Tài liệu Đẳng thức lượng giác pdf

Đẳng thức lượng giác Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.. Các đẳng thức này hữu ích cho v

Đẳng thức lượng giác

Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác,

đúng với một dải lớn các giá trị của biến số

Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính

Định nghĩa

Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn (k nguyên) Đối xứng Tịnh tiến

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago

Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x)

Tổng và hiệu của góc

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler

với

và

Công thức góc bội

Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên Cũng có thể dùng công thức de

Moivre với n = 2

Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy

Tổng quát

Nếu T n là đa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:

Hàm hạt nhân Dirichlet D n (x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

Hay theo công thức hồi quy:

sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x)

cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x)

Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

sin(3x) = 3sin(x) − 4sin (x)3

cos(3x) = 4cos (x) − 3cos(x)3 dinh van phu

Công thức hạ bậc

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:

Công thức góc chia đôi

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu

được:

Dẫn đến:

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản

hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

and and

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng

Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra

Biển tổng thành tích

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:

Hàm lượng giác nghịch đảo

Dạng số phức

với

Tích vô hạn

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

Đẳng thức số

Cơ bản

Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:

Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:

hay dùng công thức Euler:

Một số đẳng thức khác:

Dùng tỷ lệ vàng φ:

Nâng cao

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Giải tích

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược