Hình tứ diện đều: a Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b Chân đường cao trùng với tâm của đáy hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy c Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nha[r]
Trang 1CÁC
I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 sin = AB
BC
3 tan = AB
AB
II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 BC2 = AB2 + AC2
2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC
4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6
III ĐỊNH LÍ CÔSIN
1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV ĐỊNH LÍ SIN
sin A sin B sin C
V ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1 Tam giác thường:
c) S = pr (r: bk 6 7 8 93 tam giác)
2 Tam giác đều cạnh a:
a) <= cao: h = a 3 ; b) S =
2
2
4 c) <= cao > là 6<= trung @A9B 6<= phân giác, 6<= trung D
3 Tam giác vuông:
a) S = 1 ab (a, b là 2 E" góc vuông)
2
b) Tâm 6<= tròn E 93 tam giác là trung 6 H: I cạnh huyền
4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = 1 a2 (2 E" góc vuông (J nhau) b) E" "@AK (J a
5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có :8 góc (J 30o"N 60o
b) BC = 2AB c) AC = a 3 d) S =
2
2
8
6 Tam giác cân: a) S = 1 ah (h: 6<= cao; a: E" 6;A
2
H
C B
A
N M
C B
A
C B
A
Trang 2b) <= cao "E Q 6R" > là 6<= trung @A9B 6<= phân giác, 6<= trung
D
7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích "<S
8 Hình thoi: S = 1 d1.d2 (d1, d2 là 2 6<= chéo)
2
9 Hình vuông: a) S = a2 b) <= chéo (J a 2
10 Hình bình hành: S = ah (h: 6<= cao; a: E" 6;A
11 Đường tròn: a) C = 2 R (R: bán kính 6<= tròn)
b) S = R 2 (R: bán kính 6<= tròn)
VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1 Đường trung tuyến: G: là V tâm I tam giác
a) Giao 6 H: I 3 6<= trung @A9 I tam giác V là trọng tâm
b) * BG = 2 BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
1 3
2 Đường cao:
Giao 6 H: I I 3 6<= cao I tam giác V là trực tâm
3 Đường trung trực:
Giao 6 H: I 3 6<= trung D I tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
4 Đường phân giác:
Giao 6 H: I 3 6<= phân giác I tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác
VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Hình tứ diện đều:
a) Có 4 :N là các tam giác 6K@ (J nhau
b) Chân 6<= cao trùng GS tâm I 6;A (hay trùng GS trọng tâm I tam giác 6;A
c) Các E" bên E GS :N 6;A các góc (J nhau
2 Hình chóp đều:
a) Có 6;A là 6 giác 6K@
b) Có các :N bên là "Y tam giác cân (J nhau
c) Chân 6<= cao trùng GS tâm I 6 giác 6;A
d) Các E" bên E GS :N 6;A các góc (J nhau
3 Đường thẳng d vuông góc với mp( ):
a, b
c) d vuông góc GS mp( ) thì d vuông góc GS :V 6 J: trong mp( )
G P
N M
C B
A
Trang 3a H M
D
C B
A
4 Góc giữa đt d và mp( ): d Z ( ) E O và A d
9@ AH ( ) thì góc Y d và ( ) là hay =
ˆ
5 Góc giữa 2 mp( ) và mp( ):
9@
thì góc Y ( ) và ( ) là hay EMF ˆ =
6 Khoảng cách từ điểm A đến mp( ):
(hình ` :a 4)
9@ AH ( ) thì d(A, ( )) = AH
IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: O c tích 6;A- h: " K@ cao)
2 Thể tích khối chóp: V = 1 Bh
3
3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C
S.ABC
4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk 6<= tròn; l: 6<=
sinh)
