đang chuyển động R được gọi là bán kính cong của quỹ đạo

Bây giờ chúng ta hãy xét một số ví dụ cụ thể về chuyển động cong thường ra trong các kỳ thi học sinh giỏi vật lý

Ví dụ 1 Một hòn đá được ném lên với vận tốc ban đầu v lập với phương ngang một góc 0 α Tìm bán kính cong R của quỹ đạo tại lân cận điểm xuất phát Biết gia tốc rơi tự do là g

Giải Ta sẽ dùng công thức của gia tốc pháp tuyến:

ở lân cận điểm xuất phát v=v0 (Hình 2) Chú ý rằng gia tốc pháp tuyến a là hình chiếu của n

vectơ gia tốc rơi tự do gr trên phương pháp tuyến với quỹ đạo: a n =gcosα Kết hợp với phương trình trên, ta được:

αcos

2 0

a n = =

và hướng về phía trục quay của Trái Đất Từ đó suy ra rằng tổng hợp của trọng lực (không vẽ trên hình) và phản lực cũng phải hướng về phía trục quay của Trái Đất Khi đó với 0<ϕ <π /2, phản lực hợp với đường vuông góc của trục quay một góc α ≠ϕ Theo định luật II Newton:

N g m a m

rrr

Ví dụ 3 Khoảng cách từ Trái Đất đến một sao đôi trong chòm sao Nhân Mã là 2,62 105

e a

(a.e là đơn vị thiên văn, a e 11m

105,1

1 ⋅ = ⋅ ) Khoảng cách góc quan sát được giữa hai ngôi sao này thay đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ T = 80 năm và đạt giá trị lớn nhất

)(10

67

,

G= ⋅ ư Coi quỹ đạo của hai ngôi sao là tròn

Giải Dưới tác dụng của lực hấp dẫn

2 1 2

1

r r

m m G F F

+

=

=

hai ngôi sao chuyển động đều với chu kỳ T theo vòng tròn với các bán kính r1 và r2xung quanh khối tâm của hệ với các vận tốc v1 và v2, tương ứng (xem H.4) Theo định luật II Newton, ta có:

2 1

2 1 1

2 1 1

r r

m m G r

v m

+

=

2 1

2 1 2

2 2 2

r r

m m G r

v m

2 1 2 2 1

2 1

r

v r

v r

r

m m

T

r v

L r

2 1 1 2

1

2,

G

L T m

Ví dụ 4 Trên một giá nằm ngang có đặt một bình chứa nước (H.5) Trong bình người ta gắn cố

định một thanh AB mảnh lập với phương ngang một góc α Một quả cầu đồng tính bán kính R có thể trượt không ma sát dọc theo thanh đi qua tâm quả cầu Cho biết khối lượng riêng của vật liệu làm quả cầu và của nước lần lượt là ρ0 và ρ(ρ0 <ρ) Khi quay hệ với vận tốc góc không đổi xung quanh trục thẳng đứng đi qua đầu dưới A của thanh, người ta thấy tâm quả cầu sẽ nằm ổn

định tại điểm cách A một khoảng bằng L Xác định độ lớn F của lực do quả cầu tác dụng lên thanh

và vận tốc góc ω của giá Với vận tốc góc cực tiểu ωminbằng bao nhiêu thì quả cầu sẽ chìm, tức

sẽ nằm ở đáy bình?

nó một gia tốc hướng tâm bằng a n =ω2r Khi thay thế chất lỏng bằng quả cầu, những thành phần lực này không thay đổi, nhưng lực do thanh tác dụng lên quả cầu nước bằng không Khi đó thành phần thẳng đứng của lực Acsimet có độ lớn bằng trọng lượng của quả cầu nước:

Vg

F Az =ρ , còn thành phần ngang của lực này truyền cho nước một gia tốc hướng tâm a n =ω2Lcosα và có

độ lớn bằng:

α ω

ρV 2Lcos

F A n = Dưới tác dụng của các lực đó quả cầu sẽ chuyển động tròn đều với bán kínhLcosα trong mặt phẳng nằm ngang (H.6)

Hình 6

áp dụng định luật II Newton cho quả cầu rắn, ta có:

A F N g m a m

rrrr

++

=

Chiếu phương trình trên lên trục thẳng đứng và phương bán kính trong mặt phẳng ngang, ta có:

0cos

ρVg Vg N

αα

ωραω

ρ0VL 2cos = VL 2cos ưNsin

Giải hệ phương trình trên ta tìm được độ lớn phản lực pháp tuyến của thanh và cũng chính là lực đè của quả cầu lên thanh:

( )

α

ρρcos

0 Vg N

Ví dụ 5 Một dây xích đồng tính có chiều dài L đặt trên một mặt cầu nhẵn bán kính R sao cho một

đầu của xích được giữ ở đỉnh của mặt cầu Sau đó người ta buông đầu trên của dây xích ra Hỏi mỗi yếu tố của xích sẽ chuyển động với gia tốc có độ lớn bằng bao nhiêu ngay sau khi đầu trên của nó được buông ra?Cho biết mỗi đơn vị dài của xích có khối lượng là ρvà gia tốc rơi tự do là g Giải Xét một phần tử của xích có chiều dài∆L=R∆ϕ (H.7) Khối lượng của nó bằng

rrr

rr

∆+

∆++

∆+

ϕ , đồng thời chú ý rằng∆(cosϕ )=ưsinϕ∆ϕ, ta tính được:

R g

Ví dụ 6 Các bánh xe dẫn động của đầu máy xe lửa được nối với nhau bằng một thanh truyền mà một nhánh của nó là một thanh phẳng nằm ngang nối khớp với nan hoa của hai bánh xe cạnh nhau tại điểm cách trục một khoảng R/2(R là bán kính bánh xe) Khi kiểm tra đầu máy, một cán

bộ kỹ thuật đặt trên thanh này một hộp dụng cụ và do đãng trí nên đã để quên ở đó Sau đó đầu máy khởi động và tăng tốc chậm Hãy xác định vận tốc v1của đầu máy để hộp đồ bắt đầu trượt so với thanh Cho biết hệ số ma sát giữa hộp và thanh làà =0,4, bán kính bánh xeR =0,8m và gia

/

10m s

Giải Chọn hê qui chiếu gắn liền với đầu máy (H.8) Vì sự tăng tốc diễn ra chậm, nên có thể xem

hệ này là hệ qui chiếu quán tính Trước khi bắt đầu trượt, hộp chuyển động tròn với bán kính

rrrr

++

=

Hình 8

Vectơ gia tốc của hộp hướng về phía tâm của vòng tròn và có độ lớna=ω2r với ω là vận tốc góc của bánh xe Ký hiệu góc giữa vectơ gia tốc tại thời điểm đã cho với phương ngang là β Chiếu phương trình trên lên phương thẳng đứng và nằm ngang, với lưu ý rằng F ms ≤àN, ta được:

N r

βà

β+ sin = 1+ cos ư

với góc α sao cho

21

1cos

sin

à

àα

Vậy vận tốc v1cần tìm của đầu máy bằng:

s m

gR R

Ví dụ 7 Một máng trơn gồm đoạn thẳng nằm ngang AB và cung tròn BD có bán kính R=5m

(H.9) Một vật trượt theo phần nằm ngang với vận tốc v0 =10m/s Hãy xác định độ lớn gia tốc của vật tại điểm C và góc βtạo bởi vectơ gia tốc ar và bán kính OC Biết bán kính OC lập với phương thẳng đứng một góc 0

Giải Để tìm gia tốc của vật tại C, ta sẽ tìm gia tốc tiếp tuyến a và gia tốc pháp tuyến t a (độ lớn n

hai thành phần của gia tốc ar ) tại điểm đó Do vật chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng theo

cung BD, nên tại một điểm bất kỳ vật chịu tác dụng của các lực: trọng lực g mr và phản lực N

r

Theo định luật II Newton, ta có:

N g m a m

rrr

+

=

Chiếu phương trình trên lên phương tiếp tuyến, ta được:

αsin

mg

/7,8

(1 cosα)

22

2 2

0 =m v +mgR ư

v m

Từ đó suy ra:

2 0 2

/10cos

1

R

v R

v

Cuối cùng, ta tính được:

2 2

2

/2,

a a

a= t + n ≈ Tại C ta cũng có:

87,0

≈

= t a

Ví dụ 8 Một dây thép nhẵn uốn thành một đường xoắn có trục thẳng đứng, bán kính R và bước h Một hạt khối lượng m xâu qua dây thép trên và trượt trên đó không vận tốc đầu Hỏi sau thời gian T bằng bao nhiêu thì hạt tụt xuống một đoạn bằng H theo phương thẳng đứng? Hỏi tại thời điểm đó

hạt tác dụng lên dây thép một lực có độ lớn bằng bao nhiêu? Cho gia tốc rơi tự do là g

Giải Hại chịu tác dụng của các lực: trọng lực g mr và phản lực pháp tuyếnN N1 N2

rrr

phẳng với g m r và vr Để tìm đáp số của bài toán, trước hết ta phải tính hai thành phần tiếp tuyến

và pháp tuyến của vectơ gia tốc Theo định luật II Newton, ta có:

2

1 N N g m a m

rrrr

++

=

Hình 10

Chiếu phương trình trên lên phương tiếp tuyến, ta được:

αsin

g

a t =

với α là góc nghiêng của vectơ vận tốc so với phương ngang, tức là:

2 2 2

4

sin

h R

42sin

2

gh

h R H g

gH a

v T t

vận tốc vcosα Khi đó thành phần gia tốc pháp tuyến của hạt có độ lớn bằng

a n = cosα 2 / Vì gia tốc của hệ chuyển động cùng hướng với gr , do đó thành phần gia tốc pháp tuyến của hạt khi chuyển về hệ qui chiếu phòng thí nghiệm vẫn không thay đổi (theo qui tắc cộng gia tốc)

Từ định luật II Newton, ta dễ dàng tìm được các thành phần của lực do dây thép tác dụng lên hạt:

v m

với

2 2 2

4

2cos

h R

2 2 2 2 2 2

2 2

4

2

H h

R h

R

R mg

N N

=+

Bài TậpBài Tập 1) Một khí cầu có bán kínhR=5m, được giữ bằng một dây theo phương thẳng đứng với tâm ở độ cao H =6m trên mặt phẳng ngang Từ mặt phẳng này người ta ném một hòn đá bay qua khí cầu sao cho nó chỉ hơi chạm vào điểm cao nhất của khí cầu Hỏi hòn đá phải được ném với vận tốc

0

v nhỏ nhất bằng bao nhiêu và khi đó hãy tính khoảng s từ điểm ném đến tâm khí cầu ?

Chú ý: Gia tốc rơi tự do ở gần mặt đất, trong bài toán này và trong các bài tập tiếp sau, lấy bằng

ĐS:

L

v m m

m m T

2

2 1

2 1.+

=

3) Một dây xích đồng tính có khối lượng m và chiều dài L được đặt trên một mặt cầu có bán

kínhR=4L, sao cho một đầu của nó ban đầu được giữ ở đỉnh của mặt cầu Sau đó người ta buông đầu trên của dây xích ra Hãy tìm độ lớn giá trị (Tmax) của lực căng dây xích ngay sau khi buông đầu trên của nó ra

Gợi ý: Đối với những góc được xét trong bài tập này, coi sinα ≈α vàcosα ≈1ưα2/2

ĐS:

80max

mg

4) Trong Ví dụ 6, hãy tìm vận tốc v2khi hộp bắt đầu nhảy lên

ĐS: v2 = 2gR =4m/s

5) Để tiết kiệm đất, lối vào một trong những cây cầu cao nhất ở Nhật Bản được xây dưới dạng một

đường xoắn ốc bao quanh một khối trụ thẳng đứng có bán kính R Khi chuyển động theo đường đó, vectơ vận tốc của xe lập một góc α với mặt phẳng nằm ngang Hãy tìm hướng và độ lớn của tổng các lực tác dụng lên xe, biết rằng xe có khối lượng mvà chuyển động trên đường đó với vận tốc có

độ lớn không đổi và bằng v

hướng nằm ngang về phía trục của đường xoắn ốc

Lượng Tử (sưu tầm và giới thiệu)

Nothing in life is to be feared It only to be understood

Không có điều gì trên đời khiến chúng ta phải sợ Chỉ có những điều chúng ta cần phải hiểu

Góc vui cười

Góc vui cười

Bạn có biết cách dễ nhất để quan sát hiệu ứng Doppler trong quang học không?

Hãy đi ra ngoài vào buổi tối và quan sát bạn sẽ thấy:Những ô tô nào lại gần bạn thì sẽ chiếu ánh sáng màu trắng hoặc vàng còn những ô tô đi ra xa thì sẽ phát ra ánh sáng màu đỏ

Đố vui kỳ này

Nghi ngờ Einstein:

Hai con tàu liên kết bằng một sợi dây không khối lượng với lực căng T(“không khối lượng” nghĩa là khi dây ở trạng thái không giãn,độ dài bằng 0),bị bắt ép chuyển động với vận tốc v dọc theo 2

đường song song Sự bắt ép kết thúc và 2 con tàu tiến lại gần nhau Chúng nhập thành một và tiếp tục chuyển động Ta thấy rằng ngay trước khi nhập thành một,vận tốc của mỗi con tàu lớn hơn v(do chúng bị kéo lại gần nhau) do đó theo thuyết tương đối khối lượng của con tàu chung lớn hơn tổng khối lượng của 2 con tàu ban đầu Suy ra vận tốc của con tàu chung nhỏ hơn v(để giữ cho

động lượng theo phương x không đổi),do đó sẽ chuyển động chậm hơn theo phương x Điều đó có vô lý không ?

Giải đáp đố vui số 21 (tháng 4/2005)

Cái bướu có tác dụng giảm sức cản khi tàu chạy Khi tàu đang chạy với tốc độ cao đầu con tàu và nước không ngừng va đập vào nhau,tốc độ nước đột ngột giảm ngay đến không làm cho áp suất ở nơi đó tăng vọt lên,mặt nước nhô lên, ở gần đầu con tàu hình thành một đợt sóng nước trắng tinh Luồng sóng nướclàm con tàu chịu sức cản lớn.Khi sóng nước tung lên trên,cái bướu to đó ép mặt nước xuống dưới,khi sóng nước tụt xuống, cái bướu lại nâng mặt nước lên Tóm lại cái bướu đó hạn chế sự hình thành sóng nước,làm cho sức cản khi tàu chạy giảm đi nhiều Ngoài ra nó còn làm tăng sức nổi của con tàu nên tăng thêm lượng chở hàng

Một số bạn cho rằng cái “bướu” có tác dụng …phá băng nhưng đây không phải là tác dụng chính của nó

Chúc mừng các bạn có tên sau nhận được phần quà của CLB với những lời giải đúng và nhanh nhất:

Nguyễn Ngọc Long 11 Lý-THPT chuyên Hà Nam-thị xã Phủ Lý, Hà Nam; Nguyễn Đình Hào-Thanh Lãm-Phú Lãm, T.x

Hà Đông, Hà Tây; Mai Tân Thưởng A3-K32 trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An; Hoàng Xuân Hùng lớp 12A 12 trường THPT Dân Lập, Yên Hưng, Quảng Ninh; Nguyễn Thái Bảo lớp 10A 11 trường THPT BC Trần Hưng Đạo, t.p Mỹ Tho, Tiền Giang; Phạm Minh Ngọc Duyên 10 Lý-THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long

CS1/23 Một xe bắt đầu khởi hành để đi từ A đến B Quãng đường AB dài 80km Xe cứ chạy 20 phút dừng lại nghỉ 10 phút Trong 20 phút đầu xe chạy với vận tốc v1=12km/h Trong 20 phút tiếp theo sau khi nghỉ, xe chạy với các vận tốc không đổi là 2v1,3v1, ,kv1,

a) Tính thời gian xe chạy từ A đến B

b) Vận tốc trung bình của xe tính từ lúc bắt đầu chạy đến thời điểm đang xét biến thiên như thế nào trong thời gian 50 phút đầu? Tìm tất cả các thời điểm mà xe có vận tốc trung bình tính từ lúc bắt đầu chạy đến thời điểm đó là 12km/h

CS2/23 Người ta đổ vào một bình hình trụ thẳng đứng có diện tích đáy 2

CS3/23 Một bộ đốt nóng H mắc nối tiếp với một ampe kế, một biến trở rồi mắc vào một nguồn

điện Người ta điều chỉnh biến trở để ampe kế chỉ 0,1(A) (xem hình vẽ) Sau đó người ta mắc vào hai điểm A và B của mạch một điện trở có giá trị chưa biết Khi đó ampe kế chỉ 0,05 (A) Tiếp theo, người ta tháo điện trở này ra và mắc vào hai điểm A và C của mạch, thì thấy ampe kế chỉ 0,3A Coi công suất của bộ đốt là có ích, tính hiệu suất của mạch điện, trong ba trường hợp nói trên Bỏ qua

điện trở của nguồn và điện trở ampe kế Cho biết điện trở của bộ đốt nóng là không đổi

CS4/23 Một gương phẳng đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ và cách thấu kính 75cm Một nguồn sáng S đặt trên trục chính của thấu kính Khi dịch chuyển nguồn sáng S trên trục chính ta được 2 vị trí của S cùng cho ảnh qua quang hệ lại trùng với S, hai vị trí này cách nhau 100

cm Tìm tiêu cự của thấu kính (không sử dụng công thức thấu kính)

TRUNG HọC PHổ THÔNG

TRUNG HọC PHổ THÔNG

TH1/23 Một người bước ra khỏi toa tàu và đi về phía đầu tàu với vận tốc 4,5km/h Hai giây sau, tàu bắt đầu chuyển động với gia tốc không đổi và qua 6 giây nữa đuôi tàu đi ngang qua người đó Tại thời điểm này vận tốc của tàu gấp 10 lần vận tốc của người Hỏi người đó bước ra khỏi toa tàu ở cách đuôi tàu bao nhiêu mét?

TH2/23 Một quả bóng được ném với vận tốc v0 theo phương ngang va chạm với mặt nghiêng và nẩy lên trên mặt nghiêng đó Các va chạm là tuyệt đối đàn hồi, bỏ qua ma sát và lực cản không khí ở thời điểm va chạm lần thứ N + 1 vận tốc của bóng có phương vuông góc với mặt nghiêng a) Xác định góc mà mặt nghiêng hợp với phương ngang

b) Xác định khoảng cách giữa điểm va chạm thứ nhất và thứ N + 1

TH3/23 Hai nguồn âm S1 và S2 cố định ở các vị trí x và 0 ưx0trên trục Ox Các nguồn phát âm có cùng biên độ cùng tần số và cùng pha Tần số của mỗi nguồn có thể thay đổi từ 175Hz đến 625Hz nhưng hai nguồn luôn phát cùng tần số Cho biết vận tốc âm trong không khí là 340m/s và

(x t AΦ xϕ t

c) Với những tần số trong câu a, thì tại những điểm nào trong khoảng hai nguồn thì âm tổng hợp có cường độ cực tiểu

TH4/23 Hai bản của một tụ điện phẳng đặt nằm ngang và nối tắt với nhau Diện tích của mỗi bản

là S và khoảng giữa chúng bằng d Trong không gian giữa hai bản, tại khoảng cách d/4 bên trên bản dưới, người ta đặt vào một tấm kim loại có cùng diện tích Khối lượng và điện tích của tấm này

là m và q Hỏi phải truyền cho tấm kim loại một vận tốc cực tiểu bằng bao nhiêu theo hướng lên trên để trong quá trình chuyển động nó đạt được tới độ cao d/4 so với vị trí ban đầu của nó?

TH5/23 Một quả cầu nhỏ có khối lượng m và điện tích q, được ném với vận tốc v lập với mặt phẳng nằm ngang một góc o

45

=

α , bay dọc theo mặt đất một khoảng L, rồi rơi vào một vùng không gian, trong đó ngoài trọng trường ra còn có một điện trường đều nằm ngang Ranh giới của vùng này là đường thẳng đứng Qua một thời gian, người ta thấy rằng quả cầu rơi đúng vào chỗ đã

được ném lên Hãy tính cường độ điện trường E Cho gia tốc rơi tự do là g và bỏ qua ảnh hưởng của không khí

Nguyễn Xuân Quang

Chú ý

Chú ý: : : Hạn cuối cùng nhận lời giải là 10/9/2005.

hưởng ứng năm vật lý quốc tế 2005

Cuộc du hành vào lỗ đen

Cuộc du hành vào lỗ đen

(Tiếp theo kỳ trước) Mặc dù biết là có thể sử dụng những công thức và định lý của hình học cao cấp, nhưng bạn hãy nhớ lại những gì mình đã học được trên Trái Đất rằng: tuy khối lượng và mômen quán tính của một lỗ đen xác định tất cả những thuộc tính của đường chân trời cũng như của không gian xung quanh, nhưng chúng không thể cho biết những thông tin rõ ràng

về thế giới bên trong của vật thể kỳ bí này Thuyết tương đối tổng quát nhấn mạnh rằng, bên trong lỗ đen, gần với kỳ dị, không gian không đồng nhất như hình cầu mà bị xáo trộn một cách mãnh liệt, hoàn toàn giống với đầu mút của màng cao su trong hình 1 nếu hòn đá nặng trịch đó sần sùi đầy răng cưa và nhẩy lên nhảy xuống điên cuồng Hơn nữa, bản chất hỗn độn bên trong lõi của lỗ đen sẽ không chỉ phụ thuộc khối lượng và mômen động lượng của nó mà còn phụ thuộc vào những chi tiết về vụ co sập của sao mẹ đã sinh ra lỗ đen, cũng như phụ thuộc vào những đặc tính của khí được tạo ra sau này xung quanh nó, những

điều mà bạn còn chưa nắm rõ

“Được rồi,” bạn tự nhủ “Bất kể nó cấu tạo như thế nào, thì cái lõi hỗn độn của nó cũng phải có một chu vi nhỏ hơn rất nhiều so với 1 centimét Như vậy, mình hầu như sẽ gặp những sai số rất nhỏ nếu mình bỏ qua nó khi tính bán kính của đường chân trời.”

Nhưng một lần nữa, bạn nên nhớ rằng không gian bị xoắn đến cực độ ở gần kỳ dị làm cho vùng hỗn độn có bán kính lên tới hàng triệu kilômét dù nó chỉ có chu vi bé bằng một phần nhỏ của đơn vị centimét, y như khi hòn đá trong hình 1, đủ nặng, có thể kéo đầu mút biến dạng của màng cao su xuống dưới thật sâu trong khi vẫn để chu vi của miền méo

mó hỗn độn này nhỏ một cách đáng kể (nhưng bán kính vẫn rất lớn – H 1) Những sai số bạn mắc phải trong việc tính bán kính khi đó sẽ trở nên vô cùng kinh khủng Như vậy bán kính của đường chân trời không thể tính một cách đơn giản từ những thông tin nghèo nàn

mà bạn đang sở hữu: khối lượng lỗ đen và mômen quán tính của nó

Hình 1 Một hòn đá nặng nằm trên một màng cao su (ví dụ như đó là một tấm vải cao su mà các nghệ

sỹ biểu diễn xiếc thường nhào lộn) làm biến dạng nó như hình vẽ Dạng hình học méo mó của màng cao su hoàn toàn tương tự với sự hỗn độn của không gian hình học xung quanh và bên trong một lỗ đen Ví dụ, chu

