Hình 3 Tất cả các tam giác có đáy a, chiều cao h đều có thể sắp xếp để cạnh đáy của chúng trùng với BC = a, còn đỉnh A ở trên một đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng h.. Tron[r]
Trang 1PHÒNG GD & ĐT PHÚC THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN NĂM HỌC: 2009 – 2010
Môn thi: Toán Thời gian: 150 Phút
Bài 1: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
a) Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8
b) Tính tổng:
Giải
a) (0,5 điểm) Ta có: a2 – b2 = (a2 – 1) – (b2 – 1) = (a + 1)(a – 1) – (b + 1)(b – 1)
(0,5 điểm) Vì (a + 1)(a – 1) là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
(0,5 điểm) Tương tự: (b +1)(b – 1) 8
(0,5 điểm) Vậy: (a2 – b2 ) 8 (đpcm)
b)
15 35 63 399
3.5 5.7 7.9 19.21
3 5 5 7 7 9 19 21
1 1
3 21
2 7
Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
a) Cho a, b, c là các số thực khác nhau Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( ) ( )( )
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2009 2010
Giải
a) Ta có:
VT
a b a c b c b a c a c b
a b c a b c a b c a b c
a b b c c a
= VP
b) A x 2009 2010 x
Tập xác định: D = 2009; 2010
Với x D thì A ≥ 0 Do đó: A = A2
1 Xét:
1
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,75 điểm)
(0,75 điểm)
(0,5 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
Trang 2Ta có: A 2 1(vì 2 x 2009 2010 x 0 với x D)
<=> A ≥ 1 với x D
(0,25 điểm) Vậy: Amin = 1 khi
(0,25 điểm)
2009 0 2009
2 Xét:
(0,25 điểm) A2 1 2 x 2009 2010 x 1 x 2009 2010 x
(vì 2 x 2009 2010 x x 2009 2010 x , với x D; BĐT Côsi)
<=> A2 ≤ 2 với x D
<=> A 2 với x D
(0,25 điểm)Vậy Amax = 2 khi: x – 2009 = 2010 – x
(0,25 điểm) <=> x = 2009,5
Bài 3: (4 điểm) Mỗi câu 2 điểm
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 7y = 55
b) Cho a, b, c, d là các số dương và
b d Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:
1
a b c d
Giải
a) 3x + 7y = 55
(0,5 điểm) HS tìm được nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên:
(0,5 điểm).Để:
110
3
t
t
(0,5 điểm).=> t 16; 17; 18
(0,5 điểm).Vậy phương trình trên có 3 nghiệm nguyên dương là: (2; 7); (9; 4) ; (16; 1) b)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
110 7
( )
55 3
t
1
a d b c
a d ad b c bc
1
a b c d
Trang 3(0,5 điểm)
a d b c
(vì => ad = bc => )
Bài 4 (4 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ
đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J
a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích
b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất
Giải (h.1)
Hình 1 a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoi
AC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng
Ta có : IDM IMDˆ ˆ 900(vì DIM ˆ 900)
Mà IJMˆ IDMˆ (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
MJO JMO IMD(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); JMOˆ 'và IMDˆ đối đỉnh) (1,5 điểm) IJM MJOˆ ˆ ' 90 0 (0,5 điểm) IJ là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm
b) Ta có IA = IM
IO’ = 2
AB
= R (R là bán kính của (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’
(1,5 điểm) Do đó SJIO’
2
4
R
SJIO’ =
2
4
R
khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2 O’J =
2 2
R
(0,5 điểm) Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 2
Bài 5 (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M sao cho tổng độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM là nhỏ nhất
3
C
J
A I M
D
O
O’
B
a c
Trang 4đường tròn nội tiếp lớn nhất ?
Giải
a) (h.2)
Hình 2 Gọi O1, R1, O2, R2 lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM (h.2)
Xét O1AB : O1A + O1BAB
2R1AB
(0,5 điểm) 2R1 = AB AB là đường kính của (O1) và giả sử đường tròn (O1) đường kính AB cắt AC tại H thì AHBˆ = 900 (1)
(0,5 điểm)Tương tự với O2BC : 2R2BC Suy ra R2 nhỏ nhất BC là đường kính của (O2) và giả sử đường tròn (O2) đường kính BC cắt AC tại H’ thì BH Cˆ ' = 900 (2)
(1,0 điểm) Từ (1) và (2) suy ra H’H Vậy điểm M phải tìm là chân đường cao kẻ từ đỉnh B
b) (h.3) (2,0 điểm) Lí luận đúng
Hình 3 Tất cả các tam giác có đáy a, chiều cao h đều có thể sắp xếp để cạnh đáy của chúng trùng với BC = a, còn đỉnh A ở trên một đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng h Trong các tam giác này, ta cần tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất Ta có SABC =
1
2ah
O1 R1
C
B
R2 O2
H
M
A
C’
y
h
Trang 5Mặt khác, nếu r là bán kính của đường tròn nội tiếp thì SABC =
1
2r(AB + BC + CA)
r =
ah
AB BC CA
Do a, h, BC không đổi nên r sẽ có giá trị lớn nhất khi AB + AC có giá trị nhỏ nhất Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua xy thì AB + AC = AB + AC’C’B
Khi đó : AB + AC = C’B khi AA1 ABC cân tại A
5