5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1 Bh
3
6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 Rl (R: bk 6<= tròn; l: 6<= sinh)
7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = 2h ( h: " K@ cao 5"f a
R
8 Diện tích của mặt cầu: S = 4 2 (R: bk :N g@ )
R
9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3(R: bán kính :N g@
R
3
Bài 1: Tính tích " #$ % &$' ()* !+ a
HD: * ;A là BCD 6K@ E" a H là V tâm I 6;A
* i j các E" 6K@ 6g@ (J a
* Tính: V = 1Bh = SBCD AH * Tính: SBCD = ( BCD
3
1 3
2
3 4
6K@ E" a)
* Tính AH: Trong VABH E H :
AH2 = AB2 – BH2 2 )
3
3 2 a
.4 V =
3
2 12 a
F
E
M B
A
H
A
d' d
Trang 4Bài 2: Tính tích !., " #$ chóp % giác ()* !+ a
HD: * ;A ABCD là hình vuông E" a H là giao 6 H: I 2 6<= chéo
* i j các E" 6K@ 6g@ (J a
* Tính: V = 1Bh = SABCD SH * Tính: SABCD = a2
3
1 3
* Tính AH: Trong VSAH E H:
SH2 = SA2 – AH2 2)
2 a
.4 V = Suy ra "H tích I 5"f bát O c 6K@ E" a .4 V =
3
2 6
2 3 a
Bài 3: Cho hình 56 1 78 (% 1 tam giác ABC.A ’ B ’ C ’ có = !> các !+ ()* ?@ 1 a
a) Tính tích !., " #$ 56 1 78
b) Tính tích " #$ % &$' A ’ BB ’ C
HD: a) * ;A A’B’C’ là 6K@ E" a AA’ là 6<= cao
* i j các E" 6K@ (J a
* VABC.A B C = Bh = SA B C .AA’
* Tính: SA B C = (A’B’C’ là 6K@ E" a) và AA’ = a
2
3 4
.4 VABC.A B C = b) = .4
3
3 4
a
A BB C
3 VABC.A B C
3
3 12 a
( 5"f #l a 60 có i j các E" (J nhau 6<m chia thành 3 0 O c (J nhau)
Bài 4: Cho 56 1 78 (% 1 ABC.A ’ B ’ C ’ , (2C ABC là tam giác vuông +$ A, AC = a, = 60C 0 ,
(JK 1 chéo BC ’
!., 9M bên (BCC ’ B ’ ) P0 EQ$ 9M bên (ACC ’ A ’ ) 9R góc 30 0
a) Tính (R dài !+ AC ’ b) Tính tích 56 1 78
HD: a) * Xác 6!" là góc Y E" BC ’ và mp(ACC’A’)
+ CM: BA ( ACC’A’)
BA AC (vì ABC vuông E A)
BA AA ’ (ABC.A’B’C’#l a 60
+ = BC A = 300 * Tính AC’: Trong BAC’ E A (vì BA AC’)
tan300 = AB AC’ = = AB
30
AB
* Tính AB: Trong VABC E A, ta có: tan600 = AB
AC AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) .4 AC’ = 3a
b) VABC.A B C = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC = 1AB.AC = a a =
2
1
2
3 2 a
* Tính CC’: Trong VACC’ E C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 2 a 2
.4 = a3
ABC.A B C
a
H
S
D
C B
A
C'
B' A'
C
B A
60
30
C' B'
A'
C B
A
Trang 5Bài 5: Cho 56 1 78 tam giác ABC.A ’ B ’ C ’ có (2C ABC là 9R tam giác ()* !+ a và ($ 9 A ’
cách ()* các
($ 9 A, B, C + bên AA ’ +3 EQ$ mp (2C 9R góc 60 0 Tính tích !., 56 1 78; HD: * o A’H (ABC)
* A’ cách 6K@ các 6 H: A, B, C nên H là V tâm I ABC 6K@ E" a
* Góc Y E" AA’ và mp(ABC) là = A A H = 600
* Tính: VABC.A B C = Bh = SABC.A’H
* Tính: SABC = (Vì ABC 6K@ E" a)
2
3 4
a
* Tính A’H: Trong VAA’H E H, ta có:
tan600 = A H A’H = AH tan600 = AN = a
AH
.4 VABC.A B C =
3
3 4 a
Bài 6: Cho 56 1 78 (% 1 ABC.A ’ B ’ C ’ , (2C ABC là tam giác vuông +$ A, AC = a, BC = 2a và
AA ’ = 3a
Tính tích !., 56 1 78
HD: * <= cao #l a là AA’ = 3a
* Tính: = Bh = AA’
ABC.A B C
* Tính: SABC = 1AB.AC
2
* Tính AB: Trong VABC E A, ta có:
AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
.4 VABC.A B C =
3
2 a
Bài 7: Cho hình R0 ABCD.A ’ B ’ C ’ D ’ có (2C là hình thoi !+ a, góc = 60A 0 Chân (JK 1
vuông góc + U
B ’ V*# 1 (2C ABCD trùng EQ$ giao ($ 9 hai (JK 1 chéo !., (2C; Cho BB ’ = a.
a) Tính góc 1$X, !+ bên và (2C
b) Tính tích hình R0
HD: a) UV O là giao 6 H: I 2 6<S chéo AC và BD
* B’O (ABCD) (gt)
* Góc Y E" bên BB’ và 6;A (ABCD) là = B BO
* Tính = B BO: Trong BB’O E O, ta có:
cos = OB =
BB
OB a + ABD 6K@ E" a (vì = 60A 0 và AB = a) DB = a
OB = 1DB = Suy ra: cos = = 600
b) * ;A ABCD là p I 2 6K@ ABD và BDC SABCD= 2 =
2
3 4
2 a
* VABCD.A B C D = Bh = SABCD.B’O = B’O
2
3 2 a
a
60
N H
C'
B' A'
C
B A
2a 3a
a
C' B'
A'
C B
A
a
60
a O
D'
C'
B' A'
B A
Trang 6* Tính B’O: B’O = 3 (vì B’BO là q tam giác 6K@ .4
2
4 a
Bài 8: Cho % &$' ()* S.ABC có !+ a Z 1 (JK 1 cao SH
a) % 1 minh: SA BC
b) Tính tích !., hình chóp
HD: a) UV M là trung 6 H: I BC
* CM: BCSH (SHmp( ABC))
BC AM
BCmp(SAM) Suy ra: SABC
b) * i j các E" 6K@ (J a
* Tính: VS.ABC = 1Bh = SABC .SH * Tính: SABC =
3
1 3
2
4
* Tính SH: Trong SAH E H, ta có: SH2 = SA2 – AH2
V
2 vì ABC 6K@ E" a) .4 VS.ABC =
3
a 3
12
Bài 9: Cho hình chóp tam giác ()* S.ABC có !+ AB ?@ 1 a Các !+ bên SA, SB, SC +3 EQ$ (2C 9R
góc 60 0 [$ D là giao ($ 9 !., SA EQ$ 9M 0 \ 1 qua BC và vuông góc EQ$ SA.
a) Tính ^ _# tích !., hai " #$ chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính tích !., " #$ chóp S.DBC
HD: a) E SH (ABC) H là V tâm I ABC 6K@ E" a
UV E là trung 6 H: I BC
* Góc E (` E" bên SA GS 6;A (ABC) là = SA E = 600
* Tính: S.DBC
S.ABC
* Tính SD: SD = SA – AD
* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là q tam giác 6K@
và AH = 2AE mà AE = vì ABC 6K@ E" a
3
a 3
Suy ra: SA = 2a 3
3
* Tính AD: AD = AE( vì ADE là q tam giác 6K@ Suy ra: AD =
4
* Suy ra: SD = 5a 3 .4
12
S.DBC
S.ABC
b) Cách 1: * Tính VS.ABC = 1Bh = SABC.SH * Tính: SABC = (vì ABC 6K@ E" a)
3
1 3
2
* Tính SH: Trong VSAH E H, ta có: sin600 = SH SH = SA.sin600 = a
Suy ra: VS.ABC =
3
12
* Q S.DBC Suy ra: VS.DBC =
S.ABC
96
Cách 2: * Tính: VS.DBC = 1Bh = SDBC.SD * Tính: SDBC = DE.BC
3
1 3
1 2
a
C
S
60
E
D
a H
C
B A
S
Trang 7* Tính DE: Trong VADE E D, ta có: sin600 = DE DE = AE.sin600 =
4 Suy ra: SDBC =
2
3a 8
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có (2C ABCD là hình vuông !+ a `M bên (SAB) là tam
giác ()* và
vuông góc EQ$ (2C; [$ H là trung ($ 9 !., AB
a) % 1 minh 7@ 1- SH (ABCD)
b) Tính tích hình chóp S.ABCD
HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD)