vi của vành tròn đen dày trong hình vẽ nhỏ hơn nhiều

so với 2π lần bán kính của

nó, cũng như chu vi của

đường chân trời lỗ đen nhỏ hơn nhiều so với 2π lần bán kính của nó

Tạm bỏ qua những băn khoăn, suy tưởng đang trăn trở về không gian bên trong lỗ đen, bạn chuẩn bị cuộc hành trình khám phá vùng lân cận của đường chân trời bí ẩn Không muốn liều lĩnh đánh cược bằng sự sống của con người, bạn ra lệnh cho một tên lửa thám hiểm, một rô bốt cao 10 centimét mang tên Arnold thực hiện nhiệm vụ đầy nguy hiểm này thay cho mình và truyền những kết quả về tàu vũ trụ Arnold mang theo những chỉ dẫn vô cùng đơn giản: Anh ta phải khởi động những máy móc của mình để bắt kịp chuyển động quỹ đạo cùng con tàu, sau đó tắt hết các động cơ, và mặc cho sức hút hấp dẫn mãnh liệt của lỗ đen kéo mình vào bên trong Trong khi “rơi tự do” như vậy, Arnold phải phát ra các chùm laser màu xanh cực nhạy trở về tàu, trên các dao động điện từ của chùm laser đó, anh ta phải mã hoá và kèm theo các thông tin về quãng đường đi, trạng thái hoạt động của hệ thống điện tử của mình, y hệt như một đài phát thanh truyền những bản tin hàng ngày trong sóng radio được truyền đến mọi nhà

Tại con tàu vũ trụ, phi hành đoàn của bạn sẽ nhận được chùm laser, và Kares sẽ giải mã nó để lấy những thông tin về khoảng cách và hệ thống của rô bốt Cô ấy cũng sẽ đo bước sóng của chùm laser (hay, một việc tương đương, là xác định màu của chùm laser đó, xem lại hình 2 kỳ trước) Bước sóng có vai trò vô cùng quan trọng; nó cho chúng ta biết Arnold chuyển động nhanh đến mức nào Khi Arnold chuyển động ngày càng nhanh rời xa tàu vũ trụ, những chùm laser màu xanh lục mà anh ta phát ra sẽ có một sự biến đổi do hiệu ứng Doppler (Hình 2), vào lúc mà nó được thu ở tàu: bước sóng ngày càng dài ra, đồng nghĩa với việc, nó càng tiến dần về phía màu đỏ hơn (Ngoài ra cũng có thêm một sự thay

đổi bước sóng nữa, gây ra bởi sự kháng cự của chùm tia laser chống lại lực hấp dẫn của lỗ

đen Do vậy, khi tính toán tốc độ của rô bốt Arnold, Kares phải chính xác hoá các kết quả của cô bằng cách hiệu chỉnh độ dịch chuyển đỏ do hấp dẫn này)

Hình 2 - Bất cứ khi nào một nguồn phát và một máy thu của sóng chuyển động về phía nhau, máy thu sẽ nhận

được tín hiệu sóng có tần số cao hơn-có nghĩa

là chu kỳ ngắn hơn và bước sóng ngắn hơn Nếu nguồn phát và máy thu chuyển động rời xa nhau, thì máy thu sẽ nhận được sóng có tần

số thấp đi, với chu kỳ dài hơn và bước sóng dài hơn Hiện tượng này gọi là hiệu ứng Doppler,

và nó là tính chất cơ bản của tất cả các loại sóng: sóng âm thanh, sóng nước, sóng điện từ, v v Với sóng âm thanh, hiệu ứng Doppler rất gần gũi với cuộc sống hàng ngày Đôi tai cảm nhận hiện tượng này khi nghe âm thanh bất ngờ cao vọt lên của một xe cấp cứu chạy qua với những tiếng còi rú lên liên hồi, hay một máy bay đang hạ cánh bay ngang qua đầu Điều gì đúng với sóng thì cũng đúng với các xung Nếu nguồn phát truyền một cách đều đặn các xung ánh sáng, thì máy thu khi chuyển

động lại gần nguồn sẽ đếm được các xung với tần số cao hơn (hay khoảng thời gian giữa các xung ngắn đi) hơn là tần số mà chúng được phát ra

Và cuối cùng cuộc thí nghiệm được bắt đầu Arnold nhảy ra khỏi quỹ đạo tròn của mình và bay vào quỹ đạo rơi về phía lỗ đen Ngay khi anh ta bắt đầu rơi, Kares khởi động một đồng hồ dùng để đo thời gian truyền của những tín hiệu laser 10 giây trôi qua, những tín hiệu laser được giải mã thông báo rằng tất cả những hệ thống điện tử của anh ta đều hoạt động tốt, và anh ta đã rơi được một quãng đường dài 2630 kilômét Từ màu sắc của ánh sáng laser, Kares tính được rằng hiện giờ anh ta đang chuyển động hướng vào trong lỗ đen với tốc độ 530 kilômét trên giây Khi chiếc đồng hồ đo thời gian đạt đến 20 giây thì tốc độ của anh ta đã tăng lên gấp đôi, thành 1060 km/s và quãng đường anh ta rơi được đã tăng lên

bốn lần tới 10.500 kilômét Chiếc đồng hồ vẫn kêu tích tắc một cách đều đặn Tại giây thứ 60 tốc độ của anh ta là 9700 km/s, và anh ta đã đến được khoảng cách 135.000 kilômét so với con tàu, một phần sáu con đường dẫn đến đường chân trời của lỗ đen

