Nhị thức Newton và ứng dụng

NH À

A LÝ THUY

1 CÔNG TH

0

0

1 1

n n k n k n n n n n n n n n k n n k k n k n n n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C b a b C a b C a C a b C b 2 Tính Ch a S à n 1 b T a và b trong m c th n n k n c S à: 1 k n k k k n T C a b ( k 1trong khai tri a b n) d Các h ì b e 2n C n n C n n 1 C n0 f 0 C n0 C1n 1 n C n n g Tam giác Pascal: 0 1 1 1 1 2 1 2 1

n n n 1 1

1

1 1

m m k k m k n k C C n k C

V C k m 1 C k m C k m1 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 1 # 0 2 3 3

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

www.vietmaths.com

3 M ay s

0 1 0

0 1 0

n n

k n

C v i là các snhiên liên ti

2 Trong bi

11

n

i n i

a C thì ta ch x a thích h

Trong bi

1

11

n

i n i

H x trong khai tri16 à: C104 3360

Ví d 1.4: Tìm h x1008 trong khai tri

2009 2

3

1

x x

1 x 1 x

Gi Cách 1: Ta có

200 0

V ìm là: 1 99C20099.2 399 99 C20099 2 399 99

Ví d a) Tìm h x8 trong khai tri

121

x x

Ví d - 2003) V n là s a3n 3 là h x3n 3

trong khai tri x2 1 n x 2 n Tìm n a3n 3 26n

Gi Cách 1: Ta có

1 1 2 2 2 0

11

i k

i k

V n 5 là giá tr ìm th ãn ài toán ( n

1 1

Gi

n N và n 3

53!

3 4

1

x x

n x x

1

k k k

k

5

k k k

Ta có a k

1 1

1 1

1 1

C

www.vietmaths.com

C

V k thì h à:

3 3 17

15.445

C

3 3 17

15.445

k n

u C a b k n ãy s u k Vi òn l ìm s

nh ãy ta làm nh

11

k k

u

u tìm k0 u k0 u k0 1 u n

11

k k

Ví d 1.17: Tìm h x trong khai tri4 à rút g

2 Bài toán tìm s trong khai tri

Ví d 2.1: Tìm s 21 trong khai tri 2 3x 25

Gi

S 21 trong khai tri à: C252025 3x 20 C25202 35 20x20

Ví d 2.2 Tìm s x trong khai tri28 x3 xy 10

2 3

2 3

V x trong khai tri f x là: C74 35

17 3 4

k n

n k

1 1 1

7 , 0,10

k k N k

V

7 7

7 10 10

2max

1000 166

1max

Gi

S

10 1 1 10

3 2

63

k N

2 v 32

www.vietmaths.com

r N q

k k

N

k N k

a) H 8

x trong khai tri

12 5 2 4

1

x x

n n

A

e) H ch x trong khai tri3 f x 1 2x 3 1 2x 4 1 2x 22

f) H x y z t trong khai tri5 3 6 6 x y z t 20( “TH&TT”- 2003)

17 3 4

3 2

1

x x

b)

12 3 3

n k n k k

n

k 0(a b) C a b Vi òn l à khéo léo ch

2009 1

20 20

20 20

20

(1)

2004 2004 0

2004 2004

2004 0

www.vietmaths.com

Chú ý: à ý t òn khi trình bày vào bài ki bài thi thì ta ph õ

n(1 x) r àm 2 l à thay x = 1 vào m

2 2

k k n k

n

k n n k

n b

Cách khác: Ta có th ùng tích phân b

1 1

k

k n C

k nên s

nguyên hàm là C x n k 2k 1hay C n k x2 k.x ã

2)

1 3

3

(1) (

(1) ( 1)2

(1) ( 1) 2 Im( ( ))

(2)4

(1) ( 1) 2 Re( ( ))

(3)4

(1) ( 1) 2 Im( ( ))

(4)4

8

8 1

0( ) 8 (1 )

n

n k

Ví d V.4 - TH&TT-2008) S2 C1n 2 2 C n2 2 3 C n3 3 n C n n 2, v n là

Gi Cách 1: Ta có:

n n

nC S

a) C130 3.22C330 5.2 C4 530 27.2 C26 2730 29.2 C28 3029

c)

1 2 0

( 1)

n n

n k k T

n n n

n C n C n C C n n C n C

V ên lí quy n n! 2n 1 n 3 “T qu ày ta có th

k C

1 1

cho 11

b) 3 0 1 1 1 1 1 , 3

n n

Gi a) Ta có:

k p

n n