* (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB)
* SH AB ( là 6<= cao I SAB 6K@
Suy ra: SH (ABCD)
b) * Tính: VS.ABCD = 1Bh = SABCD.SH
3
1 3
* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH = a 3 (vì SAB 6K@ E" a)
.4 VS.ABCD =
3
6
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các 9M bên (SAB), (SBC),
(SCA) +3 EQ$ (2C
9R góc 60 0 Tính tích !., " #$ chóp (/;
HD: * E SH (ABC) và 5o HM AB, HN BC, HP AC
* Góc E (` :N bên (SAB) GS 6;A (ABC) là = SM H = 600
* Ta có: Các vuông SMH, SNH, SPH (J nhau (vì có chung 1 E"
góc vuông và 1 góc "V (J 600)
* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính 6<= tròn 8 93 ABC
* Tính: VS.ABC = 1Bh = SABC .SH
3
1 3
* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)
= p(p AB)(p BC)(p CA) (công "0 Hê-rông)
* Tính: p = 5 6 7 Suy ra: SABC =
9 2
a
6 6a
* Tính SH: Trong SMH E H, ta có: tan600 = SH = MH tan600
V
* Tính MH: Theo công "0 SABC = p.r = p.MH MH = SABC =
p
3 a
Suy ra: SH = 2 a 2
.4 VS.ABC = 8 a3 3
S
D
a
H
C
A
B
7a
6a 5a
N M
H
P
C
B
A
60 S
Trang 8Bài 12: `R hình chóp % giác ()* S.ABCD có !+ (2C ?@ 1 a và tích ?@ 1 3
6 a
Tính (R dài !+ bên !., hình chóp Y- SA = 5
2 a
Bài 13: `R hình chóp % giác ()* S.ABCD có ! $)* cao ?@ 1 3 và tích ?@ 1 a 3
2 a
Tính !+ (2C !., hình chóp Y- AB = a 2
Bài 14: Cho hình chóp tam giác ()* S.ABC có tích ?@ 1 3a 3 /8, các 9M bên +3 EQ$ (2C (ABC) 9R góc 60 0 Tính (R dài !+ 1 (2C AB Y- AB = a 3
`M nón `M 78; `M !e*
Bài 1: Khái c: GK :N tròn xoay (2 9
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB +$ O có OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác vuông OAB quanh !+ góc vuông OA thì (JK 1 1=0 khúc OAB +3 thành 9R hình nón tròn xoay a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nón
HD: a) * Sxq = Rl = OB.AB = 15
Tính: AB = 5 (AOB E O)
* Stp = Sxq + S6;A = 15 + 9 = 24
b) V = 1 2 = = = 12
3 4
Bài 2: `R hình nón có $i &$' qua 78! là 9R tam giác ()* !+ 2a.
a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nón
HD: a) * Sxq = Rl = OB.SB = 2 a 2
* Stp = Sxq + S6;A = 2 a 2 + a 2 = 23 a 2
b) V = 1 2 = =
3
a
Tính: SO = 2 3 3 (vì SO là 6<= cao I SAB 6K@ E" 2a)
2
a
a
Bài 3: `R hình nón có ! $)* cao ?@ 1 a và $i &$' qua 78! là tam giác vuông.