Bây giờ bạn phải tập trung cao độ chú ý quan sát từng biến chuyển của Arnold Những giây phút ngắn ngủi tiếp theo sẽ vô cùng quan trọng, nếu không muốn nói là quyết

định, vì vậy Kares khởi động một hệ thống ghi thông tin tốc độ cao nhằm thu thập tất cả các chi tiết tinh tế của dữ liệu đầu vào Tại giây thứ 61 Arnold báo cáo tất cả các hệ thống vẫn hoạt động bình thường; đường chân trời nằm cách 14.000 kilômét dưới chân anh ta và anh ta

đang rơi về phía lỗ đen với vận tốc 13,000 killômét trên giây Tại thời điểm 61,7 giây, mọi thứ vẫn tốt, 1700 kilômét nữa trôi qua, tốc độ 39.000km/s, khoảng một phần mười vận tốc ánh sáng, màu sắc của chùm laser thay đổi một cách chóng mặt Trong một phần mười giây tiếp theo bạn kinh ngạc nhìn vào màn hình khi màu sắc chùm laser bay vù vù qua dải quang phổ sóng điện từ, từ màu xanh lục đến màu đỏ, đến miền hồng ngoại, đến sóng viba, đến sóng vô tuyến, rồi đến … Đến 61,8 giây mọi thứ kết thúc Chùm laser đã hoàn toàn biến mất Arnold đã đạt đến vận tốc ánh sáng và mất hút vào bên trong đường chân trời Và trong một phần mười giây cuối cùng, ngay trước khi chùm laser biến mất trong nháy mắt, Arnold vẫn

đang gửi những thông báo tràn đầy hạnh phúc: “Tất cả hệ thống hoạt động tốt, tất cả hệ thống hoạt động tốt, đang tiếp cận đường chân trời, tất cả hệ thống hoạt động tốt, tất cả hệ thống hoạt động tốt ”

Khi trạng thái kích động đã lắng xuống, bạn kiểm tra những dữ liệu đã ghi lại được

ở

ở đây bạn tìm thấy những chi tiết đầy đủ về sự thay đổi bước sóng của laser Bạn hiểu rằng, khi Arnold rơi, bước sóng của các tín hiệu laser tăng lên một cách chậm chạp vào những giây đầu tiên, sau đó tăng nhanh dần nhanh dần Nhưng, thật là đáng ngạc nhiên, sau khi bước sóng tăng lên gấp bốn lần, tốc độ gấp đôi của nó trở nên đều đặn một cách kỳ lạ: lúc

đó bước sóng cứ gấp đôi lên sau mỗi 0,00014 giây Sau 33 lần gấp đôi (0,0046 giây) bước sóng laser đạt đến độ dài 4 kilômét, giới hạn đo của hệ thống ghi nhận tinh vi của bạn Có thể phỏng đoán một cách gần đúng rằng bước sóng vẫn giữ tốc độ nhân đôi đều đều như vậy trong suốt thời gian sau đó Vì cần một số vô hạn lần nhân đôi để bước sóng tăng đến vô cùng, nên, một cách vô cùng mơ hồ, có thể nói rằng những tín hiệu có bước sóng rất dài

có thể vẫn xuất hiện từ vùng không gian gần đường chân trời!

Điều này phải chăng có nghĩa là Arnold vẫn chưa vượt qua đường chân trời và sẽ mãi mãi không thể vượt qua được? Không, không thể như vậy Vì cuối cùng thì, những tín hiệu nhân đôi mãi mãi này phải cần một thời gian rất lâu để “trèo” ra khỏi sự kìm kẹp khắc nghiệt của trường hấp dẫn lỗ đen Arnold đã trôi qua đường chân trời, chuyển động với vận tốc ánh sáng, từ nhiều phút trước đây Những tín hiệu rất yếu còn sót lại thoát ra được chỉ bởi vì thời gian truyền của chúng quá lâu Chúng chính là những di vật của quá khứ

Sau nhiều giờ nghiên cứu dữ liệu từ sự rơi của Arnold, và sau một giấc ngủ dài làm phấn chấn tinh thần của chính mình, bạn bắt tay vào một giai đoạn mới của hành trình khám phá lỗ đen Lần này, bạn, chính bạn, sẽ thăm dò vùng lân cận lỗ đen, nhưng bạn sẽ thực hiện nhiệm vụ này thận trọng hơn rất nhiều so với Arnold đã từng làm

