tom tat hinh hoc 12 phan 2

Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ tọa độ Oxyz với Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao.. Trên Ox, Oy và Oz lần lượt có các vectơ đơn vị.[r]

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG KHƠNG GIAN

I.VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TỐN :

1.Định nghĩa:



AB là một đoạn thẳng định hướng

2 Hai véctơ bằng nhau: cĩ cùng hướng và cùng độ dài

3.Hai véctơ đối nhau: ngược hướng và cĩ cùng độ dài

4.Cộng véctơ: A B C, ,   ACABBC

ta có:

 Nếu ABCD là hình bình hành, thì AB AD AC   

 Tính chất:       

a b b a; (  )  (  )

0 0

a    a  a

    

;  ( )0

5.Trừ véctơ: OA OB BA     

6.Tích 1 số thực với 1 véctơ:

 b  k a 

  b  k a 

 vàø











 0 k nếu hướng ngược b , a

0 k nếu hướng cùng b , a









 a

cùng phương b 

 kR: b 

=ka

 Tính chất: (  )  

(m na)(mn a)

; 1.aa; 1. a a

7.Tích vơ hướng: a  b  | a  | | b  | cos( a  , b  )



8.Véctơ đồng phẳng: 3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng

cùng song song với 1 mặt phẳng

c

,

b

,

a   

đồng phẳng  m,n R :c ma b









9.Phân tích 1 véctơ theo 3 véctơ khơng đồng phẳng:

Với e 1 , e 2 , e 3

khơng đồng phẳng và véctơ a 

, cĩ duy nhất 3

số thực x1, x2, x3: a 

= x1e 1 x2e 2 x3e 3





10.Định lý: a) Với M là trung điểm AB, G là trọng tâm của

ABC, O tùy ý thì:

 MA MB 0









 2









 CA CB

CM

 GA GB GC 0













 ( OA OB OC )

3

1

OG       b) G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD

 (OA OB OC OD)

4

1

OG        

II.HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHƠNG GIAN

TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM

Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz vuơng gĩc đơi một tạo nên

hệ tọa độ Oxyz với Ox là trục hồnh, Oy là trục tung và Oz là trục cao Trên Ox, Oy và Oz lần lượt cĩ các vectơ đơn vị

(0;0;1) k

và (0;1;0) j

), 0

; 0

; 1 (



2.Tọa độ của véctơ: u (x; y; z)    u xi yj zk       

3.Tọa độ của điểm: M(x; y; z) OM (x; y;z)



x: hồnh độ; y: tung độ; z: cao độ của M hoặc



OM 4.Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(xA; yA; zA;) và B(xB;yB; zB) và a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) Ta cĩ:

a)



a b = (x1  x2; y1  y2; z1  z2) b) ka = (kx1; ky1; kz1) (k là số thực)

c) Tích vơ hướng:a b = x1 x2+ y1 y2+ z1z2

Hệ quả:

1 |a|

= x2  y2  z2

2 cos( a  ; b  )

= 1 2 1 2 1 2

3 a  b  x1 x2+ y1 y2+ z1z2 = 0 d) a =b  x1=x2; y1=y2 và z1=z2 e) a ,bcùngphương

2 1

2 1

2

1

z

z y

y x

x a k b : R









f) Tọa độ của vectơ:



AB= (xBxA; yByA; zBzA)

A B 2 A B 2 A

B-x ) (y -y ) (z -z ) (x

h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1)  MA = k.MB 



k 1 OB K OA OM













( k1) Khi đĩ tọa độ của M là:





































k 1 kz z z

k 1 ky y y

k 1 kx x x

B A M

B A M

B A M

 M là trung điểm AB































2 z z z 2 y y y 2 x x x

B A M

B A M

B A M

III TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA 2 VÉCTƠ VÀ ÁP DỤNG

1.Tích cĩ hướng của 2 véctơ:

 Định nghiã: Cho a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2)

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

a b

y z z x x y

 



 Các tính chất:

 a  cùng phương ba b, 0

     ,    

a b a và   a b   ,    b 

2 Diện tích tam giác: 1

, 2

 

ABC

3.Thể tích:

 Hình hộp:

' ' ' '  ,  '

ABCD A B C D

   

ABCD

4.Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:

 a b c    , ,

đồng phẳng , . 0

 

  

a b c

 A, B, C, D đồng phẳng , . 0

  

AB AC AD

IV PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

1 Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:

a) Định nghĩa: n  0

là VTPT của mặt phẳng ( ) n( )

b) Chú ý: 2 véctơ

( ; ; ); ( ; ; )

a x y z b x y z khơng cùng

phương và cùng song song hoặc nằm trong (), gọi là cặp véctơ chỉ phương của () Khi đĩ véctơ pháp tuyến của ():

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

n a b

y z z x x y

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

a) Định nghĩa: Phương trình dạng:

Ax By Cz D   0, A B C 0

gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 ():Ax+By+Cz+D=0 cĩ véctơ pháp tuyến n( ; ; )A B C

 Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và

cĩ véctơ pháp tuyến n   ( ; ; ) A B C

là:

0

A(x - x ) B(y - y ) C(z - z )  

b) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

 Mặt phẳng qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c)

cĩ phương trình là: x y z 1

abc

(a,b,c đều khác 0)

V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG

CHÙM MẶÊT PHẲNG:

1.Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:

Cho 2 mp (1): A1x+B1y+C1z+D1=0, (2): A2x+B2y+C2z+D2=0

lần lượt cĩ các VTPT n

 1=(A1; B1; C1) và n

 2=(A2; B2; C2)

Trang 1

Ta cĩ:

2 1 2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2 1 2 1 2

1 2 1

2 2 2 1 1 1 2 1

D

D C

C B

B A

A ) ( )

(

D

D C

C B

B A

A ) ( //

)

(

C : B : A C : B : A ) ( cắt )

(



































2.Chùm mặt phẳng: Cho 2 mp (1): A1x+B1y+C1z+D1=0,

(2): A2x+B2y+C2z+D2=0 cắt nhau theo giao tuyến () Mỗi

mặt phẳng qua giao tuyến () đều cĩ phương trình dạng:

m(A1x+B1y+C1z+D1)+ n(A2x+B2y+C2z+D2) = 0 (m2+n20)

VI.PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng: Nếu đường

thẳng () là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì phương trình tổng

quát là:























0 D z C y

B

x

A

0 D z C y

B

x

A

2 2 2

2

1 1 1

1 , Với A1:B1:C1A2:B2:C2

VT chỉ phương của () là 1 1 1 1 1 1





2 Phương trình tham số của đường thẳng:

a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng: Một véctơ u   ( ; ; ) a b c

khác 0 nằm trên 1 đường thẳng song song hay trùng với (),

được gọi là VTCP của đường thẳng ()

b) Phương trình tham số: của đường thẳng () đi qua điểm

M0(x0;y0; z0) và cĩ VTCP u   ( ; ; ) a b c

là:

0

0

0







  



2 2 2

(a b c 0)

3 Phương trình chính tắc: của đường thẳng () đi qua điểm

M0(x0; y0; z0) và cĩ VTCP u  ( ; ; ) a b c



là:

Chú ý: Từ (*) cĩ thể suy ra 3 mặt phẳng chứa () lần lượt song

song Oz, Oy hoặc Ox Từ đây cĩ thể tìm hình chiếu vuơng gĩc của () lên (Oxy):z=0; lên (Oxz):y=0 hoặc lên (Oyz): x=0

THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

1.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng:

(1) đi qua M1(x1; y1; z1) cĩ vectơ chỉ phương u



=(a1;b1;c1) và (2) đi qua M2(x2; y2; z2) cĩ vectơ chỉ phương v=(a2;b2;c2)

Tacĩ:

1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

1 2

4 ( ), ( )

  

a b c a b c x x y y z z

a b c a b c x x y y z z

a b c a b c u v M M

  

  

u v M M

u v M M

đồng phẳng

2.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

 Cho () đi qua M0(x0;y0;z0) và cĩ VTCP u



=(a; b; c)

và (): Ax+By+Cz+D=0 cĩ VTPT n



=(A; B; C) Ta cĩ:

0 0 0

0 0 0

0

2 ( ) //( )

0 0

3 ( ) ( )

0









Aa Bb Cc

Aa Bb Cc

Ax By Cz D

Aa Bb Cc

Ax By Cz D







cắt

 Đặc biệt: d  (  )  a : b : c  A : B : C

VIII KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ

điểm M0(x0; y0; z0) đến mp():AxByCzD0 là:

0, ( )  2 2 2

Ax By Cz D

d M

A B C



2 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng () đi qua điểm M0

và cĩ VTCP phương u 

là:

0 1 1

,

M M u

d M

u

 

 



3 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

(1) đi qua M1 và cĩ VTCP u



và (2) đi qua M2 và cĩ véctơ chỉ phương



v Khoảng cách giữa (1) và (2) là:

1 2

1 2

,

  

 

u v M M d

u v

IX.GĨC:

1.Gĩc giữa 2 đường thẳng: Cho (1) cĩ VTCP u



=(a1; b1; c1)

và (2) cĩ VTCP



v= (a2; b2; c2) Gọi  là gĩc giữa (1) và (2)

Ta cĩ: 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

cos

| | | |

 

 

 

u v

a a b b c c

u v



Đặc biệt: (1) ( 2)a a1 2b b1 2c c1 20

2.Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng ()

cĩ VTCP u



=(a; b; c) và () cĩ VTPT n



=(A; B; C) Nếu  là gĩc giữa () và () thì:

sin

| | | |

 

 

n u

0    900)

Đặc biệt: //( ) hoặc   ( )  AaBbCc0

Tài liệu dành cho học sinh lớp 12 –HK2

3.Góc giữa 2 mặt thẳng: Cho mp(1) có VTPT n

 1=(A1; B1;

C1) và mp(1) có VTPT n

 2=(A2; B2; C2) Nếu  là góc giữa (1) và (2) thì: 1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2

cos

| | | |

 

 

n n

A A B B C C

A B C A B C

n n



Đặc biệt: (1) (2)  A1A2+B1B2+C1C2=0

X.PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU:

1 Phương trình của mặt cầu:

1 Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

(xa)2 + (yb)2 + (zc)2 = R2

Đặc biệt: Phương trình mặt cầu S(O,R) x2 + y2 + z2 = R2

2 Phương trình: 2 2 2

x y z Ax By Cz D với:

0

A B C D là phương trình mặt cầu tâm

I(A;B;C), bán kính : R A2B2C2D

2 Giao của mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt cầu (S): (xa)2+(yb)2+(zc)2=R2 có tâm I(a;b;c) bán

kính R và mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D=0 Gọi H là hình chiếu

vuông góc của tâm I(a; b; c) lên mặt phẳng () ta có: IH là

khoảng cách từ I đến ():

( , ) Aa Bb Cc D

IH d I

  Khi đó:

 ()(S)=  IH>R

 ()(S)=H  IH=R: H là tiếp điểm và () là tiếp

diện của (S)

 ()(S)= C(H,r)  IH<R: Đường tròn (C) là giao của

() và (S), có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên

(), bán kính r= 2 2

R  IH và có phương trình:

(x a) (y b) (z c) R

Ax By Cz D 0

      



   



Nguồn: TỔNG HỢP