a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nón
HD: a) * " 9 O c qua a là tam giác vuông cân E S nên = = 45A 0
B
* Sxq = Rl = OA.SA = a 2 2
Tính: SA = a 2; OA = a (SOA E O)
* Stp = Sxq + S6;A = a 2 2 + a 2 = (1 + 2) a 2
b) V = 1 2 = =
a
Bài 4: `R hình nón có (JK 1 sinh ?@ 1 l và $i &$' qua 78! là tam giác vuông a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nón
HD: a) * " 9 O c qua a là tam giác SAB vuông cân E S nên = = 45A 0
B
2a
S
O
3 4 A
B O
45 S
B A
O
Trang 9* Sxq = Rl = OA.SA = l =
2
2
l
Tính: OA = ( SOA E O)
2
l
* Stp = Sxq + S6;A = + =
2
2
l
2
l
2
b) V = 1 2 = =
Tính: SO = ( SOA E O)
2
l
Bài 5: `R hình nón có (JK 1 cao ?@ 1 a, $i &$' qua 78! có góc j (^ ?@ 1 120 0 a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nón
HD: a) * " 9 O c qua a là tam giác SAB cân E S nên = = 30A 0
B
hay A SO = = 600
BSO
* Sxq = Rl = OA.SA = a 3.2a = 2
2 a 3
Tính: OA = a 3; SA = 2a (SOA E O)
* Stp = Sxq + S6;A = 2 a2 3 + 3 a 2 = 2
2 3 3 a
b) V = 1 2 = =
3
3 a a a
Bài 6: `R hình nón có (R dài (JK 1 sinh ?@ 1 l và góc 1$X, (JK 1 sinh và 9M (2C
?@ 1
a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nón
HD: a) * Góc Y 6<= sinh và :N 6;A là = = A
B
* Sxq = Rl = OA.SA = lcos .l = 2
l cos
Tính: OA = lcos (SOA E O)
* Stp = Sxq + S6;A = l cos2 + l 2cos2 = 2
1 cos l cos
b) V = 1 2 =
3 .OA SO
= 1 2 =
3
2
.l cos lsin
3
2
l cos sin
Tính: SO = lsin (SOA E O)
Bài 7: `R hình nón có (JK 1 sinh ?@ 1 2a và &$' tích xung quanh !., 9M nón ?@ 1
2 a 2
Tính tích !., hình nón
HD: * Sxq = Rl Rl = 2 a 2 R = 2 2 2 2
2
a
* Tính: SO = a 3 (SOA E O)
* V = 1 2 = =
3
a
l
45
S
B A
O
120
a S
B A
O
l
S
B A
O
2a
S
Trang 10Bài 8: `R hình nón có góc j (^ ?@ 1 60 0 và &$' tích (2C ?@ 1 9 Tính tích
!., hình nón
HD: * " 9 O c qua a là tam giác SAB 6K@
* S6;A = R 2 9 = R 2 R2 = 9 R = 3
* SO = 3 2 3
3 3
* V = 1 2 = =
Bài 9: $i &$' qua 78! !., 9R hình nón là 9R tam giác vuông có !+ góc vuông
?@ 1 a.
a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nó
c) `R $i &$' qua (^ +3 EQ$ (2C 9R góc 60 0 Tính &$' tích !., $i &$' này
HD: a) * " 9 O c qua a là tam giác SAB vuông cân E S nên = = 45A 0
B
* Sxq = Rl = OA.SA = a =
2
2
a
Tính: OA = ( SOA E O)
2
a
* Stp = Sxq + S6;A = + =
2
2
a
2
a
2
b) V = 1 2 = =
Tính: SO = ( SOA E O)
2
a
c) * " 9 O c (SAC) qua a E GS 6;A 1 góc 600: SM O = 600
* SSAC = 1SM.AC = =
2
1 2
6 3
3
2 3 a
* Tính: SM = 6 ( SMO E O) * Tính: AC = 2AM =
3
a
3 a
* Tính: AM = 2 2 = * Tính: OM = ( SMO E O)
3
6
a
Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có (JQ 1 cao h = 20cm, bán kính (2C r = 25cm.
a) Tính &$' tích xung quanh và &$' tích toàn 0 e !., hình nón
b) Tính tích !., " #$ nón
c) `R $i &$' ($ qua (^ !., hình nón có " 3> 1 cách U tâm !., (2C (i 9M 0 \ 1 ! %, $i &$' là 12cm Tính &$' tích !., $i &$' (/
C M
45 a
S
B
60 S
B A
O