Bùi ngùi chia tay với phi hành đoàn, bạn trèo vào khoang lái của một tàu thăm dò và rời khỏi bụng con tàu vũ trụ quen thuộc, bay theo quỹ đạo tròn dọc theo nó Sau đó bạn giảm cường độ hoạt động của động cơ tên lửa một cách nhẹ nhàng để làm chậm dần chuyển động theo quỹ đạo Điều này làm giảm từ từ lực quán tính ly tâm có vai trò giữ tàu thăm dò của bạn bay ổn định, và lực hấp dẫn của lỗ đen sẽ kéo bạn vào quỹ đạo tròn mon men nhỏ dần Một lần nữa bạn lại giảm động cơ thì quỹ đạo tròn này tiếp tục co lại Mục

đích của bạn, với sự chậm rãi này, là an toàn, tiến vào trong lỗ đen theo đường xoắn ốc, là dần tiếp cận đến một quỹ đạo tròn ở ngay trên đường chân trời, một quỹ đạo với chu vi chỉ 1,0001 lần lớn hơn chu vi của chính đường chân trời Khi đó bạn có thể khám phá hầu hết các tính chất của đường chân trời, nhưng vẫn đủ để trốn khỏi sự kìm kẹp đầy tai hoạ của nó

Trong khi quỹ đạo của bạn đang tiến dần tới lỗ đen, thì một điều kỳ lạ khó hiểu bắt đầu xảy ra Gần đến đường chu vi 100.000 kilômét bạn đã cảm thấy nó Nằm trong khoang, chân bạn hướng về phía lỗ đen còn đầu bạn hướng về phía các vì sao xa xăm, bạn cảm thấy bị kéo nhẹ xuống ở chân và kéo đầu lên trên; bạn đang bị kéo dãn như một mẩu kẹo kéo, nhưng rất nhẹ Nguyên nhân? Bạn nhận ra đó chính là do lực hấp dẫn của lỗ đen: Hai bàn chân bạn ở gần lỗ đen hơn đầu, nên lỗ đen kéo chúng mạnh hơn là kéo cái đầu Tất nhiên, do vốn quen đứng ở trên Trái Đất, ở đó độ chênh lệch từ đầu đến chân là vô cùng nhỏ, nhỏ hơn một phần triệu, nên bạn không bao giờ chú ý đến Ngược lại, khi bạn ở trong khoang của tàu thăm dò ở đường chu vi 100,000 kilômét, chênh lệch giữa đầu và chân là một phần tám trường hấp dẫn của Trái Đất (g/8) Tại khối tâm của cơ thể bạn, lực quán tính

ly tâm do chuyển động trên quỹ đạo tròn gây ra một cách tuyệt đối triệt tiêu lực hút của lỗ

đen Điều đó giống như trạng thái không trọng lượng và bạn trôi nổi một cách tự do Nhưng

ở bàn chân, lực hấp dẫn mạnh hơn kéo xuống với cường độ là g/16, và trên đầu thì lực hấp dẫn nhỏ hơn nên cho phép lực quán tính ly tâm kéo ra ngoài cũng với giá trị là g/16 (Hình 3)

Hình 3 Khi bạn rơi xuống Trái Đất, lực hấp dẫn sẽ kéo dãn cơ thể bạn từ đầu

đến chân và ép bạn vào từ hai bên

Hơi kinh ngạc, mặc

dù vậy bạn vẫn tiếp tục tiến trên con đường xoắn

ốc của mình, nhưng sự sửng sốt này nhanh chóng chuyển thành lo lắng tột

độ Khi quỹ đạo dần co hẹp lại, các lực tác dụng lên đầu và chân tăng lên

đáng kể Tại đường chu vi 80.000 kilômét độ chênh lệch lực kéo là g/4; tại đường chu vi 50.000 kilômét nó kéo dãn bạn với một lực tương đương cường độ trường hấp dẫn toàn phần của Trái Đất; và tại 30.000 kilômét cường độ này gấp 4 lần trường hấp dẫn cuả Trái đất Nghiến răng lại vì đau đớn khi đầu và hai bàn chân của mình bị kéo mạnh ra hai phía, bạn lại tiếp tục đi sâu vào đường chu vi 20.000 kilômét với sức kéo dãn lúc này đã là 15g Bạn không thể chịu đựng hơn nữa! Bạn cố gắng giải quyết vấn đề này bằng cách cuộn tròn mình thành một quả cầu kín sao cho đầu và chân gần nhau hơn và

độ chênh lệch lực hút giữa chúng sẽ nhỏ đi, nhưng lực hút đã mạnh đến nỗi bạn không thể xoay người được; chúng túm lấy bạn một cách tàn bạo, buộc bạn phải quay trở về trạng thái khổ sở và cùng cực Nếu tàu thăm dò này tiếp tục đi vào vòng xoáy, cơ thể bạn sẽ không